K618 FD ČVUT v Praze (pracovní verze). Tento materiál má pouze pracovní charakter a bude v průběhu semestru

Transkript

1 Poznámky k semináři z předmětu Pružnost pevnost na K68 D ČVUT v Praze (pracovní verze). Tento materiál má pouze pracovní carakter a bude v průběu semestru postupně doplňován. Autor: Jan Vyčicl E mail: vycicl@fd.cvut.cz revize: 3. října 202 Příklad Stanovte reakce a průbě napětí v řídeli, která je uložena dle obrázků. Hřídel skokově proměnnéo průřezu je zatížena dvěma způsoby: a) řídel stejnéo materiálu je na odsazení zatížena normálovou silou, b) řídel složená ze dvou typů materiálu (Cu, e) je zatížena konstantním teplotním gradientem t. Normálová síla 0 d Náčrtek uložení řídele s normálovým zatížením a jeo rozdělení na pole. E, E, V tomto případě vznikají v obou stěnác nenulové normálové reakce a. Tento případ řešíme jako staticky neurčitou úlou a sestavení vodorovné podmínky rovnováy nebude pro vyřešení dostačující (dvě neznámé reakce a ). E, E, x : + = 0 + = Je nutné sestavit takzvanou deformační podmínku na řídeli, ze které lze dopočítat jednu z reakcí. V našem případě sestavíme deformační podmínku k bodu, kde působí reakce, pomocí grafickéo rozkladu zatížení. d Deformační podmínka pak říká, že součet deformací v bodě od normálovéo zatížení a reakce ve vetknutí je roven nule (odpovídá deformaci ve vetknutí). u +u R = 0 Deformaci určíme ze základnío vztau pro prodloužení prutu a zjednodušíme pomocí poddajnosti δ u = l EA = δ Z obrázku pro normálovou zatěžovací sílu platí, že pracuje pouze na poli I. u = l E = δ dále z obrázku pro reakci platí, že pracuje na celé řídeli (poli I. a poli II.) a jelikož je reakce v záporném směru, je deformace záporná kde u R = l E + l 2 E = δ δ 2 δ = l δ 2 = l 2 E E Obě odvozené deformace dosadíme do deformační podmínky u +u R = 0 δ (δ +δ 2 ) = 0 z tooto výrazu určíme jedinou neznámou a tou je reakce = δ δ +δ 2 Dále z podmínky rovnováy již lze dopočítat reakci x : + = 0 = = δ δ +δ ( 2 = δ ) δ +δ 2 Po určení reakcí je další postup klasický. Pomocí Metody řezu z vodorovné podmínky rovnováy určíme funkci normálové síly N (x) pro pole I. x : N (x)+ = 0 N (x) =

2 a normálové síly N 2 (x) pro pole II. x : N 2 (x) = 0 N 2 (x) = Průbě normálovéo napětí určíme ze základnío vztau. Pro pole I. a pro pole II. σ (x) = N (x) σ = A σ 2 (x) = N 2(x) Teplotní gradient = = Náčrtek uložení řídele složené ze dvou materiálů(cu, e) zatížené konstantním teplotním gradientem t. E,, E 2,, 2 Ù V tomto případě vznikají v obou stěnác nenulové normálové reakce a, což je zapříčiněno tepelným roztaováním řídele v podelné ose. Tento případ řešíme také jako staticky neurčitou úlou a sestavení vodorovné podmínky rovnováy nebude pro vyřešení dostačující(dvě neznámé reakce a ). E,, E 2,, 2 Ù x : = 0 = Je nutné sestavit deformační podmínku na řídeli, ze které lze dopočítat jednu z reakcí. V našem případě sestavíme deformační podmínku k bodu, kde působí reakce pomocí grafickéo rozkladu zatížení. Deformační podmínka pak říká, že deformace v bodě od zatížení konstantním teplotním gradientem t a reakce ve vetknutí je roven nule (odpovídá deformaci ve vetknutí). d Z obrázku pro zatížení konstantním teplotním gradientem t platí, že pracuje na celé řídeli (poli I. a poli II.). Deformace řídele od zatížení konstantním teplotním gradientem t probíá v kladném směru osy x, proto je odnota deformace kladná. u t = t l + 2 t l 2 pro reakci platí také, že pracuje na celé řídeli (poli I. a poli II.) a jelikož je reakce v záporném směru, je deformace záporná kde u R = l E + l 2 E 2 = δ δ 2 δ = l E δ 2 = l 2 E Obě odvozené deformace dosadíme do deformační podmínky u t +u R = 0 t( l + 2 l 2 ) (δ +δ 2 ) = 0 z tooto výrazu určíme jedinou neznámou a tou je reakce = t( l + 2 l 2 ) δ +δ 2 Dále z podmínky rovnováy již lze dopočítat reakci x : = 0 = = t( l + 2 l 2 ) δ +δ 2 Po určení reakcí je další postup opět klasický. Pomocí Metody řezu z vodorovné podmínky rovnováy určíme funkci normálové síly N (x) pro pole I. x : N (x) = 0 a normálové síly N 2 (x) pro pole II. N (x) = x : N 2 (x) = 0 N 2 (x) = Průbě normálovéo napětí určíme ze základnío vztau. σ = A u t +u R = 0 Tepelnou deformaci ze základnío vztau u t = t l Pro pole I. σ (x) = N (x) = Podelnou deformaci určíme ze základnío vztau pro prodloužení prutu a zjednodušíme pomocí poddajnosti δ u = l EA = δ a pro pole II. σ 2 (x) = N 2(x) = 2

3 2 Příklad Dokonale tuý nedeformovatelný nosník je uložený dle obrázku. Stanovte síly v upevňovacíc prutec N a N 2, jejic maximální deformaci u a, napětí σ a σ 2, úel natočení tuéo nedeformovatelnéo nosníku ϕ a mecanickou práci, kterou vykoná síla. Dopočítáme deformaci pro oba pruty u a u = N E = N δ = N 2 2 E 2 = N 2 δ 2 kde poddajnosti prutů lze zapsat δ = E δ 2 = 2 E 2 E,, E 2,, Napětí v prutec Podobně jako deformace, dopočítáme napětí z obecnéo vztau σ = A l l 2 pak σ = N σ 2 = N 2 Normálové síly rozkreslíme a provedeme silový a deformační rozbor A u N N 2 l l 2 u Ze silovéo rozboru lze stanovit svislou silovou podmínku rovnováy, která je však neřešitelná y : N +N 2 = 0 Jednou z možností řešení je sestavit dvě momentové podmínky. Kolem bodu A (upevnění prutu ) A : l +N 2 (l +l 2 ) = 0 Kolem bodu (upevnění prut) ϕ l O N 2 = l +l 2 : N (l +l 2 )+ l 2 = 0 Deformace S využitím Hookova zákona u = l EA = δ = k kde δ je poddajnost a k je tuost prutu. δ = l EA k = EA l l 2 N = l +l 2 Úel natočení Natočení tuéo nedeformovatelnéo nosníku ϕ odvodíme z rozboru deformací (řešíme pravoúlý trojúelník) Mecanická práce tgϕ ϕ = u l +l 2 = Mecanická práce W síly je ploca pod funkcí popisující závislot síly na posunutí u pod touto silou (diagram u). Jelikož se poybujeme v lineární části pracovnío diagramu materiálu, je funkce pro diagram u také lineární a ploca pod křívkou je trojúelník, jeož plocu (práci W) vypočítáme podle vztau v našem případě W = 2 u W = 2 u kde u je posunutí pod zatěžovacísilou, kterou lze určit z deformačnío rozboru u u y x Z náčrtku lze vidět, že a také, že u = +x x = u u = +y y = u ϕ O 3

4 a přitom odnoty x a y jsou vzájemně svázány přes podobnost trojúelníků x y = l 2 l +l 2 u = u l 2 l +l 2 u = +l 2 u l +l 2 u Po vyjádření u dosadíme do výše uvedenéo vztau 3 Příklad W = 2 u Vyšetřete posuv bodu symetrické prutové soustavy. Určete tuost a poddajnost v bodě ve svislém směru. Deformace Deformaci určíme ze základnío vztau (Hookova zákona) pro prodloužení prutu a zjednodušíme pomocí tuosti k a poddajnosti δ u = l EA = k = δ kde k je tuost a δ je poddajnost prutu. k = EA = l u δ = l EA = u Nejprve stanovíme délku prutu l a l 2 z pravoúléo trojúelníku (symetrie pruty mají stejnou délku l) cos = = l 2 l l = cos = l = l 2 Rozkreslení deformace jednoo prutu na zadané prutové soustavě. od je stav před zatížením a je stav po zatížení silou E, E 2, l 2 Normálová síla Rozkreslení silovýc účinků v bodě (styčník). N N 2 Musí platit rovnováa sil (součet silovýc účinků v styčníku je roven nule). Vodorovnou podmínku pak lze zapsat jako Deformaceprutu(prodloužení)u a dlevýšeuvedenéo vzorce (symetrie pruty mají stejnou deformaci u) u = = u = Nl EA = N EA cos = 2cos EA cos u = = u = 2EA cos 2 Posunutí bodu Jelikožse jedná o malé deformace l >> u, lze konstatovat, že po prodloužení prutu o a posunutí bodu do nové poloy vznikl na konci prutu pravoúlý trojúelník, z kteréo lze určit vzdálenost, bodu a (symetrie stejná odnota posunu u ) x : N sin+n 2 sin = 0 N = N 2 = N z vodorovné podmínky rovnováy lze vidět důsledek symetrie prutové soustavy. Síly v prutec jsou stejné N, jen v jiném směru. Svislá podmínka rovnováy má tvar y : N cos+n 2 cos = 0 N cos+n cos = N = 2cos N = N 2 = 2cos, Pro tento trojúelník pak platí cos = = u, u = u u cos = 2EA cos 3 = u, =, 4

5 Tuost a poddajnost Tuost podle vztau uvedenéo výše k = u = 2EA cos3 poddajnost podle vztau uvedenéo výše δ = u = 2EA cos 3 5