Přednáška 4: Derivace

Transkript

1 4 / / 7, :5 Přednáška 4: Derivace Pojem derivace ormuloval v 7. století Isaac Newton při výpočtec poybu planet sluneční soustavy. Potřeboval spočítat úlovou ryclost planet. Její směr je dán tečnou ke dráze ve studovaném bodě T, ovšem při výpočtu tečny k poybové křivce si musel vystačit pouze s graem křivky. Proto se rozodl spočítat rovnici sečny dané bodem T a druým bodem S, který leží na poybové křivce blízko bodu T. Tak se sice dopouštíme jisté cyby, ovšem čím blíže se s bodem S přibližujeme k bodu T, tím menší cyba bude. Tento postup byl o dvě století později precizován pomocí pojmu limita zavedenéo v minulé přednášce. Obrázek 4.. Určení trajektorie pomocí tečny Derivace však nejsou jen nějaké geometrické ejblátka pro nadšené astronomy, derivace má denně před očima každý řidič: například vzta mezi tacometrem a odometrem. Obrázek 4.. Tacometr (levý budík) a odometr (čítač na dolním displeji) Pokud známe záznam z odometru můžeme pomocí derivace spočítat ryclost. Naopak, máme-li záznam z tacometru, můžeme opačnou operací (integrací spočítat z ryclosti dráu.

2 4 / / 7, :5 Derivace unkce 4.. Deinice Derivací unkce y ( ) v bodě a D rozumíme vlastní limitu ( ) ( a) ( a) lim (4.) a a Limitu téož výrazu zprava nazýváme derivací zprava a značíme ji ( a), podobně limitu zleva nazýváme derivací zleva a značíme ( a). Je-li limita v rovnici (4.) nevlastní, nazýváme ji nevlastí derivací. Pro označení derivace se na základě aplikací používají také symboly d dy() t, ya ( ). d dt a Ekvivalentně můžeme derivaci deinovat limitou ( a ) ( a) ( a) lim, (4.) které se využívá např. k teoretickému odvození pravidel pro počítání s derivacemi nebo při numerickém derivování. ta 4.. Příklad (i) Určete derivaci unkce y 3 v bodě ( ) () 8 ( ) ( 4) () lim lim lim lim (ii) Určete derivaci unkce y lim( 4) 4. v libovolném bodě. ( ) '( ) lim lim Věta Má-li unkce y ( ) v bodě a D vlastní derivaci ( a), pak je v bodě a spojitá. Jak ukazuje následující příklad, toto tvrzení nelze obrátit, tedy unkce spojitá v bodě nemusí mít v tomto bodě derivaci. a D

3 4 / / 7, : Příklad Funkce y (viz. přednáška, deinice.) je spojitá na celém deiničním oboru D. Spočítejme její derivaci v bodě. Protože jde o unkci deinovanou po částec, počítejme rovnou jednostranné derivace: ( ) () () lim lim lim, ( ) () () lim lim lim, tedy () () a derivace () neeistuje. Má-li unkce v každém bodě intervalu I a, b derivaci, můžeme sestrojit unkci ': a, b '( ). (4.3) 4.5. Deinice Funkci '( ) deinovanou rovnicí (4.3) pro všecna ( D D' ) v nicž '( ) eistuje, nazýváme derivací unkce ( ). Tedy, derivací unkce v bodě je limita, tedy reálné číslo, a derivací unkce je opět unkce, např. pro : y je '( ) reálné číslo a ' je konstantní unkce. Jak víme z dřívějška, elementární unkce vznikají pomocí konečnéo počtu operací k - násobku, sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání a inverze ze základníc elementárníc unkcí y konst., y, y sin( ) a y e. Abycom moli spočítat derivaci libovolné zadané elementární unkce, musíme jednak vědět jak zderivovat operace mezi elementárními unkcemi a za drué vědět jak zderivovat alespoň ony základní elementární unkce. Začneme s pravidly pro derivace operací: Pravidla pro derivování Pravidla pro derivování vycázejí z too, že derivace je limitou a využívají pravidel pro počítání s limitami (viz minulá přednáška, věty 3. 3.). Umožňují nám derivovat operace, které vystupují v zadanýc unkcíc Věta Mají-li unkce ( ), ( ) v bodě a derivaci, pak má v tomto bodě derivaci i jejic součet, rozdíl a k-násobek a platí 3

4 4 / / 7, :5 ( a) ( a) ( a) ( a), ( a) ( a) ( a) ( a), k ( a) k ( a), pro k. Důkaz: Spočítejme derivaci unkce ( ) ( ) podle deinice (4.): ( a ) ( a ) ( a) ( a) ( ( a) ( a)) lim ( a ) ( a) ( a ) ( a) lim ( a ) ( a) ( a ) ( a) lim ( a ) ( a) ( a ) ( a) lim lim ( a) ( a) Důkaz druéo vztau probíá zcela analogicky. (4.4) Věta nám říká, že derivace je tzv. lineární operátor, platí tedy k ( a) ( a) k ( a) ( a). (4.5) Pravidla pro derivaci součinu (tzv. Leibnizova ormule) a podílu mají velmi podobný tvar: 4.7. Věta Mají-li unkce ( ), ( ) v bodě a derivaci, pak má v tomto bodě derivaci i jejic součin a podíl a pro každé D Dg platí: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) g( ) ( ) g( ), je-li g ( ). g ( ) g ( ) (4.6) Za nejdůležitější vzorec považujeme pravidlo pro derivaci složené unkce: 4.8. Věta Má-li unkce gderivaci ( ) v bodě a unkce y ( u) derivaci v bodě g( ) u složená unkce g derivaci v a platí, že g g, pak má ( ) ( ) g ( ). (4.7) 4

5 4 / / 7, :5 Derivace elementárníc unkcí. Pomocí vzorců pro derivace elementárníc unkcí a s využitím pravidel pro derivování budeme již scopni derivovat prakticky každou unkci, se kterou se setkáme ve yzikálníc či tecnickýc aplikacíc Derivace mocninnýc unkcí: Pro konstantu k a mocninnou unkci k k k k platí: k,, pro všecna \ k. (4.8) Speciálně platí: ( ),. 4.. Derivace eponenciálníc a logaritmickýc unkcí Pro derivace eponenciálníc a logaritmickýc unkcí o libovolném základu a,, platí: ( a )' a ln( a) (4.9) log a ( ) ' ln( a) Pro základ e,7... (Eulerovo číslo) nabývají tyto vzorce speciálně jednoducéo tvaru (e ) e, (4.) (ln ), Vzorce pro obecný základ (4.9) z nic lze snadno odvodit: ln( a ) ln a ln a ( a )' e e ( e ) ln( a) a ln( a) ln( ) log a ( ) ' ln( ) ' ln( a) ln( a) ln( a) Pro eponenciální unkci jsme využili inverznost eponenciálníc a logaritmickýc unkcí, m m n tedy vzorec ep(ln ), použili pravidla pro počítání s mocninami a pravidla pro derivaci složené unkce a unkce eponenciální. Pro derivaci logaritmu jsme využili vzorce n K prozkoumání teorie byly však speciálně vymyšleny unkce, které nelze snadno derivovat, např. unkce, jejicž derivace neeistuje v žádném bodě jejic deiničnío oboru. 5

6 4 / / 7, :5 pro změnu základu logaritmické unkce pravidel pro derivaci k -násobku a přirozenéo logaritmu. 4.. Logaritmické derivování Derivujme unkci ( ) g( ) y. Konkrétně si vezměme např. unkci y. Tu nelze derivovat jako mocninnou unkci, neboť eponent není konstanta, ale ani jako eponenciální unkci, neboť základ není konstanta. Pro vyřešení tooto problému použijeme stejný trik, jako při odvozování vzorce pro derivaci a, tedy g ( ) ( ) ln ( g ) g ( ) ln ( ) y ( ) e e, pro ( ). Tento výraz již snadno derivujeme pomocí pravidla pro derivaci složené unkce: g( ) ln ( ) g( ) ln ( ) y ' (e )' e g '( ) ln ( ) g( ) '( ) ( ) 4.. Příklady: i. y ii. na, D : y ' e e ln ln cos y( ) na D : ln ln cos (cos ) ln( ) (cos ) ln( ) y' ( ) e e sin ln( ) (cos ) 4.3. Derivace goniometrickýc a cyklometrickýc unkcí Pro derivace goniometrickýc unkcí platí: (sin )' cos pro D( ) D( '). (4.) (cos )' sin Vzorce pro derivaci unkcí tangens a kotangens odvodíme snadno z deinice těcto unkcí a vzorce pro derivaci podílu: sin (cos ) cos sin ( sin ) (tan )', cos cos cos cos ( sin ) sin cos (cos ) (cot )', sin sin sin kde také platí, že D( ) D( '). Pro odvození vzorců pro derivace cyklometrickýc unkcí je potřeba využít pravidlo pro derivaci inverzní unkce (4.) 6

7 4 / / 7, :5 ( ), '( y) kde na pravé straně počítáme derivaci původní unkce v bodě y ( ). Platí (arcsin )' sin'(arcsin( )) cos(arcsin( )) (sin(arcsin( ))) Zcela analogicky lze odvodit (arccos )' Dále (arctan )' tan'(arctan ) sin (arctan ) cos (arctan ) cos (arctan ) cos (arctan ) (4.3) (4.4) (4.5) tan (arctan ) Opět zcela analogicky platí (arccot )' (4.6) 4.4. Příklady: Derivujte unkce y ( 3 ) y 44 y y 3 y e y ln( 7) y tan y arcsin Derivace vyššíc řádů Má-li unkce : D derivaci ve všec bodec nějakéo okolí O bodu D, můžeme zkoumat eistenci derivace unkce ': O v bodě. Pokud eistuje, nazýváme tuto odnotu druou derivací unkce v bodě a označujeme ji ''( ). Eistuje-li druá derivace unkce ve všec bodec intervalu ab,, deinujeme unkci a nazýváme ji druou derivací unkce. '': a, b ''( ) Analogicky deinujeme n -tou derivaci unkce v bodě, označujeme ji derivaci unkce ( n) ( ). ( n) ( ), jako 7

8 4 / / 7, : Příklad. Spočítejte všecny derivace unkce 4 (i) y (ii) y sin (v tomto případě stačí prvníc pět derivací...) Derivace parametricky zadané unkce Parametricky zadané unkce klasiikujeme podle jejic grau. Z dřívějška známe parametrické vyjádření některýc unkcí, zejména přímky (viz přednáška 5) a u t, y a ut, t, a kružnice (resp. obecněji elipsy): s a cos t, kde S s, s y s bsin t, t,π, je střed kružnice (příp. elipsy), ab, jsou poloosy. Pro a b r dostáváme speciální případ kružnice. Dalším typem parametricky zadané unkce je tzv. cykloida určená rovnicemi a t sin t, která má boaté využití v tecnické prai. y a cos t, t, π, (4.7) Cceme-li spočítat derivaci parametricky zadané unkce t ( ), : t I, (4.8) yt ( ), v nějakém bodě T, y grau unkce, musí být první souřadnice bodu T v nějakém svém okolí jednoznačně určena parametrem t, tedy ( t), kde je prostá unkce. V tomto okolí eistuje unkce a potom : y. Z tooto vyjádření dostáváme na základě věty o derivaci složené a inverzní unkce: yt ( ) '( ) ( y )' y( t ), kde ( t). (4.9) ( t ) ( t ) Stejným způsobem lze spočítat i derivace vyššíc řádů, např. ' y y y y( t) ( t) y( t) ( t) 3 ( ) t ( ( t )) ''( ), kde ( t ). 8

9 4 / / 7, :5 Derivace implicitně zadané unkce Implicitně zadanou unkcí rozumíme křivku zadanou rovnicí ve tvaru F(, y), kde F je unkce dvou proměnnýc a druá proměnná se cápe jako unkce proměnné, tedy y ( ). Graem unkce je tedy množina Gr, y : F(, ( )). Takto zadaná křivka není obecně unkcí ve smyslu deinice unkce z přednášky, nicméně lze ji deinovat po částec a tento obrat se velmi často používá. Implicitně zadanou unkci lze derivovat podle proměnné použitím věty o derivaci složené unkce Příklad Derivujte implicitně zadanou unkci ( y) ( y) y 4 4 Geometrický význam derivace Geometricky znamená derivace unkce y ( ) v bodě a směrnici tečny ke grau unkce v bodě dotyku T a, ( a) danou rovnicí. Tečnou ke grau unkce v bodě a rozumíme tedy přímku t t : y ( ) '( ) ( ) (4.) Normálou ke grau unkce v bodě a nazýváme přímku n procázející bodem T a, ( a) '( ), kolmou k tečně t. Normála má tedy rovnici n : ( ) ( ) (4.) Poznámka: V bodě, ve kterém je unkce deinována, ale nemá derivaci, tečna neeistuje. 9