Téma 7: Přímý Optimalizovaný Pravděpodobnostní Výpočet POPV

Transkript

1 Téma 7: Přímý Otimalizovaný Pravděodobnostní Výočet POPV Přednáška z ředmětu: Pravděodobnostní osuzování konstrukcí 4. ročník bakalářského studia Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava

2 Osnova řednášky Začlenění metody Přímého Otimalizovaného Pravděodobnostního Výočtu POPV, do řehledu ravděodobnostních metod Metoda Přímého Otimalizovaného Pravděodobnostního Výočtu POPV: Podstata metody, základní výočetní algoritmus Alikace metody POPV v rogramovém systému ProbCalc Program HistAn - analýza náhodné roměnné Program HistO - jednoduché aritmetické oerace se 2 náhodnými roměnnými Programu ProbCalc složitější ravděodobnostní výočty a osouzení solehlivosti Ukázky výočtu / 32

3 Pravděodobnostní metody Simulační metody Prostá simulace Monte Carlo Stratifikované simulační techniky Latin Hyercube Samling LHS Stratified Samling -SC Pokročilé simulační metody: Imortance Samling IS Adative Samling AS Directional Samling DS Line Samling LS Aroximační metody Přehled nař. [Novák, 2005] First (Second) Order Reliability Method - FORM (SORM) Metody výběru vhodného rozdělení ravděodobnosti založené na náhodném výběru rezervy solehlivosti Perturbační techniky Metody lochy odezvy Resonse Surface -RS Numerické metody Přímý Otimalizovaný Pravděodobnostní Výočet - POPV Metody ro ravděodobnostní osouzení solehlivosti 2 / 32

4 Základní charakteristika metody Pro množství úloh velmi efektivní výočet. Výsledek ravděodobnostního výočtu je zatížen ouze numerickou chybou a chybou lynoucí z diskretizace vstuních a výstuních veličin. Na rozdíl od simulačních metod je výsledek okaždé stejný. Stejně jako u jiných ravděodobnostních metod jsou i u metody POPV vstuní roměnlivé náhodné veličiny (zatížení, geometrické a materiálové charakteristiky, imerfekce ad.) vyjádřeny histogramy s tzv. nearametrickým (emirickým) rozdělením ravděodobnosti, řičemž metoda není omezena ani ro oužití arametrických rozdělení ravděodobnosti. Tato rozdělení ravděodobnosti většinou vycházejí z ozorování a měření často i dlouhodobých. 3 / 32

5 Histogram omezeného rozdělení ravděodobnosti Histogram omezeného diskrétního (discrete) rozdělení ravděodobnosti 4 / 32

6 Histogram omezeného rozdělení ravděodobnosti Histogram aroximace arametrického rozdělení ravděodobnosti omezeným diskrétním (discrete) rozdělením ravděodobnosti 5 / 32

7 Histogram čistě diskrétního rozdělení ravděodobnosti Histogram čistě diskrétního (ure discrete) rozdělení ravděodobnosti 6 / 32

8 Název metody POPV Původní označení metody Přímý Determinovaný Pravděodobnostní Výočet (PDPV) bylo odvozeno od skutečnosti, že ostu výočtu je ro danou úlohu jednoznačně determinován svým algoritmem, na rozdíl nař. od metody Monte Carlo, kde se výočetní data ro danou simulaci náhodně generují. Po konzultaci s odborníky zabývajícími se solehlivostí konstrukcí byl název uřesněn na Přímý Otimalizovaný Pravděodobnostní Výočet - POPV. 7 / 32

9 Název metody POPV Pojem otimalizovaný vychází z následující skutečnosti - očet náhodných veličin vstuujících do ravděodobnostního výočtu je omezen schoností danou úlohu numericky zvládnout. Při velkém očtu náhodně roměnných je totiž úloha časově velmi náročná i ři dostuné výkonné výočetní technice. Z tohoto důvodu byly navrženy a odladěny zůsoby, které snižují očet numerických oerací ři zachování korektnosti výočtu tzv. otimalizační techniky. Velmi důležitý ro výsledný očet numerických oerací a ředokládaný strojový čas výočtu je rovněž očet tříd (intervalů) v jednotlivých vstuních histogramech. 8 / 32

10 Podstata metody POPV Výočetní algoritmus metody POPV vychází ze základních ojmů a ostuů teorie ravděodobnosti, které je ro názorné vysvětlení následující roblematiky nutno blíže řiblížit. V říadě, že má za určitých odmínek nastat jeden z n navzájem se vylučujících náhodných jevů (žádný z nich nemá větší možnost výskytu než jiný), ak lze tvrdit, že tyto náhodné jevy mají stejnou ravděodobnost: n Pravděodobnost současného výskytu několika nezávislých jevů se rovná součinu ravděodobností těchto jevů, ravděodobnost výskytu stejného jevu z několika navzájem se vylučujících jevů se rovná součtu ravděodobností těchto jevů. 9 / 32

11 Pravděodobnost výskytu čísla ři hodu hrací kostky n 6 0,6 (f) /6 5/36 /9 /2 /8 / / 32

12 Pravděodobnost výskytu čísla ve dvou hodech hrací kostky. 2 0, (f) /6 5/36 /9 /2 /8 / / 32

13 Pravděodobnost součtu čísel ve dvou hodech hrací kostky (f) /6 5/36 /9 /2 /8 / / 32

14 Pravděodobnost součtu čísel ve dvou hodech hrací kostky Výsledné hodnoty součtu čísel ve dvou hodech hrací kostky - různé ravděodobnosti, rotože je více možností jak součet získat. 3 / 32

15 Pravděodobnost součtu čísel ve dvou hodech hrací kostky Princi sestavení výsledného histogramu ro součet čísel ve dvou hodech hrací kostky Součet všech ravděodobností je roven: s 2 i2 s 4 / 32

16 Pravděodobnost rozdílu čísel ve dvou hodech hrací kostky Narosto shodným zůsobem lze ostuovat v říadě součinu, rozdílu a odílu čísel ze dvou o sobě jdoucích hodů hrací kostkou (f) 0 /6 5/36 /9 /2 /8 / / 32

17 Pravděodobnost součinu čísel ve dvou hodech hrací kostky (f) /9 /2... / / / 32

18 Základní výočetní algoritmus POPV Princi rovádění numerických oerací se dvěma histogramy B = f(a, A 2,, A j, A n ) 7 / 32

19 Základní výočetní algoritmus POPV Princi rovádění numerických oerací se dvěma histogramy (kombinace dvou složek zatížení) 8 / 32

20 Základní výočetní algoritmus POPV Výočetní náročnost je u základního výočetního algoritmu metody POPV dána zejména: Počtem náhodných vstuních veličin =... N, Počtem tříd (intervalů) n i histogramu každé náhodné vstuní veličiny, Náročností řešené úlohy (výočetního modelu), Algoritmem ravděodobnostního výočtu (zůsobem, jakým je výočetní model nadefinován v rostředí tzv. kalkulačky nebo dynamické knihovny). 9 / 32

21 Základní výočetní algoritmus Pravděodobnostní výočet metodou POPV s N histogramy A j o stejném očtu n tříd lze algoritmicky vyjádřit: 20 / 32

22 Počet výočetních oerací Pro N histogramů, vyjadřujících náhodnost vstuních veličin, o stejném očtu n tříd je očet výočetních oerací úměrný: P O n N Pro konkrétní hodnoty N = 0 a n = 256 je ak očet výočetních oerací roven: P O n N , / 32

23 Výočet ravděodobnosti oruchy 22 / 32 Schéma výočtu ravděodobnosti oruchy f z histogramu funkce solehlivosti Z. z z z z z j j z j i i z j j z j i i z f Histogram Z obsahuje n tříd (intervalů) o šířce z. Z < 0

24 Výočet ravděodobnosti oruchy Výočet ravděodobnosti oruchy f z histogramu funkce solehlivosti Z je možno určit na základě algoritmu: Obdobně lze určit i hodnotu odovídající zadanému kvantilu. 23 / 32

25 Programový systém ProbCalc Tvořen třemi softwarovými rodukty, vytvořenými ve vývojářském rostředí Borland Delhi: HistAn: Slouží ro odrobnější analýzu vstuních histogramů. HistO: Umožňuje základní aritmetické oerace se 2 histogramy. ProbCalc: Umožňuje ravděodobnostní osouzení solehlivosti konstrukcí a výočty ravděodobnostních úloh s obecně definovaným výočetním modelem, který může být definován omocí tzv. kalkulačky (textový mód) nebo DLL knihovny (strojový kód). 24 / 32

26 Programový nástroj HistAn Slouží ro odrobnější analýzu vstuních histogramů. Minimum a maximum hodnoty náhodné roměnné (okrajové hranice histogramu) Počet tříd (intervalů) histogramu a četností v nich definovaných Jednoduché výočty (stanovení funkční hodnoty s odovídajícím kvantilem nebo kvantilu ro zadanou hodnotu náhodné roměnné) Určení kombinace několika vstuních histogramů Určení tzv. sumárního histogramu (výočty s tzv. větrnou růžicí) Tvorba histogramů s arametrickým rozdělením Zracování naměřených (rvotních) dat 25 / 32

27 Programový nástroj HistO S jeho využitím lze rovádět základní aritmetické oerace s histogramy A a B: Součet histogramů A a B Rozdíl histogramů A a B Součin histogramů A a B Podíl histogramů A a B Druhá mocnina histogramu A Absolutní hodnota histogramu A 26 / 32

28 Programový nástroj ProbCalc Gruování roměnných Funkce solehlivosti Kalkulátor Příkazový řádek Definice analytického modelu Seznam náhodných roměnných 27 / 32

29 Posouzení solehlivosti Histogram funkce solehlivosti RF Pravděodobnost oruchy f =, slňuje ožadavky ČSN EN 990 ro třídu následků RC3/CC3 s návrhovou ravděodobností 8,4.0-6 Oblast oruchy 28 / 32

30 3D zobrazení funkce solehlivosti Oblast oruchy Odolnost konstrukce Účinek zatížení 29 / 32

31 Využití dynamické knihovny Analyzovaná funkce solehlivosti nebo definice výočetního modelu může být vyjádřena s využitím dynamické knihovny. Pravděodobnostní výočet je s využitím dynamické knihovny cca 4x rychlejší (odadá oakované komilování do strojového kódu). 30 / 32

32 Dosavadní využití rogramového systému ProbCalc Pravděodobnostní hodnocení kombinací zatížení, Pravděodobnostní osudek solehlivosti růřezů i systémů staticky (ne)určitých nosných konstrukcí, Pravděodobnostní řístu k hodnocení betonových a drátkobetonových směsí, Posudek solehlivosti obloukové výztuže dlouhých důlních děl s řihlédnutím k jejím rokluzovým vlastnostem, Posudek solehlivosti nosných konstrukcí vystavených nárazu, Pravděodobnostní výočet šíření únavových trhlin v cyklicky namáhaných ocelových konstrukcích a mostech. 3 / 32

33 Závěry Přednáška: byla zaměřena na základy nově vyvíjené ravděodobnostní metody Přímého Otimalizovaného Pravděodobnostního Výočtu POPV, která racuje čistě numerickým zůsobem bez využití některé simulační techniky, nastínila odstatu základního algoritmu metody POPV, ředstavila rogramový systém ProbCalc, který umožňuje efektivně řešit řadu ravděodobnostních úloh. Závěry 32 / 32

34 Děkuji za ozornost!