Betonové konstrukce (S) Přednáška 4

Betonové konstrukce (S) Přednáška 4 Obsah: Předpětí a jeho změny Ztráta předpětí třením Ztráta předpětí pokluzem v kotvě Okamžitým pružným přetvořením betonu Relaxací předpínací výztuže Přetvořením opěrného zařízení Rozdílem teplot předpínací výztuže a opěrného zařízení Otlačením betonu Dotvarováním a smršťováním betonu 1

Předpětí a jeho změny Předpětí a jeho změny Maximální přípustné napětí při předpínání (tj. před zakotvením) σ p,max = min 0,8f pk, 0,9f p0,1k odpovídající síla P max = A p σ p,max Ztráty okamžité (výrobní) σ pi (x) vznikají při předpínání a během kotvení (čas t 0 ), tj. vnesení předpětí do betonu velikost se mění po délce kabelu jsou to změny způsobené: 2

Předpětí a jeho změny Počáteční předpínací síla (v okamžiku t = t 0 ) P m0 x = A p σ pm0 x tj. vnesená do betonu bezprostředně po napnutí a zakotvení (DPP) nebo po zavedení předpětí do betonu (PPP) σ pm0 x = σ p,max σ pi x σ pm0, max = min 0,75f pk, 0,85 f p0,1k Ztráty dlouhodobé (provozní) závisí na čase t > t 0 (čase vyšetřování) a místě vyšetřování x relaxací oceli smršťováním betonu dotvarováním betonu σ c+s+r,t (x) dotvarování betonu od mnohokrát opakovaného cyklického zatížení pružné přetvoření betonu způsobeným proměnným zatížení Střední hodnota předpínací síly v okamžiku t > t 0 a v místě x P m,t x = σ pm,t x A p kde σ pm,t x = σ pm,0 x σ c+s+r,t (x) 3

Předpětí a jeho změny Zjednodušující předpoklady při výpočtu ztrát: Beton i ocel se při výpočtu krátkodobých účinků chová pružně Soudržnost mezi betonem a ocelí (a to i u DPP v době před zainjektováním kabelových kanálků) Výrobní ztráty se určují obvykle odděleně (zanedbává se jejich vzájemné ovlivňování) Dlouhodobé ztráty moderní výpočtové metody umožňují vzájemnou interakci dotvarování, smršťování betonu a relaxaci výztuže (i EN2) Zatížení ovlivňující většinu ztrát jsou zatížení dlouhodobá, proto jejich účinky nemají překročit 40% průměrné pevnosti betonu (Při výpočtu tuhosti se uvažuje se ideální průřez, někdy pouze betonový průřez viz dál) 4

Ztráta třením Ztráta třením Vznik - kontakt předpínací výztuže a povrchu 1. v oblouku 2. po celé délce kabelu neúmyslným zakřivením kanálku 5

Ztráta třením Radiální tlak 1. V oblouku: Silové podmínky rovnováhy Třecí síla 1 2 s uvážením P p (α+dα)= P p (α)+dp p (α), cos dα/2 1, sin dα/2 dα/2 silové podmínky upravíme na tvar 1 2 Coulombův Amontův zákon 3 Dosazením do 1 rovnice 2 a 3 A integrací : 6

Ztráta třením Ztráta třením v oblouku: Závisí na: předpínací síle na začátku oblouku P 0 úhlu oblouku do místa x (ev. součtu úhlu všech oblouků od místa předpínání k místu x) součiniteli tření mezi trubkou a lanem μ 7

Ztráta třením 2. Po celé délce - V důsledku nepřesnosti výroby dojde k neúmyslnému zakřivení: v přímé části kabelu úhel ovinutí je funkcí délky a součinitele k v zakřivené části kabelu Projektované zakřivení Dráha s vlivem nepřesností 8

Ztráta třením Normový vztah A X Přibližný výpočet 9

Ztráta třením 10

Ztráta třením Průběh ztráty třením po délce kabelu Dráha kabelu A Napínání z konce A Napínání z konce A i B 11

Ztráta pokluzem kuželíků v kotvě Ztráta pokluzem klínů (kuželíků) v kotvě kuželík objímka lano Stav při napínání a před zakotvením výztuže a p pokluz Stav po zakotvení = zatlačení kotevního kuželíku i s výztuží do objímky Prokluz (nestejné posunutí předpínací výztuže a kuželíku Chyba kotvení nutno provést napínání a kotvení znovu 12

Ztráta pokluzem kuželíků v kotvě Ztráta pokluzem klínů (kuželíků) v kotvě kuželík objímka lano a p pokluz Stav před zakotvením výztuže Stav po zakotvení = zatlačení kotevního kuželíku i s výztuží do objímky Prokluz (nestejné posunutí předpínací výztuže a kuželíku Chyba kotvení nutno provést napínání a kotvení znovu 13

Ztráta pokluzem kuželíků v kotvě 1. Ztráta pokluzem v kotvení bez vlivu tření P p = E p A p w p l a p l A p E p je délka pokluzu délka lana plocha kotvené předpínací výztuže modul pružnosti l w p ε p = w p l 14

Ztráta pokluzem kuželíků v kotvě 2.1 Ztráta pokluzem v kotvení s vlivem tření v přímé dráze Ztráta tření v přímé kde k 1 = μk 1. dosah ztráty pokluzem vymizí uvnitř dráhy předpínací výztuže U - bod dosahu pokluzu 2. dosah ztráty pokluzem se projevuje po celé dráze předpínací výztuže 15

Ztráta pokluzem kuželíků v kotvě 2.1.1 Ztráta pokluzem vymizí uvnitř dráhy předpínací výztuže 1 Dosah pokluzu Ztráta pokluzem a p x U =? x dx p 0 0 xu Pp ( x) E A P P dx P 1 x = P 0 A P μ (x) Ztráta třením P 2 x = P 0 A P μ (x) P p x 2 P 1 x u = P 2 x u x u 16

Ztráta pokluzem kuželíků v kotvě 2.1.2 Ztráta pokluzem se projevuje po celé dráze předpínací výztuže xu xu Pp ( x) 1 p x dx dx a p E A 0 0 P P 2 x u = l (délka kabelu) 17

Ztráta pokluzem kuželíků v kotvě 2.2 Ztráta pokluzem v kotvení s vlivem tření v kruhové dráze Ztráta tření v oblouku ( x) P0 P 1 e kde k 1 = μk 1. dosah ztráty pokluzem vymizí uvnitř dráhy předpínací výztuže 2. dosah ztráty pokluzem se projevuje po celé dráze předpínací výztuže U - bod dosahu pokluzu 18

Ztráta pokluzem kuželíků v kotvě 2.3 Ztráta pokluzem při uvažování tření pro dráhu předpínací výztuže složenou z přímých a kruhových částí n+1 přímých úseků s délkami a 1, a 2,, a n+1 a n kruhovými blouky s vrcholovými úhly a 1, a 2,, a n a s poloměry r 1, r 2,, r n Při odvození hledaného algoritmu při určení bodu dosahu pokluzu U lze postupovat podobným způsobem jako při odvozování předchozích vztahů v odstavcích zjednodušeným řešením. Ztrátu Pp(x) pak můžeme vyjádřit již pomocí přesného výrazu. 20

Ztráta pokluzem kuželíků v kotvě Ztráta třením a pokluzem 21

Ztráta pokluzem kuželíků v kotvě Ztráta třením a pokluzem - zjednodušený výpočet Vypočítáme ztrátu předpětí třením při napínání v bodech na začátku a na konci jednotlivých úseků (přímá, oblouk ) Předpokládáme, že průběh napětí v po ztrátě tření mezi těmito body je v jednotlivých úsecích lineární Určíme změny p 1, p 2 napětí na jednotku délky Předpoklad, ve kterém úseku ztráta vymizí (mezi body B a D) a p = ε p x dx = 0 x u 0 x u σ p (x) E p dx = A u E p 22

Ztráta pokluzem kuželíků v kotvě Předpětí a jeho změny Ztráta třením při napínání kabelu 23

Předpětí a jeho změny Ztráta třením pokluzem při napínání z obou konců, ztráty pokluzem vymizí bod dosahu pokluzu bod minimálního napětí 24

Předpětí a jeho změny Ztráta pokluzem při napínání z obou konců, ztráta pokluzem v A nevymizí po zakotvení v A Bod dosahu pokluzu v A je za bodem minimálního napětí po zakotvení v A se pokluz projeví i v E 25

Ztráta pokluzem kuželíků v kotvě Ztráta pokluzem při napínání z obou konců, ztráta pokluzem v A nevymizí po zakotvení v A a poté i v E Výsledný průběh napětí je stejný jako při napínání pouze z konce E (napínaní z obou konců není efektivní) 26

Ztráta pokluzem kuželíků v kotvě Ztráta pokluzem při napínání z obou konců, zakotvení v A, poté zakotvení v E ztráta způsobena pokluzem v E překročí bod minimálního napětí, ale vymizí nevhodné při napínání z obou konců (A,B) je výsledný průběh napětí je horší než v případě napínání pouze z konce A 27

Ztráta předpětí okamžitým pružným přetvořením betonu Ztráta předpětí okamžitým pružným přetvořením betonu σ cp ε pe = ε cp stav před vnesením předpětí nebo zatížením stav po vnesení předpětí nebo zatížení poměrné přetvoření průřezu po vnesení předpětí nebo zatížení napětí v betonu na průřezu po vnesení předpětí nebo zatížení Zakotvením, případně vnesením předpětí uvolněním předem předpjaté výztuže z kotevních bloků se předpínací výztuž stává součástí konstrukce a spolupůsobí na přenosu zatížení. Zatížení - deformace prvku - deformace kabelu - změna napjatosti. Obecně může dojít i ke zvýšení napětí (nejedná se jen o ztráty ). 28

Ztráta předpětí okamžitým pružným přetvořením betonu 1. Ztráta předpětí okamžitým pružným přetvořením betonu při předpínání P (pro PPP) Vyjádření P pro centrický kabel rovnováha sil na průřezu N c P P podmínka soudržnosti p c kde ε c = N c A c E c = P P A c E c ε p = P A p E p Síla N c je síla v betonu způsobena předpětím (se zohledněním ztráty předpětí vlivem okamžitého pružného přetvoření betonu od předpětí) Změna předpětí: P = ε p A p E p = ε c A p E p = P P A c E c E p A p 29

Ztráta předpětí okamžitým pružným přetvořením betonu 1. Ztráta předpětí okamžitým pružným přetvořením betonu při předpínání P = úpravy P P A c E c E p A p = P P A c P = P A c E p E c A p P A c E p E c A p P + P A c E p E c A p = P A c E p E c A p E p E c A p ztráta předpětí vyjádřena pomocí betonového průřezu ε p = P P A c E c P = P A c (A c + E p E c A p ) = P A c E p E c A p P A c + E p E c A p E p E c A p = P A i E p E c A p ztráta předpětí vyjádřena pomocí ideálního průřezu ε p = P A i E c Přírůstek přetvoření výztuže vypočtená na ideálním průřezu způsobená celkovou vnesenou předpínací silou P je roven přírůstku přetvoření výztuže vypočtenému na betonové části průřezu při zohlednění ztráty okamžitým pružným přetvořením od působící síly P, tedy P- P Závěr lze zobecnit i na případ excentricky působící předpínací síly 30

Ztráta předpětí okamžitým pružným přetvořením betonu 2. Ztráta předpětí postupným předpínáním (pouze u DPP) Idealizace pro centrické předpětí 1. Kabel napnut: Prvek se pouze zkrátí o l 1 2. Kabel napnut: Prvek se zkrátí l 2 1. kabel se zkrátí pokles napětí (ztráta předpětí) 3. Kabel napnut: Prvek se zkrátí l 3 1. a 2. kabel se zkrátí pokles napětí (ztráta předpětí) 31

Ztráta předpětí okamžitým pružným přetvořením betonu 2. Ztráta předpětí postupným předpínáním (pouze u DPP) A (1) p, A (2) p,, A (m) p, P 01 (A), P 02 (A),, P 0m (A) Předpoklady: z p (1), z p (2),, z p(m) /m /m kde σ c x = P A c P e p I c e p je napětí v betonu v úrovni předpínací výztuže od aktuální P (ze zohledněním ztráty třením a pokluzem) 32

Ztráta předpětí okamžitým pružným přetvořením betonu 2. Ztráta předpětí postupným předpínáním (pouze u DPP) Vlastní tíha eliminuje tu část ztráty postupným předpínáním, která by vznikla v důsledku excentrické polohy kabelu. Vlastní tíha brání prvku se zvednout vlivem předpětí - prvek klouže po podložce - uplatní se pouze ztráta postupným předpínáním, která se vypočte pro centrické předpětí Až účinky předpětí přesáhnou účinky vlastní tíhy, prvek se začne vzpínat nad podložku pro další kabely je potřeba zohlednit vliv jejich excentrické polohy Ztráta předpětí pružným přetvořením betonu způsobeným vlastní tíhou se v tomto případě již neuplatňuje. 33

Ztráta předpětí okamžitým pružným přetvořením betonu 2. Ztráta předpětí postupným předpínáním (pouze u DPP) Postup napínání: ztráta postupným předpínáním je největší u kabelu, který byl napínán jako první, u posledního napínaného kabelu je ztráta postupným napínáním nulová, při určování pořadí kabelů při napínání vycházíme z toho, že je potřeba, aby výsledná předpínací síla s uvážením ztráty postupným napínáním ΔP el (x) působila co nejblíže těžišti průřezové plochy výztuže, tak aby nedocházelo k půdorysnému prohnutí předpínaného prvku. 34

Ztráta předpětí okamžitým pružným přetvořením betonu 3. Ztráta předpětí pružným přetvořením betonu způsobeným vnějším zatížením (g 0, g 1, q) σ c (x, t) ε pe = ε cp kde Δσ c (x,t) je změna napětí v betonu v těžišti předpínací výztuže způsobená vnějším zatížením (v průřezu x a čase t), vypočítá se na ideálním průřezu podle zásad pružnosti: PPP - pro všechna zatížení, DPP jen pro g 1, q, pro vlasní tíhu viz poznámka u ztráty postupným napínáním 35

Ztráta předpětí okamžitým pružným přetvořením betonu 4. Ztráta předpětí pružným přetvořením betonu podle EC2 (Shrnutí předchozích 3 kapitol) kde Δσ c (x,t) je změna napětí v betonu v těžišti předpínací výztuže v průřezu x a čase t a j je součinitel nabývající hodnot: j = (m-1) / (2m) ½ pro případ postupného napínání m stejných předpínacích vložek a j = 1 pro změny vyvolané stálým zatížením působícím po předpínání.!!! Ztráta /změna/ - dle výsledného znaménka napětí v betonu: Tah (+) nárůst předpínací síly Tlak (-) pokles předpínací síly (ztráta) 36

Ztráta předpětí přetvořením opěrného zařízení Ztráta předpětí přetvořením opěrného zařízení l p délka lana, odpovídá délce opěrného zařízení Δ l p - deformace (zkrácení) opěrného zařízení, které by vzniklo, kdyby na opěrné zařízení začala najednou působit síla N sd = - P m počet postupně napínaných vložek Předpoklad: -V každé vložce bude vyvozena při napínání předpínací síla P/m -Závislost deformace Δl p na působící síle N sd je lineární psd E p m 1 1 2m l p p 37

Ztráta předpětí způsobená rozdílem teplot předpínací výztuže a opěrného zařízení Ztráta předpětí způsobená rozdílem teplot předpínací výztuže a opěrného zařízení pt E p l l p E Výpočet podle EC 2: Schéma deformací vyvolaných rozdílem teplot l p p l A A pt T T l T A 0 p p p T 0 Teptoty T A a T p se uvažují v čase, kdy se předpokládá dosažení soudržnosti mezi betonem a předpínací výztuži. Obvykle při dosažení 25% projektované pevnosti betonu v tlaku. kde T max je maximální teplota betonu T 0 je počáteční teplota betonu 0,5E T T p c max 0 38

Ztráta otlačením betonu Ztráta otlačením betonu Vzniká v případě předpínání ovíjením rotačně symetrických konstrukcí con E p l dl(r) r d E p r d r d E p r r kde Δl=dl(r)-dl(r-Δr) dl(r)=r dα dl(r-δr)=(r Δr) dα Δl= r dα-(r Δr) dα = Δr dα Δr je (zpožděné) zatlačení předpínací výztuže do betonu, což je složité určit, proto 39

Ztráta předpětí stlačením spar při postupném předpínaní prvku Ztráta předpětí stlačením spar při postupném předpínaní prvku m postupně napínaných lan kde s i je stlačení i-té spáry od celkové předpínací síly jako kdyby působíla najednou 40

Ztráta relaxací výztuže Ztráta relaxací výztuže patří mezi výrobní i provozní ztráty pracovní diagram dotvarování relaxace Časově závislé vlastnosti předpínací výztuže 41

Ztráta relaxací výztuže Ztráta předpětí relaxací σ pr v časovém intervalu s konstantním napětím předpínací výztuže závisí na třídě relaxačního chování součiniteli relaxace ρ 1000 = ztráta relaxací 1000 hodin po napnutí při průměrné teplotě 20 C pro počáteční napětí 0,7 fp (pro třídu 2 je ρ 1000 = 2,5%) velikost dlouhodobého tahového napětí v předpínací výztuži σ pi, resp. jeho poměru ku pevnosti, který je daný μ = σ p,i f pk čase t (hodiny) σ p,i σ pr Například σ pr pro třídu relaxačního chování 2 podle EC 2 (jsou 3 třídy) σ pr σ p,i = 0,66 ρ 1000 e 9,1μ t 1000 0,75(1 μ) 10 5 42

Ztráta relaxací výztuže Ztráta předpětí relaxací σ pr,i v časovém intervalu (t i, t i+1 ) s proměnným napětím předpínací výztuže metoda ekvivalentního času nové počáteční napětí σ p,1 všechny již dříve proběhlé ztráty relaxaci oceli tuto ztrátu chci vypočítat t e časový interval t i Výchozí bod: čas t + + i, napětí ve výztuži σ p,i Součet všech již dříve proběhlých ztrát relaxací v časovém intervalu (t 1, t i ) i 1 σ pr t 1, t i = j=1 σ pr,j Určení nového počátečního napětí σ p,1 = σ + p,i + σ pr t 1, t i a součinitele μ = σ p,1 f pk Určíme ekvivalentní čas t e z rovnice pro výpočet relaxace σ pr t 1, t i = 0,66ρ 1000 e 9,1μ t e 1000 0,75(1 μ) σ p,1 10 5 43

Ztráta relaxací výztuže nové počáteční napětí σ p,1 všechny již dříve proběhlé ztráty relaxaci oceli tuto ztrátu chci vypočítat t e časový interval t i Pomocí nového počátečního napětí a ekvivalentního času spočítáme celkovou ztrátu relaxací σ pr t 1, t i+1 až do času t i+1, tj. pro t = t e + t i = t e + (t i+1 -t i ) σ pr t 1, t i+1 = 0,66ρ 1000 e 9,1μ t e + t i 1000 0,75(1 μ) σ p,1 10 5 Hledaná ztráta relaxací σ pr,i v relaxací v časovém intervalu (t i, t i+1 ) je σ pr,i = σ pr t 1, t i+1 σ pr t 1, t i 44

Ztráta relaxací výztuže Ztráta relaxací výztuže snížení ztráty podržením napětí dotvarování předpínací výztuže 45

Ztráty předpětí smšťováním a dotvarováním betonu Ztráta předpětí smršťováním betonu σ ps = E p ε c,s (t) ε c,s (t) je součinitel smršťování betonu (z vysychání + autogenní smršťování) Ztráta dotvarováním betonu σ pc = E p ε c,c t g+p σ cp = E p ε c,e τ φ t, τ = = E p φ t, τ E c (τ) kde σ cp g+p je napětí v betonu v úrovni předpínací výztuže od dlouhodobých zatížení (stálé +předpětí + dlouhodobá složka proměnného zatížení) v daném místě x 46

Ztráty předpětí Změna napětí v těžišti předpínací výztuže od smršťování, dotvarování betonu a relaxace výztuže (normový vztah) Ztráty se navzájem ovlivňují, přesný výpočet je komplikovaný. Lze použít vztah: Ztráta smršťováním betonu Ztráta relaxací předpínací výztuže Ztráta dotvarováním betonu 47

Účinky předpětí Fáze působení předpjaté konstrukce V každé fázi výstavby a provozu předpjaté konstrukce je tedy nezbytné určení velikosti aktuálně působící předpínací síly účinky předpětí 48