2.9.1 Exponenciální funkce

Transkript

1 .9. Eponenciální funkce Předpoklad: 7 Funkce, které už známe: 5 =, =, =,. = =, = =, = =, 3 3 = =, = =, ( 9 = 3, protože 3 = 9. Odmocnina je inverzní k mocnině a proto ověřujeme hodnot odmocnin pomocí mocnění) = =, = =, 3 Dokázali bchom spočítat s libovolnou přesností i bchom 0 =, 00 =, 000 =, atd ). = (,... počítali Kdž to shrneme: U všech uvedených funkcí měníme číslo, které umocňujeme (základ mocnin, mocněnec), číslo, na které umocňujeme (eponent, mocnitel), zůstává stejné. Umíme umocnit na libovolné reálné číslo. Zkusíme to obrátit. Pořád stejné číslo (třeba dvojku) budeme umocňovat na různá čísla () získáme funkci =. Protože dokážeme umocnit na libovolné reálné číslo bude D ( ) Př. : Doplň tabulku s hodnotami funkce = = R = 8 = = 0 = = = 3 = 8 Pedagogická poznámka: Bohužel se skoro s jistotou objeví několik jedinců, kteří zapomněli na umocňování a budou počítat =, =, Je potřeba je rchle odhalit a zlikvidovat.

2 Př. : Pomocí tabulk nakresli graf funkce =. Svůj obrázek ověř pomocí libovolného matematického programu

3 Př. 3: Doplň do tabulk hodnot funkce = pro uvedená v tabulce. Pro každou hodnotu nejprve odhadni hodnotu a poté ji urči pomocí kalkulátoru s přesnosti na tři desetinná čísla. Získané hodnot vužij k zakreslení do grafu funkce. π 3 Odhad 0 < < 0 < < < < π 3 3 < π < π < < π 8 < < 6 3 < 3 < < < 3 < < 3 3

4 =, 8,85 Získané bod jsou v grafu znázorněn oranžově π 3 0, Př. : Pomocí grafu a tabulk urči vlastnosti funkce = D ( f ) = R (dvojku dokážeme umocnit na cokoliv) H ( f ) = ( 0; ) (výsledk umocňování dvojk musí být vžd kladné, protože umocňujeme kladné číslo) Funkce je rostoucí v R. Funkce je zdola omezená, není shora omezená, nemá maimum ani minimum. Funkce není ani lichá ani sudá. Funkce prochází bodem [ 0; ] (proč je to důležité, uvidíme příští hodinu). Eponenciální funkce je nejen rostoucí, ale dokonce nejrchleji rostoucí funkcí. Zkusíme si 00 porovnat funkce = (ta roste hodně rchle) a = (občejná eponenciální funkce). Nejdříve si nakreslíme graf = : 00 = a

5 Z grafů nevpadá, že b funkce Zkusíme počítat hodnot: = 0 00 = = Zdá se to jasné, = = = = = = měla moc šancí 00 = předběhnout = nemá šanci

6 = Že b se funkce = = = přece jenom chtla? = Hodnota funkce = = = = je už více než 0 větší!!! = se stává outsider. Z funkce = =

7 7 =

8 Nezbývá než konstatovat, že funkce = je v porovnání s funkcí =, co se týká rchlosti růstu, totální loser. Pedagogická poznámka: Souboj funkcí počítáme na živo pomocí programu MuPAD. Pedagogická poznámka: Následující příklad pojímám jako polopísemku. Jsou k dispozici dvě sad zadání (každé pro jedno oddělení). Student, kteří za 5 minut nestihnou udělat první dva příklad, mají mínus, studenti, kteří stihnou všechno, mají plus. Př. 5: Nakresli graf funkcí: a) d) g) + = b) + = + e) = h) = = c) = = f) = + = + Pokud uvažujeme f ( ) + = = f ( + ). Zvolíme. Vpočteme +. = f + =. + Nakreslíme funkci: ( ) = Pokud uvažujeme f ( ) = = = f ( ). Zvolíme. Vpočteme. = f =. Nakreslíme funkci: ( ) = Pokud uvažujeme f ( ) = = f ( ). Zvolíme. Vpočteme. = f =. Nakreslíme funkci ( ) Nakreslíme funkci: = f =. ( ) = + + Pokud uvažujeme f ( ) + = = + = f ( + ) +. Zvolíme. Vpočteme +. = f + =. + Nakreslíme funkci ( ) Nakreslíme funkci: + = f + + = +. ( ) 8

9 Pokud uvažujeme f ( ) = = f ( ). Zvolíme. Vpočteme. Vpočteme. = = Nakreslíme funkci f ( ) = =. Pokud uvažujeme f ( ) = = f ( ). Zvolíme. = f =. Nakreslíme funkci ( ) = f =. Nakreslíme funkci ( ) = f =. Nakreslíme funkci ( ) = Pokud uvažujeme f ( ) = = f ( ). Zvolíme. Vpočteme. = f =. Nakreslíme funkci ( ) = f =. Nakreslíme funkci ( ) + = = = f, platí: Pokud uvažujeme ( ) + ( ) = = f +. Zvolíme. Vpočteme +. Nakreslíme funkci f ( ) + = + =. + = + =. Nakreslíme funkci f ( ) 9

10 Př. 6: Petáková: strana 30/cvičení 66 f 3, f, f 6 strana 30/cvičení 67 g, g Shrnutí: Funkce s neznámou v eponentu se nazývá eponenciální a je nejrchleji rostoucí funkcí. 0