SOFTWAROVÉ PROSTŘEDKY PRO APLIKACI PDPV

SOFTWAROVÉ PROSTŘEDKY PRO APLIKACI PDPV Petr JANAS, Doc., Ing., CSc., VŠB-TUO, L. Podéště 1875, 708 33 Ostrava - Poruba, tel.: (+420)597321308, fax : (+420)597321358, petr.janas@vsb.cz Martin KREJSA, Ing., PhD., VŠB-TUO, L. Podéště 1875, 708 33 Ostrava - Poruba, tel.: (+420)597321308, fax : (+420)597321358, martin.krejsa@vsb.cz Vlastimil KREJSA, Ing., VŠB-TUO, L. Podéště 1875, 708 33 Ostrava - Poruba Abstract The Direct Determined Fully Probabilistic Method ("DDFPM") was originally developed as a Monte Carlo alternative to SBRA the development of which started in the mid of 1980 s. Both for SBRA and DDFPMM, input random quantities (such as the load, geometry, material properties, or imperfections) are apied. The description of the random quantities is expressed by the non-parametric distribution in histograms. DDPFM is based on general terms and procedures used in probabilistic theories. DDFPM apications are processed in ProbCalc this software is being improved all the time. It is rather easy to imement an analytical transformation model of the specific probabilistic apication into ProbCalc. The reliability function under analysis can be expressed in ProbCalc analytically as a sign arithmetic expression (using the so-called calculator) or can be expressed using data from the dynamic library (the file with DLL extension) where the library can be created in any programming language (for instance, in Borland Delphi). DDPFM is currently able to solve a number of probabilistic computations. There are however certain constraints resulting from extensive apications where too many simulations exist. For that reason, the software includes a number of optimizing procedures extending considerably the apicability options, maintaining, at the same time, the reliable results of the computation. 1. ÚVOD Metoda přímého determinovaného pravděpodobnostního výpočtu (PDPV) byla původně, jak již bylo uvedeno v [10], vyvíjena jako alternativa simulační techniky Monte Carlo v metodě SBRA [3]. PDPV je tedy alternativou metody Monte Carlo a může být obdobně využívána. Zatím ji však rozvíjíme a aikujeme pro posuzování spolehlivosti konstrukcí [4]. Stejně jako v metodě SBRA jsou i u PDPV vstupní proměnlivé náhodné veličiny (zatížení, geometrické a materiálové charakteristiky, imperfekce ad.) vyjádřeny histogramy s tzv. neparametrickým rozdělením, přičemž metoda není omezena ani pro použití parametrických rozdělení. Postup PDPV vychází ze základních pojmů a postupů teorie pravděpodobnosti. Pro aikaci PDPV lze v současné době využít programový systém ProbCalc (viz obr. 1, [5], [6], [11]), jenž je stále rozvíjen. Lze do něj imementovat relativně jednoduše analytický transformační model dané konkrétní řešené pravděpodobnostní úlohy. Analyzovaná funkce spolehlivosti může být v tomto programu vyjádřena analyticky formou aritmetického výrazu ve znakové podobě (s využitím tzv. kalkulačky) nebo pomocí tzv. dynamické knihovny DLL (stejně jako např. v programu Freet viz [7]), která může být vytvořena v kterémkoliv programovacím jazyce (např. Borland Delphi). Metodou PDPV je možno v současné době řešit řadu pravděpodobnostních výpočtů. Počet náhodných veličin vstupujících do výpočtu pravděpodobnosti poruchy je však omezen možností danou úlohu numericky zvládnout. Při velkém počtu náhodně proměnných je totiž úloha časově velmi náročná i při dostupné výkonné výpočetní technice. Má-li se uvedená metoda využívat při posuzování spolehlivosti konstrukcí případně i při jiných pravděpodobnostních výpočtech, pak musí být snadno aikovatelná a to nejen pro relativně jednoduché výpočty, kdy transformační vztahy lze vyjádřit analyticky, ale také pro složitější dnes však běžně využívané výpočetní modely, při jejichž aikaci se dnes posuzuje

spolehlivost konstrukcí pravděpodobnostně [8]. Z tohoto důvodu je do programu ProbCalc imementována řada optimalizačních postupů, které možnosti aikace metody podstatně rozšiřují při zachování korektnosti postupu řešení. 2. ANALÝZA VSTUPNÍHO HISTOGRAMU Histogramy vstupních hodnot využívané v PDPV mohou být vytvořeny pro diskrétní nebo čistě diskrétní veličiny. Hlavní rozdíly při interpretaci obou typů histogramů v pravděpodobnostních výpočtech jsou nejvíce zřejmé z obr.1 a 2. Obr.1: Histogram diskrétní veličiny Obr.2: Histogram čistě diskrétní veličiny K podrobnější analýze vstupních histogramů slouží programový nástroj HistAn (viz obr. 3). S jeho pomocí lze získat základní charakteristiky histogramu minimum a maximum funkční hodnoty (okrajové hranice histogramu), počet intervalů a četnosti v nich definované. Lze provádět jednoduché výpočty stanovení funkční hodnoty s odpovídajícím kvantilem i operaci inverzní stanovení kvantilu pro zadanou funkční hodnotu proměnné. Rovněž lze provádět určení kombinace několika vstupních histogramů a určení tzv. sumárního histogramu, kterého lze využít pro výpočty s tzv. větrnou růžicí. Samozřejmostí jsou běžné uživatelské operace nastavení pracovního prostředí dle představ uživatele, ukládání výsledného histogramu v numerické i grafické podobě a funkce umožňující export výsledných entit např. do textového editoru. Obr.3: Pracovní ocha programu HistAn

3. ZÁKLADNÍ ARITMETICKÉ OPERACE S HISTOGRAMY S histogramy je možno provádět základní matematické operace. Např. v případě kombinování zatížení (jak již bylo zmíněno např. v programu HistAn) se z těchto matematických úkonů využívá sčítání histogramů jednotlivých typů zatížení. Sčítání obou histogramů probíhá v programových cyklech, kdy se postupně sčítají hodnoty zatížení (vodorovná osa) a jejich pravděpodobnosti se vynásobí a přičtou do odpovídajícího intervalu výsledného histogramu. Princip takového numerického řešení je nejlépe patrný z obr.4. Obr.4: Princip výpočtu kombinace stálého a nahodilého dlouhodobého zatížení Algoritmus PDPV se dá obecně využít k relativně velmi přesnému určení kombinací i poměrn ě složitějších účinků zatížení, ale také k složitějším aritmetickým operacím. Pro provádění základních aritmetických operací s histogramy byl vytvořen programový prostředek HistOp (viz obr.5), který umožňuje využívat následující matematické operace s histogramy A a B : součet histogramů A a B, rozdíl histogramů A a B, násobení histogramů A a B, podíl histogramů A a B, umocnění histogramu A a zjištění absolutní hodnoty histogramu A. Obr.5: Pracovní ocha programu HistOp

4. PRAVDĚPODOBNOSTNÍ VÝPOČET A POSUDEK SPOLEHLIVOSTI V běžné projekční praxi je nutné provádět daleko složitější operace s histogramy, než jak bylo popsáno v předchozích kapitolách. Principiálně se ale jedná stále o tytéž výpočetní postupy, jde jen o vytvoření účinného výpočetního nástroje, kde by uživatel byl schopen zadat výpočtový model např. v textové podobě. Z tohoto důvody byl vyvinut program ProbCalc (viz obr.6), jehož předností je zejména možnost zadání matematického modelu formou tzv.kalkulačky právě v textové podobě, ale zároveň možnost připojení tzv. DLL dynamické knihovny, která umožňuje rychlejší výpočet a definování rozsáhlejšího výpočetního modelu. V tomto programu jsou imementovány všechny možnosti předchozích programových prostředků. Pozornost byla věnována zejména tzv. optimalizačním krokům, které umožňují výrazné snížení tzv. simulačních kroků a tudíž strojového času výpočtu. Počet operací v PDPV je totiž při větším počtu vstupních náhodných veličin a při uvážení všech možných kombinací značný. Hledaly se proto cesty, jak tento počet snížit při zachování korektnosti řešení. 5. OPTIMALIZAČNÍ METODY Obr.6: Pracovní ocha programu ProbCalc V současné době se jako účinné nástroje pro snížení požadovaných počtů operací ukazují následující stále vyvíjené optimalizační metody [4], [11]: 5.1. Grupování proměnných Tento postup je aikován např. v situacích, kdy je kombinace zatížení tvořena několika složkami náhodně proměnných zatížení se stejným působištěm, takže je pak lze vyjádřit jediným společným histogramem. Lze je využít i v obdobných situacích s jinými vstupními či výstupními veličinami. 5.2. Snižování počtu intervalů v histogramech vstupních veličin Tento způsob zrychlení výpočtu se využívá tak, aby nebyl podstatně ovlivněn výsledek a korektnost řešení úlohy byla zachována. Při tomto postupu se proto nejdříve testuje vliv počtu intervalů každé náhodné veličiny na výsledek řešení a následně se tento počet intervalů

minimalizuje. V programu ProbCalc se tato optimalizační metoda uatňuje pod označením Intervalová optimalizace. 5.3. Vyloučení intervalů jednotlivých histogramů vstupujících do výpočtu Eliminace intervalů histogramů vstupních veličin se týká pouze těch intervalů, které se na výsledné pravděpodobnosti poruchy jednoznačně nepodílejí. Aikují se zde dva postupy mající v programu ProbCalk označení Zonální optimalizace a Trendová optimalizace. V případě, kdy porucha je dána rozdílem dvou useknutých histogramů, jsou oba tyto postupy relativně jednoduché a snadno zvládnutelné. Vstupuje-li do výpočtu pravděpodobnosti poruchy větší počet náhodných veličin vyjádřených histogramy, pak je algoritmus řešení podstatně složitější. V každém histogramu mohou vznikat až tři typy intervalů zón, lišících se svým podílem na pravděpodobnosti vzniku poruchy, a to: Typ I: podílí se na pravděpodobnosti poruchy vždy Typ II: na pravděpodobnosti poruchy se může a nemusí podílet Typ III: na pravděpodobnosti poruchy se nepodílí V programu ProbCalc je toto rozdělení každého histogramu na zóny úkolem Zonální optimalizace. S intervaly v zónách, v nichž porucha nenastane nikdy, se nemusí počítat. Počet operací podstatně snižuje existence zóna typu I, podílející se na poruše vždy. V zónách typu II se rovněž nemusí počítat se všemi možnými kombinacemi, neboť ne všechny se podílejí na pravděpodobnosti vzniku poruchy. Zde je možné počet operací snížit Trendovou optimalizací, jejíž imementace do SW je sice obtížná, ukazuje se však, že je reálná a velmi účinná. Zonální a trendová optimalizace snižují počet operací a jsou zcela korektní. Neovlivňují totiž přesnost výsledku. Snižují pouze počet operací a tím příznivě ovlivňují dobu výpočtu. 5.4. Grupování dílčích výsledků výpočtu Z výpočetního modelu lze separovat některé výsledné veličiny a zpracovat je odděleně až po provedení výpočtu. Takto lze pracovat například s funkcí spolehlivosti, kdy je odolnost konstrukce vyjádřena vstupním histogramem (napětí na mezi kluzu) nebo konstantní hodnotou (tolerovaná deformace), a účinek zatížení je získán výpočtem. 5.5. Kombinace uvedených optimalizačních postupů Uvedené postupy lze navzájem kombinovat, čímž lze dosáhnout ještě výraznějšího zrychlení výpočtu. 6. PŘÍKLAD (Posudek spolehlivosti průřezu ocelové obloukové výztuže) Jako demonstrativní ukázku práce programu ProbCalc a metody PDPV byl zvolen posudek spolehlivosti průřezu ocelové obloukové výztuže. Oboustranně vetknutý parabolický oblouk je zatížen dle obr.7 ve vrcholu soustavou tří svislých osamělých břemen. Střednice oblouku je definována křivkou s rovnicí: 4. f. x y =.( l x), (1) 2 l

Obr.7: Zatěžovací schéma kde f je vzepětí oblouku a l rozpětí oblouku (v daném případě je f = 4 m a l = 12 m). Vlastní posudek je proveden s použitím interakčního vzorce: N N Sd 2 M + M Sd 1, (2) ve kterém figurují následující proměnné: normálová síla v posuzovaném průřezu 15. l. F N Sd = (3) 64. f ohybový moment v posuzovaném průřezu 3 M Sd =. F. l (4) 64 astická únosnost průřezu v prostém tlaku astická únosnost průřezu v ohybu N M ( A. ) = f y. Avar (5) = f y ( W. ). W Proměnná F představuje kombinaci zatížení zmíněných tří osamělých břemen (DL stálé zatížení, SL krátkodobé nahodilé zatížení a LL dlouhodobé nahodilé zatížení), každé z n ich je vyjádřeno extrémní hodnotou zatížení a histogramem (DL var, SL var a LL var ), vyjadřujícím jeho variabilitu: var F = 100. DL + + LL var 70. SLvar 40. Průřezové charakteristiky A (průřezová ocha) a W (astický průřezový modul) a napětí na mezi kluzu f y jsou rovněž proměnlivé veličiny. V uvedeném demonstračním příkladě byl použit ocelový profil IPE 270 s napě tím na mezi kluzu f y = 235 MPa. Histogramy pro zatížení byly použity z [3], histogram pro mez kluzu byl sestaven dle [9]. Posudek spolehlivosti průřezu byl proveden výpočtem pravděpodobnosti poruchy P f a jejím porovnáním s návrhovou pravděpodobností Pd, danou normou ČSN 73 1401 Navrhování ocelových konstrukcí. Pravděpodobnost poruchy byla určena s pomocí funkce spolehlivosti SF uvedeného tvaru: var (6) (7)

2 N Sd M Sd SF = 1 + (8) N M Vlastní výpočet pravděpodobnosti P f byl proveden programem ProbCalc. V první fázi výpočtu byla určena kombinace složek zatížení viz. obr.8. Obr. 8: Výsledný histogram kombinace zatížení Výsledný histogram funkce spolehlivosti a vypočtená pravděpodobnost poruchy P f je uvedena na obr.9 a 10. Obr.9: Posudek spolehlivosti průřezu Obr.10: Detail pravděpodobnosti poruchy Pravděpodobnost poruchy P f byla stanovena 0,000015298172, což odpovídá obvyklé úrovni spolehlivosti.

7. ZÁVĚR Uvedený demonstrační příklad ukazuje, že vyvíjený SW pro PPDV je již v současné době schopen řešit řadu pravděpodobnostních výpočtů. Do vyvíjeného SW byla imementována řada optimalizačních postupů, které do značné míry pracují nezávisle na uživateli. Tyto kroky mají za cíl minimalizovat dobu výpočtu, neboť zmiňovaný algoritmus má jistá omezení daná zejména náročností rozsáhlých úloh, kdy počet simulací je velmi vysoký. V příspěvku bylo prokázáno, že v řešeném příkladě lze pravděpodobnost poruchy určit při aikace PPDV v reálném čase při zachování korektnosti a dostatečné přesnosti řešení. Programové prostředky zmiňované v příspěvku lze na vyžádání získat v časově omezené verzi u autorů. 8. OZNÁMENÍ Tento výsledek byl získán za finanční podpory ze státních prostředků prostřednictvím Grantové agentury České republiky (registrační číslo projektu je 105/04/0458) a za finanční podpory MŠMT (projekt 1M6840770001) v rámci činnosti výzkumného centra CIDEAS. 9. LITERATURA [1] [9] [10] [11] JANAS, P., KREJSA, M., 2002: Numerický výpočet pravděpodobnosti užitím useknutých histogramů, III. ročník celostátní konference Spolehlivost konstrukcí na téma: Cesty k uatnění pravděpodobnostního posudku bezpečnosti, provozuschopnosti a trvanlivosti konstrukcí v normativních předpisech a v projekční praxi, Dům techniky Ostrava, str. 33-38, ISBN 80-02- 01489-8 [2] JANAS, P., KREJSA, M., 2002: Numerický výpočet pravděpodobnosti užitím useknutých histogramů při posuzování spolehlivosti konstrukcí, sborník vědeckých prací VŠB-TUO, ročník II, č.1, str. 47-58, ISBN: 80-248-0397-6, ISSN 1213-1962 [3] MAREK, P., GUŠTAR, M., ANAGNOS, T., 1995: Simulation Based Reliability Assessment for Structural Engineers, CRC Press., Inc., U.S.A., ISBN 0-8493-8286-6 [4] JANAS, P., KREJSA, M., 2004: Analýza optimalizačních kroků přímého determinovaného pravděpodobnostního výpočtu a jejich využití při posuzování spolehlivosti konstrukce, III. medzinárodná konferencia Nové trendy v statike a dynamike stavebných konštrukcií, str. 247 až 254, Stavebná fakulta STU v Bratislave, ISBN: 80-227-2116-6 [5] JANAS, P., KREJSA, M., 2005: Výpočet pravděpodobnosti poruchy přímým determinovaným pravděpodobnostním výpočtem, sborník VI. konference Spolehlivost konstrukcí na téma Od deterministického k pravděpodobnostnímu pojetí inženýrského posudku spolehlivosti konstrukcí, Dům techniky Ostrava, str. 99 až 108 (10 stran), ISBN: 80-02-01708-0 [6] JANAS, P., KREJSA, M., KREJSA, V., 2005: Aikace přímého determinovaného pravděpodobnostního výpočtu v programu ProbCalc, sborník abstraktů VII. konference s mezinárodní účastí Staticko-konštrukčné a stavebno-fyzikálne problémy stavebných konštrukcií, str. 31 a 32 (2 strany), ISBN 80-7099-742-7 (CD s příspěvky, ISBN 808073404-6) [7] NOVÁK, D., VOŘECHOVSKÝ, M., RUSINA, R., 2003: Small-Same Probabilistic Assessment FREET Software, Apications of Statics and Probability in Civil Engineering, Der Kiureghian, Madanat & Pestana (eds), Millpress, Rotterdam, ISBN 905966 004 8 [8] KRÁLIK, J., 2005: Probability Nonlinear Analysis of Reinforced Concrete Containment Integrity Considering Degradation Effects and High Internal Overpressure, sborník mezinárodní konference VSU 2005, Sofia, Bulharsko, str. 153 až 158 (6 stran), ISBN 954-331-003-3 FAJKUS, M., 1998: Useknuté histogramy napětí na mezi kluzu, VÚHŽ, 739 51 Dobrá JANAS, P., KREJSA, M., 2004: Přímý determinovaný pravděpodobnostní výpočet a jeho využití při posuzování spolehlivosti konstrukcí, sborník příspěvků I. celostátní konference Pravděpodobnost porušování konstrukcí, Ed.: Novák, D., Vejvoda, S., str.97 až 106, FAST VUT v Brně, ISBN: 80-214-2718-3 JANAS, P., KREJSA, M., KREJSA, V., 2006: Optimalizace výpočtu v programovém systému ProbCalc, sborník příspěvků mezinárodní konference Modelování v mechanice, str. 47 a 48 (né znění na přiloženém CD), ISBN: 80-248-1035-2