VÝPOČET PRAVDĚPODOBNOSTI PORUCHY PŘÍMÝM DETERMINOVANÝM PRAVDĚPODOBNOSTNÍM VÝPOČTEM

Transkript

1 VI. KONFERENCE SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ TÉMA: Od deterministického k pravděpodobnostnímu pojetí inženýrského posudku spolehlivosti konstrukcí , Dům techniky Ostrava ABSTRACT VÝPOČET PRAVDĚPODOBNOSTI PORUCHY PŘÍMÝM DETERMINOVANÝM PRAVDĚPODOBNOSTNÍM VÝPOČTEM Petr Janas 1, Martin Krejsa 2 The paper briefly reviews one of the proposed methods used in problems associated with probability of failure P f calculation, which is compared with target probability P d defined in specifications. Application of this concept was developed on Borland Delphi platform and allows exploring safety function SF using analytical form in string expression or in DLL (dynamic link library) function. Results are compared with solution of others probabilistic methods. 1. Stručné zhodnocení současného stavu Metoda SBRA je vyvíjena od druhé poloviny 80. let. Byla použita při řešení řady úloh publikovaných v mnoha článcích i knihách. Při aplikaci této metody jsou vstupní proměnlivé náhodné veličiny (zatížení, geometrické a materiálové charakteristiky, imperfekce ad.) vyjádřeny histogramy. Zpravidla analyticky odvozený transformační model k určení odezvy konstrukce na zatížení je využíván společně se simulační technikou založenou na využití přímé metody Monte Carlo k výpočtu pravděpodobnosti poruchy nosné soustavy. Výsledná spolehlivost je získána porovnáním vypočtené poruchy s návrhovou hodnotou pravděpodobnosti poruchy. Předložený článek poukazuje na možnost alternativního využití přímého determinovaného pravděpodobnostního výpočtu místo simulační techniky Monte Carlo v metodě SBRA. Při aplikaci metody Monte Carlo se náhodně vybírá (generuje) vždy jedna vstupní veličina z každého souboru vstupních náhodných veličin dané funkce (z každého histogramu), pro kterou se hledá hodnota dané funkce. Počet výběrů vždy jediné z každé vstupní veličiny provedený ze všech vstupních veličin je roven počtu numerických simulací. U přímého determinovaného plně pravděpodobnostního řešení vstupní veličiny, které jsou opět vyjádřeny useknutými histogramy, se nevybírají náhodně, negenerují se. Do výpočtu vstupují determinovaně, přímo dle zadaného algoritmu. Výsledek přitom může být kvalitativně stejný jako u metody Monte Carlo, např. histogram dané funkce. Při stejných vstupních histogramech, při stejné funkci a při stejné volbě intervalů vstupních veličin je u přímého determinovaného plně pravděpodobnostního řešení výsledek vždy stejný. U metody Monte Carlo se výsledek při stejných vstupech, stejné funkci i při stejném počtu simulací zpravidla vždy poněkud liší, neboť generované vstupní veličiny nejsou stejné, jsou vybírány náhodně a počet simulací je vždy konečný. Postup přímé determinované plně pravděpodobnostní metody vychází ze základních pojmů a postupů teorie pravděpodobnosti a byl přednášen již na předcházejících konferencích Spolehlivost konstrukcí [2], [3], [4] i jinde [5], [6]. V předchozích příspěvcích se pro řešené příklady sestavoval vždy nový algaritmus. V současné době se vyvíjí programový systém, do 1 Petr Janas, Doc. Ing. CSc., VŠB-TU Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební mechaniky, Ludvíka Podéště 1875, Ostrava Poruba, petr.janas@vsb.cz 2 Martin Krejsa, Ing. Ph.D., VŠB-TU Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební mechaniky, Ludvíka Podéště 1875, Ostrava Poruba, martin.krejsa@vsb.cz

2 kterého lze iplementovat relativně jednoduše analytický transormační model dané konkrétní řešené úlohy. Aplikace vyvíjeného SW je ukázána na příkladu. Dosažené výsledky jsou porovnávány s výsledky dosaženými jinými simulačními technikami (přímá metoda Monte Carlo, metoda LHS) pochopitelně na stejném příkladu. 2. Podstata a pojetí inženýrského posudku spolehlivosti při aplikaci přímého pravděpodobnostního determinovaného výpočtu. Náhodný charakter veličin vstupujících do pravděpodobnostního výpočtu při posuzování spolehlivostí konstrukcí se často vyjadřuje histogramy vycházejícími z pozorování a měření často i dlouhodobých. Ve vlastním výpočtu se pak dostáváme do situace, kdy se jednotlivé náhodné veličiny vzájemně násobí, dělí, sčítají a odčítají, pokud nejsou potřebné složitější početní úkony. Vzniká tedy potřeba početních operací s náhodnými veličinami, které jsou vyjádřeny histogramy. Tyto operace lze realizovat přímo deterministicky při využití základních principů teorie pravděpodobnosti. Lze pracovat s jakýmkoliv histogramem, vyjadřující jakoukoliv náhodnou veličinu, vstupující do výpočtu. Nechť histogram B je libovolnou funkcí f histogramů A j, kde j nabývá hodnot od 1 do n. Platí tedy B = f(a 1, A 2, A 3,, A j, A n ) (1) Každý histogram A j má N j intervalů, přičemž každý interval je omezen hodnotou a j,i zdola a hodnotou a j,i+1 shora. Znamená to například, že v intervalu i j = 1 budou hodnoty: a j,1 a j a j,2, (2) přičemž a j,2 = a j,1 + a j, (3) kde a j, max a j,min a j = (4) N j V intervalu i j bude tedy obecně: a j,i a j a j,i+1 (5) (ij) Hodnoty a j v tomto intervalu označme dále a j. Obdobné platí pro histogram B. Je-li zde počet intervalů N, pak v i-tém intervalu nabývá histogram hodnot b i až b i+1, (dále označované b (i) ), které jsou dány funkcí b (i) = f(a (i1) 1, a (i2) 2,, a (ij) j, a (in) n ) (6) pro danou kombinaci argumentů. Stejné hodnoty b (i) však může být dosaženo i při jiných hodnotách (nebo alespoň některých) a (ij) j. Označíme-li možnou kombinaci l hodnot a (ij) j, pak lze obecně psát b (i) = f(a (i1) 1, a (i2) 2,, a (ij) j, a (in) n ) l (7) i Pravděpodobnost p bl výskytu b (i) (ij) je dána součinem pravděpodobnosti p aj výskytu hodnot a ij j. Platí tedy p i bl =( p (i1) aj. p (i2) aj. p (i3) aj.. p (ij) aj.. p (in) aj ) (8) Pravděpodobnost výskytu všech možných kombinací (a i1 1, a i2 2,, a ij j, a in n ) l, funkce f jejichž výsledkem je b (i) je pak ( i) p b = p l l = 1 () i pl Počet intervalů N j v každém histogramu A j může být různý stejně jako počet intervalů N v histogramu B. Pro počet potřebných početních operací a potřebnou dobu výpočtu je přitom rozhodující a také podstatně ovlivňuje přesnost výpočtu. (9)

3 Obr. 1: Princip provádění numerických operací se dvěma useknutými histogramy při kombinování dvou zatížení Pravděpodobnost poruchy lze pro případ dvou náhodných veličin charakterizujících účinek zatížení E a odolnost konstrukce R vyjádřit dle [8] vztahem: P f = Φ ( x) ϕ ( x) dx (10) R E kde ϕ E (x) je hustota pravděpodobnosti účinku zatížení a Φ (x R ) distribuční funkce odolnosti konstrukce. V případě aplikace přímého determinovaného pravděpodobnostního řešení lze pro dvě náhodné veličiny vyjádřené omezenými (useknutými) histogramy A R a A E pravděpodobnost poruchy P f vyjádřit vztahem: P f = P( B 0) (11) kde B je histogram daný rozdílem B = A R AE, tj. histogramu náhodných veličin odolnosti konstrukce a histogramu náhodných veličin účinku zatížení. Lze dokázat, že výpočet přímým determinovaným pravděpodobnostním výpočtem pro dvě náhodné veličiny, dle výše stručně uvedeného algoritmu je numerickým řešení integrálu (10), který je v daném případě omezen minimální hodnotou histogramu A E a maximální hodnotou histogramu A R. V tomto případě je Φ (x R ) ovšem distribuční funkcí odolnosti konstrukce sestrojená z histogramu A R a ϕ E (x) je funkce hustoty pravděpodobnosti účinku zatížení sestrojena z histogramu A E. Přímý pravděpodobnostní determinovaný výpočet pravděpodobnosti poruchy obdobně jako metoda Monte Carlo, není ovšem omezen na dvě náhodné veličiny vstupující do integrálu (10), stejně jako není omezen na určité rozdělení náhodných veličin. Počet náhodných veličin vstupujících do výpočtu je ovšem omezen možností danou úlohu numericky zvládnout, neboť je při velkém počtu náhodně proměnných bez optimalizačních kroků časově velmi náročná i při dostupné výkonné výpočetní technice.

4 Má-li se uvedená metoda využívat při posuzování spolehlivosti konstrukcí případně i při jiných pravděpodobnostních výpočtech, pak musí být snadno aplikovatelná a to nejen pro relativně jednoduché výpočty, kdy transformační vztahy lze vyjádřit analyticky, ale také pro složitější dnes však běžně využívané výpočetní modely. I při jejich aplikaci se však dnes posuzuje spolehlivost konstrukcí pravděpodobnostně [7]. 2.1 Software pro aplikaci přímého pravděpodobnostního determinovaného výpočtu Pro aplikovatelnost PPDV je rozpracován SW, který umožňuje řešit jednoduché pravděpodobnostní výpočty. Analyzovaná funkce spolehlivosti může být v tomto programu vyjádřena analyticky formou aritmetického výrazu ve znakové podobě (s využitím tzv. kalkulačky) nebo pomocí tzv. dynamické knihovny (soubor s příponou DLL), která může být vytvořena v kterémkoliv programovacím jazyce (např. Borland Delphi). Výpočet s využitím dynamické knihovny je uživatelsky poněkud náročnější, ale je podstatně univerzálnější a z hlediska strojového času i úspornější. Podobným způsobem se pravděpodobnostní úlohy řeší i v programu FREET (např. [10]). Obr. 2: Vstupní obrazovka programu Na obr.2 je vstupní obrazovka programu. Po zadání vztahu, vyjadřující analyticky funkci spolehlivosti formou znakového řetězce nebo dynamické knihovny, je nutno přiřadit k jednotlivým proměnným histogramy, definující jejich proměnlivost. Veškerá dialogová okna programu jsou uživatelsky standardní. Po provedení výpočtu se výsledný histogram funkce spolehlivosti zobrazí i s výslednou funkcí spolehlivosti (viz obr. 4 nebo 5). Na obr.3 je schéma statického řešení příkladu, který byl řešen s využitím SW vyvíjeného pro PPDV. Výška sloupu l byla volena 6 m, průřez sloupu je tvořen válcovaným profilem HEB 300 z oceli Fe360/S235 a modulu pružnosti v tlaku a v tahu E = 2, kpa. Maximální počáteční imperfekce sloupu a je rovna +/- 30 mm. Ve výpočtu se objevuje 5 složek zatížení. Její návrhové hodnoty jsou uvedeny v tabulce 1.

5 Pro výpočet maximálního vodorovného posunutí dle teorie II. řádu s uvažováním vlivu počátečních imperfekcí se použil vztah vyplývající z řešení publikovaného [12]: a F W + EQ +. F tg() l. δ = l EJ, kde K = 1 (12) F F l. l. K EJ Ohybový moment v kritickém průřezu - ve vetknutí a normálové napětí v krajních vláknech tohoto průřezu se pak rovná:.( 1+ K) M = δ M F δ.(1 + K) 1 F, σ = + = F( + ) (13) a (14) K W A K. W A V dalším výpočtu je analyzována funkce spolehlivosti dle mezního stavu únosnosti SF = R Q, (15) kde R je mezní hodnota normálového napětí odpovídající materiálovým vlastnostem a Q je extrémní normálové napětí ve vetknutí sloupu dle (14). Použitelnost konstrukce je vztažena k povolené hodnotě vodorovného přetvoření sloupu δ tol = 35 mm. Funkce spolehlivosti dle mezního stavu použitelnosti má pak tvar: SF = δ tol abs (δ), (17) kde δ je hodnota skutečného maximálního vodorovného přetvoření sloupu dle (12). Ve výše uvedené tabulce představuje W zatížení větrem; EQ zatížení zemětřesením; F osovou sílu působící ve sloupu, která je tvořena variabilním zatížením stálým, dlouhodobým nahodilým a krátkodobým nahodilým; ve vzorcích je pak a imperfekce ve sloupu, l délka sloupu; J moment setrvačnosti sloupu; W průřezový modul sloupu; E modul pružnosti v tahu a v tlaku a R je napětí na mezi kluzu materiálu. Tabulka 1: Vstupní údaje zatížení Označení Typ zatížení Návrhová hodnota [kn] D Stálé 350 L S Dlouhodobé nahodilé Krátkodobé nahodilé W Vítr D + L + S EQ Zemětřesení.( ) 25 = Obr. 3: Schéma vyšetřované konstrukce Ve výpočtu se tedy objevuje celkem 8 variabilních veličin: 5 složek zatížení (variabilita jejich působení je vyjádřena histogramy z [1]), proměnnost průřezu vlivem možného pod a převálcování (vyjádřena histogramem dle [6]), počáteční imperfekce ve sloupu (normálové rozdělení -1 až +1, histogram z [1]) a napětí na mezi kluzu f y (histogram Tyče Fy23501.DIS z [9]). Celkový počet variabilních veličin však u PPDV nemusí vstupovat v některých případech najednou. Lze je předzpracovat a snížit tak částečně počet náhodných veličin vstupujících např. do vlastního výpočtu poruchy konstrukce. Zatížení představované osovou silou F je tvořeno třemi náhodnými veličinami, které nepůsobí nikde

6 jinde. Mohou do výpočtu vstupovat najednou ve formě jediného histogramu tvořeného právě svislým zatížením. Obdobně je tomu i u hodnoty vodorovného zatížení F H, které je představováno možnými kombinacemi složek bočního zatížení W a EQ. Zatížení F a F H lze tedy získat součtem příslušných histogramů variabilního zatížení. Do vlastního výpočtu poruchy konstrukce nemusí tedy v daném případě vstupovat 5 náhodných veličin vztahujících se k zatížení konstrukce, ale pouze 2, přičemž výsledek je identický s postupem, kdy do výpočtu pravděpodobnosti poruchy najednou vstupuje 5 náhodných veličin zatížení. V daném případě se tedy použil postup, který jsme nazvali grupování, snižující náročnost výpočtu při zachování jeho korektnosti. Pravděpodobnost poruchy pro zadané hodnoty je pro mezní stav použitelnosti (obr. 4) a je P f = 0, a pro mezní stav únosnosti (obr. 5) je P f = 0, , což ve smyslu [11], představuje obvyklou úroveň spolehlivosti. Výpočet napětí dle vztahu (14) vyžadoval celkem simulačních kroků. Je tomu tak proto, že do výpočtu vstupovaly celkem 4 náhodné veličiny a to dvě zatížení, imperfekce a jeden parametr charakterizující geometrické vlastnosti válcovaného profilu HEB 300. Histogram každé vstupní veličiny měl celkem 256 intervalů, ze kterých pak vyplývá počet simulačních uvedený v tabulce 2. Pro vlastní výpočet výsledné pravděpodobnosti poruchy P f bylo nutno ještě hodnotu dosaženého napětí v tlaku porovnat s náhodnou veličinou představovanou mezí kluzu materiálu oceli. Počet simulačních kroků se pak zvýšil dalších = simulací nutných pro vlastní výpočet poruchy. Celkový čas výpočtu u testovaného SW činil 90 vteřin a to bez optimalizačních výpočtů, které mohou dobu výpočtu ještě podstatně zkrátit. Počet simulačních kroků Tab. 2: Výsledné hodnoty z aplikačního programu PDPV Číslo výpočtu Výsledná pravděpodobnost poruchy P f = , Strojový čas [min:sec] 1:30 (bez optimalizace) Obr. 4: Výsledná pravděpodobnost poruchy a histogram funkce spolehlivosti dle mezního stavu použitelnosti.

7 Obr. 5: Aplikační program PPDV výsledný histogram funkce spolehlivosti a pravděpodobnost poruchy 2.2 Srovnání výsledků přímého pravděpodobnostního determinovaného výpočtu a jiných simulačních technik Pro ověřování správnosti dosažených výsledků při aplikaci vyvíjeného SW pro PPDV bylo provedeno porovnání výpočtu pravděpodobnosti poruchy pro stejná zadání s programem Ant Hill využívajícím klasickou metodu Monte Carlo. Dosažené výsledky pro parametrické opakované výpočty pro 10 6 simulací, simulací a simulací, jsou uvedeny v tabulce 3. Je zde uvedena také celková doba výpočtu. Opakované výpočty metodou PPDV se neprováděly, neboť jsou pro tytéž vstupní hodnoty vždy stejné. Z tabulky 3 je zřejmé, že výsledky jednotlivých simulačních výpočtů metodou Monte Carlo se poněkud liší. Jejich rozptyl však není velký a v zásadě se výsledky dosti přesně shodují s výsledky dosaženými PPDV uvedeným v tabulce 2. Počet simulačních kroků Tab. 3: Výsledné hodnoty programu AntHill metoda SBRA Číslo výpočtu Výsledná pravděpodobnost poruchy P f Strojový čas [min:sec] , , , , , , :35 1: , :05 Provedený výpočet byl srovnáván i s výsledky dosaženými jinou simulační technikou a to s využitím programu FREET [10]. Je zde použito jednak metody LHS, přičemž se používají různá rozdělení, jednak také klasické metody Monte Carlo. Výsledky

8 parametrických výpočtů jsou uvedeny v tabulce 4. Vzájemně se mezi sebou liší. Projevuje se zde počet simulačních kroků, který je u metody LHS velmi malý a také typ rozdělení, které je danému výpočtu pop testování přisouzeno. Pro normální rozdělení a metodu LHS stejně jako pro simulaci metodou Monte Carlo v programu FREET, jsou výsledky v zásadě shodné a pravděpodobnost poruchy činí 1, Tato hodnota je cca dvojnásobkem hodnoty pravděpodobnosti poruchy zjištěné PPDV nebo programem AntHill. Rozdíl ve výsledcích je dle našeho názoru způsoben tím, že v metodě SBRA se pracuje s useknutými histogramy, které mohou mít navíc zcela libovolné rozdělení, jež není nutno vyjadřovat analyticky, v programu FREET se pak pracuje s analyticky vyjádřenými histogramy, na které jsou vstupní náhodné veličiny transformovány. Normální rozdělení pak není zdola a shora omezeno, což je zřejmě příčinou rozdílnosti výpočtu. Ve zvoleném testovaném příkladě byly záměrně zvoleny vstupní náhodné veličiny tak, aby odpovídaly normálnímu rozdělení s omezením shora a zdola (useknuté histogramy). Pokud by vstupní náhodné veličiny byly ve formě obecnějších histogramů, pak rozdíl ve výpočtu pravděpodobnosti poruchy metodou SBRA při aplikaci metody Monte Carlo nebo PPDV na jedné straně a postupy vycházející z analyticky vyjádřitelného rozdělení (metoda FREET), budou větší. Tab. 4: Výsledné hodnoty z programu Freet, způsob výpočtu LHS (median) Počet simulačních kroků Číslo výpočtu Výsledná pravděpodobnost poruchy P f (distribuční funkce normal) Strojový čas [min:sec] , Počet simulačních kroků Číslo výpočtu , (normal 5.nejvhodnější) 0, (normal 4.nejvhodnější) 0, (normal 3.nejvhodnější) 0, (normal 3.nejvhodnější) 0, (normal 2.nejvhodnější) 0, (normal 2.nejvhodnější) Výsledná pravděpodobnost poruchy P f (při použití nejvhodnější distribuční funkce) 0, (normal) 0, (Weibull max 3 par.) 0, (Weibull max 3 par.) 0, (Beta) 0, (Lognormal 3 par.) 0, (Student t) 0, (Lognormal 3 par.) 0:00 0:02 0:05 Strojový čas [min:sec] 0:00 0:02 0:05 Tab. 5: Výsledné hodnoty z programu Freet, způsob výpočtu Monte Carlo Výsledná pravděpodobnost poruchy P f N f /N tot (při použití nejvhodnější distribuční funkce) Počet simulačních kroků , (normal) Strojový čas [min:sec] 0, cca 5:00

9 3. Další rozvoj této problematiky a cíle Uvedený demonstrační příklad ukazuje, že vyvíjený SW pro PPDV je již v současné době schopen řešit řadů pravděpodobnostních výpočtů. Má však jistá omezení dána zejména náročností rozsáhlých úloh, kdy počet simulací je velmi vysoký. Do vyvíjeného SW bude implementována řada optimalizačních postupů, které by měly do značné míry běžet nezávisle na uživateli. Tyto kroky mají za cíl minimalizovat dobu výpočtu. Bylo již prokázáno [6], že v uvedeném příkladu lze pravděpodobnost poruchy realizovat při aplikace PPDV ve zlomku času uvedeném v tabulce 2 při zachování korektnosti řešení a dostatečné přesnosti řešení. Při současných poznatcích a zkušenostech lze realizovat následujícími postupy minimalizující dobu výpočtu pravděpodobnosti poruchy, které budou postupně implementovány do vyvíjeného SW: 1. Grupování složek zatížení. Tento postup byl aplikován již v uvedeném příkladě. Jestliže např. zatížení je tvořeno řadou náhodných veličin, které působí ve stejném místě, pak je lze vyjádřit jediným společným histogramem. 2. Snižování počtu intervalů v histogramech vstupujících do výpočtu. Tento postup při zachování korektnosti výstupu může počet intervalů snižovat ale pouze tak, aby nebyl ovlivněn podstatně výsledek. Při tomto postupu se proto nejdříve testuje váha počtu intervalů každé náhodné veličiny na výsledek řešení a následně se počet intervalů minimalizuje. 3. Vylučování intervalů jednotlivých histogramů vstupujících do výpočtu. Toto se týká těch intervalů, které se na poruše jednoznačně nepodílejí. V případě, kdy porucha dle (11) je dána rozdílem dvou useknutých histogramů, je tento postup relativně jednoduchý a snadno zvládnutelný. Vstupuje-li do výpočtu pravděpodobnosti poruchy větší počet náhodných veličin vyjádřených histogramy, pak je algoritmus řešení podstatně složitější. V každém histogramu mohou vznikat až tři typy intervalů lišící se svým podílem na pravděpodobnosti vzniku poruchy, a to : a) Typ I se podílí na pravděpodobnosti poruchy vždy, b) Typ II se na pravděpodobnosti poruchy může a nemusí podílet, c) Typ III se na pravděpodobnosti poruchy nepodílí. Na obr. 6 je výsledek analýzy histogramu bočních zatížení z testovaného příkladu, kde jsou všechny tři uvedené typy intervalů. Rozdělení intervalů každého histogramu umožňuje následně podstatně omezit výpočtové kroky vedoucí ke korektnímu výpočtu pravděpodobnosti poruchy. Obr. 6 Výsledek analýzy histogramu bočních zatížení

10 V PPDV vstupují do výpočtu v zásadě vždy statisticky nezávislé veličiny. Některé náhodné veličiny jsou však statisticky zcela jednoznačně závislé. Společné vyjádření statisticky závislých veličin může nároky na výpočet rovněž omezit, cenou je ovšem určité zjednodušení problému. Lze-li např. nepřesnost profilu charakterizovat jedinou relativní délkovou chybou ε, pak lze formálně všechny průřezové charakteristiky vyjádřit jako funkce jediného histogramu [6]. Pokud je tento postup nekorektní, pak lze statisticky závislé veličiny zadávat pomocí většího počtu nezávislých histogramů. V tomto případě je výhodné považovat jeden z histogramů za dominantní, který se aplikuje u všech statisticky závislých náhodných veličin, ostatní se pak aplikují zpravidla u jediné hodnoty. Platí-li např. A = α A0, kde A je histogram plochy průřezu a A 0 je hodnota nominálního průřezu, pak modul průřezu W a pro moment setrvačnosti J lze vyjádřit vztahy: W = α β W a J α J 0, případně i J = β γ J 0 = γ α. Průřezové charakteristiky jsou pak statisticky závislé, neboť jsou funkcí histogramu α (případně i dalších), každá z nich může mít přitom jiný rozptyl hodnot. Uvedený postup lze implementovat přímo do PPDV. PODĚKOVÁNÍ Projekt byl realizován za finanční podpory ze státních prostředků prostřednictvím Grantové agentury České republiky. Registrační číslo projektu je 103/04/1451. LITERATURA [1] MAREK, P., GUŠTAR, M., ANAGNOS, T. (1995): SIMULATION-BASED RELIABILITY ASSESSMENT FOR STRUCTURAL ENGINEERS, CRC PRESS, INC., BOCA RATON, FLORIDA, 1995, ISBN [2] JANAS, P., KREJSA, M.: NUMERICKÝ VÝPOČET PRAVDĚPODOBNOSTI UŽITÍM USEKNUTÝCH HISTOGRAMŮ, III. ROČNÍK CELOSTÁTNÍ KONFERENCE SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ. 2002; STR.33-38, ISBN [3] JANAS, P., KREJSA, M., KOLOŠ I.,: POSUDEK SPOLEHLIVOSTI VYBRANÉ OCELOVÉ KONSTRUKCE NUMERICKÝM, IV. ROČNÍK CELOSTÁTNÍ KONFERENCE SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ. 2003; STR , ISBN [4] JANAS, P., KREJSA, M.: PRAVDĚPODOBNOSTNÍ POSUDEK SPOLEHLIVOPSTI OCELOVÉ OBLOUKOVÉ VÝZTUŽE DLOUHÝCH DŮLNÍCH DĚL METODOU SBRA PŘI APLIKACI PŘÍMÉHO DETERMINOVANÉHO PRAVDĚPODOBNOSTNÍHO VÝPOČTU, V. ROČNÍK CELOSTÁTNÍ KONFERENCE SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ. 2004; STR , ISBN [5] TERECO: PROBABILISTIC ASSESSMENT OF STRUCTURES USING MONTE CARLO SIMULATION - 2ND EDITION, BACKGROUND, EXERCISES AND SOFTWARE, ED.: MAREK, P., BROZZETTI, J., GUŠTAR, M., TIKALSKY, P., CHAPTER NO.24.5: AN EXAMPLE. USING A DIRECT DETERMINED PROBABILISTIC SOLUTION IN THE FRAMEWORK OF SBRA METHOD (P. JANAS, M. KREJSA), ON CD, P.26 36, ÚTAM AV ČR, PRAHA 2003, ISBN [6] JANAS, P., KREJSA, M.: ANALÝZA OPTIMALIZAČNÍCH KROLŮ PŘÍMÉHO DETERMINOVANÉHO PRAVDĚPODOBNOSTNÍHO VÝPOČTU A JEJICH VYUŽITÍ PŘI POSUZOVÁNÍ SPOLEHLIVOSTI KONSTRUKCÍ, NEW TRENDS IN STATICS AND DYNAMICS OF BUILDINGS. BRATISLAVA 2004; STR , ISBN [7] KRÁLIK, J., VARGA T.: PROBABILITY ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE EMERGENCY WATER STORAGE TANK CONSIDERING DEGRADATION EFFECTS, NEW TRENDS IN STICS AND DYNAMICS OF BUILDINGS, BRATISLAVA 2004, STR , ISBN [8] TEPLÝ B., NOVÁK, D.: SPOLEHLIVOST STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ, CERM, S.R.O. BRNO 1999, ISBN X. [9] FAJKUS, M.: USEKNUTÉ HISTOGRAMY NAPĚTÍ NA MEZI KLUZU, VÚHŽ, DOBRÁ, [10] NOVÁK, D., VOŘECHOVSKÝ, M., RUSINA, R.: SMALL-SAMPLE PROBABILISTIC ASSESSMENT FREET SOFTWARE, APPLICATIONS OF STATICS AND PROBABILITY IN CIVIL ENGINEERING, DER KIUREGHIAN, MADANAT & PESTANA (EDS), 2003 MILLPRESS, ROTTERDAM, ISBN [11] , ČSN NAVRHOVÁNÍ OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ, ČESKÝ NORMALIZAČNÍ INSTITUT, 1998, PRAHA. [12] VÁCLAVEK, L., MAREK, P.: POSUDEK PRAVDĚPODOBNOSTI PORUCHY OCELOVÉ NOSNÉ SOUSTAVY S PŘIHLÉDNUTÍM K MONTÁŽNÍM TOLERANCÍM, I.ROČNÍK KONFERENCE SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ NA TÉMA: ROZVOJ KONCEPCÍ POSUDKU SPOLEHLIVOSTI STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ, , DŮM TECHNIKY OSTRAVA, STR.41-46, ISBN o