Technická kybernetika. Obsah. Laplaceova transformace. Akademický rok 2017/2018. Připravil: Radim Farana

Transkript

1 8..8 kdemický rok 7/8 Připrvil: Rdim Fr Techická kyereik Lplceov rformce Oh Lplceov rformce Lplceov rformce Lplceov rformce L-rformce převuje velmi účiý ároj při popiu, lýze yéze pojiých lieárích yémů řízeí. Účelem rformce je převé ložiý prolém z prooru origiálů do prooru orzů, kde e eo rformový prolém vyřeší velmi do pk e převede zpě do prooru origiálů. Pierre Simo de Lplce * eumo-e-uge Příž hp://c.wikipedi.org/wiki/pierre-simo_lplce

2 Lplceov rformce ORIGINÁL PROLÉMU PŘÍMÁ TRNSFORMCE ORZ PROLÉMU NESNDNÉ ŘEŠENÍ SNDNÉ ŘEŠENÍ ORIGINÁL VÝSLEDKU ZPĚTNÁ TRNSFORMCE ORZ VÝSLEDKU PROSTOR ORIGINÁLŮ PROSTOR ORZŮ Lplceov rformce Lplceov rformce je defiová vzhy c j x L X X e d πj c j X Lx x e d kde je: = α + jω komplexí proměá α = Re, ω = Im, reálá proměá v omo přípdě č, x origiál reálá fukce defiová v oli pro, X orz komplexí fukce defiová v oli komplexí proměé, j imgiárí jedok L operáor přímé Lplceovy rformce, L - operáor zpěé iverzí Lplceovy rformce, c reálá ko zvoleá k, y v poloroviě Re > c fukce X eměl žádé igulárí ody. 6 Lplceov rformce y čová fukce x yl origiálem předměem, muí ý: ulová pro záporý č, j.: expoeciálího řádu, j. muí vyhovov erovoi c po čáech pojiá. x, x, α x M e, M >, α,,,, Poledí dvě podmíky věši čových fukcí používých v echice plňuje. Druhé podmíce evyhovuje př. fukce x e

3 Lplceov rformce Prví podmíku lze pli vždy vyáoeím dé čové fukce Heviideovým jedokovým kokem, pro T d = defiovým vzhem η, <. Proože v poě kždá pojiá fukce x před použiím Lplceovy rformce muí ý vyáoe Heviideovým jedokovým kokem, proo zápi x e věšiou zjedodušuje ymol e vyechává. 8 Lplceov rformce Origiál e zčí mlým pímeem jeho orz ejým velkým pímeem. Vzh mezi origiálem jeho orzem e zývá korepodece zpiuje e ve vru x ˆ X Korepodece mezi origiálem orzem v Lplceově rformci je jedozčá, jou-li povžováy z ekvivleí kové čové fukce, jejichž fukčí hodoy e liší o koečou hodou pouze v koečém poču izolových odů. U Lplceovy rformce počáečí hodou x v přípdě, že fukce x eí v odě = pojiá, je ře cháp jko prvorou limiu x x lim x 9 Příkld Pomocí defiičího vzorce přímé Lplceovy rformce je ře urči orz čové fukce T d d L T T e d e Td Td ˆ e d T d d e T d Je zřejmé, že zpožděí origiálu o dou T d odpovídá áoeí orzu expoeciálí fukcí e Td Td e

4 8..8 Příkld Pomocí defiičího vzorce přímé Lplceovy rformce je ře urči orz čové fukce L e ˆ d e e d e Při iegrováí yl použi meod iegrce per pre. uv uv uv, kde u =, v e Příkld c Pomocí defiičího vzorce přímé Lplceovy rformce je ře urči orz čové fukce e e e e d L e ˆ e d e Příkld Pomocí defiičího vzorce přímé Lplceovy rformce je ře urči orz memické operce x x L x x x x e x e x e X X x x ˆ X X Odvozeá korepodece vyjdřuje lieriu Lplceovy rformce. 4

5 8..8 Příkld Pomocí defiičího vzorce přímé Lplceovy rformce je ře urči orz memické operce d x d d x d x L e x e x e d x ˆ X x d Podoě y ylo možé urči i orz derivce -ého řádu d x ˆ X x d x d x udou-li počáečí podmíky ulové, pk plí velmi jedoduchá, le důležiá korepodece X x d x X ˆ Je vidě, že derivci -ého řádu origiálu v čové oli odpovídá v oli komplexí proměé áoeí orzu -ou mociou komplexí proměé. 4 Příkld c Pomocí defiičího vzorce přímé Lplceovy rformce je ře urči orz memické operce x d L x d x d e d x d e x e x e X x d ˆ X yl použi meod iegrce per pre, kde u x d, v e Určováí origiálů z orzů Slovíku Lplceovy rformce je možo použí přímo, pokud e v ěm jdou origiály eo orzy v odpovídjícím vru. Věšiou e vyčí jedoduchými úprvmi. Poíže vzikjí při zpěé rformci, proože orzy jou ložié je ué je rozloži jedodušší výrzy, keré již ve lovíku Lplceovy rformce lze jí. Nejčěji e používá rozkld prciálí zlomky. V prkických přípdech má orz ejčěji vr ryzí rcioálí lomeé fukce m M m X, m. N Pokud upeň jmeovele eí věší ež upeň čiele m, je ře prové úprvu orzu vyděleím čiele jmeovelem.

6 Určováí origiálů z orzů Orz ve vru rcioálí lomeé fukce lze zjedoduši rozložeím prciálí čáečé zlomky, pro keré již ze lovíku Lplceovy rformce lze do jí odpovídjící korepodece. Pro mohočle ve jmeoveli plí N kde,,..., jou kořey mohočleu N oučě póly igulárí ody orzu X. Póly i mohou ý jedoduché eo áoé 7 Určováí origiálů z orzů Orz X ryzí rcioálí lomeé fukce pro všechy ypy pólů lze zp ve vru z předpokldu, že = M M X, r N c d e f q odpovídá jedoduchému reálému pólu odpovídá r-áoému reálému pólu odpovídá jedoduché komplexě družeé dvojici pólů c c 4d odpovídá q-áoé komplexě družeé dvojici pólů e e 4 f 8 Určováí origiálů z orzů Orz X může ý zpá v rozložeém vru r X r C D E F E F Eq Fq, q c d e f e f e f kde koy,,,..., r, C, D, E, E,..., E q, F, F,..., F q e určí př. dozovcí meodou eo meodou eurčiých koeficieů. Někdy je vhodé yo meody komiov. Uvedeý poup e zývá rozkld prciálí zlomky. 6

7 Příkld 9 Je ře urči origiál x k orzu X 9 Orz eí ryzí rcioálí lomeá fukce, proo muí ý uprve vyděleím čiele jmeovelem:. : 9 Příkld Orz lze yí zp ve vru, X X X kde X je již ryzí rcioálí lomeá fukce, proo plí D, Dozovcí meod Rovice e vyáoí jmeovelem levé ry doe e To rovice muí pli pro liovolou hodou komplexí proměé. Zvolí e edy růzé hodoy komplexí proměé doou e rovice pro ezámé koy,. Je zřejmé, že je vhodé voli póly orzu X, j.: 4. 4, 9,

8 8..8 Dozovcí meod Rozkld orzu má vr 4 X S využiím lovíku Lplceovy rformce určíme origiál: x e 4e e 4e Nemíme zpomeou, že e jedá o origiál, edy plí pouze pro Meod eurčiých koeficieů Vzh uprvíme podle moci komplexí proměé, j. Proože koeficiey u ejých moci komplexí proměé muí ý ejé, můžeme pá:,,. Z éo ouvy lieárích lgerických rovic do zíkáme ezámé koy =, =, = 4. Dlší poup je hodý předchozím přípdem. 4 Řešeí lieárích difereciálích rovic Je uvžová lieárí difereciálí rovice koími koeficiey m d y d y d u du y m u m polu přílušými počáečími podmíkmi d y d y y,,, m du d u u,,, m V přípdě epojioi počáečích podmíek v odě = je ře uvžov jejich prvoré limiy. 8

9 8..8 Řešeí lieárích difereciálích rovic Čová fukce u e zývá vupí fukce y výupí fukce eo řešeí. Věší z číel eo m e zývá řád difereciálí rovice. Neude-li uvžová prvá r, doe e difereciálí rovice homogeí eo ké ez prvé ry d y d y y pro íž je ře uvžov počáečí podmíky d y d y y,,, 6 Řešeí lieárích difereciálích rovic Po Lplceově rformci difereciálí rovice polu počáečími podmíkmi ude mí vr lgerické rovice m Y L m U R kde je: L mohočle ejvýše -ho upě určeý počáečími podmíkmi levé ry difereciálí rovice, R mohočle ejvýše m -ho upě určeý počáečími podmíkmi prvé ry difereciálí rovice. 7 Řešeí lieárích difereciálích rovic Z lgerické rovice lze yí do vyzči orz řešeí M L R Y U N N m M m N Společý jmeovel orzu řešeí, j. mohočle N zádím způoem ovlivňuje vloi řešeí - y L Y proo e zývá chrkeriický mohočle přílušé difereciálí rovice. Když e položí rový ule, doe e chrkeriická rovice přílušé difereciálí rovice. 9

10 Řešeí lieárích difereciálích rovic Kořey,,..., chrkeriického mohočleu, rep. chrkeriické rovice rozhodují o iliě řešeí difereciálí rovice. Řešeí lieárí difereciálí rovice je ilí, když omezeé vupí fukci u odpovídá omezeé řešeí y. Nuá počující podmík ympoické iliy má vr Re, i,, i, STILNÍ OLST Re < Im NESTILNÍ OLST Re > Re MEZ STILITY Re = 9 Příkld 4 Pomocí Lplceovy rformce je ře řeši homogeí lieárí difereciálí rovici. řádu d y y, d y při počáečích podmíkách y, d Příkld 4 N levou i prvou ru difereciálí rovice e použije Lplceov rformce doe e d y L L L y d y Y y Y Po dozeí počáečích podmíek úprvě e održí orz řešeí Y

11 8..8 Příkld 4 Origiál řešeí e určí z korepodece i ˆ y i, Z orzu řešeí vyplývá, že chrkeriický mohočle difereciálí rovice N má dv komplexě družeé ryze imgiárí kořey, j, y ω π ω proo její řešeí je mezi iliy Slovík Lplceovy rformce Pro dé lezeí vhodé korepodece yly vyvořey lovíky Lplceovy rformce, př. VÍTEČKOVÁ, Miluše. Slovíky L- Z-rformce řešeými příkldy. Orv: VŠ - Techická uiverzi,. ISN X. Čo jou oučáí krip z oli echické kyereiky, př. TŮM, Jiří, Re WGNEROVÁ, Rdim FRN Lek LNDRYOVÁ. Zákldy uomizce. [o-lie]. Orv: VŠ-TU Orv, 7, Doupý z www: URL:hp:// ISN Typický příkld Pomocí Lplceovy rformce vyřeše difereciálí rovici: y y y, y, y 6 Y. y y Y y. Y plikce počáečích podmíek. Y Y Y Y Y Korepodece: Rozložeí prciálí zlomky.

12 8..8 Typický příkld 4 Využijeme přímo korepodeci.. 4 ˆ e e Přeo uprvíme do vru e e y Typický příkld Rozložeí prciálí zlomky Y.. Y Typický příkld 6. Y Korepodece: y e 9 e e e y