2.7.5 Racionální a polynomické funkce

Transkript

1 75 Racioálí a poloické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozáka: Při opisováí defiic racioálí a poloické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké Ve skutečosti je ssté, který jsou fukce popisová, veli jedoduchý a kroě toho, že přepsáí chvíli trvá, a to eí ic těžkého Došlo ě, že problé souvisí s tí, jak žáci defiice čtou a že většiou vůbec evíají jejich ssl Defiice poloické a racioálí fukce proto používá jako ácvik čteí s okažitou iterpretací Ukážu zadáí s defiicí a 0-40 sekud s tí, že si jej žáci ají prohlédout a pochopit tak, ab bli schopi ji správě apsat Rozeberee zapsáí prví defiice a zkusíe to saé s druhou Některé druh fukcí se dají řadit do skupi Mezi takové skupi patří skupi fukcí racioálích a poloických Obě defiice jsou často opisová zcela bez pochopeí V takové případě je praktick eožé se je aučit tak, ab ohl být správě zopaková (všecho se plete avzáje) Zkusíe si aučit je číst tak, abcho si dokázali jejich zěí iterpretovat a pak i bez chb apsat Př : 0 až 40 sekud studuj zěí defiice poloické fukce tak, abs ho poté ohl zapsat zpaěti "Poloická fukce je každá fukce ve tvaru = a + a + + a + a, 0 kde je proěá a čísla a; a ; a; a0 jsou reálá a je číslo přirozeé" Začátek: Poloická fukce je každá fukce ve tvaru Tvar fukce: čí dále eší oci s koeficiete, který á odpovídající ide = a + a + + a + a0 Výza píse: je proěá, čísla a; a ; a; a0 jsou koeficiet před ociai proto reálá čísla, je epoet v ociě přirozeé číslo Poloická fukce je každá fukce ve tvaru = a + a + + a + a, kde je proěá a čísla a; a ; a; a0 jsou reálá a je číslo přirozeé 0 Př : 0 až 0 sekud studuj zěí defiice racioálí fukce tak, abs ho poté ohl zapsat zpaěti a + a + + a + a " Racioálí fukce je každá fukce ve tvaru = b + b + b + b 0 0 kde je proěá a čísla a; a ; a; a0; b ; b ; b ; b0 jsou reálá a, jsou čísla přirozeá", Začátek: Racioálí fukce je každá fukce ve tvaru

2 Tvar fukce: Zloek s jedí poloe v čitateli a druhý ve jeovateli, oba ají a + a + + a + a0 růzou ejvšší ociu: = b + b + b + b0 Výza píse: je proěá, čísla a; a ; a; a0; b ; b ; b ; b0 jsou koeficiet před ociai proto reálá čísla,, jsou epoet v ociách přirozeá číslo a + a + + a + a0 Racioálí fukce je každá fukce ve tvaru =, kde je b + b + b + b 0 proěá a čísla a; a ; a; a0; b ; b ; b ; b0 jsou reálá a, jsou čísla přirozeá Pedagogická pozáka: Běhe opisováí defiic se ukáže, zda si studeti alespoň přibližě paatují ssté pro popisováí poloů z prvího ročíku Pokud se vůbec eorietují, je třeba se k tou vrátit (hodia 704) a obětovat kresleí fukcí Př : Rozhodi, jaký je defiičí obor poloických a racioálích fukcí Defiičí obor: Všecha, která ůžee dosadit do předpisu fukce Poloické fukce: Předpis je sestave z přirozeých oci Do přirozeých oci ůžee dosadit za libovolé číslo pro poloickou fukci platí D f = R ( ) Racioálí fukce: Předpis je sestave z podílu dvou poloických fukcí Obě fukce ají defiičí obor R Neůžee dělit ulou defiičí obore je ted ožia všech reálých čísel, kroě takových, pro které je hodota polou ve D f = R A, kde A je jeovateli rova ule pro racioálí fukci platí ( ) ožia všech kořeů rovice b + b + b + b = 0 0 Pedagogická pozáka: Studeti u defiičího oboru racioálích fukcí tradičě avrhují ulu Je třeba ji ukázat, že evadí ula dosazeá za, ale ula ve jeovateli zloku, což eí to saé Jiak jde o dobrou ukázku ukvapeého uvažováí Př 4: Rozhodi, jaký je vztah ezi racioálíi a poloickýi fukcei (zda je jeda z oži podskupiou druhé, zda ají oži prázdý průik apod) Předpis racioálí fukce je sestave z podílu dvou poloických fukcí Pokud bude polo ve jeovateli rove, zbude pouze polo v čitateli Poloické fukce jsou ted podožiou racioálích fukcí, pro které platí b + b + b + b = (přesěji b = b = = b = 0; b = ) 0 0 Př 5: Doplň ásledující tabulku s přehlede dosud probraých fukcí: Název fukce předpis předpis podle defiice poloické a racioálí fukce patří ezi

3 kvadratická lieárí loeá ociá s přirozeý epoete = a = a + a0 = a b + c X =, > 0 = poloické a racioálí Probrali jse zatí tto fukce: Název fukce předpis kostatí a předpis podle defiice patří ezi poloické a racioálí fukce = a poloické a racioálí = 0 lieárí = a + b = a + a0 poloické a racioálí s absolutí hodotou = a b + c X X kvadratická lieárí loeá ociá s přirozeý epoete ociá s celý záporý epoete = a + b + c a + b = c + d =, > 0 = < 0 = a + a + a poloické a racioálí 0 a + a = b + b 0 0 racioálí = poloické a racioálí = racioálí Pedagogická pozáka: Ukazuji po chvilce studetů prví řádek, ab ěli lepší představu o to, co se po ich chce Poloické fukce ají začý výza: Mají defiičí obor R eusíe se starat o podík Nejsou přetržeé a eají ostré roh (velká výhoda ve fzice při zkouáí jejich zě) Jejich hodot se sado se včíslují S jejich poocí ůžee vjadřovat ostatí fukce (takzvaý Talorův rozvoj) Talorův rozvoj je řada poloických fukcí se zvětšující se řáde, která se zvětšující se přesostí aproiuje hodot jié fukce v okolí ějakého bodu Příklad: aproiace fukce si v okolí bodu 0 = si, =

4 = si, =, = 6 4

5 = si, =, =, = = si, =, =, = +, =

6 Z obrázků je dobře vidět, jak je graf fukce vššího Talorova polou = si čí dál lépe aproiová poocí Graf složitějších racioálích ebo poloických fukcí edokážee akreslit obecě poocí dosavadích etod V ěkterých případech je ožé tvar fukce přibližě odhadout Pedagogická pozáka: Následující příklad studeti až a výjik saostatě evřeší Řešíe ho ted společě a tabuli s tí, že se saží ji dávat co ejvíce šací, ab se trhli a pokračovali dál sai Jiak u obou ásledujících příkladů studetů připoíá, že jde o relativě áročé úloh, které přesahují ráec toho, b se ěli poviě aučit Př 6: Nakresli přibližý tvar grafu fukce = Do obrázku akreslíe graf fukcí = a = Hodot grafu fukce budee získávat děleí hodot fukcí = a = = 6

7 Fukce = ebude ít žádou hodotu pro = a = (dělili bcho ulou) Pro velká je ožé číslo ve jeovateli zloku zaedbat a přibližě platí = = fukce se bude chovat podobě jako fukce = Pokud určujee hodot pro větší ale blízká, dělíe číslo větší ež čísle čí dál více se blížící 0 získáe tak čí dál větší hodot ; Poocí dvou předchozích úvah získáe hodot fukce i pro ( ) Pro 0 = získáe hodotu 0 = Kdž zvětšujee hodotu postupě od ul k jedičce, dělíe kladé číslo, které se zvětšuje od 0 k, záporý čísle, které se zvětšuje od k ule výsledke děleí jsou záporá čísla se vzrůstající absolutí hodotou Kdž zešujee hodotu postupě od ul k -, dělíe záporé číslo, které se zešuje od 0 k -, záporý čísle, které se zvětšuje od k ule výsledke děleí jsou zvětšující se kladá čísla Přibližý tvar grafu i grafů všech zíěých fukcí je vidět a obrázku 7

8 Výsledek ůžee ověřit poocí počítače: =, =, =, = 4 Pedagogická pozáka: Opět spíše bobóek pro zájece, kdž ji a koci hodi zbude čas 8

9 Př 7: Nakresli přibližý tvar grafu fukce = Do obrázku akreslíe graf fukcí = a = Hodot grafu fukce budee získávat děleí hodot fukcí = a = 5 4 = Fukce = ebude ít žádou hodotu pro = (dělili bcho ulou) Pro velká je ožé číslo ve jeovateli zloku zaedbat a přibližě platí = = fukce se bude chovat podobě jako fukce = pro blížíce se ekoeču se budou hodot přibližovat ule, stejě tak pro blížící se íus ekoeču ; Pro hodot blízké dělíe čísla větší ež Určujee tvar grafu v itervalu ( ) dvě čísl, která se blíží ule získáváe veli velká kladá čísla Pro blížící se k jedičce se křivka bude blížit k plus ekoeču, pro velká čísla se fukce chová jako fukce = hodot se blíží ule Pro = 0 dělíe 0 čísle získáe hodotu = 0 Určujee tvar grafu v itervalu ( 0;) Vcházíe z bodu [ ] 0;0, postupě dělíe čí dál větší kladá čísla, čí dál ešíi záporýi čísl získaé hodot se postupě blíží k ;0 0;0, dělíe kladé Určujee tvar grafu v itervalu ( ) Vcházíe z bodu [ ] hodot zeleého grafu, záporýi hodotai odrého všech hodot v toto 9

10 itervalu budou záporé Zeleé hodot se zpočátku zvětšují rchleji ež klesají odré zpočátku se bude absolutí hodota výsledků zvětšovat (graf se vzdaluje od os ), postupě se začou odré hodot zešovat rchleji, fukce se zače chovat jako fukce = a zače se opět blížit k ose Přibližý tvar grafu i grafů všech zíěých fukcí je vidět a obrázku Výsledek ůžee ověřit poocí počítače: =, =, = 0

11 Shrutí: