.8.14 Hledání mocnin a odmocnin v tabulkách Předpoklady: 00801 Pedagogická poznámka: Hodinu je samozřejmě možné vynechat, pravděpodobnost, že žáci budou v budoucnu hledat hodnoty mocnin a odmocnin v tabulkách je minimální. Na druhou stranu ji považuji za velice užitečnou, kvůli orientaci ve velkém množství čísel, ale i kvůli tomu, jak šikovně dokázali lidé před příchodem kalkulaček problém se složitějšími výpočty řešit. Stejným způsobem to podávám i žákům. Př. 1: Zjednoduš (uprav tak, aby výsledek obsahoval co nejméně co nejmenších odmocnin). a) 6 8 7 4 15 0 6 4 9 15 50 1 a) 6 8 = 4 = = 1 7 = 9 8 = 4 = 6 = 6 4 15 0 = 4 6 5 4 5 = 5 = 0 = 60 6 4 9 = = = 6 15 50 1 = 5 5 4 = 5 5 5 = = = 5 10 9 Pedagogická poznámka: Hodina navazuje na hodinu 00809, pokud jste ji neprobírali, je třeba začít tam. Postupy si předem nevysvětlujeme, jen upozorňuji, že tabulka obsahuje mocniny i odmocniny včetně čísel, u kterých si výsledek dokážeme spočítat zpaměti a tak si ověřit, zda v tabulce hledáme správně. Pracujeme ve čtyřčlenných skupinách, kde se žáci snaží, aby všichni pochopili co nejvíce. Navíc po třídě chodím i já a pomáhám, kde je třeba. Na konci hodiny skupiny rozpustíme, každý ze skupiny spočítá jeden z bodů příkladu 8 a z počtu vyřešených příkladů je možné spočítat skupinové skóre (naložit se s tím dá různě, já mám nejraději překonávání laťky bez sestavování pořadí, takže každá skupina, která má celkově maximálně tři chyby a jejíž žádný člen neudělal více než dvě chyby má plus, skupina, která má celkově maximálně jednu chybu má plusy dva). Pokud se bude na konci provádět nějaké skupinové hodnocení, je třeba to žákům sdělit předem. Př. : Urči pomocí tabulky. a) 9, 7,4 9,7 4,8 a) 9, = 86,49 (řádek 9,; sloupec 0) 1
7,4 7,4 = 54,76 (řádek 7,4; sloupec 0) 9,7 9,7 94,67 (řádek 9,7; sloupec ) 0, 48 4,8, (řádek 4,8; sloupec ) Př. : a) 50 0,041 80,6 0,59 0,017 a) 50 5, = 8, 09 (řádek 5,; sloupec 0) 50 = 6, 100 = 8, 09 10000 = 80 900 0,041 4,1 = 16,97 (řádek 4,1; sloupec ) 0, 041 4,1 0, 01 16,97 0, 0001 0, 001697 Pro další body používáme tabulku třetí mocniny (postup je stejný). 80,6 8,06 5,6 (řádek 8,0; sloupec 6) 80,6 8,06 10 5,6 1000 5 600 0,59 5,9 08, 5 (řádek 5,9; sloupec ) 0,59 5,9 0,1 08, 5 0, 001 0, 085 0,017,17 1,86 (řádek,1; sloupec 7) 0,017,17 0,01 1,86 0,000 001 0,000 018 6 Př. 4: a),81 7,059 177,1 0,5806 Vysvětlení v tabulkách:,46 5,018... řádek,, sloupec 4 + 7... sloupec 6 oprav 5,045 894 a),81 V tabulkách můžeme přímo nalézt pouze hodnotu,8 :
,8 14, 59 (řádek,8; sloupec ) Hodnota,81 je větší zřejmě o hodnotu uvedenou v sloupci oprav v řádku,8 pod číslem 1: hodnota oprav 1 7,059 + =.,81 14,59 0, 01 14, 60,81 = 14, 600041. 7,059 49,70... řádek 7,0, sloupec5 + 1... sloupec 9 oprav 49,8 177,1,81 = 49,89481. 1,771,1... řádek1,7, sloupec7 +... sloupec1 oprav,16 177,1 1, 771 100,16 10 000 1 60 0,5806,81 = 1 64, 41. 5,806,64... řádek 5,8, sloupec 0 + 7... sloupec 6 oprav,71 0,5806 5,806 0,1, 71 0, 01 0,71 894,894 15,1... řádek,8, sloupec9 +... sloupec oprav 15,16 0,5806 = 0,70966. 894,894 1000 15,16 1000 000 15160 000 894 = 1516 6. Př. 5: a) 17,64 44,6 85,77 10, Tabulky neobsahují tabulku druhých odmocnin i hodnoty odmocnin musíme najít v tabulkách mocnin. Myšlenka: Pokud hledáním zjistíme, že platí 9, = 86,49 (řádek 9,; sloupec 0), víme zároveň, že platí i 86, 49 9, = (dvojice spárovaných čísel je stejná, jen vycházíme z čísla 86,49 místo čísla 9,, hledáme číslo, které se po umocnění na druhou rovná 86,49, ale už víme, že je to 9,) číslo, které chceme odmocnit hledáme uvnitř tabulky druhých mocnin. Výsledkem odmocniny je pak číslo sestavené z údajů na krajích.
a) 17,64 = 4, (řádek 4,; sloupec 0) 44, 6 6, 68 (řádek 6,6; sloupec 8) Řešení dalších bodů hledáme v tabulce třetích mocnin. 85,77 4,41 (řádek 4,4; sloupec 1) 10, 6,77 (řádek 6,7; sloupec 7) Př. 6: a) 0,560 567000 0,7711 4940 0,000 08694 Číslo, které chceme odmocnit hledáme uvnitř tabulky druhých mocnin. Výsledkem odmocniny je pak číslo sestavené z údajů na krajích. a) 0,560 5,60 5,06 (řádek 5,0; sloupec 6) 0, 560 = 5, 60 0, 01 5, 06 0,1 = 0,506 567000 56, 7 7,5 (řádek 7,5; sloupec ) 567000 = 50, 70 10000 7,5 100 = 75 0,7711 771,1 9,17 (řádek 7,7; sloupec 1) 0, 7711 = 771,1 0, 001 9,17 0,1 = 0,917 4940 49, 4,67 (řádek,6; sloupec 7) 4940 = 49, 4 1000, 67 10 = 6, 7 0,000 08694 86,94 4, 4 (řádek 4,4; sloupec ) 0,000 08694 = 86,94 0,000 001 4, 4 0,001 = 0,0044 Př. 7: a),1 7 8888 1000 0,007519 4
Vysvětlení oprav v tabulkách:,45 1,51,41... řádek1, 5, sloupec 4... k diferenci 4 nejbližší oprava ve sloupci 1 a),1 Problém: V tabulce druhých mocnin se nenachází číslo,1, pouze čísla,098 a,1. Vyjdeme z čísla,098 (bližší hodnota):,1 1,76 (řádek 1,7, sloupec 6). Zkusíme výsledek zpřesnit pomocí oprav. U umocňování číslo v nadpisu oprav zpřesňovalo umocňované číslo o jedno desetinné místo, hodnota opravy uvnitř tabulky se pak přičítala k výsledku zkusíme postup obrátit. Které číslo jsme museli přičíst k,098, abychom získali,1? Číslo 0,00 v hodnotách oprav uvnitř tabulky hledáme v řádku 1,7 hodnotu opravy. Nejbližší nelezená je hodnota, ve sloupci 1 přičteme 0,001 k výsledku 1,76.,1 1, 761,098...řádek1,7, sloupec6... k diferenci nejbližší oprava ve sloupci 1 7 5,196 6,94... řádek 5,1, sloupec9 6... k diferenci 6nejbližšíoprava 6 ve sloupci 6 88,88 9, 47 88,74...řádek 9,4, sloupec 14... k diferenci 14 nejbližší oprava 1 ve sloupci 7 8888 = 88,88 100 9, 47 10 = 94, 7 10,16 9,986...řádek,1, sloupec 6 14... k diferenci 14 nejbližší oprava 1 ve sloupci 1000 = 10 100,16 10 = 1, 6 75,19 8, 671 75,17...řádek8,6, sloupec 7... k diferenci nejbližší oprava ve sloupci 1 0, 007519 = 75,19 0, 0001 8, 671 0, 01 = 0, 08671 Pedagogická poznámka: Následující příklady je možné použít k domácímu procvičování pro ty, kteří měli v hodině problémy. Já v hodině nechávám žáky pracovat ve skupinách Př. 8: Urči přibližně pomocí tabulky. a) 5,8 648 0,196 0,507 5
a) 4,65 0,469,74 847 7,6 0,408 5,8,99 648 60, 4 4,65 1,6 0, 469 0, 661,74 7,508 847 91,8 7,6 58, 0, 408 6,9 5,78 188, 471,6 0,4196 7,8 61 0,196 0, 0709 0,507 0, 785 5, 78 89 188, 1, 7 471, 6 400 0, 4196 0, 6478 7,8 77, 9 61 78, 5 Shrnutí: Hodnoty mocnin a odmocnin je možné určovat také pomocí tabulky (velmi důmyslně uspořádané). 6