3.2.2 Rovnice postupného vlnění

Transkript

1 3.. Rovnice postupného vlnění Předpoklady: 310, 301 Chcee najít rovnici, která bude udávat výšku vlny v libovolné okažiku i libovolné bodě (v jedno okažiku je v různých ístech různá výška vlny). Veličiny popisující vlnění (hodnoty budou pro jedno vlnění stejné pro všechna ísta ve všech okažicích): perioda axiální výchylka rychlost šíření vlnová délka Veličiny popisující ísto a čas, které ě zajíají (dosadí do rovnice, abych získal konkrétní údaje): čas poloha Zdroj bod B 0 x Každý bod kitá. y = y sin ωt - znáe, rovnice kitavého pohybu Zdroj: ( ) Bod B: kitá stejně jako zdroj, ale o něco později. Tento rozdíl označíe t sin ω ( t t ) t - přibylo, protože bod B je pozadu, chvíli trvá než se k něu vlnění dostane, na če závisí? rychlost šíření vlnění v vzdálenost bodu B od zdroje x x t =, dosadíe do rovnice pro B: sin ω ( t t ) v x π sin ω t v rozepíšee ω = T π x sin t T v t x sin π použijee λ = vt T Tv t 1

2 t x y = y sin π - rovnice postupného vlnění (udává okažitou výchylku v závislosti T λ na čase a poloze) Důležité: t, x - neznáé, za které dosazujee (v jaké okažiku a na které ístě, chcee znát výšku vlny) y, T, λ - paraetry, které jsou pro dané vlnění stále stejné Poznáka: Nái uvedená rovnice platí pro vlnění, které se šíří ve sěru osy x (od enších hodnot x ke větší). Pro vlnění opačného sěru je nutno zěnit znaénko před člene x λ sin π + ). T λ Pedagogická poznáka: Předchozí rozlišení neznáých a paraetrů je nutné studentů zdůraznit. Rozdílná role písenek v rovnici je jední z největších probléů při její pochopení. Př. 1: Vysvětli jaký je rozdíl ezi t a T v rovnici postupného vlnění sin π T λ. t čas, ve které chcee zjistit stav vlnění, volíe si ho dle libosti T perioda kitavého pohybu, který vlnění způsobuje. Je pro dané vlnění stále stejná. Jak fungují zloky v závorce? t = k Z (celé číslo) sin t π = sin π k = 0, právě když t = kt - zopakoval se T T určitý počet celých period (a proto začíná vlnění opět s počáteční fází) x = k Z (celé číslo) sin x π = sin π k = 0, právě když x = kλ - posunuli λ λ jse se o určitý počet celých vlnových délek (a proto vlnění kitá v naše bodě se stejnou fází jako v počátku) Př. : -1 Vlnky na vodní hladině se šíří rychlostí 0,1 s s periodou 0,6 sekundy. Napiš rovnici tohoto postupného vlnění, pokud axiální výška vlny dosahuje 3 c. Rovnice postupného vlnění: sin π T λ. Znáe: y = 3c = 0, 03, T = 0,6s. Musíe určit λ. λ = vt = 0,1 0,6 = 0,06. t x Dosadíe do rovnice sin π = 0, 03sin π T λ

3 t x Př. 3: Vlnění na vodní hladině je popsáno rovnicí y = 0,0sin π. a) Urči hodnoty y, T, λ, v. b) Nakresli výšku vodní hladiny v oblasti 0 15 c v čase t = 0s. Předpokládej, že v čase 0s jse začali ěřit, ale vlnění se po hladině šířilo již dříve. c) Urči v čase t = 0s výšku vodní hladiny v bodech x = 0;3;9;11;13. Získané hodnoty porovnej s výsledky bodu b). d) Nakresli výšku vodní hladiny v oblasti 0 15 c v čase t = 0, 5s. Předpokládej, že v čase 0s jse začali ěřit, ale vlnění se po hladině šířilo již dříve. e) Urči v čase t = 0, 5s výšku vodní hladiny v bodech x = 0;3;9;11;13. Získané hodnoty porovnej s výsledky bodu d). a) Urči hodnoty y, T, λ, v. Obecná rovnice: sin π T λ, naše rovnice 0,0sin t x y = π 0,6 0,1 srovnání získáe: y = 0,0 T = 0,6s λ = 0,1 λ 0, λ = vt v = = s = 0, s T 0,6 b) Nakresli výšku vodní hladiny v oblasti 0 15 c v čase t = 0s. Předpokládej, že v čase 0s jse začali ěřit, ale vlnění se po hladině šířilo již dříve. v čase t = 0s se bod v počátku nachází v na začátku sínusovky s nulovou výchylkou, stejnou fázi bude ít pohyb bodu, který se nachází o jednu vlnovou délku (0,1 ) dále vpravo ůžee nakreslit dvě sínusovky, které této podínce vyhovují y[c] x[c] vlnění se šíří vpravo, vyznačené body se pohybují sěre nahoru (jsou na začátku periody) správná je zelená křivka 3

4 y[c] x[c] c) Urči v čase t = 0s výšku vodní hladiny v bodech x = 0; 3; 9; 11; 13c. Získané hodnoty porovnej s výsledky bodu b). do rovnice vlnění dosazujee t = 0s a: t x 0 0 x = 0 : y = 0,0sin π 0,0sin π 0 = = t x 0 0,03 x = 0,03 : y = 0,0sin π 0,0sin π 0,0 = = t x 0 0,09 x = 0,09 : y = 0,0sin π 0,0sin π 0,0 = = t x 0 0,11 x = 0,11 : y = 0,0sin π 0,0sin π 0,0 = = t x 0 0,13 x = 0,13 : y = 0,0sin π 0,0sin π 0,0 = = Všechny získané hodnoty ůžee dokreslit do grafu z bodu b) y[c] x[c] d) Nakresli výšku vodní hladiny v oblasti 0 15 c v čase t = 0, 5s. Předpokládej, že v čase 0s jse začali ěřit, ale vlnění se po hladině šířilo již dříve. V čas t = 0, 5s uplyne od času t = 0s tři čtvrtě periody vlna se posunu doprava o tři čtvrtě vlnové délky v počátku se zrovna nachází iniu

5 y[c] x[c] e) Urči v čase t = 0, 5s výšku vodní hladiny v bodech x = 0;3;9;11;13. Získané hodnoty porovnej s výsledky bodu d). do rovnice vlnění dosazujee t = 0, 5s a: t x 0, 5 0 x = 0 : y = 0,0sin π 0,0sin π 0,0 = = t x 0,5 0,03 x = 0,03 : y = 0,0sin π 0,0sin π 0 = = t x 0,5 0,09 x = 0,09 : y = 0,0sin π 0,0sin π 0 = = t x 0, 5 0,11 x = 0,11 : y = 0,0sin π 0,0sin π 0,035 = = t x 0, 5 0,13 x = 0,13 : y = 0,0sin π 0,0sin π 0,035 = = Všechny získané hodnoty ůžee dokreslit do grafu z bodu d) y[c] x[c] t x Př. : Vlnění vodní hladiny je popsáno rovnicí y = 0,03sin π. a) urči výšku vlny v ístě zdroje vlnění v čase t = 1s b) urči výšku vlny v ístě vzdálené od zdroje 5,5 c v čase t = 1s. c) urči poloěr nejenší kružnice, kterou tvoří body kitající se stejnou fází jako zdroj vlnění a) urči výšku vlny v ístě zdroje vlnění v čase t = 1s 5

6 Do rovnice vlnění dosadíe t = 1s a x = 0 t x 1 0 y = 0,03sin π 0,03sin π 0,06 = = b) urči výšku vlny v ístě vzdálené od zdroje 5,5 c v čase t = 1s. Do rovnice vlnění dosadíe t = 1s a x = 0,055 t x 1 0, 055 y = 0,03sin π 0,03sin π 0,03 = = c) urči poloěr nejenší kružnice, kterou tvoří body kitající se stejnou fází jako zdroj vlnění Se stejnou fází kitají body, které jsou od sebe vzdáleny o celočíselný násobek vlnové délky hledaná kružnice á poloěr 6 c. Dodatek: Použitá rovnice nepopisuje vlnění vodní plochy ve všech sěrech. Popisuje výšku vln pouze na kladné poloose x. Na záporné poloose x se vlnění šíří opačný t x sěre (a je tedy popsáno rovnicí y = 0,03sin π ). V ostatních sěrech je rovnice složitější, protože výchylka záleží na druhé souřadnici. Shrnutí: Dosazování za čas a x-ovou souřadnici do rovnice sin π T λ ůžee zjistit okažitou výchylku vlnění v libovolné ístě a čase. 6