SYLABUS PŘEDNÁŠKY 10 Z GEODÉZIE 1 (Souřadnicové výpočty 4, Orientace osnovy vodorovných směrů) 1. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G doc. Ing. Jaromír Procházka, CSc. prosinec 2015 1
Geodézie 1 přednáška č.10 VÝPOČET SOUŘADNIC PODROBNÝCH BODŮ Ve skriptech Geodézie 1, na stránkách 216 až 221 jsou řešeny úlohy, související s měřením tzv. podrobných bodů (při mapování se jedná o body polohopisu jako např. rohy objektů, hranice pozemků, povrchové znaky inženýrských sítí apod.) vzhledem k síti měřických bodů, jejichž souřadnice byly určeny některou z dříve probíraných metod. Pevná měřická přímka Pevná měřická přímka může být tvořena například dvěma polygonovými body, jejichž souřadnice v S-JTSK ( 1 y, 1 x) jsou dány a mezi nimiž je vzájemná viditelnost (obr.1). K měřické přímce jsou ortogonální metodou, tj. staničením a kolmicemi (zvolený lokální souřadnicový systém 2 y, 2 x, s počátkem v bodě P) vztaženy podrobné body (v obr.1 body 1, 2 a 3), jejichž souřadnice v S-JTSK je třeba určit. Výpočet se provede podobnostní transformací s úhlem stočení ω σ PK (obr.1) a délkovým modulem q daným poměrem délky 1 s PK, vypočtené ze souřadnic v S-JTSK, k naměřené délce 2 s PK s m :. Před výpočtem délkového modulu se nejprve hodnotí rozdíl mezi délkou vypočtenou ze souřadnic 1 s PK a délkou naměřenou s m, a to porovnáním s mezní odchylkou Md, danou Návodem pro obnovu katastrálního operátu a převod" (ČÚZK, 2009). Pro délku měřenou mezi body PPBP je Md = 0,15 m (viz tab.1, v přednášce č.9). Pozn.: Pro práce v IG platí jiná kritéria. Pro porovnání je nutno měřenou délku opravit do zobrazení a na nulovou hladinu, čili zavést opravu ze zobrazení a z nadmořské výšky. Je-li délkový modul q vypočten poměrem délky 1 s PK vypočtené ze souřadnic a měřené délky 2 s PK s m, jsou měřená staničení i kolmice po vynásobení koeficientem q opraveny automaticky i o korekce ze zobrazení a z nadmořské výšky. Oprava zahrnuje i odchylku v délce s m, způsobenou měřickými chybami. Ta se rovnoměrně promítne do všech měřených délek, tedy staničení i kolmic. 2
Poznámka: Při hodnocení délky vypočtené ze souřadnic a měřené, se měřená délka převádí do zobrazení a nulové hladiny. Pokud by se takto převedená délka použila pro výpočet koeficientu q, bylo by nutné převádět do zobrazení a nulové hladiny všechny měřené hodnoty, tedy staničení a kolmice ještě před vynásobením koeficientem q! Ten by pak zohledňoval pouze odchylky v měření. Transformační rovnice pro shodnostní transformaci s délkovým modulem q = 1 byly odvozeny v přednášce č.7. Rovnice pro podobnostní transformaci se od odvozených rovnic shodnostní transformace liší pouze délkovým modulem q, kterým se přenásobí měřené délky (staničení a kolmice): ( ), ( ). Poznámka: Uvedené rovnice platí pro kolmici vpravo (k 3 ) s kladným znaménkem a kolmici vlevo (k 1 ) se záporným znaménkem, podle místní souřadnicové soustavy (obr.1). Volná měřická přímka Není-li vzájemná viditelnost mezi danými polygonovými body P, K, volí se pomocná (volná) měřická přímka A, B, ke které se ortogonálně zaměří jak dané body P, K, tak i podrobné body 1, 2, 3. Pravoúhlé souřadnice daných i podrobných bodů ve zvolené lokální souřadnicové soustavě ( 2 y, 2 x, s počátkem v bodě A) jsou dány hodnotami měřených staničení s i 2 x i a kolmic k i 2 y i (obr.2). Vzdálenost mezi body P, K se vypočítá jednak z daných souřadnic v S-JTSK, tj. délka 1 s PK a dále ze souřadnic v lokální soustavě, tj. 2 s PK a porovná s mezní odchylkou Md, (viz předchozí kapitola). Pokud je nerovnost splněna, vypočítá se délkový modul q, stejně jako v předchozím případě. V obou souřadnicových systémech se vypočtou směrníky spojnice bodů P, K a z jejich rozdílu pak úhel stočení ω (obr.2): kde a. 3,
Výpočet lze provést prostřednictvím transformačních rovnic uvedených v předchozím případě s tím, že se nejprve určí souřadnice bodu A v S-JTSK a následně souřadnice podrobných bodů 1, 2, 3 atd. Souřadnice bodu A (obr.2): ( ), ( ). Poznámka: Uvedené rovnice platí pro kolmici vpravo s kladným znaménkem a kolmici vlevo (k P ) se záporným znaménkem, podle místní souřadnicové soustavy (obr.2). Pro výpočet souřadnic podrobných bodů platí rovnice uvedené v předchozí kapitole s tím, že se souřadnice počátečního bodu P nahradí souřadnicemi počátečního bodu A a směrník σ PK směrníkem α AB ω. Průsečík dvou měřických přímek Určení průsečíku dvou měřických přímek (obr.3), jejichž koncové body jsou dány souřadnicemi, lze řešit více způsoby. Jednou z možností je převedení úlohy na určení souřadnic bodu P protínáním vpřed ze směrníků, které vypočteme z daných souřadnic bodů A, C (jedna přímka) a bodů B, D (druhá přímka). Jinou možností je řešení dvou rovnic daných bodem a směrnicí. Průsečík měřické přímky se sekčním rámem Leží-li dané body měřické sítě na dvou sousedních mapových listech, je pro zakreslení spojnice těchto bodů do mapy nutné vypočítat průsečík spojnice se sekčním rámem oněch mapových listů. Sekční rám mapového listu je tvořen rovnoběžkami se souřadnicovými osami a jedna jeho souřadnice je tedy konstantní (obr.4). 4
Řešení této úlohy je jednoduché a vychází z podobnosti pravoúhlých trojúhelníků s přeponou A, B, resp. A, P, kde např. souřadnice y P (obr.4) je známa. Potom platí: ( ) a odtud ( ). Jedná-li se o průsečík s rámem o konstantní souřadnici x, je postup výpočtu souřadnice y P analogický. Výpočet pravoúhlých vytyčovacích prvků k měřické přímce Jsou-li dány souřadnice bodů P, K a vytyčovaných bodů 1, 2, 3 v S-JTSK, vypočtou se vytyčovací prvky (staničení s i a kolmice k i ) k měřické přímce následovně (obr.5): o ze souřadnicových rozdílů bodů P, K se vypočte směrník σ PK, o ze souřadnicových rozdílů bodů P, i se vypočte směrník σ Pi a délka s Pi, o vytyčovací prvky ( ) a ( ), o délky vypočtené ze souřadnic se opraví o redukce ze zobrazení a z nadmořské výšky (do skutečnosti). Úlohu lze řešit také transformačními rovnicemi z barevně (zeleně části staničení, červeně části kolmice) vyznačených trojúhelníků (obr.5): (popř. postupem uvedeným ve skriptech Geodézie 1, str.220). ORIENTACE OSNOVY VODOROVNÝCH SMĚRŮ Orientace osnovy vodorovných směrů znamená pootočení naměřené osnovy o orientovaný úhel mezi počátkem osnovy a rovnoběžkou s kladným směrem osy x. Provádí-li se orientace naměřené osnovy na dva nebo více bodů s danými souřadnicemi (obr.6), vypočítají se ze souřadnic na tyto body směrníky. Rozdíl,, 5
každého směrníku a odpovídajícího měřeného směru (jeho úhlové hodnoty) udává tzv. orientační posun. Takto vypočtené jednotlivé orientační posuny se mohou vlivem nejen měřických chyb při měření vodorovných směrů (nepřesnost daných souřadnic, chyby v centraci přístroje, popř. i cíle apod.) v jistých mezích lišit. Nepřesáhne-li odchylka stanovené meze, je nejpravděpodobnější hodnotou orientačního posunu aritmetický průměr ō, o který se celá úhlová osnova pootočí (tab.1). (Podrobněji viz skripta Geodézie 1, str. 194, popř. Geodézie 1,2 Návody ke cvičení, str.69). V příkladu (obr.6) je zobrazena osnova směrů měřených ze stanoviska A 37 na body o známých souřadnicích (16, 21 a 13), ze kterých jsou v tabulce na obr.7 vypočteny směrníky σ A,i, od kterých jsou odečtením měřených směrů ψ B,i vypočteny orientační posuny o i. Orientační posun vodorovného směru na určovaný bod P 12 je získán průměrem je vypočten ze vztahu:. a směrník strany A,12 Tab.1 Výpočet orientace osnovy vodorovných směrů na stanovisku A 37 Bod i Ψ Bi [gon] σ Ai = arctgδy/δx [gon] Oi = σ Ai - Ψ Bi [gon] α AP = ō+ Ψ BP [gon] 16 B 0,0000 173,4804 173,4804 ------- 21 294,5631 68,0417 173,4786 ------- 13 347,0152 120,4980 173,4828 ------- 12 P 366,,7087 ------- ------- 140,1893 průměr: ō = 173,4806 HODNOCENÍ PŘESNOSTI VODOROVNÝCH SMĚRŮ MĚŘENÝCH VE DVOU A VÍCE SKUPINÁCH Naměřenou osnovu vodorovných směrů je nutno (zpravidla okamžitě po doměření na stanovisku) hodnotit porovnáním dosažené přesnosti měření s přesností očekávanou. Dosažená přesnost, reprezentovaná velikostí oprav v ij (obr.7) od průměrné hodnoty každého směru (v absolutní hodnotě) je hodnocena s mezní opravou v M, která představuje přesnost očekávanou:, kde, u α,n je kritická hodnota Mc Kay a Nairova testu odlehlých měření, závislá na zvoleném riziku α a počtu měření (tab.2), σ φo - směrodatná odchylka vodorovného směru, měřeného v jedné skupině. Nesplnění výše uvedené nerovnosti ukazuje na pravděpodobné nesplnění přesnosti očekávané, a proto by měla být přiměřena další úhlová skupina. 6
V příkladu uvedeném v zápisníku (obr.7) je pro uvažovanou směrodatnou odchylku σ φo = 10 cc mezní oprava v M =1,74.10 cc 17 cc a výše uvedená nerovnost je splněna. Dosažené výsledky měření je tedy možno považovat za odpovídající teoretickým předpokladům. Tab.2 Kritické hodnoty u α,n pro test odlehlých měření α P o č e t m ě ř e n í n 2 3 4 5 6 7 8 5% 1,39 1,74 1,94 2,08 2,18 2,27 2,33 1% 1,82 2,22 2,43 2,57 2,68 2,76 2,83 Dosaženou přesnost měření lze odhadnout též výběrovou směrodatnou odchylkou směru měřeného v jedné skupině (řádku) s φi (obr.7): kde i je číslo řádku, j - číslo skupiny, s - počet skupin., 7
Vzhledem ke skutečnosti, že výběrová směrodatná odchylka s φi je obvykle určena z malého souboru (zpravidla 3 skupiny) a je tedy silně závislá na náhodném setkání několika náhodných odchylek měřeného směru, je za věrohodnější charakteristiku dosažené přesnosti považován kvadratický průměr směrodatných odchylek jednotlivých směrů (řádků) měřených v jedné skupině s φ (obr.7):, kde k je počet směrů (bez počátku, tedy v uvedeném příkladu k = 5). Dosažená výběrová směrodatná odchylka s φi se hodnotí porovnáním s mezní výběrovou odchylkou s φm, vypočtenou ze vztahu: ( ), kde σ φo je základní směrodatná odchylka směru, měřeného v jedné skupině. Pro příklad uvedený v zápisníku (obr.7), tedy pro jednotlivý směr platí (2 nadb. měř.): ( ) a pro průměrnou směrodatnou odchylku všech směrů s φ (obr.7), tedy pro hodnocení celé osnovy (10 nadbytečných měření): ( ). V obou případech platí nerovnost: (13,9 cc 20 cc ), resp.: (7,8 cc 14,5 cc ), takže je možno považovat přesnost měření za vyhovující i při použití tohoto způsobu hodnocení. Výběrová směrodatná odchylka výsledných směrů, tedy průměru tří skupin s φø se vypočte ze vztahu:. 8