Martin Chudoba s Seminář - Stochastické modelování v ekonomii a financích KPMS MFF UK 18.10.2010
Uvažujeme bezkupónový dluhopis vyplácející jednotku v čase T Za předpokladu konstantní úrokové míry r pro všechny doby splatnosti je jeho hodnota v čase t rovna e r(t t) Ve skutečném světě ale výnosová křivka konstantní není, zároveň se úrokové sazby mění v čase dle toho se mění i hodnota ho dluhopisu Jednou z možností, jak ocenit bezkupónový dluhopis, je považovat vliv úrokových měr za stochastický a aplikovat vhodnou modifikaci s
Model pro bezkupónový dluhopis Předpokládejme bezrizikový dluhopis B t = exp(rt) pro nějakou konstantní kladnou úrokovou míru r. Necht dále S t značí cenu ho dluhopisu, která se řídí procesem S t = S 0 exp(σw t + µt), pro všechny časy t menší než určitý časový horizont T, přičemž platí T << τ, kde τ je doba konečné splatnosti ho dluhopisu. Bezrizikový dluhopis - deterministický, bezkupónový dluhopis - stochastický Pokud bychom umožnili T = τ, nemáme vzhledem k obecnému σ a µ zaručeno, že S τ = 1 s
Konstrukce portfolia & replikační strategie Stejný postup jako v předchozích případech Nalezení replikační strategie (φ t, ψ t ) pro derivát X 1. Najít míru Q, podle které je Z t = Bt 1 S t martingal 2. Vytvořit proces E t = E Q (B 1 T X F t) 3. Najít previsible proces φ t tak, že de t = φ t dz t Replikační strategie 1. Držet φ t jednotek ho dluhopisu v čase t 2. Držet ψ t = E t φ t Z t jednotek bezrizikového dluhopisu v čase t s Pro arbitrážní cenu derivátu X platí vztah V t = B t E Q (B 1 T X F t) = e r(t t) E Q (X F t )
Konstrukce portfolia & replikační strategie Cena dluhopisu: Diskontovaný proces: S t = S 0 exp(σw t + µt) Z t = Bt 1 S t = S 0 exp(σw t + (µ r)t) Itovo lemma pro Z t = exp(y t ): dz t = σz t dw t + (µ r + 1 2 σ2 )Z t dt s Zavedení procesu W t : W t = W t + µ r + 1 2 σ2 t σ Dle C-M-G existuje míra Q tak, že W t je vůči ní Brownův pohyb
Konstrukce portfolia & replikační strategie Ověření, že Z t je martingal vzhledem k míře E Q : dz t = σz t d W t Dosazení do procesu Z t : ( Z t = S 0 exp σ W t 1 ) 2 σ2 t s Pronásobení výrazem e rt : ( S t = S 0 exp σ W t + (r 1 ) 2 σ2 )t Druhý a třetí krok + oveření samofinancovací podmínky se provede analogicky jako v minulých případech
Ocenění forwardu na koupi jednoho dluhopisu Forward na koupi jednoho dluhopisu s výplatou v čase T X = S T k Jeho hodnota je v obecném čase t rovna V t = e r(t t) E Q (S T k F t ) Zajímá nás forwardová cena F v čase 0, tj. strike k s 0 = V 0 = e rt E Q (S T k) = E Q (S T ) k F = k = E Q (S T ) Dosadíme S T a využijeme větu o identifikaci normality: ( F = E Q (S 0 exp σ W T + (r 1 )) 2 σ2 )T = S 0 e rt
s Většina dluhopisů vyplácí v předem dané časové okamžiky T 1,..., T n též tzv. kupóny - jsou podobné dividendám u akcie, ale narozdíl od nich je velikost kupónu známa předem V rámci budeme považovat kupóny do času T včetně za deterministické a od času T do τ za stochastické s
s Model pro dluhopis s Předpokládejme bezrizikový dluhopis B t = exp(rt) pro nějakou konstantní úrokovou míru r. Necht dále S t značí cenu dluhopisu s, který vyplácí kupón c v časech T 1,..., až do času τ. Označme I (t) = min {i : t < T i } jako index nejbližší kupónové platby po čase t a položme j := I (T ) 1. Cena dluhopisu s se pak řídí procesem s j S t = ce r(t i t) + A exp(σw t + µt), t < T. i=i (t) Kupóny do času T včetně jsou modelovány prvním členem, po čase T členem druhým
s Proces S t je nespojitý v jednotlivých časech výplaty kupónu (stejně jako u akcie s dividendami) Nespojitost odstraníme tím, že v okamžiku výplaty každého kupónu jej investujeme do bezrizikového dluhopisu: S t = j ce r(t i t) + A exp(σw t + µt) i=1 s Replikační strategie ( φ t, ψ t ), kde φ t, resp. ψ t je množství aktiva S t, resp. množství bezrizikového dluhopisu B t držené v čase t Platí zde vztah I (t) 1 S t = S t + i=1 ce r(t i t)
Baxter, M., Rennie, A. Financial Calculus - An introduction to derivate pricing, Cambridge University Press, 9. vydání, 2003 s
Děkuji za pozornost. s