14. přednáška. Přímka

Transkript

1 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1 a2 a3 ] a směrovým vektorem u = ( u 1 u 2 u 3 ) Libovolný bod X = [ x y z] leží na dané přímce když vektor AX je rovnoběžný s vektorem u tedy AX = tu kde t je libovolné reálné číslo Z tohoto vztahu dostaneme úpravou X - A= t u X = A+ t u Definice: Rovnici X = A+ tu nazýváme vektorovou rovnicí přímky Dosazením souřadnic bodu a vektoru do této rovnice získáme parametrické rovnice přímky x = a1 + t u1 y = a2 + t u2 z = a + t u 3 3 Poznámka Protože bodů a směrových vektorů pro vyjádření jedné přímky můžeme zvolit nekonečně mnoho můžeme jednu přímku vyjádřit nekonečně mnoha parametrickými rovnicemi Uvažujeme-li přímku jako průsečnici dvou rovin pak je přímka určena rovnicemi obou rovin tj dvěma rovnicemi o jedné až třech proměnných ì a1x+ b1 y+ c1z+ d1 = 0 í îa2 x+ b2 y+ c2 z+ d 2 = 0 Příklad: Určete rovnici přímky která je dána body A= [ ] B= [ ] Řešení: Body A B leží na přímce tedy vektor který určují je směrový vektor dané přímky Určíme jeho souřadnice

2 AB= ( ) Do parametrických rovnic přímky dosadíme souřadnice vektoru AB a např bodu A: x= 2-3t y= 1+ t z= 3t Příklad: Určete parametrické rovnice přímky která je dána jako průsečnice rovin 2x- y- 7= 0 2x+ y- 3z+ 1= 0 Řešení: Normálové vektory rovin nejsou rovnoběžné tedy roviny mají společnou přímku Směrový vektor této přímky je kolmý na oba normálové jeho souřadnice určíme pomocí vektorového součinu i j k u = n n = = 3i + 6j+ 4 k Hledaný směrový vektor přímky je u = ( ) Dále určíme některý bod A= [ x y z ] který leží na průsečnici obou rovin Zvolme například x 0 = 0 Dosazením tohoto čísla do obou rovnic za x dostaneme dvě rovnice -y- 7= 0 y- 3z+ 1= 0 Jejich řešením určíme y0 =- 7 z0 =-2 Hledané parametrické rovnice přímky jsou x = 3t y = t z = t pro t Î( - + ) Rovnici hledané přímky můžeme také určit jako řešení soustavy dvou rovnic pro tři neznámé pomocí Gaussovy eliminační metody 2x- y = 7 2x+ y- 3z=- 1 Vzhledem k našemu zadání nemusíme koeficiety u neznámých a pravé strany rovnic psát do tabulky ale hned volíme x= t a dosazujeme y=- 7+ 2t 2t- 7+ 2t- 3z=-1 4 z=- 2+ t 3 Parametrická rovnice přímky má tvar x = t y = t 4 z = - 2+ t pro t Î( - + ) 3 Směrový vektor tohoto řešení je násobkem směrového vektoru z předchozího řešení Obě řešení jsou tedy parametrické rovnice téže přímky 2

3 Vzájemná poloha dvou přímek Dvě různé přímky a º X = A+ tu a bº X = B+ tv v prostoru mohou být rovnoběžné různoběžné nebo mimoběžné a) Dvě přímky jsou rovnoběžné právě tehdy když jsou rovnoběžné jejich směrové vektory tedy u =l v kde l je vhodné reálné číslo Rovnoběžné přímky leží v jedné rovině a u v b b) Dvě různoběžné přímky leží v jedné rovině Vektor AB který určují body A B obou přímek leží také v této rovině Z vlastnosti komplanárnosti tří vektorů plyne že smíšený součin vektorů u v AB se musí rovnat nule tedy u ( v AB) = 0 A a u v B b c) Dvě mimoběžné přímky neleží v jedné rovině proto smíšený součin vektorů u v AB musí být nenulový tedy u ( v AB) ¹ 0 u a A B v b Odchylka dvou přímek Odchylkou dvou přímek a º X = A+ tu a bº X = B+ tv rozumíme úhel jejich směrových vektorů tedy u v cos j= u v 3

4 O odchylce dvou přímek mluvíme u různoběžných i mimoběžných přímek Příklad: Určete vzájemnou polohu dvou přímek pº ( x= 2- t y= 5 z= 3 + t) a q º ( x= 2 y= 1- t z= 2 + t) Řešení: Směrové vektory přímek jsou u = ( ) v = ( ) Vektory nejsou jeden násobkem druhého proto přímky nejsou rovnoběžné Určíme vektor AB který je určen body A= [ ] B= [ ] ležícími na přímkách p a q AB= ( ) Smíšený součin vektorů u v AB je = Smíšený součin je nenulový proto jsou dané přímky mimoběžné Přímka a rovina Z obrázku je vidět že vzájemná poloha závisí na vztahu normálového vektoru roviny a směrového vektoru přímky Pokud jsou tyto na sebe kolmé je přímka s rovinou rovnoběžná Jestliže kolmé nejsou přímka a rovina jsou různoběžné Pokud je přímka s rovinou rovnoběžná je třeba zjistit zda přímka v rovině náhodou neleží Zvolíme jeden bod přímky a zkoumáme zda v rovině leží nebo neleží Pokud ano tak celá přímka leží v rovině pokud ne tak je přímka s rovinou rovnoběžná různá V prostoru rozlišujeme tři možné vzájemné polohy roviny a přímky: 1 Přímka p je s rovinou rovnoběžná různá Nemají společný bod 2 Přímka p a rovina jsou různoběžné Přímka rovinu protíná v jednom bodě 3 Přímka p leží v rovině Společnými body jsou všechny body přímky p Poloha kdy přímka leží v rovině je speciální případ jejich rovnoběžnosti 4

5 Přímka v rovině Jestliže přímka leží v rovině pak směrový vektor této přímky je současně směrový vektor roviny a každý bod přímky je zároveň bodem roviny Příklad: Vypočtěte rovnici roviny určené dvěma různoběžkami pº ( x= 1+ 3t y=- 3+ 2t z= 2-2 t) a q º ( x= 1+ 4t y=-3- t z= 2+ 5 t) Řešení: Směrové vektory p= ( 3 2-1) q = ( ) daných přímek jsou zároveň směrovými vektory hledané roviny Průsečík přímek B= [ ] je bod roviny Vektory p q a BX jsou komplanární proto jejich smíšený součin je nula x- 1 y+ 3 z = Determinant řešíme např rozvojem podle prvního řádku 9( x- 1) - 19( y+ 3) - 11( z- 2) = 0 9x- 9-19y z+ 22= 0 9x- 19y- 11z- 44= 0 Průsečík přímky s rovinou Průsečík přímky s rovinou je jediný bod dané přímky který leží v dané rovině tedy jeho souřadnice vyhovují současně rovnici roviny i přímky Výpočet jeho souřadnic bude záviset na zadané rovnici přímky I Přímka je dána parametrickými rovnicemi x = a1 + t u1 y = a2 + t u2 z = a3 + t u3 Pro průsečík přímky s rovinou ax+ by+ cz+ d = 0 hledáme takovou hodnotu parametru t dané přímky pro kterou příslušná x y z vyhovují také rovnici roviny Po dosazení parametrických rovnic přímky do obecné rovnice roviny obdržíme lineární rovnici o jedné neznámé t Při řešení této rovnice mohou nastat tyto případy: - rovnice má právě jedno řešení Þ přímka má s rovinou právě jeden společný bod - rovnice je splněna pro každé t Þ přímka leží v rovině - rovnice nemá řešení Þ přímka je s rovinou rovnoběžná ì a x b y c z d II Přímka je dána rovnicemi dvou rovin = 0 í îa2 x+ b2 y+ c2 z+ d2 = 0 Průsečík s další rovinou určíme řešením soustavy tří rovnic pro tři neznámé Průsečík existuje má-li soustava jediné řešení Jeho souřadnice jsou nalezené kořeny Příklad: Vypočtěte průsečík přímky pº ( x= 1+ t y= 2+ t z= 3 ) s rovinou aº 2x+ 4y+ 4z - 3= 0 Řešení: Parametrické rovnice přímky dosadíme za x y z do rovnice roviny 5

6 2( t+ 1) + 4( t+ 2) = 0 2t+ 2+ 4t = 0 6t =-18 t =-3 Hledaný průsečík je bod B= [ ] Vzdálenost bodu od roviny a přímky Vzdálenost bodu od roviny Mějme bod B= [ x y z ] a rovinu danou obecnou rovnicí ax + by + cz + d = 0 Vzdálenost tohoto bodu od roviny určíme pomocí vzorce: d = B a x + b y + c z + d a + b + c a d Vzdálenost bodu od přímky Mějme bod B= [ x0 y0 z0 ] u = ( u1 u2 u3 ) x = a1 + t u1 y = a2 + t u2 z = a + t u 3 3 a přímku p danou bodem A = [ a1 a2 a3 ] Její parametrické rovnice jsou a směrovým vektorem 6

7 Vzdálenost bodu B od přímky je velikost vektoru BX který prochází bodem B a obecným bodem X přímky Tento vektor je kolmý na přímku p Souřadnice tohoto vektoru určíme BX = X - B= ( a1+ t u1 - x0 a2 + t u2 - y0 a3 + t u3- z0 ) Dva vektory jsou na sebe kolmé právě tehdy když jejich skalární součin se rovná nule BX u = 0 Výpočtem tohoto skalárního součinu dostaneme rovnici o jedné neznámé t Rovnici vyřešíme kořen t dosadíme do vektoru a určíme jeho velikost Příklad: Určete vzdálenost bodu B = [ ] od přímky pº ( x= 1+ 2t y=- t z= 1+ 2 t) Řešení: Vektor BX má souřadnice BX = X - B= ( 1+ 2t- 1 - t t- 8) = ( 2t - t- 2 2t- 7 ) Skalární součin vektoru BX a směrového vektoru u = ( 2-1 2) se musí rovnat nule 4t+ t+ 2+ 4t- 14= 0 9t = 12 4 t = 3 æ 8 4 ö Vektor BX má souřadnice: BX = ç è ø = æ ç è - - ö a jeho velikost je 3 3 3ø hledaná vzdálenost d = + + = Odchylka přímek a rovin Odchylka dvou přímek Definice: Odchylka přímek p a q je číslo jî 0p / 2 Odchylka přímky a roviny pro které platí: uv cos j = u v Odchylku přímky a roviny nepočítáme přímo ale využijeme znalostí které již máme Definice: Je-li přímka p kolmá k rovině ρ je jejich vzájemná odchylka φ = π/2 Není-li přímka p kolmá k rovině ρ je jejich odchylka rovna odchylce přímky p a průsečnice p' rovin ρ a ψ kde p Î ψ a ρ ^ ψ 7

8 Ještě jednodušší je sestrojit kolmici q k rovině ρ a počítat odchylku α přímek p a q Vztah mezi hledanou a získanou odchylkou je: φ = π/2 - α Pro výpočet odchylky φ přímky p a un roviny ρ danou normálovým vektorem můžeme použít vzorec: sin j = cosa = u n Odchylka dvou rovin Definice: Odchylka rovin ρ a ψ je rovna odchylce přímek p a q pro které platí p = (ρ σ) q = (ψ σ) kde σ je rovina kolmá na ρ i ψ Slovy bychom výše uvedenou definici mohli rozepsat takto: Odchylku φ dvou rovin ρ a ψ vypočítáme následujícím způsobem Nejprve najdeme rovinu která je k oběma kolmá (je kolmá k jejich průsečnici) Tato rovina protne roviny ρ a ψ v přímkách p a q Odchylka φ rovin ρ a ψ je rovna odchylce přímek p a q Podobně jako když jsme hledali odchylku přímky a roviny můžeme využít normálových vektorů rovin ρ a ψ Na obr je vidět že přímky r a s svírají úhel stejné velikosti jako p a q Odchylku dvou rovin můžeme tedy snadno určit pomocí jejich normálových vektorů 8