TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 5. března 2013
Počátek teorie grafů Leonard Euler (1707 1783) 1735 pobyt v Královci (Prusko), dnes Kaliningrad (Rusko) Úloha: Projít městem tak, abyste přešli každý most právě jednou.
Matematizace úlohy 1. Pozorování: nezáleží na cestě mimo mosty 2. Podstatná jsou jen území (vrcholy) a mosty (hrany) 3. Není důležitá poloha vrcholů ani tvar hran. 4. Obrázek grafu má jen pomocnou roli.
Definice grafu Vrcholy reprezentují nějaké objekty (plochy mezi řekami), hrany jsou vztahy - relace mezi objekty (spojuje je most). Definition Graf (obyčejný neorientovaný) je uspořádaná dvojice (V, E), kde V je množina vrcholů a E ( ( V 2) je množina hran. Symbolem V n) značíme množinu všech n prvkových podmnožin množiny V. Neorientovaná hrana je neuspořádaná dvojice vrcholů, jejich max. počet je n(n 1)/2 pro n = V
Grafová formulace úlohy o mostech Graf úlohy můžeme zapsat: V = {1, 2, 3, 4, 5} E = {{1, 2}, {1, 2}, {2, 3}, {2, 3}, {1, 4}, {2, 4}, {3, 4}} Úloha: Pro daný graf G = (V, E) nalézt uspořádanou posloupnost hran a vrcholů P = (v 1, e 1, v 2,..., v 7, e 7, v 8 ) tak, že e i = {v i, v i+1 } a každá hrana se v posloupnosti vyskytuje právě jednou. (Vrcholy se mohou opakovat.) Posloupnost P v níž se mohou opakovat vrcholy, ale ne hrany nazýváme sled.
Úloha pro sypače Projed te každou ulici města právě jednou v každém povoleném směru. Grafová formulace: Vrcholy - křižovatky Hrany (orientované) - silnice
Orientovaný graf Definition Graf (obyčejný orientovaný) je uspořádaná dvojice (V, E), kde V je množina vrcholů a E V V je množina hran. Př. V = {1, 2, 3, 4, 5} E = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 4), (2, 4), (4, 3)} Občejný graf neobsahuje smyčky (hrany začínající a končící ve stejném vrcholu), ani násobné hrany.
Graf vs. nakreslení Graf: Vrcholy - libovolná množina (v počítači obvykle přirozená čísla) Neorientované hrany - neuspořádané dvojice vrcholů Orientované hrany - uspořádané dvojice Nakreslení: Vrcholy - puntíky, body Neorientované hrany - křivky mezi puntíky Orientované hrany - křivky se šipkou
Cesty v grafu sled - P = (v 1, e 1, v 2,..., v n, e n, v n+ ), vrcholy i hrany se mohou opakovat, délka n tah - sled, ve kterém se neopakuji hrany cesta - sled ve kterém se neopakují vrcholy kružnice - cesta ve které v 1 = v n+1 Eulerovský tah - tah obsahující všechny hrany Eulerovská kružnice - Eulerovský tah, s totožným počátkem a koncem
Další příklady aplikací Web stránky; odkazy (orientované hrany)
Další příklady aplikací Web stránky; odkazy (orientované hrany) Závislosti knihovny, třídy; vztahy závislosti (orientované hrany)
Další příklady aplikací Web stránky; odkazy (orientované hrany) Závislosti knihovny, třídy; vztahy závislosti (orientované hrany) Ethernet, TCP počítače, adresy; kabely, spojení
Další příklady aplikací Web stránky; odkazy (orientované hrany) Závislosti knihovny, třídy; vztahy závislosti (orientované hrany) Ethernet, TCP počítače, adresy; kabely, spojení Elektrická sít elektrárny, trafostanice, spotřebitelé; vedení
Další příklady aplikací Web stránky; odkazy (orientované hrany) Závislosti knihovny, třídy; vztahy závislosti (orientované hrany) Ethernet, TCP počítače, adresy; kabely, spojení Elektrická sít elektrárny, trafostanice, spotřebitelé; vedení Chemické sloučeniny prvky; vazby
Další příklady aplikací Web stránky; odkazy (orientované hrany) Závislosti knihovny, třídy; vztahy závislosti (orientované hrany) Ethernet, TCP počítače, adresy; kabely, spojení Elektrická sít elektrárny, trafostanice, spotřebitelé; vedení Chemické sloučeniny prvky; vazby Příbuzenské vztahy lidé; příbuznost
Grafy Platónských těles
Fulereny
Jsou to stejné grafy?
Jsou to stejné grafy? Ztotožnění vrcholů: 1: 4, 5, 6 2: 4, 5, 6 3: 4, 5, 6 4: 1, 2, 3 5: 1, 2, 3 6: 1, 2, 3 a: b, d, f c: b, d, f e: b, d, f b: a, c, e d: a, c, e f: a, c, e
Isomorfismus grafů Definition Dva grafy G a G nazveme izomorfní jestliže existuje vzájemně jednoznačné zobrazení f : V V, takové, že {x, y} E právě když {f(x), f(y)} E. Zobrazení f nazýváme izomorfismus grafů G a G. Značíme G = G. přejmenování vrcholů obecně těžká úloha rozhodnout zda jsou dva grafy isomorfní příklad K 3,3
Podgrafy, cesta a kružnice jinak, sled Definition Řekneme, že graf H je podgrafem grafu G, pokud V (H) V (G) a E(H) E(G). (mažu vrchuly i hrany) Řekneme, že graf H je indukovaným podgrafem grafu G, pokud V (G) V (G) a E(H) = E(G) ( ) V (H) 2. Tj. podgraf obsahuje právě všechny hrany původního grafu na podmnožině vrcholů. (mažu jen vrcholy) Cesta v grafu G (z vrcholu A do vrcholu B délky t): Podgraf isomorfní s P t. Vrcholy se nemohou opakovat. Kružnice v grafu G (délky t): Podgraf isomorfní s C t. Vrcholy se nemohou opakovat. Sled v grafu G (z vrcholu A do vrcholu B délky t) je posloupnost (v 0, e 1, v 1, e 2,..., e t, v t ), kde platí e i = {v i 1, v i } E(G). Vrcholy se mohou opakovat. Lemma V grafu G existuje cesta z a do b právě tehdy pokud existuje sled z a do b.
ekvivalence, třídy ekvivalence Relace (vztah) na množině X je podmnožina X X. (... těch dvojic, které jsou v relaci.) píšeme: x y Relace se nazývá ekvivalence pokud platí: 1) x x, 2) x y y x, 3) x y y z x z; reflexivita, symetrie, tranzitivita. Označme R[x] množinu všech y X ekvivalentních s x, tzv. třídu ekvivalence prvku x. Platí: R[x] je vždy neprázdná bud R[x] a R[y] jsou bud totožné nebo disjunktní Třídy ekvivalence jednoznačně určují relaci ekvivalence.
souvislost grafu, komponenty Definition Řekneme, že graf G je souvislý pokud pro každé dva vrcholy x a y existuje cesta z x do y. Komponenty grafu jsou jeho největší souvislé indukované podgrafy. Zavedeme relaci pro vrcholy: x y, pokud existuje cesta z x do y. Lemma Relace je ekvivalence. (tj. reflexivní, symetrická a tranzitivní relace) Množina vrcholů V se rozpadne na třídy ekvivalence V i. Třídy ekvivalence V i jsou komponenty grafu. Graf je souvislý pokud má jen jednu komponentu.
vzdálenost v grafu Pro dva vrcholy x, y souvislého grafu G definujeme jejich vzdálenost d G (x, y) jako délku nejkratší cesty v grafu G. Funkci d G : V V R nazýváme metrika grafu. Metrika má vlastnosti: 1. d(x, y) 0, přičemž d(x, y) = 0 pravě když x = y 2. (symetrie) d(x, y) = d(y, x) 3. (trojúhelníková nerovnost) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) Zobecnění pro grafy s hranami ohodnocenými kladnými čísly.
Pojmy založené na metrice excentricita vrcholu je jeho vzdálenost k nejvzdálenějšímu vrcholu, ɛ G (v) = max u V d G(v, u) průměr grafu, diam G, je maximální excentricita poloměr grafu, minimální excentricita periferní vrcholy - ty co mají excentricitu rovnou průmeru centrální vrcholy - ty co mají excentricitu rovnu poloměru matice vzdáleností
Stupeň vrcholu Stupeň vrcholu deg(v) v neorientovaném grafu je počet hran vychazejících z v pro orientované grafy: indegree deg (v), outdegree deg + (v) Lemma deg(v) = 2 E v V Skóre grafu - neklesající posloupnost stupňů všech vrcholů grafu, nemění se při isomorfismu