Použití substituce pro řešení nerovnic II

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Použití substituce pro řešení nerovnic II"

Miroslav Matěj Pešan
před 4 lety
Počet zobrazení:

1 .7. Použití substituce pro řešení nerovnic II Předpoklad: 7, 7, 7 Pedagogická poznámka: Platí to samé, co pro předchozí hodinu. Skvělé cvičení na orientaci v příkladu, přehledný zápis a schopnost řešit podpříklad. V tomto směru jedna z nejtěžších hodin v celém studiu. Př. : Vřeš nerovnici Po umocnění b nerovnice obsahovala + + < + +., ale vhodnou substitucí stupeň mocnin snížíme. Substituce: použijeme = + Řešíme nerovnici: + < +, použijeme metodu nulových bodů.. Zjišťujeme podmínk eistence výrazů na obou stranách nerovnice (místa přetržení) levá strana: odmocnina + 0, platí vžd, protože 0 - neeistují žádné bod přetržení. Hledáme řešení rovnice + = + (abchom objevili nulové bod nerovnice), kde funkce přechází přes osu. + = + / ( + ) = ( + ) + = + + = = Zkouška: = 9 L = + = + = = P = + = + = L = P Zakreslíme získaný kořen na osu:. Testujeme jednotlivé interval, zda splňují nerovnost -

2 interval ; : vbereme číslo například -: + < + ( ) + < + < - neplatí interval ; není řešením interval ; : vbereme číslo například 0: + < < 0 + < - platí interval ; je řešením ; + = ; Přepíšu interval hodnot + pomocí nerovnice: + = > - řešíme nerovnici + > / > 0 Zjistíme průsečík s osou : = 0, + > b ± b ac 6 ± 6 6 ± 8 6 ± 7 ± 7 = = = = = a = = hledám bod nad osou 7 7 ; + = ; Pedagogická poznámka: Substituovanou rovnici je možné řešit také umocňováním (dělá to tak většina studentů), v tom případě pak je nutné trvat na rozboru znamének obou stran nerovnice.

3 Př. : Vřeš nerovnici ( u ) u + 0. Substituce: = ( u ) b moc nepomohlo, ale číslo číslo u je vžd kladné stejně jako u (je jedno, jestli znaménko zmizí kvůli absolutní hodnotě nebo kvůli umocnění), platí ted ( u ) = u, nerovnici můžeme napsat substituci = u Řešíme nerovnici: Zjistíme průsečík grafu s osou : + = 0 = 0 = = + 0. u u + 0, použijeme - hledáme bod pod osou ; u = ; Přepíšeme interval hodnot u pomocí nerovnic: u ; u > a zároveň u < Získali jsme dvě nerovnice, každou vřešíme zvlášť, ale protože musí platit obě podmínk najednou, výsledek získáme jako průnik jejich řešení u > u < Zjistíme, kd je vnitřek absolutní hodnot roven nule: u = 0 u = a rozdělíme na interval podle znaménka vnitřku: u ( ; u 0 u = u + u + > > u u ; u 0 u = u ) u > u > = ( ;) ( ; ) Zjistíme, kd je vnitřek absolutní hodnot roven nule: u = 0 u = a rozdělíme na interval podle znaménka vnitřku: u ( ; u 0 u = u + u + < 0 < u u ; u 0 u = u u < u < = ( 0;) = a Hledáme průnik množin ; ; Nakreslíme si osu a najdu průnik: 0 ) = 0; (u musí splňovat obě podmínk).

4 = = 0; ; Poznámka: Dopočítávání příkladu b se dalo zrchlit použitím definice absolutní hodnot: u > u < Absolutní hodnota z rozdílu dvou čísel znamená vzdálenost jejich obrazu na číselné ose hledám čísla jejich obraz jsou od obrazu vzdálen více než o jeden. ( ;) ( ; ) = Absolutní hodnota z rozdílu dvou čísel znamená vzdálenost jejich obrazu na číselné ose hledám čísla jejich obraz jsou od obrazu vzdálen méně než o dva. ( 0;) = Pedagogická poznámka: Substituce u předchozího příkladu není samozřejmá a pokud si ji studenti nepamatují, budou potřebovat Vaši pomoc. Př. : Vřeš nerovnici podmínka, + Substituce: = Řešíme nerovnici: Zjistíme průsečík grafu s osou : 7 + = 0 ( )( ) = 0 = = hledáme bod nad osou ( ; ; ) + = ( ; ; ) + Přepíšeme interval hodnot pomocí nerovnic: + + ( ; ; ) + nebo Získali jsem dvě nerovnice, každou vřešíme zvlášť, protože stačí, kdž platí jedna z nich, konečný výsledek získáme jako sjednocení jejich řešení. + +

5 + / ( ) výraz, kterým násobíme může být kladný i záporný rozdělíme R na interval podle znaménka výrazu, abchom věděli, zda obracet znaménko: ; 0 násobíme záporným číslem a obracíme znaménko nerovnosti: + + = ( ;) ; 0 násobíme kladným číslem a znaménko nerovnosti neměníme: + + = ; ) = ( ;) ; ) + / ( ) výraz, kterým násobíme může být kladný i záporný rozdělíme R na interval podle znaménka výrazu, abchom věděli, zda obracet znaménko: ; 0 násobíme záporným číslem a obracíme znaménko nerovnosti: + + = ; 0 násobíme kladným číslem a znaménko nerovnosti neměníme: + + = ; Hledáme sjednocení množin ) ; ; = = ( ;) ; ; ) = ; = a = ; Shrnutí: Někd je nejdůležitější neztratit se.

Podobné dokumenty

( ) ( ) Logaritmické nerovnice II. Předpoklady: 2924

( ) ( ) Logaritmické nerovnice II. Předpoklady: 2924 5 Logaritmické nerovnice II Předpoklad: Pedagogická poznámka: Většina studentů spočítá pouze první tři příklad, nejlepší se dostanou až k pátému Pedagogická poznámka: U následujících dvou příkladů je opět