VEKTOROVÝ PROSTOR. Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru.

Transkript

1 VEKTOROVÝ PROSTOR Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru. Soubor n-složkových vektorů je libovolná skupina vektorů, kde rozlišujeme pořadí a vektory se mohou opakovat. S: v₁,v₂,, v k Prázdný soubor O soubor, který neobsahuje žádný vektor

2 LINEÁRNÍ KOMBINACE VEKTORŮ Ve vektorovém prostor V n je dán soubor vektorů S: v₁,v₂,, v k a reálná čísla c 1, c 2,, c k Vektor v = c 1 v₁ + c 2 v c k v k nazveme lineární kombinací souboru S (vektorů v₁,v₂,, v k ) s koeficienty c 1, c 2,, c k Jsou-li všechny koeficienty rovny nule, nazýváme lineární kombinaci triviální dostaneme nulový vektor Je-li alespoň jeden koeficient nenulový, nazýváme lineární kombinaci netriviální

3 Př.1. Máme vektory v 1 = (1,-1,2,0), v 2 = (4,2,0,-2), v 3 = (0,3,2,1). Ukázka triviální lineární kombinace vektorů je: 0 (1,-1,2,0) + 0 (4,2,0,-2) + 0 (0,3,2,1) = (0,0,0,0) = o Ukázka netriviální lineární kombinace vektorů je: 2 (1,-1,2,0) + 0 (4,2,0,-2) + (-1) (0,3,2,1) = = (2,-2,4,0) + (0,0,0,0) + (0,-3,-2,-1) = (2,-5,2,-1) = v Vektor v = (2,-5,2,-1) vznikl netriviální lineární kombinací vektorů v 1 = (1,-1,2,0), v 2 = (4,2,0,-2), v 3 = (0,3,2,1) s koeficienty 2, 0 a -1.

4 LINEÁRNÍ OBAL SOUBORU Lineární obal souboru S je množina všech možných lineárních kombinací. Značíme S. Př.2. Máme vektory v 1 = (1,0), v 2 = (0,1) y 2 Budeme-li vytvářet všechny možné lineární kombinace, dostaneme celou rovinu 1 v 2 S = R 2 O v 1 x

5 ZÁVISLÝ či NEZÁVISLÝ SOUBOR Soubor S nazýváme nezávislým, jestliže nulový vektor lze získat pouze triviální lineární kombinací. V nezávislém souboru není žádný vektor kombinací ostatních. Soubor S nazýváme závislým, jestliže nulový vektor lze získat nějakou netriviální lineární kombinací. V závislém souboru je některý vektor kombinací ostatních.

6 HODNOST SOUBORU Hodností souboru S nazýváme velikost maximálního nezávislého podsouboru, který lze ze souboru vybrat a značíme ji h(s). Jestliže je soubor S složen z k vektorů, pak 0 h(s) k. Hodností matice A nazýváme hodnost souboru všech jejích řádkových vektorů. Vektor v patří do lineárního obalu souboru S (je lineárně závislý), právě když nezvyšuje jeho hodnost. Hodnost matice se zjišťuje její úpravou do Gaussova tvaru.

7 GAUSSŮV TVAR Matice má Gaussův tvar, jestliže: Neobsahuje nulový řádek Každý další řádek má více levých nul Je-li matice A v Gaussově tvaru, pak h(a) je rovna počtu jejích řádků. Každou nenulovou matici lze ekvivalentními úpravami převést na Gaussův tvar. Platí: h(a) = h(a T )

8 Př.3. Rozhodněte, která z následujících matic je v Gaussově tvaru: A = Matice A není v Gaussově tvaru obsahuje nulový řádek B = Matice B je v Gaussově tvaru první řádek nemá levou nulu, druhý řádek má jednu levou nulu, tj. více C = D = Matice C není v Gaussově tvaru první řádek má jednu levou nulu, druhý řádek také, tzn. nemá více Matice D je v Gaussově tvaru první řádek má jednu levou nulu, druhý řádek má dvě levé nuly, tj. více

9 EKVIVALENTNÍ ÚPRAVY MATICE Můžeme změnit pořadí řádků, násobit řádek libovolným nenulovým číslem (tedy i dělit), přičíst/odečíst k libovolnému řádku lineární kombinaci ostatních řádků, vyškrtnout nulový řádek Ekvivalentní úpravy nemění hodnost souboru (matice). Vzniklý soubor je ekvivalentní s původním, zapisujeme: A ~ B

10 STRATEGIE PRO ÚPRAVU NENULOVÉ MATICE NA GAUSSŮV TVAR 1. Najdeme první nenulový sloupec a výměnou řádků dosáhneme toho, aby a 1j = 1 (klíčová jednička) 2. Pomocí ekvivalentních úprav dosáhneme toho, aby všechny prvky pod klíčovou jedničkou se změnily na nuly 3. Odstraníme nulové řádky 4. Kroky aplikujeme opakovaně na zbytek matice

11 Př.4. Upravte zadanou matici na Gaussův tvar. A = ~ / (-2) / (-4) ~ ~ / (-3) ~ / 2 ~ h(a) = 3