ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ

Teorie řízei I Aalýza daických éů TECHNICKÁ UNIVEZITA V LIBECI Hálkova 6, 46 7 Liberec, CZ akula echaroik a ezioborových ižeýrkých udií Teorie auoaického řízeí I. ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Sudijí aeriál Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. Kaedra řídicí echik Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů Obah. Úvod................................................................... Maeaický popi daických éů 3. Klaifikace daických éů... 3.Vější a viří popi... 5.3 Maeaicko-fzikálí aalýza... 6 3. Aalýza lieárích daických éů v čaové oblai 3. Odezva éu a obecý igál, kovoluce... 3. Difereciálí rovice...4 3.3 Obrazový přeo... 6 3.3. Defiice obrazového přeou, vlaoi, pól, ul, řád aaizu...6 3.3. Odezva ouav. řádu, ériové řazeí ouav. řádu... 3.3.3 Souava. řádu... 3.3.4 Sé dopraví zpožděí...7 3.3.5 Model daického éu poruchovou veličiou... 9 3.3.6 Popi čleů a prvků v regulačí echice... 3 3.4 Bloková algebra... 3 3.4. Sigálí rovice... 3 3.4. Meoda poupých úprav... 34 3.4.3 Maoův vzorec... 39 3.5 Meoda geoerického ía kořeu... 4 3.5. Základí poj, kořeový hodograf... 4 3.5. Zobrazováí koplexích číel... 45 3.5.3 Vlaoi a korukce geoerického ía kořeových hodografů... 47 3.5.4 Vlaoi geoerického ía kořeů... 49 4.4 Sabilia ve frekvečí oblai, Nquiovo kriériu abili... 55 4.4. orulace Nquiových podíek abili... 56 4.4. Korola kuečého poču oběhů kriického bodu... 6 4.4.3 elaiví abilia, fázová a apliudová bezpečo... 66 Lieraura 68 Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů. ÚVOD Auoaická regulace a řízeí e ává v oučaé době iegrálí oučáí rojírekých výrobků, dodávaých echologických celků a zařízeí. V průlové praxi jou zcela běžé regulace laku, eplo, výkou, poloh, oáček, hladi, kocerace ad. Auoaická regulace eje že ušeří obluhu ruiích a opakovaých čioí, ale aké zajišťuje kvaliu produkce včeě koforu pro oblužý peroál. Je kuečoí, že dokoalá regulace a řízeí zvšuje kokurecechopo výrobků a doácích i zahraičích rzích. V poledích leech e v řízeí a regulaci proazují čílicové řídicí a regulačí é, keré jou v ěecké lierauře ozačová jako "Prozeßleiee", v aglické jako "Proce corol e". S poliováí je však uo koaova, že i pře bouřlivé vužíváí čílicové echik, počíačů a ikropočíačů, je regulace pojiých ouav ejčaěji realizováa poocí pojiých ebo quazi-pojiých čílicových PID-reguláorů. Řídicí a regulačí é jou přirozeě vužívá pro řízeí a regulaci rozáhlých echologických celků oha regulačíi a řídícíi čkai. PID reguláor jou u ěcho éů realizová ofwarově jako fukčí blok. Pro regulaci jedoduchých regulačí obvodů jou v oučaoi používá pojié kopakí PID ebo dvou- a řípolohové reguláor. Jedá e apř. o regulace laku, eplo, poloh, oáček, výšk hladi, kocerace cheických rozoků ad. Teorie řízeí pokuje aeaický apará pro aalýzu a ézu éů auoaické regulace. V oučaé době z hledika zpracováí igálů a odpovídajícího hardware je ožo eorii řízeí rozděli a Teorii řízeí pojiých éů Teorii řízeí dikréích éů Teorie řízeí pojiých éů zahruje aalýzu a ézu pojiých lieárích a elieárích éů. Základ aalýz pojiých éů jou udová v základích předěech auoaické regulace ke kerý počíáe "Základ pojiého řízeí". Teorie řízeí dikréích éů e zabývá aalýzou a ézou dikréích éů, keré zpracovávají igál pouze ve zvoleých periodách čau. To é vužívají zpravidla pro realizaci řídicích zákoů ikroproceorů ebo ikropočíačů, keré jou opaře A/D a výupíi D/A převodík. Cíle kurzu Teorie řízeí I. je prohloubeí zaloí a prakických ávků z aalýz, éz a ideifikace pojiých lieárích daických éů v ávazoi a Základ pojiého řízeí. Předě je zaěře a pricip experieálí ideifikace, a eod opiálího ávrhu paraerů PID reguláoru a a frekvečí eod éz regulačího obvodu. Je zahrua i probleaika rozvěveých regulačích obvodů. Teoreická i prakická výuka vužívá ofwarové podpor Malabu. Cíle kurzu Teorie řízeí II. je ezái ude eodai odhadu paraerů dikréích odelů, e základ čílicového řízeí, e základ aalýz ve avové prooru včeě eiace avu a avovou regulací, e základ elieárí regulace, fuzz eodai a aplikací euroových íí, aalýzou a ézou éů více vup a výup. Teoreická i prakická výuka vužívá aké ofwarové podpor Malabu. Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů. MATEMATICKÝ POPIS DYNAMICKÝCH SYSTÉM Aalýza a éza daických éů e realizuje poocí aeaického odelu. Daické vlaoi reálých a průlových éů e všei vazbai a ierakcei lze je ěží vjádři aeaický odele, kerý b bl doaečě obecý a použielý v praxi. Zavádí e proo ejdříve zjedodušující předpoklad, keré uoží vvoři zjedodušeý fzikálí odel. Maeaický odel e pak odvozuje z fzikálích zákoů aplikovaých a eo fzikálí odel ebo poocí eod ideifikace a základě ěřeí vupů a výupů zkouaého daického éu.. KLASIIKACE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ eálý daický é á ho a édia rozložeé v prooru, keré ohou bý ve vzájeé ierakci. Ho a édia voří koiua //. Tak apř. pružia á hou rozložeou v prooru ve varu válce vvarovaého do šroubovice. Jiý příklade ůže bý ěleo elekrického ohříváku, jehož hoa je rozložea v prooru ve varu válce ebo šroubovice. zikálí odel je ožo rozděli do dvou kupi podle áledujících hlediek: a ho a édia voří koiua rozložeá v prooru. Hovoříe pak o éech rozložeýi paraer. b ho a édia jou kocerová do šleých bodů. Hovoříe pak o éech kocerovaýi paraer. Vlaoi daických éů rozložeýi paraer popiují parciálí difereciálí rovice //, //. Pak hou a pružiě, pokud uvažujee rozložeí ho pruži v prooru, pokládáe za é rozložeýi paraer. Její daické vlaoi v každé bodě prooru popiují parciálí difereciálí rovice. Podobě, pokládáe průokový ohřívač za é rozložeýi paraer, uvažujee-li průběh eploích polí jak v objeu kapali, ak i v ohřívací ělee. Bilace eergie e pak provádí a každé eleeu objeu kapali a ohřívacího ělea. Vlaoi daických éů kocerovaýi paraer popiují občejé difereciálí rovice //, /3/. Tak apř. hou a pružiě viz Obr.I-a pokládáe za é kocerovaýi paraer, jeliže hou pruži ůžee zaedba ebo kocerova do jedoho bodu. a b Obr.I- Sé kocerovaýi paraer Podobě průokový ohřívač a obr.i-b ůžee pokláda za é kocerovaýi paraer, jeliže budee předpokláda, že eploa vod je v celé objeu ejá. Teo předpoklad je rovaelý předpoklade, že hoa kapali e koceruje do jedoho bodu o daé eploě, kerá však je čaově proěá. Obdobě předpokládáe, že eploa v opé ělee je aké ejá, což odpovídá koceraci ho opého ělea do jedoho bodu. Pak aplikujee akrokopickou bilaci eergie a o dva "hoé bod", keré jou ve vzájeé ierakci. Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 3 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů Obecý é kocerovaýi paraer pro eizoerí é je chéaick zázorěa obr.i-. Vupe jou édia v roviě a přiváděé eplo Q. Výupe je édiu v roviě a echaická práce W koaá a okolí. Teploa édia ezi roviai Obr.I. Neizoerí é kocerovaýi paraer - e bere v celé objeu jako ejá, ale čaově proěá. Je zřejé, že pokud budee "řídi" výup, o je paraer výupího édia a echaickou práci koaou a okolí paraer vupího édia a přiváděý eple Q, pak rozložeí eploích, lakový, rchloích polí eí z hledika vlaího řízeí výupích paraerů výzaé a pro účel řízeí a regulace e zaedbává. Vzah ezi podíkai a vupu a výupu édií a eergiei je v eizoerích éech popá akrokopickou bilací ho, hboi a eergie. Příě vzao, jou všech echologické é rozložeýi paraer.z hledika řízeí a regulace ěcho éů, poačuje zpravidla uvažova o é jako é kocerovaýi paraer. Lieárí a elieárí daické é Daický é ůže bý obecě popá elieáríi ebo lieáríi difereciálíi rovicei. Hovoříe pak o elieárích ebo lieárích daických éech. Lieárí -ivariaí é Lieárí -ivariaí daický é je popá difereciálí rovicí koaíi koeficie ve varu a L a a bu L b u b u, pro, - ebo pro é poruchovou veličiou a L a pro, c a b u L b u kde je u vupí akčí veličia, výupí regulovaá veličia, d poruchová veličia, a i, b j, c k jou koeficie difereciálí rovice. b u c c d c L c d cd, - Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 4 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů. VNĚJŠÍ A VNITŘNÍ POPIS Obr..3 Lieárí daický é Lieárí daický é jedí vupe u a jedí výupe je chéaick zázorě a obr..3. V agloaké lierauře jou o é ozačová zkrakou SISO Siple ipu-iple oupu. Ze základích předěů auoaické regulace je záo, že aeaický popi daických éu lze rozděli a dvě základí kupi - a vější a viří popi daického éu. Vější popi éu je vjádřeí daických vlaoí éu poocí relací ezi vupí a výupí veličiou. Teo popi epokuje iforaci o viřích avech éu. Měřeí vupí a výupí veliči ůžee zíka pouze vější popi éu. elace ezi vupe a výupe ůže bý vjádřea: Difereciálí rovicí -, Obrazový přeoe Ipulí přechodovou váhovou fukcí g Přechodovou fukcí h rekvečí přeoe iω rekvečí charakeriikou. Viří popi éu chápee jako relaci ezi vupí veličiou u, ave éu x a výupí veličiou. Hovoříe pak o avových rovicích éu. Obecě lze daický é popa elieárí vekorovou avovou rovicí x & f x, u,, - 3 g x, u,, - 4 kde x je -rozěrý avový vekor, je výup éu f je -rozěrové elieárí vekorové fukce, g je kalárí fukce. Je-li daický é lieárí a -ivariaí pak plaí x& A x B u - 5 C x Du, - 6 kde x je -rozěrý avový vekor, je výup éu Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 5 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů A B C D je aice éu rozěru [x], je aice buzeí rozěru [x], je aice výupu rozěru [x], je koeficie převodu [x]. Z aeaicko-fzikálí aalýz daických éů při aplikacích akrokopických bilací ho a eergie doáváe zpravidla ouavu rovic prvího řádu ed přío avový popi..3 MATEMATICKO-YZIKÁLNÍ ANALÝZA Z aeaicko-fzikálí aalýz daických éů při aplikaci akrokopických bilací ho a eergie doáváe zpravidla ouavu lieárích rovic prvího řádu, ed přío avový popi. Každá avová veličia pak předavuje kokréí fzikálí veličiu a rukura avových rovic pak vpovídá o vzájeých vazbách ezi avovýi-fzikálíi veličiai. Ukážee o a áledující příkladě ohřevu vod v průokové ohřívači. Příklad Maeaicko fzikálí aalýza průokového ohřívače vod. Daickou ouavu a Obr.- voří průokový ohřívač PO. Vupí veličiou je výko P opé pirál TS. Výupí veličiou je eploa vod T ěřeá čidle eplo ČT. ČT T Obr.-4 Daická ouava PO Pro účel aeaicko fzikálí bude uvažováa zjedodušeá ouava podle Obr.- a vchází e z podíek: dokoalé epelé izolace, koaího příoku a objeu vod v ohřívači, proícháváí vod, eploa vod T ou a eploa ohřívače T h ezávií a proorových ouřadicích T ou T ou, T h T h. V ρ M V h obje vod v ohřívači ěrá huoa vod ožví proékající vod obje opého ělea Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 6 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů T IN eploa vod a vupu T OUT eploa vod a výupu S eploěá plocha opého c h ěré pecifické eplo opého ělea ρ h ěrá huoa opého ělea α koeficie přeupu epla Obr..5 Maeaicko-fzikálí aalýza ρ ěrá huoa vod c ěré pecifické eplo v. Řešeí: Eergeická bilace Za uvedeých předpokladů vcházíe ze zákoa zachováí eergie, podle kerého plaí Čaová zěa akulovaé chlo přívodu chlo odvodu epelé eergie epelé eergie epelé eergie což je ožo vjádři rovicí du P IN P OUT, d kde je U viří epelá eergie P IN rchlo přívodu epelé eergie - přiváděý epelý výko rchlo odváděí epelé eergie - odváděý epelý výko P OUT Makrokopickou bilaci provedee pro hou ohřívače a vod. Tepelá kapacia vod v ohřívači je rova U U c. ρ. V. T OUT. a epelá kapacia ělea ohřívače je rova U h U h ch ρ h Vh Th. Ní ůžee aplikova záko zachováí eergie a ělee ohřívače d d [ c V T ] α S [ T T ] P, ρ h h h h OUT h Aplikací rovice eergie a obje vod v průokové ohřívači doaee d d [ c V T ] M c [ T T ] α S [ T T ], ρ OUT IN OUT Jedoduchou úpravou rovic a vvoříe ouavu dvou difereciálích rovic prvího řádu ve varu h OUT, Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 7 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů d d S S P Th α α Th TOUT 3 c ρ V c ρ V c ρ V h h h h h h h h h d d T OUT αs αs Mc Mc Th TOUT TIN. 4 cρv cρv cρv Souava rovic obahuje dvě budící fukce P a T IN. Akčí veličiou je elekrický příko u P, kerý lze ěi poocí akčího čleu. Druhá vupí veličia je eploa vupující vod T IN, kerou ale eohu cíleě ovlivňova a eí ai ěřea. Proo ji budee pokláda za eěřeou poruchovou veličiu d T IN. Uáleé av d d Pro uáleé av uí býi plěa podíka li Th li TOUT d d Z rovic 3,4 doaee ouavu rovic T h T P, α S αs Mc TOUT Th TIN. αs Mc αs Mc Řešeí ěcho rovic pak doaee αs Mc Th TIN P, 5 αs Mc T TIN P. Mc OUT 6 3 Odvozeí výledé difereciálí rovice Zavedee pro zjedodušeí zápiu ozačeí T, x T, u P ; d T OUT h IN a αs αs α S Mc ; a ; a ; b c h ρ V cρv cρv c h ρ V ; Mc b ; cρv h h h h Difereciálí rovice 3 a 4 pak ají var x ax a bu, 7 ax a bd x [ a bd ]. a 8 Naší úkole je aléz aeaický odel eplo vod v průokové ohřívači. Je ed řeba ejdříve z aeaického odelu vlouči eplou ohříváku. Použijee eliiačí eodu ak, že ejdříve derivujee a doaee Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 8 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů ax a bd. Ní je ožo za x, doadi z rovice 7,8 a x je ožo vpočía z 8. Doaee a [ ax a bu ] a bd. a a a [ a b d ] a b u ] a b d. [ a a a a a a a b u a b d b d Zavedee-li áledující ozačeí a a ; a a a a ; b c a b c ; a a ab pak je ožo difereciálí rovici druhého řádu do varu 4 Obrazový přeo ; b a a bu cd cd. 9 Aplikujee li L-raforaci a difereciálí rovici 9 při ulových počáečích podíkách doaee Y a a b U c c D, kde Y L{ }; U L{ u }; D L{ d }; L-obraz výupu je rove b c c Y U D U D, U d a a a a b c c kde je U,, d a a a a U je obrazový přeo, kerý aproxiuje daické účik akčí veliči u vzhlede k veličiě, d je obrazový přeo, kerý aproxiuje daické účik poruchové veliči d vzhlede k veličiě. Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 9 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů Srukura odelu daického éu účike akčí a poruchové veliči je a obr..6. d d d. u u u Obr..6 Model daického éu poruchou d Lieraura [ ] BID,.B.-STEWAT, E.W.-LIGHTOOT, N.E.: Přeoové jev. Sdíleí hooi, eergie a ho. ČSAV, Praha,968. [ ] TKAL, V.: Mechaika hoých bodů a uhého ělea. ČSAV, Praha,956. [ 3] HOÁK zika [ 4] BALDA,M.-HANUŠ,B., a kolekiv : Základ echické kbereik. SNTL/ALA Praha 986. [ 5] NOSKIEVIČ,P.:Modelováí a ideifikace éů. MONTANEX a..,999, Orava. [ 6] HANUŠ,B.- BALÁTÉ,J.- ŠVAC,I.- ZIKEŠ,.: Teorie auoaického řízeí I. I.Čá. Skripa Liberec,98. [ 7] JANEČEK,J.- MODLÁK,O.: Základ echické kbereik. Příklad. Skripa, Liberec, 99. 3. ANALÝZA LINEÁNÍCH DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ V ČASOVÉ OB- LASTI Aalýzou lieárích daických éů rozuíe určováí jejich daických a aických vlaoí. Řadíe e předevší daické chováí éů a defiovaý vupí igál, odezv a obecý vupí igál, problé abili, vliv paraerů obvodu a abiliu a jeho odezvu. Pro další výklad bude uvažová daický čaově ivariaí é regulovaá ouava e vup a výup dle obr.3.. a u Daický é u Obr.3. Daický čaově ivariaí é b d Daický é Vupí veličiou buzeí, akčí veličiou je igál u, výupí veličiou éu je. Sigál d předavuje poruchovou veličiu. Defiuje vupí igál jedokový kok a Diracův ipul. Jedokový kok je defiová viz éž obr.3. u pro pro < Odezva ouav a jedokový kok je přechodová fukce h, ebo v grafické podobě přechodová charakeriika. u Obr.3. Jedokový kok Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů Diracův ipul jedokový ipul dela fukce viz obr.3. je defiováa ε δ δ, pro ; li δ d li δt δt δt ε ε u δ T δt Obr.3.a Diracův ipul Odezva ouav a diracův ipul je ipulzí váhová fukce g. Ipul velikoi S chápee jako Diracův ipulz, kerý e áobí vahou S - velikoí ploch ipulu. u S δ. Pouuý Diracův ipul vpravo u δ τ je a obr.3.b a jeu odpovídá i pouuá ipulí váhová fukce g τ. Výza zavedeí daických charakeriik ipulí váhové a přechodové fukce a ji odpovídajících igálů epočívá pouze ve rováváí odezev jedolivých éů a uvedeé igál, ale uožňuje řešeí základího probléu aalýz, kerý počívá v alezeí odezv éu a obecý vupí igál. V áledující kapiole i ukážee výpoče odezv a obecý vupí igál ze záé váhové fukce. 3. ODEZVA SYSTÉMU NA OBECNÝ SIGNÁL, KONVOLUCE Použií váhové fukce k výpoču odezv éu a obecou vupí fukci u paří k ejarší poupů. Saozřejě, použií ipulu šířk δ T je echick eožé. Proo e Diracův ipul aproxiuje pule koečé šířk δ T a výškou ipulu v viz obr.3.-. Plocha ohoo ipulu pak bude S v v δt a proože je é lieárí, je odezva a ipul ploch S v úěrá váhové fukcí g koeficiee úěroi S v. Plaí ed u g S g. v v u τ δ T δt Obr.3.b Pouuý Diracův ipul u τ i v δt δt S S v v δt δt δt δt 3 i τ i i δt i g τ i τ N δ i Obr.3.- Ipul ploch S v Obr.3.- Nahrazeí pojiého igálu u Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. poloupoí ipulů šířk δt 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 3.8.4 Předpokládeje, že je dáa váhová fukce g daického éu a průběh vupího igálu u viz obr.3.- pro kerý plaí předpoklad, že pro < je u. Základí šleka uvažovaého poupu počívá v o, že průběh vupího igálu u e rozdělí a N ejých čaových iervalů T δ. Tí e aproxiuje vupí igál poloupoí ipulů koaí šířk T δ a výšk uτ i viz obr. 3.-, keré jou ale pouué vzhlede k počáku o čaový úek T i i δ τ pro i,,,,n. V čae e podílí i-ý ipul a výup ouav velikoí i δ, kerá je dáa oučie ploch ipulu S i T δ.uτ i a pouué váhové fukce g-τ i i i i i g u T g S τ τ δ τ δ Celkový účiek všech ipulů od i až N je rove ouču všech dílčích odezev i δ a plaí T g u i N i N i i i δ τ τ δ Pro liií případ, kdž T a N δ a ča je rove T N δ, pak u přechází a iegrál a plaí i N i N i i i T N d g u T g u, li τ τ τ δ τ τ δ δ. Teo iegrál e azývá kovoluorí iegrále a určuje výup éu při záé váhové fukci g a daé vupí fukci u při ulových počáečích podíkách. Je ožo ukáza, že plaí rovo d g u d g u g u τ τ τ τ τ τ. 3. Příklad 3. Určee odezvu ouav váhovou fukcí e g a a obecý kokový igál velikoi. C u b a rapovou fukci., < u je pro u Řešeí: a Obecě plaí e Ce d e Ce d e C d g u τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ Doazeí ezí a po úpravě doaee e C e Ce,5

Teorie řízei I Aalýza daických éů Iegrál τ e τ e b Pro rapovou fukci plaí τ τ τ u τ g τ dτ τ e dτ e τ e dτ dτ určíe z abulek ebo eodou per pare u ' v uv uv'. τ τ Volíe u' e, v τ u,5e, v τ dτ,5e Výup je pak rove e τ τ,5 e τ dτ τ τ [,5τ e,5e ],5e,5e,5. [,5e,5e,5],5,5e,5. τ τ e dτ e Derivace výupího igálu je,5 e,5. koec příkladu 3. Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 3 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů 3. DIEENCIÁLNÍ OVNICE Uvažuje daický -ivariaí é regulovaou ouavu jedí vupe a jedí výupe dle obr.3.a. a u Daický é b u d Daický é Obr.3. Daický -ivariaí é Výup éu je pak ožo popa občejou difereciálí rovicí koaíi koeficie a L a a b u L b u b u pro, 3., ebo pro é e vupující poruchou d pak plaí rovice a pro, c L a a b u L b u b u c c d c L c d cd, kde je u vupí akčí veličia, výupí regulovaá veličia, d poruchová veličia, a i, b j, c k jou koeficie difereciálí rovice Připoeee pouze, že řešeí rovice 3. je dáo ouče hoogeího a parikulárího řešeí H P, 3. kde je H hoogeí řešeí, P parikulárí řešeí. Hoogeí rovice k 3. je a L a a, 3. 3 jejíž charakeriická rovice, hledáe-li řešeí ve varu λ e, je polo v λ je rove λ a λ L a λ a. Charakeriická rovice á -kořeů, keré ohou býi reálé růzé, reálé áobé, koplexě družeé a koplexě družeé áobé. Tou pak odpovídá i hoogeí řešeí, keré je varu pro Koře reálé růzé H λ λ Ce Ce L C e λ Koře reálé, i-ý koře áoboi k Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 4 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů H C e λ C e λ λi k L e Ci Ci L Ci k L C e λ 3 Koře koplexě družeé λ p α p iω p C exp λ C exp λ L C exp α iω L C exp λ H p p p Hoogeí řešeí obahuje -koa C k, keré e uí urči z počáečích podíek,, L,. Počáečí podík ed předavují diribuci vlaí eergie éu. Parikulárí iegrál e určí odhade parikulárího řešeí při peciálí varu pravé ra, variací koa ebo jiýi vhodýi eodai. Parikulárí iegrál, kerý předavuje účiek akčí ebo poruchové veliči, reprezeuje diribuci vější eergie. V eorii auoaické regulace e pro řešeí difereciálích rovic vužívá převážě vlaoí Laplaceov raforace viz. Příloha P LAPLACEOVA TANSOMACE ak, jak je e í již ezáili v kurzu Základ pojiého řízeí Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 5 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 3.8.4 6 3.3 OBAZOVÝ PŘENOS V auoaické regulaci pro vjádřeí daických vlaoí éů e ejčaěji používá vějšího popiu éu ve forě obrazového přeou. Obrazový přeo uožňuje zavedeí blokové algebr, aplikaci krierií abili, jedoduchý výpoče odezev ouav ad. 3.3. Defiice obrazového přeou, vlaoi, pól, ul, řád aaizu Obrazový přeo je ožo defiova dvěa způob Uvažuje daický é, kerý je popá difereciálí rovicí 3. pro u b b u u b a a a, L L, pak, provedee-li L-raforaci levé a pravé ra difereciálí rovice při ulových počáečích podíkách, doaee U b b b b a a a Y L L. Podle defiice obrazového přeou je eo rove U Y U Y a a a b b b b L L, 3.3 kde je obrazový přeo, a a a A L polo jeovaele upě A, b b b b B L polo čiaele upě B, Y je L-obraz výupí veliči, U je L-obraz vupí veliči u. Vlaoi obrazového přeou hree bez důkazů do áledujících bodů: Obrazový přeo ezávií a budící fukci ai počáečích podíkách, keré dle defiice uí býi ulové Je racioálí loeou fukcí koplexí proěé reálýi koeficie 3 Popiuje daické vlaoi je čaově ivariaích éů, keré eěí voje paraer v čae. Jako Laplaceův obraz výupí veliči ku Laplaceovu obrazu vupí veliči při ulových počáečích podíkách zleva Jako Laplaceův obraz ipulí přechodové váhové fukce.

Teorie řízei I Aalýza daických éů Příklad 3.3 Uvažuje difereciálí rovici '' 3' u,5u'; ; '. Určee: Obrazový přeo Odezvu éu a kokový vupí u a zadaé počáečí podík. Řešeí: Ozače: Y L{ }, U L{ u }. Pak poocí P 6 určíe Laplaceův obraz levé a pravé ra difereciálí rovice Y ' 3 [ Y ] Y U,5[ U u] Jeliže čle ezáou Y echáe a levé raě a čle záé L-obraz akčí veliči a zadaé počáečí podík, pak doaee Y 3 U,5 ' 3,5u. L-obraz hledaého řešeí je pak rove,5 ' 3,5u Y U. 3 3 Obrazový přeo á dva pól, a ulu B 4 viz obr. 3.3 je podle defiice rove I -rovia,5. 3-4 -3 - - Obr.3.3-Poloha pólů a ul a L-obraz budícího igálu je U L{ }. Budee předpokláda, že počáečí podík jou zadaé zprava. Doazeí počáečích podíek, ' a počáečí podík a akčí veličiě u doaee L-obraz výupu ve varu,5,5,5,5 Y U Y Y 3 3 3 U H, 3 e. kde je,5 Y U L-obraz daických účiků akčí veliči 3,5 Y H L-obraz daických účiků eulových počáečích podíek. 3 Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 7 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů b Řešeí v čaové oblai doaee zpěou raforací rozklade a parciálí zlok dle viz. Příloha č.3. Podle P3 provedee pro Y U rozklad a parciálí zlok a doaee koře jeovaele jou ; ; Y U,5,5 3 3 Můžee e lehce převědči, že předě U je rove A A A3,5,5 U,5e,5e Podobě pro Y H doaee,5 A A,5,5 YH ˆ,5e,5e H Výledá odezva éu je rova ouču U H,e,e Derivace je rova ' U ' H ',e,e Korola zadaých počáečích podíek pro : ; ' Je zřejé, že ouhlaí e zadáí. Koec příkladu 3.3 - Obrazový přeo je ožo obecě ješě vjádři ve varu b r a L b b, 3.3 L a a kde r je řád ouav éu, r je řád aaizu, r > je podíka fzikálí realizovaeloi Polo ve jeovaeli obrazového přeou e azývá charakeriický polo a jeho koře e azývají pól éu ouav. Charakeriický polo je ožo vjádři ve varu oučiu kořeových čiielů, j. r a r L a a L, Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 8 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů kde i, pro i,,, a; a a a r jou pól éu. Koře polou v čiaeli obrazového přeou e azývají ul éu. Polo v čiaeli ůžee aké vjádři jako ouči kořeových čiielů, j. b b b b - B B B kde Bj pro j,,, jou ul éu. Vjádříe-li obrazový přeo poocí pólů a ul doaee b r B B a L L B 3.3 3 Je zřejé, že daické vlaoi lieárího daického éu jou jedozačě urče pól a ulai éu polu poěre koeficieů u ejvšších oci v čiaeli a jeovaeli. Pól a ul e zobrazují v koplexí roviě -roviě. Jou-li všech pól a ul reálé, ůžee obrazový přeo vjádři ve varu TB TB L TB K r T T L T 3.3 4 kde τ i - / i jou čaové koa ouav T Bj - / Bj jou čaové koa čiaele obrazového přeou K b / a je zeíleí ouav. Řád aaizu je výzaá charakeriika daického éu a ozačuje áobo ulového pólu. Pro r hovoříe o aické éu, pro r e daický é ozačuje jako é aaický. Aaický é á vžd iegračí charaker, proože operáore áobeí / r odpovídá v čaové oblai r-áobé iegraci. Přechodová r fukce pro e apoick blíží k ocié fukci C, ed k příce, parabole ad. Příklad 3.3 Určee přechodovou fukci ervoooru, jehož obrazový přeo je K τ Φ U kde Φ U τ K L-obraz aočeí hřídele L-obraz apěí a řídicí fázi čaová koaa ervoooru rchloí koaa ervoooru Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 9 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů Obraz přechodové fukce Φ Η a její rozklad a parciálí zlok je K K / τ Kτ K Kτ H τ / τ / τ h Odud ple h K[-τ τ exp- / τ ] Kτ τ Přechodová charakeriika je a obr. 3.3 Obr. 3.3 Přechodová charakeriika ouav řáde aaizu Koec příkladu 3.3 Obrazový přeo uožňuje repreeaci daického éu poocí cheaické začk, bloku, viz obr. 3.3 3. Blok e ozačuje obdélíke, do kerého zapíšee obrazový přeo a ozačíe vupí a výupí igál. U Y u Obr.3.3-3 Blok 3.3. Odezva ouav. řádu, ériové řazeí ouav. řádu Z aeaicko-fzikálí aalýz ouav prvího řádu C čle, hladia v ádrži volý výoke ad. je zřejé, že ouav prvího řádu á pouze jede akuuláor eergie kapacia kodezáoru, kapacia ádrže ad.. Maeaický popi ouav. řádu a její řešeí blo podrobě provedeo v kurzu Základ pojiého řízeí a proo pouze připoeee závěr a výledk. Difereciálí rovice, obrazový přeo je a b / a a bu Y U, a / a b a a K, τ kde je K b / a Lzeíleí ouav, τ a / a Lčaová koaa. Přechodová fukce je rova b a h exp K exp a a τ Daické é.řádu e v regulačí echice ozačují jako PT blok čle, kde ozačuje: P zeíleí bloku, T čaovou koau a áobo čaové koa. Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů Sériový zařazeí dvou čleů prvího řádu je celkový poče akuuláorů eergie dvojáobý. Tok eergie předavuje orieovaý graf, kerý prochází člee a čle, viz obr. 3.3 4a. To zaeá, že výška hladi h eovlivňuje hladi h. Jiýi lov, edochází ke vzájeéu přeléváí eergie ezi ádržei. a Sériové řazeí ádrží b Blokové chéa ériového zapojeí Q I h Q Q h O I Obr.3.3 4a Sériové řazeí ádrží Q O u K τ u K τ PT PT Obr. 3.3 4b Souava druhého řádu vvořeá z jedokapaciích čleů Sériové řazeí p- bloků e ejou čaovou koaou dává výledý přeo p K K / τ, P P τ / τ kerý á p- áobý pól -/τ, kde τ je čaová koaa a K je výledé zeíleí. Vliv ériově řazeých bloků e ejou čaovou koaou áobých pólů a výpoče daik odezv poocí L-raforace je řeše v Příloze P3. Na áledující příkladě ukážee echiku výpoču odezv éu dvěa do érie řazeýi čle. Příklad 3.3 3 Určee přechodovou fukci ouav, jejíž obrazový přeo je. Řešeí: Obraz přechodové fukce bude / 4 H.,5 L-obraz přechodové fukce á jede koře jeovaele ulový a dva koře áobé ; 3,5. Zpěá raforace L-obrazů áobýi koře je podrobě vvělea v Příloze P3. Zpěá raforace racioálí loeé fukce. Provedee podle P3 4 rozklad a parciálí zlok ve varu / 4 H,5 A B B,5,5. Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů Koeficie parciálích zloků určíe áledově. Podle P3 určíe A / 4 A,,5 a podle P3 5 určíe B, B / 4 B,5,5,,5,5 d / 4 d / 4,5 B,5,5. d d,5,5,5 L-obraz je ed rove H / 4,5,5,5,5,5,5 [ e,5e ] h. Ta, kde eůže dojí k ejaoe, ebudee zapiova áobeí předěu jedokový koke. Koec příkladu 3.3-3 3.3. Souava. řádu přeoe ω K ξω ω Dochází-li k přeléváí eergie z jedoho akuuláoru do druhého jako apř. v elekrické LC obvodu ebo v případě propojeých ádob porubí viz. obr. 3.3 5, pak eí ožo daické vlaoi éu vjádři ériový zapojeí dvou čleů prvího řádu, ale je ué je vjádři obrazový přeoe druhého řádu koplexě družeýi koře ve varu b, 3.3 5 p q kde kvadraický rojčle p q á koplexě družeé koře. Q I h Q I h Obr.3.3-5 Souava druhého řádu vořeá propojeýi ádobai Q O Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů Paraer b, p, q obrazového přeou 3.3 5 epokují bezproředě iforace o rchloi, lueí a zeíleí éu. Proo e v regulačí echice vužívá obrazového přeou ve varu ω K ξω ω / ω ξ / ω T K kde ω je přirozeá úhlová frekvece ξ je poěré lueí K je zeíleí ouav. T /ω je áobá čaová koaa K ξt 3.3 6 Abcho zíkali iforace a předavu o daických vlaoech éu, keré jou popá poocí obrazového přeou 3.3 6, vpočee jeho přechodovou fukci. Přechodová fukce a její vlaoi. Laplaceův obraz přechodové fukce ouav. řádu 3.3 6 je H ω ξω ω K Koře jeovaele L-obrazu přechodové fukce je ožo vjádři ve varu a 3 ξω ± 4 ξω 4ω b, ξω ± ω ξ Pól, obecě ohou býi reálé růzé, reálé áobé, koplexí v záviloi a poěré lueí ξ. Je zřejé, že pro < ξ < jou pól koplexě družeé a ed plaí I, ξω ± i ω ξ α iω, ω ω ξ kde α ξω je lueí ouav ω ω ξ je vlaí kruhová frekvece. e Uíěí pólů v Gauově roviě je a obr.3.3 6 Zpěá raforace racioálě loeé fukce pro koře koplexě družeé je podrobě vvělea v Příloze P3. Vkee-li zeíleí K a provedee podle P3 6 rozklad a parciálí zlok, doaee πf ω α ξω Obr.3.3-6 Pól v -roviě Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 3 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů H K ω ξω ω A C K ξω iω ξ C ξω iω ξ. Koeficie rozkladu pro koře reálé růzé určíe podle P3 3. ω Pro 3 A, ξω ω Koplexí koau C určíe pro ξω i ω ξ z rovoi ω C ξω iω ξ ω iω ξ ω ξ [ ξω iω ξ ξω iω,5 i,5 ξ ] ξ ξ Koplexě družeá koaa C je rova V ouladu P3 určíe aboluí hodou { } C,5 i,5 ξ ξ ξ ξ C,5,5,5 a I C ξ pro fázi plaí ϕ arcg arcg. e{ C} ξ V ouladu P3 8 je ožo přechodovou fukci pro < ξ < vjádři ve varu ξ exp ξω ξ h K co[ ω ξ arcg ]. 3.3 7 ξ ξ Zcela obecě e ξ ůže ěi od - do. V ab. 3- je uvedea hlaví klaifikace daických éů podle velikoi poěrého lueí ξ. Poěré Pól Klaifikace Tlueí < ξ <, ξω ± iω ξ ξω < Tlueý kiavý ξ, ω Aperiodický ξ, ± iω Nelueý koaí apliuda ξ >, ξω ± ω ξ Přelueý < ξ <, ξω ± iω ξ ξω > Kiavý rooucí apliuda Tab. 3- Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 4 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů Přechodová charakeriika 3.3 7 závií a řech paraerech: poěré lueí ξ, přirozeé frekveci ω a a zeíleí K. Průběh přechodové charakeriik pro růzé hodo ξ je a obr.3.3 7.V -roviě e zobrazují pól a ul. Jejich vliv a daiku ouav je deorová a obr3.3 8a,b,c. ξ ξ, ξ,5 ξ ξ Obr. 3.3 7 Přechodová charakeriika ouav. řádu pro růzá ξ Vliv kořeů a daiku ouav Vliv koplexě družeých pólů a daiku ouav je zřejý z obr.3.3 8a,b,c. Na obr3.3 8a je zobraze účiek pólů a daiku odezv jeliže je koaí reálá zá- -rovia 3 -,5 3 I 3 e ω 3 ω ω Obr.3.3-8a Pól: α -,5; ω, ω, ω 3 a ji odpovídající přechodové fukce porá čá α a ěíe iω. Na obr.3.3 4b jou pól vole ak, že je koaí iω a ěí e záporá reálá čá α. 3 -rovia -,5 -,75 -,5 I e α -,75 α -,5 α -,5-3 Obr.3.3 8b Pól I i, α,5;,5;, 75 a ji odpovídající přechodové fukce Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 5 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů Na obr.3.3 8c jou zobraze pól ak, že e zvěšuje jak reálá ak i iagiárí čá kořee. Tou odpovídají i průběh přechodové charakeriik. 3 -,5 -, -,5 I,5,5 e -,5 - -,5 3 Obr.3.3 8c Koplexě družeé koře,, 3 a ji odpovídající přechodové fukce. 3 Charakeriické zak přechodové charakeriik Ukaže v áledující výpoče ěkerých charakeriických hodo odezv 3.3 7. Perioda kiu přechodové fukce < ξ < je π π ω T ω ω π ξ Přechodová fukce a ezi aperiodici á áobé koře, ω, je ekiavá a á var h K[ ω exp ω ]. Maxiálí překiuí přechodové fukce éu < ξ < je h ax K exp ξπ ξ Ča ax v ěž aává axiálí překiuí < ξ < je ax ω π ξ Maxia přechodové fukce aávají v čaech < ξ < k k ω π, k,,, ξ Perioda kiu, axiálí překývuí přechodové fukce a ča ax, k jou v přechodové charakeriice zakrele a obr. 3.3 9. Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 6 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů Obr.3.3 9 Přechodové charakeriika Obrazový přeo koplexí póle a ulou. var Uvažujee-li jede koplexí pól a jedu koplexí ulu, pak obrazový přeo á TB TB L TB [ TB ξtb ] K τ τ L τ [ τ ξτ ] 3.3 8 kde koplexě družeéu pólu c - a c ± iω c odpovídá čle [τ ξτ ], kde ξ a koplexě družeé ule čle T B ξt B. Je zřejé, že obrazový přeo 3.3 8 je ožo rozšíři a libovolý poče koplexě družeých pólů a ul. Připoeee e, že áobý koplexí pól daického éu echick ohou vzikou ériový řazeí bloků e ejýi koplexě družeýi koře. 3.3.4 Sé dopraví zpožděí V éech koečou rchloí šířeí igálu e čao vkuje zv. dopraví zpožděí. Sé reaguje a zěu vupí veliči až po určié době, kerou azýváe dopraví zpožděí a ozačujee bole T d. Příklad regulovaých ouav čiě dopraví zpožděí T d jou uvede a obr. 3.3. Na obr. 3.3 a je klaická úloha dávkováí uhého paliva do opeišě. Váhové Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 7 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů a b c 3 d v 4 d 3 v 3 d 4 v Obr.3.3 - Sé dopraví zpožděí ožví paliva e aavuje klapkou v záobíku. Palivo padá a dopravík 3. chlo dopravíku je v [/]. Vzdáleo ezi ápkou a roše 4 je d []. Sé reaguje a zěu ožví paliva za dobu T d, kerá je rova T d d / v. 3.3 9 Na obr. 3.3 b je chéa válcováí plechů. Válcovaý plech prochází válci. chlo odahu válcovaého plechu je v [/]. Čidlo ěřeé loušťk plechu je z echologických důvodů uíěo ve vzdáleoi d od válcovací olice. Vliv zě vzdáleoi válců e projeví a ěřeí loušťk plechu za dobu T d, kerou je ožo urči ze vzahu 3.3 9. Na obr. 3.3 c je chéa regulace kocerace ěšováí dvou kapaliých láek. Do ěšovacího veilu jou přivádě kapalié lák, 3. Měřeí kocerace je ožé až po dokoalé íšeí, proo je čidlo kocerace uíěo ve vzdáleoi d od ěšovacího veilu. chlo ěi je v [/], aké dopraví zpožděí je ožo urči opě dle 3.3 9. Dopraví zpožděí T d [ec], e pro všech uvedeé ouav projeví jako čaový pou odezv o T d ekud viz obr.3.3-d. L-obraz fukce pouué vpravo o T d e určí pole vě o pouuí P-3 viz příloha Td P. Plaí kde L STd { T T } Y e, d T d je pou vpravo. d Předpokládeje, že daický é bez dopravího zpožděí je popá obrazový přeoe, jehož váhová fukce je g. Pak váhová fukce éu dopraví zpožděí T d je váhové fukce g pouuá o T d vpravo. Podle Vě o pouuí P-3 určíe obrazový přeo ouav dopraví zpožděí jako L-obraz pouué váhové fukce g-t d. u u T d Td Obr.3.3-d Odezva ouav dopraví zpožděí u Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 8 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů Plaí Td { g T T } e, G L 3.3-9b kde je obrazový přeo bez dopravího zpožděí T d dopraví zpožděí [ec], je koplexí proěá. je koplexí proěá. Difereciálí rovice éu dopraví zpožděí á var d d A a a b u - T d b u - T d 3.3 Obrazový přeo pro ouavu dopraví zpožděí T d a řáde aaizu r při reálých kořeech á var TB TB L TB K e r τ τ L τ Td 3.3 Uvažujee-li koplexí pól a ulu, pak obrazový přeo je T T L T [ T B B B B K r τ τ L τ [ τ ξtb ] e ξτ ] Td 3.3 Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 9 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 3.8.4 3 Příklad 3.3 4 Na obr.3.3 je zakrelea odezva ouav prvího řádu. Určee difereciálí rovici ouav. Obr.3.3 Řešeí: Z průběhu odezev lze odečí: - dopraví zpožděí τ d - čaovou koau τ 4 - zeíleí Obrazový přeo je Difereciálí rovice á var 4 4u η Koec příkladu 3.3 4 3.3.5 Model daického éu poruchovou veličiou Uvažuje daický é poruchovou veličiou dle obr.3.b, kerý je popaý difereciálí rovicí varu 3 3.3., c pro d c d c d c u b b u u b a a a c c L L L Máe-li vjádři daické účik akčí a poruchové veliči poocí obrazových přeoů poupujee ak, že aplikujee L-raforaci a levou a pravou rau difereciálí rovice při ulových počáečích podíkách a doaee D c c c c U b b b b a a a Y c c c c L L L Obraz výupu je pak rove, D U D A C U A B Y d u 3.3-3 přičež polo A, B, C a obrazové přeo u, d jou rov, c c c c C b b b b B a a a A c c c c L L L,, A C A B d u 3.3-4 e 4 4 4 u u K

Teorie řízei I Aalýza daických éů Srukura odelu daického éu účike poruchové veliči je a obr. 3.3-. Obrazový přeo d aproxiuje daické účik poruchové veliči d zhlede k výupíregulovaé veličiě. Obrazový přeo u aproxiuje daické účik akčí veliči u zhlede k výupíregulovaé veličiě. d u d u d u Obr.3.3- Model daického éu poruchou d 3.3.6 Popi čleů a prvků v regulačí echice V echické dokueaci jou kroě chéaických začek ouav.řádu zavede další blok a cheaické začk, z ichž ejdůležiější jou přehledě uvede v ab.3.. Ozačeí P-blok I-blok D-blok Maeaický Obrazový Přechodová popi přeo fukce K u K K K I udτ D u & K I K I K K D K D δ Schéaické začk u K u u K I K D T D -blok K u T K exp T K T D D D u K D T D PT-blok τ Ku K τ K e /τ u K,τ DT-blok T D Ku T-blok T ξt Ku K T D T K ξt K / TD T D e K[ Ae co ω g A ω T α ξ, ξ. ξ ] ξ u u K,T D K,T,ξ Tab. 3. Uvedeé chéaické začk uadí čeí a porozuěí echické dokueace předevší z agloakých zeí. Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 3 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů 3.4 BLOKOVÁ ALGEBA V echické praxi ohou býi daické é veli ložié, eaveé z oha vzájeě propojeých čáí a prvků. Pro přehledé zázorěí jejich fukce, rukur a daik e ejčaěji používají bloková chéaa. Chcee-li vjádři daické vlaoi éu vjádřeého blokový chéae, pak é úprav a pravidel vedoucí k vjádřeí daických vlaoí blokového chéau jako celku, ozačujee jako blokovou algebrou. Blokové chéa obahuje blok, pojovací lik, oučové rep. rozdílové čle a rozvěvovací ía, kde dochází k věveí igálu. Sigál e šíří ve pojovacích věvích pouze jedí ěre a podél věve e eěí. V bloku poupuje igál rověž jedí ěre - ze vupu a výup. Blok Blok e ozačuje obdélíke, do ěhož e zpravidla apíše obrazový přeo či bol, charakerizující jeho fukci ebo přechodová charakeriika bloku. Blok u jedorozěrých éů ají jede vup a jede výup. Vup a výup e rozuějí buď v čaové oblai, pak e ozačují alýi píe ebo v Laplaceově raforaci, pak e používají velká píea. Spojovací lik věve Spojovací věve e zobrazují čarai vzačeý ěre šířeí igálu. Součový, rep. rozdílový čle Y Y Y Y Y Y Součový, rep. rozdílový čle e ozačuje kroužke a zaéko číaců e vzačuje zaéke, - í, že u záporých igálů e přílušá čá kroužku zpravidla včerí. Sčíací ío předavuje blok jedí výupe a více výup. Y Y Y Y 3 Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 3 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů ozvěvovací bod ozvěvovací bod e ozačuje ečkou a vzačuje rozvěveí pojovací lik. ozvěvovací bod ůžee pokláda za blok jedí vupe více výup přeoe rový jedé. Bloková chéaa uožňují urči daické vlaoi chéau jako celku ebo jeho dílčích kupi. Výledý přeo je ožo urči a Aalick poocí igálích rovic b Meodou poupých úprav c Maoový vzorce 3.4. Sigálí rovice Aalick poupujee ak, že zavedee ozačeí "poocý igál" pro každý igál vkující e za číací íe ebo bloke, pokud chéa eobahuje oučový čle. Pro každý poocý igál eavíe igálí rovici. Sigálí rovice voří ouavu rovic, kerou je řeba řeši. U lieárích ouav pracujee Laplaceovýi obraz uvažovaých igálů a obrazovýi přeo bloků. Ukážee i eo poup a ériové, paralelí a zpěovazebí zapojeí. a ériové zapojeí Y je poocá proěá Pro igál Y a Y plaí: Y U Y Y U Y u 3.4 U Teo výledek je ožo zobeci: Výledý přeo -ériově řazeých čleů je rove oučiu obrazových přeoů. b paralelí zapojeí Pro igál Y je dá ouče Y Y Y U U [ ]U Výledý přeo je rove Y u 3.4 U Teo výledek je ožo zobeci: Výledý přeo -ériově řazeých čleů je rove ouču obrazových přeoů. Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 33 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů c zpěovazebí zapojeí Vupí igál je rove Y U Y Y Y Y Y [U Y] U Y Y Výledý přeo je rove Y 3.4 3 U u Výledý přeo zpěovazebího zapojeí je dá zloke, kde v čiaeli je přeo ebo přeo příé věve a ve jeovaeli je jeda íu ouči přeou ve čce. Příklad 3.4 Poocí igálích rovic určee výledý přeo U Y blokového chéau, kerý je a Obr.3.4 obr.3.4. Řešeí: Za prví oučový íe zvolíe poocou proěou X. Za druhý oučový íe je proěá Y. X X Seavíe igálí rovice. X U X Y X X 3 Proože jou ři ezáé X, Y, U a áe pouze dvě rovice pak řešeí e abízí dvojí: a jeda ezáá e volí - což á evhovuje b volí e poěr proěých j. hledáe poěr Y/U. Vdělíe ed obě rovice U a doaee X ; X U U X / U 3 ; Y / U X Y X 3 Y 3 U U DY / U ovice přepíšee do aicového varu a řešíe Craerovou eodou Y / U, D kde D je deeria ouav D Y/U je upraveý deeria ouav, doaee ; ; D de ; 3 ; D Y / U de 3 ; 3 ; Výledý přeo je rove Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 34 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů Y U 3.4. Meoda poupých úprav 3 Koec příkladu 3.4 Poupýi úpravai blokového chéau viz ab. je ožo libovolé blokové chéa zjedoduši do ěcho ří základích zapojeí. Výběr poupých zjedodušujících kroků však eí jedozačý a závií ve velké íře a zkušeoech řešiele. Příklad 3.4 Určee výledý přeo blokového chéau a obr.3.4 a Daé ložeé blokové chéa b Jeda z ožých ce řešeí je přeeeí rozvěvovacího ía před blok úprava č. 6. c Záěa rozdělovacích í před bloke je zřejá. Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 35 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů d Vjádříe-li přeo zpěovazebího zapojeí a přeo paralelího zapojeí 3 3 pak výledý přeo je rove 3 3 3 Koec příkladu 3.4 Tab.3.4- Přípué úprav blokového chéau Schéa Přeo Popi. Y Y Y Y 3 Y Y Y 3 Y Záěa pořadí číacích í ebo zěa poču číacích í lučováí číačích í. Y Y Y Y 3. Y Y Y Y Y Y Záěa pořadí číacího ía a rozvěveí igálu. Y Y Y Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 36 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů 3. Y Y Y Y Y Záěa pořadí rozvěveí igálu a číacího ía. Y Y Y 4. Y Y Y Y Y Y Y Y U Y Přeeeí číacího ía před blok. Y U Y U Y 5. Y Y Y Y Y Y Přeeeí číacího ía za blok. Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 37 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů 6. Y U Y U Přeeeí rozvěvovacího ía před blok. Y U 7. Y Y Y Y Y Y Přeeeí rozvěvovacího ía za blok 8. Y /Y Y /Y /Y Y Y Y Y Y ozpojeí pojovací lik při oučaé zavedeí bloku rovoi igálů a obou kocích lik. Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 38 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů a b Příklad 3.4 3 Určee výledý přeo blokového chéau z příkladu 3.4 Daé ložeé chéa. V oo příkladě provedee zjedodušeí záěou pořadí rozvěveí igálu číacího ía za bloke úprava č. 3 Výledek úprav je zřejý z obr. 3.4-b. Ní přeeee číací ío 3 za blok úprava č. 5, viz. obr. 3.4-c. c V další kroku loučíe číací ía a 3 za bloke úprava č. a realizujee igál XX 3 a paralelí přeo vjádříe přeoe 3 3 Výledek úprav je a obr. 3.4-d. d Ní číací ío rozdělíe a dvě číací ía, ériový přeo je dá přeoe 3, ab blo doažeo ériového zapojeí. Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 39 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů e Přeo zpěovazebího zapojeí je 3 Too chéa je ožo zapa do varu f Výledý přeo je pak rove 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Z uvedeého příkladu je paré, že ejý výledek bl doaže ložiější a pracější způobe. koec příkladu 3.4 3 3.4.3 Maoův vzorec Pokud je řeba urči je výledý přeo, je ožo použí jedoduchého pravidla, publikovaé v roce 95 Maoe. Pro právé určeí výledého přeou jou určující přeo v příých věvích, přeo ve čkách a jejich vzájeá poloha. Příou věví rozuíe orieovaý igálový ok pojující vup výupe ak, že každý prvek věve e v ě vkuje pouze jedou. Přeo příé věve je ouči všech přeoů prvků věve. Zpěovazebí čkou rep. čkou rozuíe aopak uzavřeý orieovaý igálový ok vracíe e do ía, ve keré již bl přičež každý oučový čle i přeoový blok prochází igál ve čce pouze jedou. Pro pořebu Maoova vzorce e vzájeá poloha ček, ebo vzájeá poloha ček a příých věví klaifikuje jako a doýkající e čk rep. doýkající e čka příou věví b edoýkající e čk rep. edoýkající e čka příou věví. Nedoýkající e čk rep. čka a příá věev jou akové čk a věve, keré eají polečé ai číací ío ai blok. Výledý přeo je pak dá zloke Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 4 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů Vk S S K k k Vk Dk i i 3.4 4 3 D S S S K kde D je zv. deeria blokového chéau, kerý je rove i i D - Σ S i Σ S i - Σ S 3 i 3.4 5 kde: Σ S i je ouče přeoů všech zpěovazebích ček Σ S i je ouče oučiů přeoů dvou edoýkajících e ček Σ S 3 i je ouče oučiů přeoů ří edoýkajících e ček obecě: Σ S r i je ouče oučiů přeoů r-edoýkajících e ček až do včerpáí všech ožoí V K je přeo k-é příé věve je deeria é čái chéau diagrau, kerá e edoýká k-é příé věve D K i Příklad 3.4 4. Určee poocí Maoova vzorce výledý přeo blokového chéau z příkladu 3.4- Řešeí: Nejdříve alezee přeo v příých věvích a čkách Přeo v příých věvích:, 3 Přeo zpěovazebí čk: - Sčk i příé věve e doýkají! Výledý přeo je rove: 3 Koec příkladu 3.4 4 Pozáka Bloková chéaa v echické praxi ohou obahova více vupů-vupích veliči apř. vup akčí veliči, žádaé hodo, vup ěřeé či eěřeé poruchové veliči ad.. Dále ohou obahova kroě výupího igálu i igál viří. Má-li blokové chéa více ožých výupů či výupích viřích igálů, pak obrazový přeo doplňujee idexe, kde prvý idex ozačuje uvažovaou výupí veličiu a druhý idex uvažovaou vupí veličiu apř. d. Zbývající vupí igál jou pokládá za ulové. Maoový vzorce lze pak ado vjádři daické vlaoi ezi vupí igále a libovolý igále a výupu ebo uviř chéau. Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 4 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů Příklad 3.4 5 Určee: a Přeo u blokového chéau a obr. 3.4 b Přeo d c Přeo xu Řešeí: a d ; Přeo u : Přeo příých věví:, 3 Přeo zpěovazebích ček: ; - 4 ; - 4 ; - 3 4 Vzájeá poloha: Příá věev e edoýká čk - 4 Příá věev 3 e edoýká ček - 4 ; Sčka e edoýká čk Obr. 3.4-4 a 3 4 Deeria ouav je [ ] [ ] D 4 4 3 4 4444 4444 3 4 3 4 4444 4444 3 S i S i Deeria prvé příé věve pro k ozačeý D je rove D [ 4 ] 4 3 S i Deeria druhé příé věve pro k ozačeý D je rove D Výledý přeo je rove [ 4 ] [ 4 ] 4 4 443 k 443 4 k i S i S u 4 3 4 4 [ ] [ ] 4 4 3 4 4 3 4 4 4 3 4 3 4 4 4 4 3 4 b u ; Přeo d Příá věev: 3 Přeo zpěovazebích ček a jejich vzájeá poloha e eěí Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 4 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů Příá věev 3 e edoýká ček 4 a Výledý přeo je rove: 3 4 4 d 4 4 3 4 4 3 4 c d ; Přeo xu Příá věev: Vzájeá poloha: Přeo věve e edoýká 4, Výledý přeo je rove d 4 4 4 3 4 4 3 4 Koec příkladu 3.4 5 3.5 METODA GEOMETICKÉHO MÍSTA KOŘENU V echické praxi e vkují é, keré ohou z růzých příči výrazě ěi vé daické vlaoi. Zěa daických vlaoí e ůže projevi ve zěě zeíleí regulovaého éu apř. vlive elieari pu aceí, ebo zěě paraerů aeaického odelu, apř. obrazového přeou ad. Oezíe e zaí pouze a zě v zeíleí regulovaé ouav, keré ovlivňují eje kvaliu regulačích pochodů ale ohou éž způobi eabiliu regulačího obvodu. Z ohoo důvodu je řeba korolova odolo - robuo uzavřeého regulačího obvodu, a ožou zěu zeíleí ouav. Klaickou eodou všeřováí je eoda geoerického ía kořeů aglick oo Locu, jejíž pricip a vlaoi budou v éo čái vlože, včeě ofwarové podpor MATLABu, peciálě pak "Corol Se Toolboxu". Sofwarová podpora pak z éo eod vváří pro uživaele veli účiý a jedoduchý ároj aalýz i éz regulačích obvodů. Nejdříve i vvělíe základí poj a áledě pak budou popá vlaoi kořeových hodografů, eoda geoerického ía kořeů včeě aplikace fukcí Corol Se Toolboxu rlocu, rlocfid. 3.5. Základí poj, kořeový hodograf Uvažuje přeo oevřeého obvodu viz obr. a, jehož přeo je ožo vjádři ve varu r r r B B K K, kde je K.přeo reguláoru, K Gai je celkové zeíleí zpěé vazb,... je rukura reguláoru defiováa pól a ulai,... je přeo ouav. Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 43 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 3.8.4 44 Pro všeřováí vlivu zeíleí K a vlaoi uzavřeého obvodu, bude uvažová regulačí obvod dle obr.b. Přeo uzavřeého obvodu je a obr.c. Obrazový přeo regulovaé ouav je zapá ve varu A B, kde A,B jou polo. Obecě je ožo obrazový přeo reguláoru vjádříe ve varu, B B A B K K K kde K je celkové zeíleí reguláoru Přeo oevřeé čk je Q k Qk M j Mj A B K Q M K A B K K, 3.5 kde je M polo čiaele oevřeé čk, M N je poče ul oevřeé čk, Mj koře čiaele oevřeé čk ul, N j,,, Q polo jeov. oevřeé čk, Q P je poče pólů oevřeé čk Qk koře jeovaele oevřeé čk pól, N k,,, Přeo uzavřeé čk uzavřeého obvodu bude rove B K A B K K K Q M K Q M K B A B uz.3.5 Ze vzahu 3.5 je zřejé, že ul-koře čiaele uzavřeé regulačí čk racioálí loeé fukce 3.5 jou rov ulá oevřeé čk 3.5. Pól uzavřeé regulačí čk jou aková pro kerá plaí. Q M K Q M K K 3.5 3 Na áledující příkladě vvělíe vliv zě zeíleí oevřeé čk a rozložeí pólů uzavřeé čk v -roviě. K K w Obr.c Přeo uzavřeého obvodu w u Obr.b Uzavřeý obvodu Obr.a Oevřeý obvodu

Teorie řízei I Aalýza daických éů Příklad 3.5- M K Uvažuje přeo oevřeé čk ve varu K. Přeo Q K uzavřeé čk je rove uz. Pól uzavřeé čk je ožo v oo K příkladě počía řešeí kvadraické rovice K, pro keré plaí ± 4 4K, ± K. V ab.3.5- jou uvede hodo pólů a pro zvol. hodo K ;,;,4;,6;, 37. K -, -,5 -,895,4 -,5 -,775,6 -,367 -,663,8 -,553 -,447, - -, -i --i 3, -,44i --,44i 5, -i --i -3i --3i 7-4i --4i 6-5i --5i 37-6i --6i Tab.3.5- - rovia K7 - - K Na obr.3.5- jou zobraze pól v -roviě pro K. Poloha pólů je ozačea x pro zvoleá zeíleí. Pro K jou pól uzavřeé čk rov pólů oevřeé čk, -. Při rooucí K lze vidě zěu poloh obou pólů, akže e vvořili dvě věve. Věev vcházející z pólu odrá ěřuje doleva, věev vcházející z pólu - červeá ěřuje doprava. Pro ako voleá zeíleí je ouava přelueá K<. Pro K e obě věve ýkají v bodě. Pól jou dvojáobé -, uzavřeá čka je aperiodická. Při další zvšováí K jou pól koplexí, keré však ají koaí hodou reálé čái. eálá čá je rova. Prví věev předavuje koplexí čílo -iω, druhá věev pak koře koplexě družeý - - iω. Uzavřeá čka je lueá, u keré při rooucí K roe i úhlová frekvece ω. Pro žádou hodou zeíleí K edoáhou pól pravé polorovi, ed uzavřeá čka je abilí pro libovolé K. Zěa poloh pólů uzavřeé čk pro K vváří rajekorie, kerý e říká kořeové hodograf. V aše příkladě bl kořeové hodograf vpoče podle rovice z charakeriického polou uzavřeé čk. Koec příkladu 3.5- K K K5 K K5 K K7 I 4 3 - - -3-4 K e Obr.3.5- Poloha pólů v záviloi a zeíleí oevřeé čk Kořeový hodograf: Pro zěu zeíleí K oevřeé čk poloha pólů uzavřeé čk vváří rajekorie, keré e azývají kořeový hodograf. Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 45 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů Poup, kerý bl použi pro korukci kořeového hodografu v uvedeé příkladě, však eí ožé použí u ložiějších úloh všších řádů. V roce 948 a 95 publikoval Eva [4,5] pro korukci kořeových hodografů graficko-počeí eodu, kerá e azývá v agličiě oo Locu Techique v češiě pak Meoda geoerického ía kořeů. Tao echika uožňuje ze záých ul a pólů oevřeé čk a zeíleí K grafický způobe urči pól uzavřeé čk v koplexí roviě. Kroě aalýz uzavřeé čk uožňuje aké ézu regulačích obvodů. Základí pricip éo eod geoerického ía kořeů budou v další exu vvěle. Na základě odvozeého přeou uzavřeé čk dle 3.5 je zřejé, že pól uzavřeé čk uí vhovova rovoi 3.5 3 pro každé zeíleí K M. 3.5 4 Q K Z hledika dalšího výkladu bude užiečé i zopakova ale hlavě připravi vhodé ároje pro popi rajekorií kořeových hodografů. 3.5. Zobrazováí koplexích číel Koplexí číla zobrazujee v koplexí roviě "" buď v karézkých ouřadicích x i ebo v polárích ouřadicích ve iϕ varu x i e, kde je a c iω z i i iω z i a b iω α a odul, aboluí hodoa, apliuda A a ϕ je argue fáze Obr.3.5- Zobrazeí koplexích číel v -roviě 3 ebo aké ůžee zapa zkráceě A ϕ. Na obr.3.5-a je zobrazeí pro iω iϕ iϕ α iω e i 5 e kde ϕ arcg,47π. Zapáo zkráceě A z ϕ 5, 47π, kde A je odul a ϕ je fáze. Koplexí fukce raforuje koplexí proěou do rovi. Jiýi lov, raforuje ji a jiou proěou z. Například fukce z a i a provede raforaci, jejíž výledek je a obr.b. Připoeee i, že fukce je ulová pro a. Jeliže pouee vekor z do bodu -a doáváe další ožé zobrazeí koplexího číla, poocí vekoru, jehož počáek je v bodě a. Je ožo koaova, že a je koplexí čílo, keré je ožo reprezeova vekore, kerý krelíe z ul éo fukce do libovolého bodu "" viz obr.c. ϕ i -α α α α iω d 3 i α Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 46 3.8.4

Teorie řízei I Aalýza daických éů Jako další příklad uvedee koplexí bod defiovaý fukcí a. Zobrarazeí koplexího číla 3 i poocí vekoru, jehož počáek je v ule koplexí fukce a je a obr..d. V další rozšíříe reprezeaci koplexího číla z poocí vekoru, jehož počáek je v ulách a v pólech éo koplexí fukce. Uvažuje koplexí čílo, keré je defiováo fukcí B A b B B B b Bj j, k k 3.5 5 Aboluí hodou koplexího číla odul z pak vjádříe ve varu A b Bj Součouab. hodo vekorů z ul j 3.5 6 Součouab. hodo vekorů z pólů k k kde Bj je aboluí hodoa vekoru odulu, kerý je vede z bodu Bj do bodu "" k je aboluí hodoa vekoru odulu, kerý je vede z bodu k do bodu "". ázi ϕ Argue koplexího číla pak vjádříe ve varu ϕ Σúhlů vek. z ul - Σ úhlů vekorů z pólů Bj k 3.5 7 j přičež e úhl ěří od reálé o v kladé lu. k Příklad 3.5- Pro koplexí čílo z, keré je defiováo fukcí určee jeho repreeaci v -roviě v bodě 4 6i. Řešeí: Na obr.3.5-3 je grafické zobrazeí bodu 4 6i a čř vekorů vedeých z bodů,,, 3. Pro jedolivé bod jou defiová vekor, 5 6 arcg 3,69 4, 45 6 arcg 6,56 3 47 3 z 3 4 6i -4 Obr.3.5-3 Zobrazeí v bodě -4 6i v -rovia Doc. Ig. Ovald Modrlák, CSc. 3.8.4 I z 6 e