Pravděpodobnost a statistika; Opakování pro rozpoznávání
|
|
- Václav Veselý
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Pravděpodobnost a statistika; Opakování pro rozpoznávání Václav Hlaváč České vysoké učení technické v Praze Centrum strojového vnímání (přemosťuje skupiny z) Český institut informatiky, robotiky a kybernetiky Fakulta elektrotechnická, katedra kybernetiky hlavac@ciirc.cvut.cz Poděkování: T. Brox, V. Franc, R. Gutierrez-Osuna, M. Navara, M. Urban. Osnova přednášky: Pravděpodobnost statistika. Náhodné jevy. Sdružená, podmíněná pravděpodobnost. Bayesova věta. Distribuční funkce, hustota. Charakteristiky náhodných veličin.
2 Doporučené čtení 2/39 M. Navara: Pravděpodobnost a matematická statistika, skriptum FEL ČVUT, Vydavatelství ČVUT, Praha J. Novovičová: Pravděpodobnost a matematická statistika. Skriptum Fakulty dopravní ČVUT, Vydavatelství ČVUT, Praha A. Papoulis: Probability, Random Variables and Stochastic Processes, McGraw Hill, Edition 4,
3 Pravděpodobnost, motivační příklad 3/39 Los loterie se prodává za cenu 2 EUR. 1 los z 1000 vyhrává 1000 EUR, ostatní nic. (Tím je dána hodnota losu po losování.) Za kolik máme prodat los před losováním? Za 2 EUR by ho koupil jen hlupák. (Nebo ne?) 1 Hodnota losu před losováním je = 1 EUR = průměrná hodnota po losování. Na to je teorie pravděpodobnosti. Otázka Loterie : Proč se přesto kupují losy a loterie fungují?
4 Statistika, motivační příklad 4/39 Dosud jsme předpokládali, že parametry pravděpodobnostního modelu jsou známy. To je málokdy splněno. Příklad (Sportka): Na Sportce se normálně prodělává; jelikož jsou výhry stanoveny podle počtu výherců, je výhodnější sázet jinak než ostatní. K tomu potřebujeme vědět, podle jakého modelu sázejí ostatní. Příklad (ruleta): U rulety se obě strany zajímají, zda padají všechna čísla se stejnou pravděpodobností, přesněji, jak velké jsou odchylky od rovnoměrného rozdělení. Ale jak to zjistit a jaké je riziko chybných závěrů? Na to je statistika. Statistika poskytuje daleko víc: nástroj pro zkoumání světa, pro hledání a ověřování závislostí, které nejsou zjevné.
5 Pravděpodobnost, statistika Pravděpodobnost: Pravděpodobnostní popis = budoucí chování systému. je teorie (nástroj) pro účelné rozhodování v situacích, kdy výsledek náhodných jevů závisí na okolnostech, které známe jen částečně. Poskytuje model takových systémů a slouží jako nástroj pro kvantifikaci výsledků. Statistika: Chování systému = pravděpodobnostní popis. je nástroj pro hledání a ověřování pravděpodobnostního popisu reálných systém na základě jejich pozorování. Poskytuje daleko víc: Nástroj pro zkoumání světa, pro hledání a ověřování závislostí, které nejsou zjevné. Dva typy: Popisná nebo inferenční statistika. Sběr, organizace a analýza dat. Zobecňuje z omezených / konečných vzorků. Odhad parametrů, testování hypotéz, atd. 5/39
6 Náhodné jevy, pojmy 6/39 Náhodný pokus Prostor elementárních jevů je neprázdná množina Ω všech možných výsledků daného pokusu. Elementární jevy ω Ω jsou prvky prostoru elementárních jevů (výsledky pokusu). Jevové pole A je tvořeno systémem všech podmnožin prostoru elementárních jevů Ω. Náhodný jev A A je prvkem jevového pole. Poznámka: pojem náhodného jevu byl zaveden proto, aby bylo možné definovat pravděpodobnost, rozdělení pravděpodobnosti, atd.
7 Pravděpodobnost, zavedení 7/39 Klasická (P.S. Laplace, Dnes se již nepovažuje za definici pravděpodobnosti, ale metodu odhadu pravděpodobnosti) P (A) N A N Limitní (četnostní) P (A) = lim N N A N Axiomatická (Andreje Kolmogorova 1930) z histogram spojitá hustota pravděpodobnosti
8 Axiomatická definice pravděpodobnosti 8/39 Ω - prostor elementárních jevů A - jevové pole 1. P (A) 0, A A. 2. P (Ω) = Jestliže A B =, pak P (A B) = P (A) + P (B), A A, B B.
9 Pravděpodobnost 9/39 je funkce P, která jevům přiřazuje čísla z intervalu [0, 1] a splňuje podmínky (P1) P (true) = 1, ( ) (P2) P A n n N = n N P (A n ), pokud se jevy A n, n N, navzájem vylučují. Z těchto podmínek vyplývá: P (false) = 0 P ( A) = 1 P (A), jestliže A B, pak P (A) P (B). Poznámka: Pro korektnost je potřeba, aby systém jevů splňoval určité další podmínky.
10 Odvozené vztahy 10/39 Jestliže A B, pak P (B \ A) = P (B) P (A). Symbol \ označuje množinový rozdíl. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B).
11 Sdružená pravděpodobnost, marginalizace 11/39 Sdružená pravděpodobnost P (A, B), také někdy označovaná P (A B), je pravděpodobnost, že jevy A, B nastanou současně. Sdružená pravděpodobnost je symetrická: P (A, B) = P (B, A). Marginalizace (neformálně sčítací pravidlo): P (A) = P (A, B) umožňuje B vypočítat pravděpodobnost jevu A ze sdružené pravděpodobnosti P (A, B) jako P (A, B) přes všechny možné jevy B. Pravděpodobnosti P (A) se říká marginální pravděpodobnost.
12 Kontingenční tabulka, marginalizace Příklad závod v orientačním běhu 12/39 Orienteering competition example, participants Age <= >= 76 Sum Men Women Sum Orienteering competition example, frequency Age <= >= 76 Sum Men 0,061 0,100 0,125 0,092 0,081 0,058 0,033 0,006 0,556 Women 0,053 0,089 0,103 0,083 0,064 0,039 0,014 0,000 0,444 Sum 0,114 0,189 0,228 0,175 0,144 0,097 0,047 0, ,300 Marginal probability P(sex) 0,200 0,100 0, Marginal probability P(Age_group)
13 Podmíněná pravděpodobnost 13/39 Máme pravděpodobnostní popis systému. Dostaneme-li dodatečnou informaci, že nastal jev B, změní se naše znalost o pravděpodobnosti jevu A na P (A B) = P (A B), P (B) což je podmíněná pravděpodobnost jevu A za podmínky B. Je definována pouze pro P (B) 0.
14 Vlastnosti podmíněné pravděpodobnosti 14/39 P (true B) = 1, P (false B) = 0. Pokud A = A n a jevy A 1, A 2,... se navzájem vylučují, pak n N P (A B) = P (A n B). n N Jevy A, B jsou nezávislé, právě když P (A B) = P (A). Pokud B A, pak P (A B) = 1. Pokud B A, pak P (A B) = 0. Jevy Bi, i I, tvoří úplný systém jevů, jestliže se navzájem vylučují a B i = true. i I Úplný systém jevů má tu vlastnost, že nastane právě jeden z nich.
15 Příklad: podmíněná pravděpodobnost 15/39 Jeden hod kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne číslo > 3 (jev A) za podmínky, že padlo liché číslo (jev B). Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {4, 5, 6}, B = {1, 3, 5} P (A) = P (B) = 1 2 P (A, B) = P ({5}) = 1 6 P (A B) = P (A, B) P (B) = = 1 3
16 Sdružená a podmíněná pravděpodobnost, příklad 16/39 Courtesy T. Brox
17 Věta o úplné pravděpodobnosti 17/39 Nechť B i, i I, je úplný systém jevů a i I : P (B i ) 0. Pak pro každý jev A platí P (A) = i I P (B i ) P (A B i ). Důkaz: (( ) ) ( ) P (A) = P B i A = P (B i A) i I i I = P (B i A) = P (B i ) P (A B i ). i I i I
18 Bayesova věta (Thomas Bayes * ) Nechť B i, i I, je úplný systém jevů a i I : P (B i ) 0. 18/39 Pak pro každý jev A splňující P (A) 0 platí P (B i A) = P (B i ) P (A B i ) i I P (B i) P (A B i ), kde P (B i A) je aposteriorní pravděpodobnost; P (B i ) je apriorní pravděpodobnost a P (A B i ) jsou známé podmíněné pravděpodobnosti jevu A, když máme pozorování B i. Důkaz (s využitím věty o úplné pravděpodobnosti): P (B i A) = P (B i A) P (A) = P (B i ) P (A B i ) i I P (B i) P (A B i ).
19 Význam Bayesovy věty Bayesova věta je základním nástrojem strojového učení (rozpoznávání), protože dovoluje vypočítat pravděpodobnost jevu A při známých pozorováních B i. Podmíněné pravděpodobnosti P (A Bi) (někdy se jim říká věrohodnosti) se odhadují pomocí experimentů nebo ze statistického modelu. Když známe P (A Bi), můžeme určit aposteriorní pravděpodobnosti P (B i A), které slouží k optimálnímu odhadu, který jev z B i nastal. K výpočtu aposteriorní pravděpodobnosti P (Bi A) musíme znát apriorní pravděpodobnosti P (B i ). Neformálně: aposteriorní (apriorní podmíněné pravděpodobnosti) jevu při známých pozorováních. 19/39 Podobně definujeme podmíněné rozdělení náhodné veličiny, podmíněnou hustotu spojité náhodné veličiny apod.
20 ML and MAP 20/39 Bayes theorem from the slide 18 is copied here P (B i A) = P (B i) P (A B i ) i I P (B i) P (A B i ). The prior probability is the probability of P (Bi) without any evidence from observations (measurements). The likelihood (conditional probability of the event A under the condition B i ) evaluates a candidate output on the measurement. Seeking the output that maximizes the likelihood is known as the maximum likelihood (ML) approach. The posterior probability is the probability of Bi after taking the observation (measurement) into account. Its maximization leads to the maximum a-posteriori (MAP) approach.
21 Podmíněná nezávislost 21/39 Náhodné jevy A, B jsou podmíněně nezávislé za podmínky C, jestliže P (A B C) = P (A C) P (B C). Podobně definujeme podmíněnou nezávislost více jevů, náhodných veličin apod.
22 Nezávislé jevy Jevy A, B jsou nezávislé P (A B) = P (A) P (B). 22/39 Příklad Jeden hod kostkou. Jevy A > 3, jev B liché číslo. Jsou jevy nezávislé? Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {4, 5, 6}, B = {1, 3, 5} P (A) = P (B) = 1 2 P (A B) = P ({5}) = 1 6 P (A) P (B) = = 1 4 P (A B) P (A) P (B) jevy jsou závislé.
23 Náhodná veličina Náhodná veličina je libovolná funkce X : Ω R, kde Ω je prostor elementárních jevů. 23/39 Proč byl zaveden pojem náhodné veličiny? Dovoluje pracovat s pojmy jako distribuční funkce, hustota pravděpodobnosti, matematické očekávání (střední hodnota), atd.. Existují dva základní typy náhodných veličin: Diskrétní mají spočitatelně hodnot. Příklady: vrhací kostka, počet aut, které ulicí projela za hodinu. Diskrétní pravděpodobnost je dána P (X = a i ) = p(a i ), i = 1,..., i p(a i) = 1. Spojité hodnoty jsou z intervalu, tedy z nekonečného množství hodnot. Example: výška člověka. Spojitá pravděpodobnost je dána distribuční funkcí nebo hustotou pravděpodobnosti.
24 Distribuční funkce náhodné veličiny 24/39 Distribuční funkce náhodné veličiny X je funkce F : X [0, 1] je definovaná pomocí F (x) = P (X x), kde P je pravděpodobnost. Vlastnosti: 1. F (x) je neklesající funkce, tj. pro dvojici x 1 < x 2 platí F (x 1 ) F (x 2 ). 2. F (X) je zprava spojitá, tj. platí lim F (x + h) = F (x). h Pro každou distribuční funkci platí lim F (x) = 0 a x F (x) = 1. Zapsáno zkráceně: F ( ) = 0, F ( ) = 1. lim x Jestliže jsou možné hodnoty F (x) z intervalu (a, b), pak F (a) = 0, F (b) = 1. Každou funkci splňující předchozí tři vlastnosti můžeme pokládat za distribuční funkci.
25 Spojitá distribuční funkce a hustota Distribuční funkce F se nazývá absolutně spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f (hustota pravděpodobnosti) a platí 25/39 F (x) = x f(u) du pro každé x X. Hustota pravděpodobnosti splňuje f(x) dx = 1. f(x) Area = 1 x Existuje-li derivace F (x) v bodě x, potom F (x) = f(x). Pro a, b R, a < b platí P (a < X < b) = b a f(x) dx = F (b) F (a).
26 Příklad, normální rozdělení 26/39 F (x) f(x) = 1 2πσ 2 e x2 2σ 2 Distribuční funkce Hustota pravděpodobnosti
27 Příklad: rozdíl mezi pravděpodobností a hustotou pravděpodobnosti 27/39 Otázka 1: Jaká je pravděpodobnost, že změřená teplota je přesně 31.5 C? Odpověď 1: Tato pravděpodobnost je nula v limitě. Otázka 2: Jaká je pravděpodobnost, že měřená teplota je v intervalu mezi 30 C and 31 C? Odpověď 2: Tato pravděpodobnost je dána plochou pod hustotou pravděpodobnosti (také funkce hustoty pravděpodobnosti), což je zhruba 0,09 podle odhadu z obrázku výše.
28 Zákon velkých čísel 28/39 Zákon velkých čísel říká, že při velkém počtu nezávislých pokusů je možné téměř jistě očekávat, že relativní četnost se bude blížit teoretické hodnotě pravděpodobnosti. Jakob Bernoulli, Ars Conjectandi: Usum & Applicationem Praecedentis Doctrinae in Civilibus, Moralibus & Oeconomicis, 1713, Chapter 4.
29 Matematické očekávání, též střední hodnota 29/39 (Matematické) očekávání = průměrná hodnota pravděpodobnostního rozdělení. Spojitá definice: E(x) = µ = x f(x) dx. Diskrétní definice: E(x) = µ = x P (x). x Očekávání lze odhadnout z řady vzorků pomocí E(x) 1 N stane přesným, když N. Očekávání přes více proměnných: Ex(x, y) = Podmíněné očekávání: E(x y) = x f(x y) dx. (x, y) f(x) dx x i. Odhad se i
30 Základní charakteristiky náhodné veličiny 30/39 Spojité rozdělení Diskrétní rozdělení Matematické očekávání E(x) = µ = x f(x) dx E(x) = µ = x x P (x) k-tý obecný moment E(x k ) = x k f(x) dx E(x k ) = x x k P (x) k-tý centrální moment µ k = E(x)) (x k f(x) dx µ k = (x E(x)) k P (x) x Rozptyl, disperze, 2. centrální moment D(x) = µ x ) (x 2 f(x) dx D(x) = x 2 P (x) x Standardní odchylka σ(x) = D(x)
31 Centrální limitní věta (1) 31/39 Centrální limitní věta poskytuje pravděpodobnostní popis výběrových průměrů, které byly vytvořena z průměrů nekonečného počtu náhodně vybraných vzorků o velikosti N z rodičovské populace. Centrální limitní věta dovoluje předpovědět pravděpodobnostní charakteristiky nezávisle na rozdělení rodičovské populace. 1. Střední hodnota populace výběrových průměrů (tj. která vznikne z výběrových průměrů o N vzorcích náhodně vybíraných z rodičovské pouplace), se rovná střední hodnotě rodičovské populace. 2. Standardní odchylka populace výběrových průměrů se rovná standardní odchylce rodičovské populace dělené druhou odmocninou velikosti vzorků N. 3. Pravděpodobnostní rozdělení výběrových průměrů se bude blížit normálnímu (gausovskému) rozdělení s rostoucí velikostí N vybíraných vzorků.
32 Centrální limitní věta (2) 32/39 Důsledkem Centrální limitní věty je skutečnost, že po průměrování měření určité veličiny se pravděpodobnostní rozložení těchto průměru bude blížit normálnímu (gaussovskému) rozdělení. Uvažujme měřenou veličinu složenou z několika dalších nekorelovaných veličin, které jsou zatíženy šumem různých rozdělení. Pravděpodobnostní rozdělení složené veličiny se bude blížit k normálnímu rozdělení, když bude narůstat počet veličin tvořících složeninu. Důsledkem Centrální limitní věty je tudíž i častý výskyt normálního rozložení týkajících se měření.
33 Centrální limitní věta (3), applikační pohled 33/39 Pro aplikace je podstatné, že není potřebné generovat velké množství náhodných výběrů. Stačí pořídit jediný dosti velký náhodný výběr a díky centrální limitní větě víme, jaké je rozdělení výběrových průmerů, aniž je musíme generovat. Co lze považovat za dostatečně velký výber? Záleží na aplikaci. Ve statistice bývá považováno za dolní hranici pozorování. Vzpomeňte na vzorky kolem 1000 respondentů v odhadech volebních výsledku. Míra nejistoty hodnoty parametru populace (zde jsme mluvili jen o průměru) se vyjadřuje intervalem spolehlivosti. Viz učebnice statistiky.
34 Statistický princip filtrace šumu Uvažujme skoro nejjednodušší statistický model šumu v obraze. 34/39 Nechť je každý pixel obrazu zatížen náhodným aditivním šumem: statisticky nezávislým, s nulovou střední hodnotou µ, směrodatnou odchylkou σ. Mějme i realizací, i = 1,... n. Odhad správné hodnoty je g g n n + ν ν n n. Výsledkem je náhodná veličina s µ = 0 a σ = σ/ n. Předchozí úvaha má oporu v teorii pravděpodobnosti, a to ve velmi silné a obecné Centrální limitní větě.
35 Náhodné vektory 35/39 The concept random vector extends the random number concept. A (column) vector random variable X is a function that assigns a vector of random variables to each outcome in the sample space. Given the random vector X = (x1, x2,... xn), the probability distribution function and the probability density function are extended as the joint probability distribution function F X (x) = P X ((X 1 x 1 ) (X 2 x 2 )... (X n x n )) joint probability density function f X (x) = n F X (x) x 1 x 2... x n
36 Simpler characterizations of random vectors, mean vector, covariance matrix 36/39 We keep in mind that a random vector is fully characterized by its joint probability distribution function or its joint probability density function. Analogically as we did with random variables, it is practical to use simpler descriptive characteristics of random vectors as Mean (expectation) vector E(X) = (E(x 1 ), E(x 2 ),..., E(x n )) = µ = (µ 1, µ 2,..., µ n ) Covariance matrix Σ X (i, k) = cov(x) = E((X µ) (X µ) ) = σ c 1n c n1... σ 2 n
37 Kovarianční matice, vlastnosti The covariance matrix indicates the tendency of each pair of features (elements of the random vector) to vary together (co-vary). The covariance matrix has several important properties 37/39 The covariance matrix is symmetric (i.e. Σ = Σ ) and positive-semidefinite, which means that x Mx 0 for all x C. The notation x means a complex conjugate of x. If x i and x k tend to increase together then c ik > 0. If x i tends to decrease when x k increases then c ik < 0. If x i and x k are uncorrelated then c ik = 0. c ik σ 2 i, where σ i is the standard deviation of x i. c ii = σ 2 i = D(x i). The covariance terms can be expressed as cii = σ2i and cik = ρik σi σk, where ρ ik is called the correlation coefficient.
38 Prvky kovarianční matice, grafická ilustrace 38/39
39 Kvantily, medián 39/39 p-kvantil Qp Medián je p-kvantil pro p = 0, 5 P (X < Q p ) = p P (X < Q p ) = 0, 5 Poznámka: Medián se používá jako náhrada střední hodnoty v robustní statistice.
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceMgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.
Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman
VíceDobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze
Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VíceNáhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti
3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
VíceIntuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
Více1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat
1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
Vícen = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)
5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =
VíceInovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie
http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceNáhodné vektory a matice
Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane
VícePravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
VíceAVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších
AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model y i = β 0 + β 1 x i1 + + β k x ik + ε i (1) kde y i
VícePravděpodobnost, náhoda, kostky
Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností připomenutí, souvislosti
VíceLékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VíceIntervalové Odhady Parametrů
Parametrů Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze
VíceVybraná rozdělení náhodné veličiny
3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.
Více1 Rozptyl a kovariance
Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako
Více1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA
N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník
VíceSíla a významnost asociace mezi proměnnými v systému
Síla a významnost asociace mezi proměnnými v systému Program 1. Entropie jako míra neuspořádanosti. 2. Entropie jako míra informace. 3. Entropie na rozkladu množiny elementárních jevů. 4. Vlastnosti entropie.
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
Víceprof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií
prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bayesovské odhady
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bayesovské odhady Bayesovské odhady - úvod Klasický bayesovský přístup: Klasický přístup je založen na opakování pokusech sledujeme rekvenci nastoupení zvolených jevů Bayesovský
VíceStatistika II. Jiří Neubauer
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta
VíceVšechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a
Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)
VíceInferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů
Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že
VíceDiskrétní náhodná veličina. November 12, 2008
Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
VícePočet pravděpodobnosti
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 4 Počet pravděpodobnosti Je známo, že když muž použije jeden z okrajových pisoárů, sníží se pravděpodobnost, že bude pomočen o 50%. anonym Pravděpodobnost
VíceNáhodné chyby přímých měření
Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.
VíceNáhodný vektor a jeho charakteristiky
Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich
VíceChyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
VíceNÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení
NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým
Vícepravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
VíceNáhodné signály. Honza Černocký, ÚPGM
Náhodné signály Honza Černocký, ÚPGM Signály ve škole a v reálném světě Deterministické Rovnice Obrázek Algoritmus Kus kódu } Můžeme vypočítat Málo informace! Náhodné Nevíme přesně Pokaždé jiné Především
VíceObsah. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost. Pravděpodobnost. Děj pokus jev
Obsah Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Definice pojmů Náhodný jev Pravděpodobnost Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi;-) roman.biskup(at)email.cz
VícePojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.
6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami
VíceDefinice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
VíceNáhodné (statistické) chyby přímých měření
Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně
Vícesprávně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.
Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
VíceP13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Náhodné vektory Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 8 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 8) Náhodné vektory Pravděpodobnost a statistika
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základní pojmy diagnostiky a statistických metod vyhodnocení Učební text Ivan Jaksch Liberec 2012 Materiál vznikl
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VícePravděpodobnost a matematická statistika
Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
VíceMatematika I 2a Konečná pravděpodobnost
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už
VícePSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii přednáška 8. Statistické usuzování, odhady
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii přednáška 8 Statistické usuzování, odhady Výběr od deskripce k indukci Deskripce dat, odhad parametrů Usuzování = inference = indukce Počítá se s náhodným
VíceNáhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
VíceIII. Úplná pravděpodobnost. Nezávislé pokusy se dvěma výsledky. Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina
III Přednáška Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina Pravděpodobnost při existenci neslučitelných hypotéz Věta Mějme jev. Pokud H 1,H 2, : : :,H n tvoří úplnou skupinu
Vícepopulace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom chtěli vypovídat letní semestr Definice subjektech.
Populace a Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom
VíceRozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce
Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
Víceoddělení Inteligentní Datové Analýzy (IDA)
Vytěžování dat Filip Železný Katedra počítačů oddělení Inteligentní Datové Analýzy (IDA) 22. září 2014 Filip Železný (ČVUT) Vytěžování dat 22. září 2014 1 / 25 Odhad rozdělení Úloha: Vstup: data D = {
VíceStochastické signály (opáčko)
Stochastické signály (opáčko) Stochastický signál nemůžeme popsat rovnicí, ale pomocí sady parametrů. Hodit se bude statistika a pravděpodobnost (umíte). Tohle je jen miniminiminiopáčko, později probereme
VíceMinikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
VíceLimitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VícePravděpodobnost, náhoda, kostky
Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké
VícePraktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková
Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo
VíceJAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová
JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž
VíceROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceOdhady Parametrů Lineární Regrese
Odhady Parametrů Lineární Regrese Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké
VíceNeparametrické odhady hustoty pravděpodobnosti
Neparametrické odhady hustoty pravděpodobnosti Václav Hlaváč Elektrotechnická fakulta ČVUT Katedra kybernetiky Centrum strojového vnímání 121 35 Praha 2, Karlovo nám. 13 hlavac@fel.cvut.cz Statistické
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
VíceTEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
Více2. Základní typy dat Spojitá a kategoriální data Základní popisné statistiky Frekvenční tabulky Grafický popis dat
2. Základní typy dat Spojitá a kategoriální data Základní popisné statistiky Frekvenční tabulky Grafický popis dat Anotace Realitu můžeme popisovat různými typy dat, každý z nich se specifickými vlastnostmi,
VíceRestaurace (obnovení) obrazu při známé degradaci
Restaurace (obnovení) obrazu při známé degradaci Václav Hlaváč České vysoké učení technické v Praze Centrum strojového vnímání (přemosťuje skupiny z) Český institut informatiky, robotiky a kybernetiky
VíceMe neˇ nezˇ minimum ze statistiky Michaela S ˇ edova KPMS MFF UK Principy medicı ny zalozˇene na du kazech a za klady veˇdecke prˇı pravy 1 / 33
1 / 33 Méně než minimum ze statistiky Michaela Šedová KPMS MFF UK Principy medicíny založené na důkazech a základy vědecké přípravy Příklad Studie syndromu náhodného úmrtí dětí. Dvě skupiny: Děti, které
Více