Antirovnoběžnost. Michal Kenny Rolínek. Ocojde?

Transkript

1 Antirovnoběžnost Michal Kenny Rolínek ØÖ Øº Příspěvekvysvětlujeprincipantirovnoběžnostinamnohaúloháchzčeských i zahraničních soutěží. Ukazuje i využití antirovnoběžnosti v moderní geometrii trojúhelníka. Ocojde? Definice. Jedánúhel XVY ajehoosa o.přímky paqnazvemeantirovnoběžné vúhlu XVY,pokudproosovýobraz p přímky ppodle oplatí p q.pokudnavíc V pav q,říkáme,že paqjsouizogonálnívúhlu XVY. Úhlem v přechozí definici rozumíme i dvojici rovnoběžných přímek. Osou úhlu pak v tomto případě rozumíme osu pásu mezi rovnoběžkami. Bez nároku na přesnou formulaci a přesný důkaz uvedeme klíčové tvrzení, které propojí antirovnoběžnost s tětivovými čtyřúhelníky. Tvrzení. Přímky p a q jsou antirovnoběžné v daném úhlu, právě když nastane jedna ze situací zachycených na obrázcích níže. 32

2 MICHAL KENNY ROLÍNEK Tvrzení. Pokud jsou p a q antirovnoběžné vzhledem ke dvěma různým úhlům, pak mají tyto úhly kolmé či rovnoběžné osy. Tvrzení. Pokud jsou p a q antirovnoběžné vzhledem ke dvěma různým úhlům, pak dvojice antirovnoběžných přímek v těchto úhlech splývají. Lehké příklady Příklad1. Nakružnici kjedánatětiva AB.Označme Šstředkratšíhooblouku AB.Bodem Švedemedvěrůznépřímky,kteréprotnou ABa kvečtyřechdalších bodech. Ukažte, že tyto body leží na kružnici. Příklad2. Ať ABCDjetětivový.Buď P= AB CDaQ=AD BC.Ukažte, žeosyúhlů AQBand BPCjsoukolmé. Příklad3. Jsoudánykružnice k, l,kteréseprotínajívbodech A, B.Označme K, Lpořadědotykovébodyjejichspolečnétečnyzvolenétak,žebod Bjevnitřním bodemtrojúhelníku AKL.Nakružnicích kalzvolmepořaděbody N a M tak, abybod Abylvnitřnímbodemúsečky MN.Dokažte,žečtyřúhelník KLMN je tětivový, právě když přímka M N je tečnou kružnice opsané trojúhelníku AKL. (Domácí kolo MO 2010) Příklad 4. Ať ABC je trojúhelník. Kružnice procházející body B a C protne strany ABa AC podruhépostupněvc a B.Ukažte,že BB,CC a HH,kde H a H jsoupostupněortocentratrojúhelníků ABC a AB C,procházejíjedním bodem. (IMO shortlist 1995) 33

3 ANTIROVNOBĚŽNOST Kamarádi Ha O Tvrzení5. V ABCje HprůsečíkvýšekaOstředkružniceopsané.Pak AHa AOjsouizogonálnívúhlu BAC. Příklad 6. V trojúhelníku ABC platí, že výška a těžnice z vrcholu A rozdělí úhel BAC na třetiny. Určete vnitřní úhly v ABC. Příklad7. Vtrojúhelníku ABCplatí,ževýška,těžniceaosaúhluzvrcholu A rozdělí úhel BAC na čtvrtiny. Určete vnitřní úhly v ABC. Příklad 8. Úhlopříčky AC a BD tětivového čtyřúhelníka ABCD se protínají v P. Středykružnicopsaných ABCD, ABP, BCP, CDPa DAPoznačmepostupně O, O 1, O 2, O 3 a O 4.Ukažte,že OP, O 1 O 3 a O 2 O 4 procházejíjednímbodem. (Čína 1990) Příklad 9. Trojúhelník ABC je ostroúhlý. Buďte D a E body na stranách BC a ACtakové,že A, B, DaEležínakružnici.Dálepředpokládejme,žekružnice opsaná D, Ea Cprotnestranu ABvedvoubodech Xa Y.Ukažte,žestřed XY je zároveňpatouvýškyzcna AB. (BalticWay2010) Příklad10. Vroviněsekružnice k 1 a k 2 ostředechpořadě I 1 a I 2 protínajíve dvoubodech AaB.Nechťjeúhel I 1 AI 2 tupý.tečnake k 1 vbodě Aprotíná k 2 ještěvbodě C atečnake k 2 vbodě Aprotíná k 1 ještěvbodě D.Označme k 3 kružnici opsanou trojúhelníku BCD. Nechť E je střed toho oblouku CD kružnice k 3,kterýobsahujebod B.Přímky ACa ADprotínají k 3 pořaděještěvbodech K a L.Dokažte,žepřímky AEa KLjsounavzájemkolmé. (MEMO2011) Symediány Definice 11. Je dán trojúhelník ABC. Přímku, která je izogonální s těžnicí z vrcholu A v úhlu BAC, nazveme A-symediánou trojúhelníka ABC. Tvrzení12. Kekružniciopsané ABCsestrojímetečnyvbodech Ba Cajejich průsečíkoznačíme S.Pak ASjesymediánav ABC. Příklad 13. Ať ABC je rovnoramenný trojúhelník se základnou AB. Dále nechť Pjejehovnitřníbodtakový,že PAB = PBC.Označme Mstřed AB.Ukažte, že APM + BPC =180. (Polsko2000) Příklad14. Jsoudánydvěkružnice k 1 a k 2,kteréseprotínajívbodech AaB. Nakružnici k 2 zvolmebod Ctak,žeúsečka BCprotnekružnici k 1 vboděrůzném od B,kterýoznačíme L.Přímka ACprotnekružnici k 1 vboděruznémod A,který označíme K. Dokažte, že přímka, na níž leží težnice z vrcholu C trojúhelníku KLC, prochází pevným bodem nezávislým na poloze bodu C. (zobecněné domácí kolo MO 2011) 34

4 MICHAL KENNY ROLÍNEK Tvrzení 15. Symediány se protínají v jednom bodě. Nazveme ho Lemoinovým bodem ABC. Příklad 16. Buď ABC trojúhelník s Lemoinovým bodem L. Rovnoběžka s AB vedenábodem Lprotnestrany CAaCB vbodech C 1, C 2.Podobnědefinujme A 1,A 2, B 1, B 2.Ukažte,žepaktěchtošestbodůležínakružnici.Kdejestředtéto kružnice? Příklad 17. Buď ABC trojúhelník s Lemoinovým bodem L. Antirovnoběžka s AB vúhlu ACBvedenábodem Lprotnestrany CAaCBvbodech C 1, C 2.Podobně definujme A 1,A 2, B 1, B 2.Ukažte,žepaktěchtošestbodůležínakružnici.Kdeje střed této kružnice? Isogonal conjugates Definice18. Body Pa P vtrojúhelníku ABCnazvemeisogonalconjugatesvůči ABC,pokudjsou AP a AP izogonálnívúhlu BACapodobnědvojicepřímek BP, BP a CP, CP jsouizogonálnípostupněvúhlech ABCa BCA. Tvrzení 19. Ke každému bodu v rovině, který neleží na kružnici opsané ABC, existuje isogonal conjugate vůči ABC. Příklad20. Ať Pa P jsouisogonalconjugatesvzhledemk ABC.Pakprojekce bodů Pa P nastranytrojúhelníkaležínajednékružnici. Příklad21. Jedántrojúhelník ABC,ΓjeGergonneůvbodaH + středkladné stejnolehlosti, která zobrazí kružnici vepsanou ABC na kružnici opsanou. Pak Γ a H + jsouisogonalconjugates. Příklad 22. Jedántrojúhelník ABC, N jenagelůvbodah středzáporné stejnolehlosti, která zobrazí kružnici vepsanou ABC na kružnici opsanou. Pak N a H jsouisogonalconjugates. Příklad 23. Uvnitř čtyřúhelníka ABCD je dán bod P neležící na BD tak, že PBC = DBA a PDC = BDA.Ukažte,že ABCDjetětivovýprávě tehdy,když AP = PC. (IMO2004) Příklad24. Ať P a P jsouisogonalconjugatesvůči ABC.Ukažte,že P je střed kružnice opsané trojúhelníku tvořenému obrazy bodu P přes strany ABC. Příklad 25. Kružnice k vytne na každé straně trojúhelníka ABC úsečku. Ukažte, že potenční střed kružnic, jejichž průměry jsou tyto úsečky, je isogonal conjugate středu kružnice k. (zobecněné IMO 2008) 35

5 ANTIROVNOBĚŽNOST Příklad26. Uvnitřtrojúhelníka ABCjedánbod P.Označme A, B, C paty kolmicspuštěnýchzbodu Pnapříslušnéstrany.Dálenechť A jeprůsečíkkružnice opsanétrojúhelníku A B C astrany BCrůznýod A.Konečněnalezněmenaúsečce A B bod Xtakový,že XAC = PAB.Ukažte,že AXB =90. (iks G3) Tvrzení27. Jedán ABCapřímka l.množinabodů X,kteréjsouisogonal conjugateknějakémubodu X l,jekuželosečka. Příklad28.(GeneralFeuerbachTheorem) Jedán ABCavněmXaX isogonal conjugates.pokudpřímka XX procházístředem Okružniceopsané ABC,pak kružniceopsanáprojekcímbodů Xa X nastrany ABCsedotýkákružnicedevíti bodů. Příklad 29. Jedántrojúhelník ABC ( AB = AC ).Najehovýšce AA 0,kde A 0 ležína BC,zvolímebod X.Označíme B 1 resp. C 1 průsečíky BXs AC,resp. CXs AB.Pokudje BCC 1 B 1 tětivový,ukažte,že Xjeprůsečíkvýšektrojúhelníka ABC. (Celostátní kolo MO 2007) Literatura a zdroje [1] Nathan Altshiller-Court: College Geometry, Dover Publication, New York, 2007 [2] 36