Základy teorie plasticity

Transkript

1 Kapitola 1 Základy teorie plasticity 1.1 Úvod V předešlých kapitolách jsme se zabývali případy, kdy se zatížené těleso po odlehčení vrátí do své původní(nezatížené) polohy nezmění své původní rozměry ani tvar. Říkáme, že všechny deformace byly pružné. Závislost mezi napětím a deformacemi mohla být lineární či nelineární, ale vždy byla vratná, viz obrázek 1.1 a 1.. Probíhá-li však odσ Obrázek 1.1: Elastický lineární materiál ε σ Obrázek 1.: Elastický nelineární materiál lehčování po jiné čáře nežli zatěžování, zůstanou v tělese i po odlehčení jisté deformace, které nazýváme trvalé nebo také zbytkové či plastické, viz obrázek 1.3. Z experimentálních pokusů vyplývá, že u mnoha materiálů(zejména materiálů konstrukčních) probíhá odlehčování po přímce CD(viz obr. 1.3), která je rovnoběžná s počáteční lineární částí AB pracovního diagramu. ε 1

2 σ ε e C B A ε p D ε ε e ε Obrázek 1.3: Plastické chování materiálu Zobrázkujevidět,žecelkovádeformace εvnapjatémstavujerovnasoučtudeformacetrvalé(plastické,zbytkové) ε p adeformacepružné ε e,jejížvelikostjerovna velikosti deformace, která by v tělese vznikla, kdyby si materiál zachoval pružné vlastnosti až do uvažovaného stavu napjatosti. Platí tedy ε = ε p +ε e. Plastická čili zbytková deformace je tak v případě jednoosé napjatosti dána rozdílem celkové(skutečné) deformace a deformace, která by v tělese vznikla, pokud by chování v průběhu celého zatěžování bylo pružné(elastické) ε p = ε ε e. (1.1) Podobné pravidlo platí i pro posuvy, jak je zřejmé násobením vztahu(1.1) délkou či pro napětí. Obecně můžeme vyslovit větu: Zbytková napětí(deformace, posuvy), která vzniknou v tělese v odlehčeném stavu, lze určit jako rozdíl hodnot výsledných(skutečná hodnota v daném napjatém stavu) a hodnot stanovených za předpokladu, že si těleso zachovalo pružné vlastnosti v celém průběhu zatěžování při zatížení stejnými účinky. 1. Pracovní diagram Závislost mezi deformacemi a napětím je známa z experimentálních pokusů provedených na daném materiálu. Aby bylo možné provádět matematické formulace a operace, je obvykle výhodné schematizovat pracovní diagram. Schematizujeme buď diagram celý, nebo alespoň jeho počáteční část. Nejčastěji se schematizace provádí mocninnou závislostí ε = Kσ m. Konstanty K a m je nutno určit na základě výsledků pokusů. Jinou obvyklou schematizacípracovníhodiagramujelomenáčára,vizobrázek1.4.pokudje σ (ε ε k ), platí E = σ ε, kde Ejemodulpružnostivtahu.Pro σ (ε ε k )lzepsát Ē = σ ε ε k,

3 σ ε k ε Obrázek 1.4: Lomená schematizace pracovního diagramu přičemž Ēsenazývámodulzpevnění.Proměkkéhouževnatéocelije Ē = 0, viz obrázek 1.5. v tomto případě hovoříme o ideální plasticitě. σ ε k ε Obrázek 1.5: Ideálně plastický materiál 1.3 Přímé pruty a prutové soustavy namáhané tahem Uvažujme staticky namáhanou prutovou soustavu z obrázku 1.6. Soustava sestává z prutů stejného průřezu A, materiál prutů má pracovní diagram dle obrázku 1.5. B C 1 3 D α α A F Obrázek 1.6: Prutová soustava namáhaná tahem V minulých kapitolách jsme zavedli pojem součinitele bezpečnosti jako poměr dvou napětí, například meze kluzu a skutečného napětí. Nyní tento pojem zaveďme nově jako 3

4 poměrzatížení F k,někdyznačenéhojako F mez,azatíženídovoleného F dov.takmáme k = F k F dov. Pokud je zatížení naší konstrukce(obr. 1.6) dostatečně malé, můžeme při analýze postupovat, jak bylo popsáno v předchozích kapitolách věnovaných pružným deformacím. Tak, například užitím Castiglianovy věty, máme N 1 = N = F cos α 1+cos 3 α (1.) a F N 3 = 1+cos 3 α. (1.3) Tytovztahyplatípouzetehdy,je-linamáhánívšechprutůmenšínežlimezkluzu.Ze všech tří prutů je nejvíce namáhán prut třetí. Ten tedy jako první zplastizuje nastane rovnost σ =.Tentoprutpakpřenášísílu N 3 = A. Větší sílu již přenést nedokáže. Tento vztah poprvé nastane při zatížení silou jak plyne ze vztahu(1.3). F = A(1+cos 3 α), Prosílu F > A(1+cos 3 α)jižvztahy(1.)a(1.3)neplatí,jakjevidětzrovnice rovnováhy styčníku prvků na obrázku 1.7: N 1 A N = N 1 (symetrie) α α F Obrázek 1.7: Rovnováha styčníku prvků atedy N 1 cosα+ A F = 0 N 1 = F A cosα. (1.4) Mezní stav(hroucení konstrukce) nastane tehdy, když také napětí v prutu 1 a dosáhne meze kluzu σ 1 = N 1 A =. Odtud a z(1.4) plyne síla, kterou je jako největší možno danou soustavou přenést: F k = F mez = A(1+cosα). 4

5 Příklad 1.1: Uvažujme sloupek kruhového průřezu o průměru d na obou koncích pevně upevněný dleobrázkup-1.1.materiálsloupkujeideálněplastickýsmezíkluzu.určemesílu l 3l B d C F A Obrázek P-1.1: Sloupek F = F mez = F k,kterázpůsobídosaženímezníhostavusloupku(úplněplastickýstav). Dále určíme zbytková napětí a zbytkové deformace po úplném odlehčení ze stavu těsně předdosaženímsíly F k. R B l d 3l F R A Obrázek P-1.: Sloupek uvolnění Řešení začneme elastickým výpočtem. Sloupek uvolníme, jak je znázorněno na obrázku P-1., a napíšeme rovnice rovnováhy R B F +R A = 0. (P-1.a) Vidíme, že neznámé jsou dvě, zatímco rovnici rovnováhy máme jen jednu. Úloha je tedy jedenkrát staticky neurčitá. Rovnici rovnováhy(p-1.a) musíme doplnit deformační podmínkou, která říká, že prodloužení sloupku je nulové: l = 0, l BC + l AC = 0, R B l EA + (R B F) 3l = 0, EA 5R B = 3F. (P-1.b) Takdostávámesoustavudvourovnic(P-1.a)a(P-1.b)prodvěneznámé R A a R B, kterou rozřešíme R B = 3F 5, 5

6 R A = F 5 a vyjádříme vnitřní síly a napětí N BC = R B = 3F 5, N AC = R B F = F 5, σ BC = N BC A = 3F 5A, σ AC = N AC A = F 5A, kde A = πd 4.Průběhzměnyvelikostinapětívzávislostinasíleznázorněmediagramem naobrázkup-1.3.uvedenévýrazyplatítakdlouho,nežlibuď σ BC,či σ AC dosáhne σ σ BC σ BC zb = σ AC zb σ AC F e F mez F Obrázek P-1.3: Sloupek závislost σ F mezekluzu(± ).Jakoprvnímezekluzudosáhnenapětí σ BC : σ BC =, a 3F e 5 A = F e = 5 3 A, kdesíla F e jenejvětšísíla,přinížjechováníkonstrukceještěelastické.přizatížení silou F > F e nastávástavelasto-plastický,uvolněnýsloupekjezatížentak,jakukazuje obrázek P-1.4 a rovnice rovnováhy má tvar A F +R A. (P-1.c) 6

7 A l d 3l F R A ObrázekP-1.4:Sloupek uvolněnívelastoplastickémstavu(f e F F mez ) Reakce R A mátedyvelikost R A = F A, vnitřní síla anapětí N AC = R A = A F σ AC = F A, σ BC =. Průběhnapětípro F F e znázornímevdiagramunaobrázkup-1.3.meznísíla F mez (síla při níž se konstrukce hroutí) nastane, je-li σ AC =, tedy a = F mez A F mez = A Zbytková napětí Při odlehčování se materiál chová tak, jak se chová v elastickém stavu, tj. odlehčování probíhá po rovnoběžkách s průběhem elastické fáze zatěžování, viz obrázek P-1.3. Pak můžeme hodnotu zbytkových napětí odečíst z grafu. Totéž lze vyjádřit vztahem σ zb = σ ep σ fel, kde σ ep jenapětívelasto-plastickémčičistěplastickémstavuaσ fel jefiktivnínapětí vypočtené dle vztahů platných v elastické oblasti při zatížení účinky vyvolávajícími 7

8 plastický stav, tedy za předpokladu, že by si materiál zachoval v celém rozsahu zatěžování elastické vlastnosti. Tak σzb BC = 3 F mez 5 ( σzb AC = 5 A = 3 5 A A = 1 5, ) F mez + A A 5 A = 1 5. Vidíme také, že sloupek po odlehčení je(a vždy musí být) v samorovnovážném stavu σ BC zb A = σac zb A Zbytkové posuvy sloupku Sledujme posuv řezu C. v elastickém stavu platí δ C = N BCl EA = 6 Fl 5EA (1.5) či δ C = N AC3l EA = 6 Fl 5EA. V elasto-plastickém stavu je ve zplastizované části deformace nekontrolovatelná. V elastické části(úsek AC) však platí elastický vztah Zbytková deformace kde a podle(1.5) Tedy(porovnej s obrázkem 1.8) δ C = N AC3l EA = (F A) 3l. EA δ C zb = δc skuten δc fel, δ C skuten = (F mez A) 3l EA δfel C = 6 F mez l 5 EA = 1 5 δzb C = 3 l 5 E. = 3l E l E. Označíme-limaximálnípřípustnousílu F D,paksoučinitelbezpečnostiodpovídající mezní únosnosti určíme poměrem k = F mez F D. Zvolíme-li bezpečnost vzhledem k meznímu stavu únosnosti, například k =, pak bude F provozni F D = F mez k = F mez = A = A F el a provozní napětí splňující zvolenou bezpečnost tedy nevyvolá žádné plastické deformace(nedojde k porušení elastického stavu). 8

9 δ δ zb F e Fmez F Obrázek 1.8: Sloupek závislost δ F 1.4 Ohyb při ideální plasticitě Uvažujeme-li nosník obdélníkového průřezu(viz 1.9) namáhaný prostým rovinným ohybem, zhotovený z materiálu ideálně plastického s chováním shodným v tahu i tlaku. Označme M oel hodnotuvnitřníhoohybovéhomomentuvyvolanéhonapětím,graficky h z + + a a h + b a) b) y Obrázek 1.9: Ohyb znázorněném na obrázku 1.9 a), kde je v krajním vláknu právě dosaženo meze kluzu při lineárním rozložení napětí. Jak víme z předchozích kapitol M oel = W o = 1 6 bh. (1.6) Průřez však může přenášet ještě větší vnitřní ohybový moment, jak je naznačeno průběhem napětí 1.9 b). Tento stav napjatosti označujeme jako pružně-plastický. Střední oblastovýšce ajenamáhánaelasticky,vnětétooblastisenacházíoblastivestavu plastickém. Ohybový moment je dán součtem ohybových momentů vnitřních sil pružné oblasti a vnitřních sil oblasti plastické odkud M oep = 1 6 ba + h a bydy M oep = 1 1 b(3h a ). (1.7) 9

10 Pro čistě plastický stav je průběh napětí znázorněn na obrázku 1.9 zcela vpravo. Středníelastickázónazdezcelamizí(a = 0)aproohybovýmomentplynezposledního vztahu M opl = 1 4 bh. (1.8) Konec pružné napjatosti a počátek napjatosti pružně-plastické je dán hodnotou M oel.čistěplastickýstavjedosaženpři M opl.porovnánímvýrazů(1.6)a(1.8)plyne M opl M oel = 3. Analogicky ke vztahu(1.6) bývá zvykem psát výraz(1.8) též ve tvaru M opl = W opl. Hodnota W opl,zvanámodulprůřezu,vplasticitězávisí(takjakopoměr M opl M oel )natvaru průřezu. Pro vybrané průřezy jsou tyto charakteristiky shrnuty v tabulce 1.1. Tabulka 1.1: Průřezové charakteristiky v plasticitě b a a d h Průřez bh W opl 4 d3 6 a3 6 M opl M oel 1,5 16 3π Zbytková napětí Pokudpozatíženínosníkumomentem M oep (M oel,m opl )nosníkodlehčíme,určíme průběhy zbytkových napětí tak, že od průběhu napětí z obrázku 1.9 odečteme lineární průběh napětí, které by odpovídalo příslušnému zatěžujícímu momentu za předpokladu platnostielastickýchvlastností.napříkladvpřípadězatíženímomentem M opl bychom měli σ max = M opl 1 6 bh = a průběhy napětí jsou patrny z obrázku bh 1 6 bh = Příklad Určetevelikostmeznísíly F mez,kterázpůsobímeznístavnosníkuzobrazenéhonaobrázku 1.11 s průřezem tvaru obdélníku. Pokud nás zajímá pouze mezní síla(nezajímá nás zbytkové napětí), není nutno provádět elastický výpočet. Vystačíme, například, s následující metodou, která vychází z rovnosti virtuální práce vnějších a vnitřních sil v okamžiku vzniku plastického mechanismu(okamžiku dosažení mezní síly) viz obrázek 1.1. Plastický kloub vzniká v místech největšího vnitřního momentu. Místo, kde vznikne plastický kloub, je nutné 10

11 3 h z b y Obrázek 1.10: Zbytková napětí při ohybu F 3 l 1 3 l b h Obrázek 1.11: Ohýbaný nosník odhadnout na základě zkušenosti s elastickou analýzou nosníku či užitím jisté optimalizační metody. Pokud nejsme schopni tato místa s jistým stupněm jistoty určit, nezbývá, nežli provést kompletní elastický výpočet. Obecně platí, že lokální extrém ohybového momentu bývá v místech vetknutí a v místech působení izolovaných sil. Práce vnějších α F mez β u Obrázek 1.1: Plastický mechanismus sil a práce vnitřních sil W int = F mez u W ext = M opl α+m opl β, kde vzhledem k uvažování nekonečně malých posuvů a α = u 3 l β = u 1 3 l 11

12 a plastický moment Tedy ameznísíla M opl = A e = bh h σ bh k = 4. F mez u = M opl α+m opl β, ( ) bh F mez u = u 4 3 l + u 1 3 l F mez = bh Je-li možných plastických mechanismů větší počet, pak mezní účinek je ten minimální ze všech možných případů. l Příklad U nosníku z obrázku 1.13 určete tvar hranice pružné a plastické oblasti pro spojité zatížení q el q q mez.uvažujteideálněplastickýmateriál.průběhohybovéhomomentu, q(x) x b h 1 l 1 l y Obrázek 1.13: Spojitě obtížený nosník při uvažování zvoleného souřadného systému, je ( (l M o (x) = q ) ) x. Maximální ohybový moment je uprostřed nosníku(x = 0) a má velikost M omax = ql 8. Elastické vztahy přestávají platit pro moment M oel = bh 6. Tento ohybový moment odpovídá zatížení o velikosti q el = 8M oel l = 4 bh 3 l. (1.9) 1

13 Vztah velikosti vnitřního ohybového momentu v elasto-plastické oblasti a rozměru elastické zóny a je dán vztahem(1.7) Z posledních dvou vztahů dostáváme ( (l ) ) q x M oep = 1 1 b(3h a ). = 1 1 bh ) (3 a h. Užitím rovnosti(1.9) můžeme poslední vztah dále upravit do tvaru l 4 x ( 1 3 ) q el q a h ( q q el 3 ) = 1. Závislost výšky elastické zóny a je pak znázorněna na obrázku Podmínky plasticity při víceosé napjatosti V případě jednoosé napjatosti je odpověď na otázku, kdy začnou vznikat plastické deformace, jednoduchá. Je to v okamžiku, kdy napětí dosáhne hodnoty meze kluzu. V případě víceosé napjatosti se počátek plastického stavu určuje dle podmínky plasticity.těchtopodmínekjecelářadaališísedlenávrhurůznýchautorů.myse zmíníme o dvou základních podmínkách plasticity Podmínka Saint-Vénantova Podmínka Saint-Vénantova(známá také pod názvem Trescova nebo Maximálního smykového napětí) určuje počátek plastického stavu splněním rovnice σ max σ min =, kde σ max jemaximálníhlavnínapětíaσ min minimálníhlavnínapětí Podmínka Huber-Hencky-Misesova(HMH) Podmínka Huber-Hencky-Misesova bývá také nazývána Energetická podmínka či Podmínka intenzity napětí. Dle ní při počátku plastického stavu platí σ i =, kdeintenzitanapětí σ i jedánavýrazem σ i = (σ1 σ ) +(σ σ 3 ) +(σ 3 σ 1 ). Můžemepoznamenat,žehodnota σ i jeúměrnáměrnépotenciálníenergiispotřebované na změnu tvaru. 13

14 Vzájemný rozdíl Saint-Vénantovy podmínky a podmínky energetické je maximálně 16%. Při rozvitých plastických deformacích dosahuje Poissonovo číslo hodnoty ν = 0,5. Podle teorie malých pružně-plastických deformací platí mezi hlavními deformacemi a hlavními napětími vztahy ε 1 = ε ( i σ 1 1 ) σ i (σ +σ 3 ), a ε = ε ( i σ 1 ) σ i (σ 3 +σ 1 ) ε 3 = ε ( i σ 3 1 ) σ i (σ 1 +σ ), kde ε i = (ε1 ε ) 3 +(ε ε 3 ) +(ε 3 ε 1 ) představuje intenzitu deformací. 1.6 Krut prutu kruhového průřezu Na základě znalostí spojených s elastickou analýzou krutem namáhaných přímých prutů kruhového průřezu a při užití Saint-Vénantovy podmínky plasticity můžeme určit maximální kroutící moment přenášený stále ještě elasticky namáhaným průřezem jako(viz obrázek 1.14) M kel = W k τ max = πd3 16 = π r3, (1.10) kde djeprůměrkroucenétyčearjejejípoloměr.roste-likroutícímomentnadtuto d τ k M kel Obrázek 1.14: Krut elastický hodnotu, napjatost přejde v pružně-plastickou. V mezikruhové části průřezu o vnitřním poloměru ϱ(vizobrázek1.15)mápaknapětívelikost τ k =.Vestřední(pružné) oblasti je rozdělení smykových napětí lineární, a proto platí r M kep = π(ϱ)3 τ k + πξ τ k dξ, 16 ϱ tedy M kep = 3 πτ k ) (r 3 ϱ

15 r ϱ τ k M kep Obrázek 1.15: Krut elasto-plastický Při čistě plastickém stavu pružná oblast vymizí(ϱ = 0) a kroutící moment nabude mezní hodnoty Porovnáním výrazů(1.10) a(1.11) plyne M kpl = 3 πr3 τ k. (1.11) M kpl M kel = 4 3. Tento poměr se někdy nazývá součinitel přizpůsobení. Určení zbytkových napětí po odlehčení z pružně-plastického či čistě plastického stavu je analogické případům ohybu či tahu. 1.7 Plastická napjatost silnostěnné nádoby Vyšetřmerozdělenínapětíahodnotuvnitřníhopřetlaku p 1 > p přičistéplastické napjatosti silnostěnné nádoby zhotovené z ideálně plastického materiálu(obrázek 1.16). Pro rovnováhu elementu zde platí rovnice rovnováhy sestavená v kapitole věnované r p 1 p r 1 x elasticky namáhané silnostěnné nádobě Obrázek 1.16: Silnostěnná nádoba σ r σ t +xσ r = 0. (1.1) Vsilnostěnnénádoběnamáhanévnitřnímpřetlakemjevždy σ t > σ r.vpřípadědostatečnědlouhétrubky,atedynulovéosovédeformaci ε o = 0,platí ε o = ε ( i σ o 1 ) σ i (σ r +σ t ) = 0, 15

16 tedy aproto Tak Saint-Vénantova podmínka má tvar σ o = 1 (σ r +σ t ), (1.13) σ t > σ o > σ r. σ t σ r =. Dosadíme-lihodnotu σ o z(1.13)doenergeticképodmínkyplasticity,máme ( σ i = σt σ ) t +σ r +( σ r σ ) t +σ r +(σ r σ t ) = a 1 (σ t σ r ) +1 =, tedy σ t σ r =. = 1,155σk. 3 Obě podmínky plasticity lze tedy v naší úloze vyjádřit jedinou rovnicí kde α = 1,nebo α = 1,155. σ t σ r = α, (1.14) Při čistě plastickém stavu je podmínka(1.14) splněna v celém průřezu trubky. Po dosazení do rovnice(1.1) máme odkud integrací obdržíme α = x dσ r dx, α lnx+c = σ r. Okrajové podmínky pro vnitřní a vnější poloměr jsou x = r 1 : σ r = p 1, Zprvníznich atedy x = r : σ r = p. C = p 1 α lnr 1 σ r = p 1 +α ln x r 1. (1.15) Zdruhépak p = p 1 +α ln r r 1, odkud plyne vztah pro přetlak plně plastizující danou nádobu p 1 p = α ln r r 1. (1.16) 16

17 Z rovnic(1.14) a(1.15) dostáváme výraz pro výpočet tečného napětí ( σ t = p 1 +α 1+ln x ). (1.17) r 1 Grafické znázornění průběhů právě vyjádřených napětí je na obrázku x r p σ r σ t p 1 σ r 1 x Obrázek 1.17: Silnostěnná nádoba 1.8 Silnostěnná nádoba v pružně-plastickém stavu Silnostěnná nádoba je nejvíce namáhána od svého vnitřního poloměru. Nádoba tak začneplastizovatzevnitř.označímejako r 3 vnějšípoloměrplastickéoblasti,tedyivnitřní poloměr oblasti elastické(obrázek 1.18). Jak víme z kapitoly zabývající se elastickým r p 1 p r 1 r 3 Obrázek 1.18: Silnostěnná nádoba namáhánímsilnostěnnýchnádob,velastickéčástiplatí,přioznačení p 3 = σ r3, p 3 p = σ ( ) k 1 r 3 r. V plastické části pak dle(1.16) p 1 p 3 = ln r 3 r 1. 17

18 Sečtením posledních dvou vztahů dostáváme p 1 p = ( ln r 3 r 1 +1 r 3 r ). 1.9 Rotující kotouč stálé tloušťky v čistě plastickém stavu Podle kapitoly zabývající se elastickou analýzou rotujících kotoučů máme rovnici rovnováhy elementu (xσ r ) σ t +ϱω x = 0. (1.18) V případě rotujícího kotouče platí pro hodnoty hlavních napětí σ t σ r σ o = 0. Saint-Vénantova podmínka plasticity má proto tvar čili Z(1.18) tedy Pro volný kotouč a Pak σ t σ o = σ t =. xσ r = x ϱω 3 x3 +C. σ r1 = 0 : r 1 ϱω 3 r3 1 +C = 0 σ r = 1 x C = ϱω 3 r3 1 r 1. ) ( (x r 1 ) ϱω 3 (x3 r1 3 ). Použijeme-li druhou okrajovou podmínku dostáváme úhlovou rychlost ω, pro kterou nastává plná plastizace celého kotouče: σ r = 0 : 1 r ( (r r 1 ) ϱω 3 ( r 3 r1 3 ) ) = 0, tedy Průběh radiálního napětí je pak 3 ω = ϱ(r +r 1 +r 1r ). σ r = x r 1 x ( 1 x +xr 1 +r1 ) r +r 1r +r1. 18

19 Obsah 1 Základy teorie plasticity Úvod Pracovnídiagram Příméprutyaprutovésoustavynamáhanétahem Zbytkovánapětí Zbytkovéposuvysloupku Ohybpřiideálníplasticitě Zbytkovánapětí Příklad Příklad Podmínkyplasticitypřivíceosénapjatosti PodmínkaSaint-Vénantova PodmínkaHuber-Hencky-Misesova(HMH) Krutprutukruhovéhoprůřezu Plastickánapjatostsilnostěnnénádoby Silnostěnnánádobavpružně-plastickémstavu Rotujícíkotoučstálétloušťkyvčistěplastickémstavu