9.7 TŘÍDĚNÍ PODLE JEDNOHO SPOJITÉHO ČÍSELNÉHO ZNAKU. INTERVALOVÉ ROZDĚLENÍ ČETNOSTI

Transkript

1 Statistické třídění, intervalové rozdělení četnosti Aleš Drobník strana TŘÍDĚNÍ PODLE JEDNOHO SPOJITÉHO ČÍSELNÉHO ZNAKU. INTERVALOVÉ ROZDĚLENÍ ČETNOSTI Problematiku třídění podle jednoho spojitého číselného znaku si vysvětlíme na následujícím příkladu. Předpokládejme, že pracovník podniku Alfa Blatná, který spravuje podnikovou databázi, exportoval do tabulkového procesoru všechny pracovníky podniku s některými sledovanými atributy (vlastnostmi), které jsou vypsané v tabulce 9.1. Tuto tabulku budeme používat i pro tento příklad. Tabulka 9.1: Zaměstnanci malé organizace Alfa Blatná k Číslo pracovníka Příjmení Pohlaví Titul Stav Počet vyživovaných dětí Pracovní kategorie Hrubá měsíční mzda za červen Zbývá dní dovolené 1 Adam Dělník Bartoš Dělník Beneš Dělník Berka Provozní Bláha 1 Ing. 2 2 Technický Bohuš Dělník Bouše Dělník Boušová Hospodářský Bůbal Dělník Bureš Technický Burešová Provozní

2 Statistické třídění, intervalové rozdělení četnosti Aleš Drobník strana 2 12 Burgerová Dělník Černá Dělník Daněk Dělník Dlask Dělník Dobeš Dělník Drobník 1 RNDr. Bc. 2 2 Hospodářský Erb Dělník Fichtner Dělník Gál Hospodářský Gott Dělník Havel Hospodářský Házová Dělník Hejral Technický Hrubín Dělník Hubač Dělník Hupová Provozní Hus 1 JUDr. 2 3 Hospodářský Janda Dělník Janků Dělník Janků Provozní Jarý Dělník Jiřinec Dělník Jonáš Dělník Kobosil Hospodářský Korousová Dělník Kos Dělník Koucký Dělník Kulíšek Dělník Lahodný Dělník Lahodová Dělník Líbenková 2 Mgr. 2 0 Hospodářský Lín Dělník

3 Statistické třídění, intervalové rozdělení četnosti Aleš Drobník strana 3 44 Linka 1 Doc. 2 2 Hospodářský Líný 1 Mgr. 2 1 Technický Mahel Dělník Masaryk Dělník Mocová Dělník Moravec Technický Nezval Dělník Nohavica Technický Novák Dělník Novák Dělník Nováková Dělník Ondráš Dělník Prádler Hospodářský Rus Technický Svoboda Technický Tatar Technický Tomšů Technický Celkem x x x 106 x x Vysvětlivky: Pohlaví Kód muž 1 žena 2 Stav Kód svobodný/á 1 vdaná/ženatý 2 vdova/vdovec 3 rozvedený/á 4

4 Statistické třídění, intervalové rozdělení četnosti Aleš Drobník strana 4 Příklad 9.4: a) Z tabulky 9.1 vhodné skupinové tabulky roztřídíme soubor pracovníků dle třídícího číselného znaku hrubá měsíční mzda na přiměřený počet tříd neboli intervalů mezd. Pak doplníme procento pracovníků s daným intervalem mezd. Dále vytvoříme graficky histogram rozdělení četnosti pracovníků podle intervalů mezd. Jde o tzv. intervalové (skupinové) rozdělení četnosti. b) Do skupinové tabulky doplníme kumulativní četnost. Tzn. počet pracovníků, kteří mají první interval mezd, první až druhý interval mezd, první až třetí interval mezd atd. Dále vytvoříme graf kumulativní četnosti pracovníků v závislosti na postupně se zvyšujícím intervalu mezd. c) Do skupinové tabulky doplníme poměrné zastoupení pro kumulativní četnosti. d) Uvedeme slovní popis pro první, druhý a třetí řádek tabulky. Řešení: Ad a) Z tabulky 9.1 vhodné skupinové tabulky roztřídíme soubor pracovníků dle třídícího číselného znaku hrubá měsíční mzda na přiměřený počet tříd neboli intervalů mezd. Pak doplníme procento pracovníků s daným intervalem mezd. Dále vytvoříme graficky histogram rozdělení četnosti pracovníků podle intervalů mezd. Jde o tzv. intervalové (skupinové) rozdělení četnosti. Ad b) Do skupinové tabulky doplníme kumulativní četnost. Tzn. počet pracovníků, kteří mají první interval mezd, první až druhý interval mezd, první až třetí interval mezd atd. Dále vytvoříme graf kumulativní četnosti pracovníků v závislosti na postupně se zvyšujícím intervalu mezd. U spojitého číselného znaku neznáme počet tříd. i) Jednak nevíme, od jaké minimální do jaké maximální hrubé měsíční mzdy se budeme pohybovat. Proto musíme ve sloupci Hrubá měsíční mzda tabulky 9.1 nejprve zjistit minimum a maximum. Minimum a maximum zjistíme z tabulky 9.1 buď ručně, anebo výpočtem v MS Excel. Pohledem vidíme, že v tab. 9.1 je nejmenší mzda Kč a nejvyšší Kč. Při výpočtu v MS Excel jde o funkci MIN a MAX: =MIN(oblast) =MAX(oblast) kde oblast je oblast buněk v tabulce 9.1 ve sloupci Hrubá měsíční mzda.

5 Statistické třídění, intervalové rozdělení četnosti Aleš Drobník strana 5 ii) Dalším problémem je, že statistický znak pracovníka hrubá měsíční mzda lze považovat za spojitý nebo částečně spojitý. (Mzdu lze vyplácet na účet pracovníka s přesností na setiny Kč.) Proto musíme třídit rozpětí znaku, u nás mezd, od minimální po maximální mzdu na několik intervalů mezd. Pravidla pro tvorbu intervalů spojitého znaku Pro tvorbu intervalů spojitého znaku platí několik základních pravidel a doporučení: Intervaly mohou být stejně dlouhé. I když nutně to není třeba. Všechny intervaly musejí pokrýt variační rozpětí znaku, tj. u nás mezd, od minima po maximum. Je doporučeno, aby interval byl polouzavřený, tj. aby jedna mez každého intervalu byla otevřená a druhá mez každého intervalu uzavřená, aby hodnota krajního znaku (meze intervalu) jednoznačně patřila do právě jednoho intervalu. Jinými slovy, aby hodnota znaku nebyla započítána dvakrát nebo ani jednou. Počet intervalů k může být podle potřeby libovolný, je doporučeno, aby byl mezi 4 až 20. Ale je zřejmé, že čím větší je počet statistických jednotek souboru n, tím více intervalů k může být. Pro počet intervalů k je doporučený jeden z následujících vzorců. První je Sturgessovo pravidlo, druhý Yuleho vzorec. Oba vedou k přibližně stejnému výsledku, stačí pracovat jen s jedním z nich: k 1 3,322.log( n) 4 k 2,5. n V našem příkladě máme n = 60 pracovníků. Podle Sturgessova pravidla je počet intervalů mezd: k 1 3,322.log(60) 6,91 Vzorec v Excelu vypadá následovně: = 1 + 3,322*LOG(60) Podle Yuleho vzorce je počet intervalů mezd: k 2, ,96 Vzorec v Excelu vypadá následovně:

6 Statistické třídění, intervalové rozdělení četnosti Aleš Drobník strana 6 = 2,5*(60)^(1/4) Vidíme, že oba vzorce vedou k téměř stejnému výsledku. Počet intervalů musí být přirozené číslo. Zvolíme počet intervalů k = 7. Délka intervalu d se přibližně stanoví jako podíl variačního rozpětí R a počtu intervalů k. Variační rozpětí R je rozdíl mezi maximální a minimální mzdou: R X max X min Variační rozpětí je u nás: R Kč Kč Kč Délka intervalu d je: d X max X k min R k V našem příkladě je délka intervalu: Kč Kč d Kč 7 Je doporučeno kvůli přehlednosti budoucí tabulky rozumně zaokrouhlit délku intervalu: Například zaokrouhlit nahoru na pětistovky na číslo Kč. Počet intervalů zůstane k = 7. Nebo zaokrouhlit dolů na tisíce na číslo Kč, pak ale musíme počet intervalů zvýšit třeba na k = 8. Zvolíme první možnost, zaokrouhlení nahoru na pětistovky na číslo Kč. Počet intervalů zůstane k = 7. Zkontrolujeme si, jaké rozpětí mezd pokryjeme tímto zaokrouhleným intervalem Kč při počtu intervalů k = 7: d Kč Kč Vidíme, že variační rozpětí R = Kč je překročeno o Kč = Kč Kč. Proto lze začít mzdu například o Kč níže, než je minimum, tj. od = Kč. A lze mzdu zakončit o 500 Kč nad maximem, maximální mzdou tj. do = Kč. První interval bude Kč až Kč a tyto meze zvyšujeme o Kč. Další interval bude Kč až Kč, další Kč až Kč atd., jak vidíme v tabulce 9.5.

7 Statistické třídění, intervalové rozdělení četnosti Aleš Drobník strana 7 V tabulce 9.5 vytvoříme legendu Interval mezd, kdy dolní mez volíme uzavřenou a horní mez volíme otevřenou. V tabulce 9.5 vytvoříme hlavičku Počet pracovníků, a to absolutně, v %, kumulativně a kumulativně v %. Zařazení pracovníků podle mezd řešíme buď ručně nad tabulkou 9.1, anebo využitím MS Excel. Při využití MS Excel je tabulku nejvýhodnější vyplňovat od sloupce Počet pracovníků kumulativně, kam do prvního řádku napíšeme: =COUNTIF(oblast;"<13500") kde oblast je sloupec buněk v tabulce 9.1, kde se nalézá sloupec Hrubá měsíční mzda za červen a "<13500" znamená, že v oblasti sloupce hledáme počet mezd nižších než Kč. Například: =COUNTIF(H$24:H$83;"<13500") Výsledkem je číslo 4. Takže jsou 4 pracovníci, kteří mají mzdu pod Kč. Protože minimální vyplacená mzda je Kč, zjistíme tím, že v intervalu Kč až Kč jsou mzdy 4 pracovníků. Proto do prvního řádku tabulky 9.5 napíšeme číslo 4 jak do sloupce Počet pracovníků absolutně i Počet pracovníků kumulativně. Do sloupce Počet pracovníků kumulativně do druhého řádku napíšeme: kde =COUNTIF(oblast;"<18000") oblast je sloupec buněk v tabulce 9.1, kde se nalézá sloupec Hrubá měsíční mzda za červen a "<18 000" znamená, že v oblasti sloupce hledáme počet mezd nižších než Kč. Výsledek je 21. Takže je 21 pracovníků, kteří mají hrubou mzdu pod Kč. Protože mzdu pod Kč mají 4 pracovníci, pokud tyto vyloučíme, zjistíme tím zároveň, že v intervalu Kč až Kč jsou mzdy 21 4 = 17 pracovníků. Proto do sloupce Počet pracovníků kumulativně napíšeme 21 a do sloupce Počet pracovníků absolutně napíšeme 17. Do sloupce "Počet pracovníků kumulativně" do třetího řádku napíšeme:

8 Statistické třídění, intervalové rozdělení četnosti Aleš Drobník strana 8 kde =COUNTIF(oblast;"<22500") oblast je sloupec buněk v tabulce 9.1, kde se nalézá sloupec Hrubá měsíční mzda za červen a "<22 500" znamená, že v oblasti sloupce hledáme počet mezd nižších než Kč. Výsledek je 42. Takže je 42 pracovníků, kteří mají mzdu pod Kč. Protože mzdu pod Kč má 21 pracovníků, zjistíme tím zároveň, že v intervalu Kč až Kč jsou mzdy = 21 pracovníků Proto do sloupce Počet pracovníků kumulativně napíšeme 42 a do sloupce Počet pracovníků absolutně napíšeme 21. Takto vyplníme celou tabulku. Dále již může laskavý čtenář postupovat sám. Legendu uzavřeme řádkem Celkem. V řádku Celkem ve sloupci Počet pracovníků absolutně sečteme pracovníky s různým počtem dětí. Výsledek musí být 60, což je počet pracovníků. Ve sloupci Počet pracovníků v % jde o známá poměrná čísla struktury. Spočítáme je jednoduše podle příkladu 9.1. V řádku Celkem ve sloupci Počet pracovníků kumulativně a Počet pracovníků kumulativně v % dáme symbol x, neboť hodnota v tomto řádku nemá smysl. Tabulka vypadá takto: Tab. 9.5: Třídění pracovníků firmy Alfa Blatná podle mzdy za červen 2012 Interval mezd Počet pracovníků dolní mez uzavřená horní mez otevřená absolutně v % kumulativně kumulativně v % ,7 4 6, , , , , , , , , , , , ,0 Celkem x x

9 Statistické třídění, intervalové rozdělení četnosti Aleš Drobník strana 9 Histogram absolutní četnosti vytvoříme sloupcovým grafem ze sloupce Počet pracovníků absolutně. Na ose x budou hodnoty z legendy tabulky 9.5, kde je dolní mez uzavřená a horní mez otevřená. Z grafu vidíme, že počet pracovníků narůstá s výší mzdy až do intervalu mezd Kč až Kč. Nejvyšší počet pracovníků má mzdu Kč až Kč s tím, že do intervalu dolní mez Kč patří a horní mez Kč nepatří. Od intervalu Kč až Kč počet pracovníků klesá. Tzn., že nejčetnější jsou střední mzdy. Intervaly nižších i vyšších mezd má již menší počet pracovníků. S tím souvisí obálka grafu, která připomíná tvarem horu nebo zvon. Jedná se o asymetrickou Gaussovu křivku. Histogram relativní četnosti vytvoříme sloupcovým grafem ze sloupce Počet pracovníků v %. Na ose x budou hodnoty z legendy tabulky 9.5, kde je dolní mez uzavřená a horní mez otevřená. Histogram rozdělení relativní četnosti pracovníků v závislosti na mzdě je v grafu 9.6. Tvar grafu s relativní četností je stejný, jako u grafu s absolutní četností. Jen místo počtů pracovníků je procentuální zastoupení pracovníků.

10 Statistické třídění, intervalové rozdělení četnosti Aleš Drobník strana 10 Graf kumulativní četnosti pracovníků v závislosti na mzdě vytvoříme sloupcovým grafem ze sloupce tabulky 9.5 Počet pracovníků kumulativně. Z grafu 9.7 vidíme, že relativní počet pracovníků, kteří mají mzdu od intervalu Kč až Kč s rozšiřujícím se intervalem narůstá nejprve rychleji, pak pomaleji k hodnotě 60, kdy mzdu Kč až Kč má všech 60 pracovníků.

11 Statistické třídění, intervalové rozdělení četnosti Aleš Drobník strana 11 Ad c) Do skupinové tabulky doplníme poměrné zastoupení pro kumulativní četnosti. Počítáme, kolik procent jsou 4 pracovníci, kteří mají mzdu od Kč do Kč, ze 60, vyjde 6,7 %, kolik procent je 21 pracovníků, kteří mají mzdu Kč do Kč, ze 60, vyjde 35 %, ostatní výpočty si provede čtenář sám a jsou v tabulce 9.5. Graf relativní kumulativní četnosti pracovníků v závislosti na mzdě vytvoříme sloupcovým grafem ze sloupce tabulky 9.5 Počet pracovníků kumulativně v %. Tvar grafu 9.8 s relativní kumulativní četností je stejný, jako u grafu s kumulativní četností. Jen místo počtů pracovníků je procentuální zastoupení pracovníků. Ad d) Uvedeme slovní popis pro první, druhý a třetí řádek tabulky. Slovní popis pro první řádek tabulky: Mzdu od 9000 Kč včetně do Kč mají 4 pracovníci z 60, což je 6,7 % pracovníků. Slovní popis pro druhý řádek tabulky: Mzdu od Kč včetně do Kč má 17 pracovníků z 60, což je 28,3 % pracovníků. Mzdu od Kč včetně do Kč má 21 pracovníků z 60, což je 35 % pracovníků.

12 Statistické třídění, intervalové rozdělení četnosti Aleš Drobník strana 12 Slovní popis pro třetí řádek tabulky: Mzdu od Kč včetně do Kč má 21 pracovníků z 60, což je 35 % pracovníků. Mzdu od Kč včetně do Kč má 42 pracovníků z 60, což je 70 % pracovníků. Úkol 9.4: a) Z tabulky 9.1 vhodné skupinové tabulky roztřídíme soubor pracovníků dle třídícího číselného znaku hrubá měsíční mzda na přiměřený počet tříd neboli intervalů mezd. Pak doplníme procento pracovníků s daným intervalem mezd. Dále vytvoříme graficky histogram rozdělení četnosti pracovníků podle intervalů mezd. Jde o tzv. intervalové rozdělení četnosti. Počet intervalů volíme pro změnu k = 8. b) Do skupinové tabulky doplníme kumulativní četnost. Tzn. počet pracovníků, kteří mají první interval mezd, první až druhý interval mezd, první až třetí interval mezd atd. Dále vytvoříme graf kumulativní četnosti pracovníků v závislosti na postupně se zvyšujícím intervalu mezd. c) Do skupinové tabulky doplníme poměrné zastoupení pro kumulativní četnosti. d) Uvedeme slovní popis pro první, druhý a třetí řádek tabulky. PŘÍKLADY V EXCELU Praktické provedení třídění v MS Excel je v příkladech: 22TrideniDleJednohoCiselnehoZnakuSpojitehoNeresene.xlsx zde je neřešený příklad. 22TrideniDleJednohoCiselnehoZnakuSpojitehoResene.xlsx zde je ten samý příklad řešený. 22TrideniDleJednohoCiselnehoZnakuSpojitehoUkol.xlsx zde je nový neřešený příklad. OPAKOVACÍ OTÁZKY 1. Jak postupujeme při třídění podle jednoho číselného znaku spojitého? 2. Jaká jsou pravidla pro stanovení intervalového rozdělení četnosti. 3. Vysvětlete pojem histogram rozdělení (absolutní) četnosti? Čeho se týká, s čím souvisí? Jak souvisí s Gaussovou křivkou? 4. Vysvětlete pojem histogram rozdělení relativní četnosti? Čeho se týká, s čím souvisí?