Povídání ke 3. podzimní sérii

Povídání ke 3. podzimní sérii Třetí série je věnována kružnicím. Každý ví, jak taková kružnice vypadá je to množina bodů se stejnou vzdáleností r od nějakého středu S. Kružnice však mají i další vlastnosti, které už zdaleka tak zřejmé být nemusí. Všechny dále uvedené věty smíš v řešeních používat bez důkazu. Věta. (Kružnice trojúhelníku vepsaná) Střed kružnice trojúhelníku vepsané leží v průsečíku os úhlůpřijehovrcholech.propoloměrtétokružniceplatí r= 2S,kde Sjeobsahtrojúhelníka a+b+c a a, b, cdélkyjehostran. Věta. (Kružnice trojúhelníku opsaná) Střed kružnice trojúhelníku opsané leží v průsečíku os jehostran.propoloměrtétokružniceplatí R= abc 4S. I S O kružnicích lze vyslovit i další zajímavá tvrzení, z nichž ta nejdůležitější si zde bez důkazu uvedeme. Pokud tě geometrie zajímá, můžeš další informace najít (krom chytrých knížek,jakojsoutřebatyzediceškolamladýchmatematiků)vnašemwebovémarchivuaknihovničce se staršími matematickými texty na http://mks.mff.cuni.cz/archive/archive.php a http://mks.mff.cuni.cz/library/library.php. Věta. (Oobvodovémastředovémúhlu)Nechť kjekružnicesestředem Sa jejítětiva.pak velikost úhlu O se nemění, probíhá-li O některý z oblouků kružnice k určených tětivou. Navícje O = 1 S,kdeúhlem Srozumímevnějšíúhelvečtyřúhelníku OS. 2 Poznámka. Z předchozí věty plyne, že stejně dlouhým tětivám odpovídají stejně velké obvodové úhly. Platí dokonce i opačná implikace: Pokud jsou úhly příslušné dvěma tětivám téže kružnice stejně velké, jsou tyto tětivy stejně dlouhé. Věta. (Mocnostbodukekružnici)Nechť kjekružnicesestředem Sa Mbod.Nechťpřímka p procházíbodem Maprotíná kvbodech a.pakčíslo M M nezávisínavolběpřímky p ajerovnohodnotě m2 r 2,kde m= MS arjepoloměr k.číslo m 2 r 2 senazývámocnost bodu Mkekružnici k.speciálněpokud MležívněkružniceaMTjetečnake ksbodemdotyku T,pakjemocnostrovnaihodnotě MT 2. S O S M T

Definice. Čtyřúhelníku D budeme říkat tětivový, pokud body,,, D leží všechny na společné kružnici. Tětivové čtyřúhelníky mají mnoho zajímavých vlastností, z nichž aspoň tři si zformulujeme: (i) Úhel svíraný jednou stranou a úhlopříčkou je rovný úhlu svíranému protilehlou stranou a druhou úhlopříčkou. (ii) Součet úhlů při protilehlých vrcholech je 180 stupňů. (iii) Proprůsečík Mpřímek a D(pokudexistuje)platí M M = M MD. Přitom libovolná z těchto podmínek stačí na to, aby čtyřúhelník už tětivový být musel. α α α 180 α

3. podzimní série Téma: Kružnice Datumodeslání: º ÔÖÓ Ò ¾¼½¼ ½º ÐÓ Ó Ýµ To takhle Pepa jednou nad průměrem nakreslil červenou půlkružnici. Pak přišel Šavlík, průměr rozdělilna5stejnýchdílůanadkaždýmznichnakreslilpůlkružnicimodrou.oje teď delší červená čára, nebo všechny modré dohromady? ¾º ÐÓ Ó Ýµ Mišo tvrdí Monče, že čtyři shodné šedé útvary z následujícího obrázku lze rozřezat na několik částí tak, aby jejich přeskládáním vznikl jeden velký čtverec. Monča tomu ale ani za mák nevěří. Přesvědčteji,žetoskutečněmožnéje. 1 º ÐÓ Ó Ýµ Kdesi uvnitř obdélníka D s průsečíkem úhlopříček O je dán bod P. Kružnice opsané trojúhelníkům P a DP se podruhé protnou v bodě Q. Podobně kružnice opsané trojúhelníkům Pa DPsepodruhéprotnouvbodě S.Ukažte,žekdyžještěoznačíme Robrazbodu Pve středové souměrnosti podle O, bude čtyřúhelník P QRS obdélníkem. º ÐÓ Ó µ Nakružniciopsanéostroúhlémutrojúhelníku označíme Šstředkratšíhooblouku.Dále naleznemebod P takový,že ŠP =,anavícjetrojúhelník ŠP rovnoramennýse základnou P.Dokažte,žepřímka P jekolmánaosuúhlu PŠ. º ÐÓ Ó µ Vojta sestrojil konvexní čtyřúhelník KEY a nad každou jeho stranou jeden kruh, který měl tuto stranu za průměr. Ukažte, že tyto kruhy pokrývají celý čtyřúhelník KEY. º ÐÓ Ó µ Je dán rovnoramenný trojúhelník se základnou. Na jeho ramenech, zvolíme po řaděbody X, Y tak,abyplatilo X = Y.Dokažte,žekružniceopsanátrojúhelníku XY prochází středem kružnice opsané trojúhelníku. 1 Výslednýčtverecnesmímítdíry,všechnyčástisemusípoužítažádnédvěsenesmípřekrývat.

º ÐÓ Ó µ V ostroúhlém trojúhelníku ( = ) označme písmeny D, E paty kolmic vedených zbodů, naosuúhluuvrcholu.označmedále Mstředstrany a 0 patuvýškyzbodu nastranu.ukažte,žebody D, E, Ma 0 ležínajednékružnici. º ÐÓ Ó µ Uvnitřkružnice mjsoudánykružnice k, l,kterémajísmvnitřnídotykvbodech K,resp. L asamyseprotínajívbodech,.označme X libovolnýprůsečíkpřímky akružnice m. Přímka XK protne kružnici k podruhé v bodě U. Obdobně přímka XL protne podruhé kružnici lvbodě V.Dokažte,žepřímka UV jespolečnoutečnoukružnic k, l.

Řešení 3. podzimní série 1. úloha To takhle Pepa jednou nad průměrem nakreslil červenou půlkružnici. Pak přišel Šavlík, průměr rozdělilna5stejnýchdílůanadkaždýmznichnakreslilpůlkružnicimodrou.oje teď delší červená čára, nebo všechny modré dohromady? (Pepa Tkadlec) Označme si r = /2 poloměr červené půlkružnice. Její délka je potom l 2πr c= 2 = π. 2 Délkajednémodrépůlkružniceje2πr /2,kde r = r/5= /10.Modrýchpůlkružnicjepět, celková délka modré čáry se rovná l m=5 2πr 2 =5 π 10 = π. 2 Obě čáry jsou tedy stejně dlouhé. 2. úloha Mišo tvrdí Monče, že čtyři shodné šedé útvary z následujícího obrázku lze rozřezat na několik částí tak, aby jejich přeskládáním vznikl jeden velký čtverec. Monča tomu ale ani za mák nevěří. Přesvědčteji,žetoskutečněmožnéje. 2 (Monča Pospíšilová& Miško Szabados) Způsobů, jak šedé oblasti přeskládat do čtverce, je mnoho. Jeden z nejjednodušších je znázorněn na obrázku. Tmavě šedé kruhové úseče vně čtverce vyplní bílé kruhové úseče uvnitř čtverce. 2 Výslednýčtverecnesmímítdíry,všechnyčástisemusípoužítažádnédvěsenesmípřekrývat.

3. úloha Kdesi uvnitř obdélníka D s průsečíkem úhlopříček O je dán bod P. Kružnice opsané trojúhelníkům P a DP se podruhé protnou v bodě Q. Podobně kružnice opsané trojúhelníkům Pa DPsepodruhéprotnouvbodě S.Ukažte,žekdyžještěoznačíme Robrazbodu Pve středové souměrnosti podle O, bude čtyřúhelník P QRS obdélníkem. (Miško Szabados) Označmeporade k D, k kružniceopísanétrojuholníkom DP a P.Stredkružnice opísanejležínaosáchstrántrojuholníka,takžestred k D,resp. k ležínaosiúsečky D,resp..Keďže Djeobdĺžnik,tietoosisplývajúvjednu,označmeju o 1. Samotné kružnice sú tiež osovo symetrické podľa tejto osi. Preto aj ich priesečník S je osovo symetrický s druhým priesečníkom P. nalogicky dokážeme osovú symetriu Q a P podľa spoločnejosi o 2 strán a D. k D k D S R D S R P O o 1 Q P O o 1 Q o 2 Osi o 1 a o 2 prechádzajúbodom O asúnasebakolmé.úsečky PS a PQsúzasekolmé nane,takžetiežzvierajúuhol SPQ = 90.Ďalejzozadaniavieme,žeúsečky OP a OR ležia na priamke a sú rovnako dlhé, takže spolu s použitím dokázaných symetrií dostávame OR = OP = OS = OQ.Pretrojuholníky PQRa PSRtedamôžemepoužiťTálesovu vetuazisťujeme,žesúpravouhlénadpriemerom PR.Týmpádommá PQRStripravéuhlya preto je to obdĺžnik. 4. úloha Nakružniciopsanéostroúhlémutrojúhelníku označíme Šstředkratšíhooblouku.Dále

naleznemebod P takový,že ŠP =,anavícjetrojúhelník ŠP rovnoramennýse základnou P.Dokažte,žepřímka P jekolmánaosuúhlu PŠ. (VojtaMiloš) γ P γ Š Vzhledem k tomu, že trojúhelník ŠP je rovnoramenný se základnou P, platí Š = = PŠ.Jelikož Šjestředemoblouku,jerovněž Š = Š,atedynutněi Š = PŠ, nebolitrojúhelník ŠPjerovnoramennýsezákladnou P.Nyníužjendopočítámeúhlyvobou trojúhelnících. Označme = ŠP =γ.pakzrovnoramennostitrojúhelníka ŠPplyne ŠP = = PŠ = 1 2 (180 ŠP )=90 γ.vtětivovémčtyřúhelníku Š je Š = 2 =180 γ,tedy ŠP = Š ŠP =180 2γ.Úhlypřizákladněrovnoramenného trojúhelníka ŠP pakmajívelikost PŠ = ŠP = 1 2 (180 ŠP )=γ. Platí ŠP 2 + ŠP = γ 2 + `90 γ 2 =90,neboliosaúhlu ŠPjekolmánapřímku P,cožjsmemělidokázat. Nazávěrpatříomluvaznašístrany.Zadánítotižnevylučujeještědruhoupolohubodu P,a tovněkružniceopsanétrojúhelníku.pakbysicebody, Ša P leželynajednépřímce (dokažte si!), ale i přímý úhel má svoji osu, takže takový bod P podmínky úlohy skutečně splňuje. Tvrzení úlohy pro něj ale neplatí. 5. úloha Vojta sestrojil konvexní čtyřúhelník KEY a nad každou jeho stranou jeden kruh, který měl tuto stranu za průměr. Ukažte, že tyto kruhy pokrývají celý čtyřúhelník KEY. (Pepa Tkadlec) První řešení:

Y Y K E E Zvrcholů E, Y veďmekolmicenaúhlopříčku K.Jejichpatyoznačmepostupně E, Y. PodleThaletovyvětyležíbod E nakružnicíchsprůměry KEa Eabod Y nakružnicích sprůměry Y a Y K.Trojúhelníky KEE, EE, Y Y, Y Y K jsoudíkytomupříslušnými kruhy zcela pokryty. elý čtyřúhelník KEY je tvořen těmito čtyřmi trojúhelníky(ne nutně všemi a ne nutně celými), a je tedy zcela pokryt kruhy nad jednotlivými stranami. Druhé řešení: Y X K E

Pro spor předpokládejme, že existuje bod X, který leží mimo všechny čtyři kruhy, ale uvnitř čtyřúhelníka KEY. Pokud leží vně kruhu nad průměrem KE, pak platí KXE < 90. Podobněplatí EX <90, XY <90 a Y XK <90.Jelikožjebod X vnitřním bodem konvexního čtyřúhelníka, dostáváme 360 = KXE + EX + XY + Y XK <4 90 =360, což je kýžený spor. Každý bod čtyřúhelníka KEY je tedy pokryt alespoň jedním z kruhů. 6. úloha Je dán rovnoramenný trojúhelník se základnou. Na jeho ramenech, zvolíme po řaděbody X, Y tak,abyplatilo X = Y.Dokažte,žekružniceopsanátrojúhelníku XY prochází středem kružnice opsané trojúhelníku. (Honza ílek) Označme Ostředkružniceopsanétrojúhelníku.Ukážeme,že XO + Y O =180, tedyžečtyřúhelník XOY jetětivový,cožznamenápřesněto,že Oležínakružniciopsané trojúhelníku XY. První řešení(obr. 1): Z rovnoramenností trojúhelníků O a plyne O = O = O. Trojúhelníky OXa OY jsoutakshodnépodlevětysus( X = Y zezadání, O = O a OX = OY ),tudíž XO = Y O.Odtudužvidíme,že XO + Y O = =180. Y Y S b S a X O X O obr. 1 obr. 2 Druhéřešení(obr.2): Označme S a,resp. S b středstrany,resp..splynou-libody X, Y sestředy S b, S a,pakje XOY jistětětivový,neboť S b O + S ao =90 +90 =180.

Předpokládejme dále, že X neleží ve středu strany. ez újmy na obecnosti X < < 1 2.Trojúhelníky OS bxa OS ay jsoushodnépodlevětysus( S b O = S ao zesymetrie, S b X = 1 2 X = 1 2 Y = SaY a XS bo = Y S ao = 90 ). Proto S b XO = S ay O,atedy XO + Y O =180. 7. úloha V ostroúhlém trojúhelníku ( = ) označme písmeny D, E paty kolmic vedených zbodů, naosuúhluuvrcholu.označmedále Mstředstrany a 0 patuvýškyzbodu nastranu.ukažte,žebody D, E, Ma 0 ležínajednékružnici. (ětkakadlecová) Úlohuřešmepro > (druhýpřípadjeúplněstejný,pokudpřeznačíme na a na D).Označme P průsečíkpřímek ae. D 0 M E P Úsečka Ejeosaúhlu Pazároveňvýškavtrojúhelníku P,tedy PjerovnoramennýaEjestřed P.Zároveň Mjestřed,proto EMjestřednípříčkavtrojúhelníku PaME P.Toaleznamená,že MEa Ejsoustřídavéúhly,čili MED = E. Dálesivšimneme,žeúhly Da 0 jsouobapravé,takžečtyřúhelník 0 D jetětivový.odtudvíme,že 0 D =180 D,aprotože M 0 Djedoplňkovýk 0 D (předpokládali jsme > ), platí E = M 0 D. Nyníužjejasné,že MED = M 0 D,ačtyřúhelník MD 0 Ejetakopravdutětivový. 8. úloha Uvnitřkružnice mjsoudánykružnice k, l,kterémajísmvnitřnídotykvbodech K,resp. L asamyseprotínajívbodech,.označme X libovolnýprůsečíkpřímky akružnice m.

Přímka XK protne kružnici k podruhé v bodě U. Obdobně přímka XL protne podruhé kružnici lvbodě V.Dokažte,žepřímka UV jespolečnoutečnoukružnic k, l. (Michal Kenny Rolínek) Promocnostbodu Xpostupněkekružnicím kalplatí XU XK = X X a XV XL = X X. Odtud získáme XU XK = XV XL, což podle známého tvrzení o mocnosti znamená, že KLV Ujetětivovýčtyřúhelník,aplatítedy KLX = V UX. X t Z U V l m k K L Nyníuvažmetečnu tkekružnici mvedenoubodem Xananíbod Ztak,abyleželvestejné poloroviněurčenépřímkou jakobod U.Podlevětyoúsekovémúhlupakplatí KLX = = UXZ.elkověpakdostáváme,že V UX = UXZ apřímka tjerovnoběžnásuv. Na závěr si uvědomme, že stejnolehlost se středem K, která převádí kružnici m na kružnici k,zobrazujepřímku tnapřímku UV (Ujeobrazem Xapřímkyjsourovnoběžné),takže UV je tečnou kružnice k. Zcela analogicky obdržíme, že UV je tečnou kružnice l, a jsme hotovi.