Grafy. 1. Základní pojmy. 1. Definice grafu. Grafy.nb 1

Transkript

1 Grafy.nb 1 1. Základní pojmy Grafy 1. Definice grafu 1.1. Orientovaný graf. Orientovaný graf je trojice G =HV, E, L tvořená konečnou množinou V, konečnou množinou E disjunktní s V a zobrazením : E Ø V 2. Prvky množiny V nazýváme vrcholy, prvky množiny E nazýváme orientovanými hranami a zobrazení, které každé hraně e œ E přiřazuje uspořádanou dvojici vrcholů HeL =Hx, yl, nazýváme vztahem incidence. Vrchol x nazýváme počátečním vrcholem hrany e a značíme jej PVHeL a vrchol y nazýváme koncovým vrcholem hrany e a značíme jej KVHeL. O vrcholech x, y pak říkáme, že jsou incidentní s hranou e, a o hraně e říkáme, že je incidentní s vrcholy x, y nebo že spojuje vrcholy x, y. Oba vrcholy x, y také nazýváme krajními vrcholy hrany e. Jestliže koncový vrchol hrany je identický s jejím počátečním vrcholem, nazýváme hranu (orientovanou) smyčkou. Vrchol, který není incidentní s žádnou hranou, nazýváme izolovaným vrcholem. V některých případech je orientace hran nepodstatná, tj. nepotřebujeme rozlišovat mezi počátečními a koncovými vrcholy hran. Proto zavádíme pojem neorientovaného grafu, který vznikne tím, že zapomeneme na pořadí vrcholů v uspořádaných dvojicích Neorientovaný graf. Neorientovaný graf je trojice G =HV, E, L tvořená konečnou množinou V, jejíž prvky nazýváme vrcholy, konečnou množinou E disjunktní s V, jejíž prvky nazýváme neorientovanými hranami, a zobrazením, nazývaným vztah incidence, které každé hraně e œ E přiřazuje jedno- nebo dvouprvkovou množinu vrcholů. Tyto vrcholy nazýváme krajní vrcholy hrany. Říkáme také, že jsou incidentní s hranou e a hrana e je incidentní s těmito vrcholy nebo že spojuje tyto vrcholy. Hranu incidentní pouze s jedním vrcholem nazýváme (neorientovanou) smyčkou a vrchol, který není incidentní s žádnou hranou, nazýváme izolovaným vrcholem Ohodnocený graf. V mnoha aplikacích pojmy orientovaného a neorientovaného grafu nepostačují pro adekvátní popis studovaného problému. Proto se často k hranám nebo vrcholům připojují číselné nebo i jiné údaje, které vyjadřují např. doby trvání nebo náklady činnosti, délky dopravních cest, propustnosti potrubí, pravděpodobnosti událostí apod. Graf, jehož hrany nebo vrcholy jsou opatřeny číselnými nebo jinými hodnotami, se nazývá ohodnocený graf nebo také síť Geometrický model grafu. Oba druhy grafů lze s výhodou znázorňovat graficky. Vrcholy obvykle kreslíme jako body nebo kroužky a hrany jako úsečky nebo oblouky spojující příslušné dvojice vrcholů. Je-li hrana orientovaná, značíme orientaci šipkou směřující od počátečního ke koncovému vrcholu. Je třeba mít na paměti, že týž graf lze nakreslit mnoha k nepoznání různými způsoby. Formálně definujeme diagram neboli geometrický model neboli nakreslení grafu jako dvojici zobrazení Hj, yl, kde j je prosté zobrazení množiny vrcholů do roviny a y každé (orientované) hraně spojující vrcholy x, y přiřazuje (orientovaný) oblouk s krajními body jhxl, jhyl. Rovinný geometrický model je model, v němž libovolné dva oblouky přiřazené různým hranám mají společné nejvýše své krajní body, a rovinný neboli planární graf je graf s rovinným geometrickým modelem. Zdaleka ne každý graf je planární. Neplanární jsou např. grafy s geometrickými modely Obr.1.1.

2 Grafy.nb 2 Prvním z těchto grafů je úplný graf K 5 a druhým je úplný bipartitní graf K 3, Poznámka k terminologii. Ani definice orientovaného a neorientovaného grafu, ani terminologie teorie grafů nejsou zdaleka jednotné, a to jak v naší, tak i ve světové literatuře. Základní pojmy mají sice společné jádro, mohou se však lišit v důležitých detailech. Proto je vždy nutné prostudovat úvodní partie každé knihy o grafech a seznámit se s používanými pojmy. 2. Symetrizace, orientace a obrácení grafu 2.1. Symetrizace orientovaného grafu. Symetrizací orientovaného grafu se nazývá neorientovaný graf, který dostaneme tak, že zapomeneme na orientaci hran. Symetrizací orientovaného grafu HV, E, L je tedy neorientovaný graf HV, E, L, kde HeL =8x<, jestliže HeL =Hx, xl, a HeL =8x, y<, jestliže HeL =Hx, yl. Např. graf na obrázku 1.2b je symetrizací grafu na obrázku 1.2a. al bl Obr Orientace grafu. Neorientovanému grafu G lze obráceně přiřadit orientovaný graf dvěma různými způsoby. Buď zvolíme orientaci hran libovolně a získáme tzv. orientaci grafu G, nebo každou neorientovanou hranu, která není smyčkou, nahradíme dvojicí opačně orientovaných hran a každou neorientovanou smyčku nahradíme orientovanou smyčkou, čímž získáme tzv. symetrickou orientaci grafu G. Orientace grafu G tedy není určena jednoznačně, je to však orientovaný graf G, jehož symetrizací je původní graf G. Naproti tomu symetrizací symetrické orientace neorientovaného grafu není původní graf. Na obr. 1.2a a 1.3a jsou dva příklady orientace neorientovaného grafu z obr. 1.2b a na obr. 1.3b je symetrická orientace tohoto grafu. al bl Obr Obrácení grafu. Obrácením orientovaného grafu G se nazývá orientovaný graf G, jehož vrcholy a hrany jsou identické s vrcholy a hranami grafu G, ale každá hrana je orientována opačně než v grafu G. To znamená: je-li G =HV, E, L, pak G =HV, E, L, kde HeL =Hx, yl právě když HeL =Hy, xl. Zřejmě platí, že G je obrácením grafu G, právě když G je obrácením grafu G. Graf, jenž je identický se svým obrácením, se nazývá symetrický Poznámka k terminologii. Je zřejmé, že pojmy, které nezávisí na orientaci hran, lze definovat pro neorientované i orientované grafy, přičemž obě definice lze formulovat tak, že se téměř doslovně shodují. Ostatně v orientovaném grafu můžeme zapomenout na orientaci hran a považovat jej za neorientovaný a neorientovaný graf můžeme chápat jako orientovaný, v němž na orientaci hran nezáleží. Proto pojmy nezávisející na orientaci hran budeme definovat pouze pro orientované grafy a analogické definice pro neorientované grafy přenecháme čtenáři nebo budeme takové definice formulovat pro grafy, aniž bychom rozlišovali mezi grafy orientovanými a neorientovanými.

3 Grafy.nb 3 3. Významné množiny hran a vrcholů Budeme používat následující označení: VHGL... množina vrcholů grafu G, EHGL... množina hran grafu G,» M»... počet prvků konečné množiny M Množiny vrcholů v orientovaných grafech. Nechť G = HV, E, L je orientovaný graf, x, y jeho libovolné vrcholy a A Œ V libovolná množina jeho vrcholů. Zavedeme následující pojmy a označení: V G + HxL = 8z œ V :Hx, zl œ HEL< = množina následníků vrcholu x, tj. množina všech vrcholů, do nichž vede hrana z vrcholu x. V Ḡ HxL = 8z œ V :Hz, xl œ HEL< = množina předchůdců vrcholu x, tj. množina všech vrcholů, z nichž vede hrana do vrcholu x. V G HxL = V Ḡ HxL V G + HxL = množina sousedů vrcholu x, tj. množina všech vrcholů spojených hranou s vrcholem x. V G HAL = 8V G HxL : x œ A<, tj. množina všech vrcholů spojených hranou s některým vrcholem z množiny A Množiny hran v orientovaných grafech. Nechť G =HV, E, L je orientovaný graf, x,y jeho libovolné vrcholy a A Œ V libovolná množina jeho vrcholů. Zavedeme následující pojmy a označení: E G + HxL = 8e œ E : PVHeL = x< = výstupní okolí vrcholu x, tj. množina všech hran s počátečním vrcholem x. E Ḡ HxL = 8e œ E : KVHeL = x< = vstupní okolí vrcholu x, tj. množina všech hran s koncovým vrcholem x. E G HxL = E Ḡ HxL E G + HxL = okolí vrcholu x, tj. množina všech hran incidentních s vrcholem x. W G + HAL = 8e œ E : PVHeL œ A, KVHeL A<, tj. množina všech hran, jejichž počáteční vrchol leží v množině A a koncový vrchol neleží v množině A. W Ḡ HAL = 8e œ E : PVHeL A, KVHeL œ A<, tj. množina všech hran, jejichž počáteční vrchol neleží v množině A a koncový vrchol leží v množině A. W G HAL = W Ḡ HAL W G + HAL =řez určený množinou A, tj. množina všech hran, jejichž jeden vrchol leží v množině A a druhý v množině A neleží Číselné charakteristiky vrcholů a hran. Nechť G =HV, E, L je orientovaný graf, x,y jeho libovolné vrcholy a A Œ V libovolná množina jeho vrcholů. Zavedeme následující pojmy a označení: m G + Hx, yl =» E G + HxL E Ḡ HyL» = násobnost orientované hrany s počátečním vrcholem x a koncovým vrcholem y, tj. počet hran s počátečním vrcholem x a koncovým vrcholem y. m G Hx, yl =» E G HxL E G HyL», tj. počet hran spojujících vrcholy x, y. d + G HxL =» E + G HxL» = výstupní stupeň vrcholu x, tj. počet hran s počátečním vrcholem x. d Ḡ HxL =» E Ḡ HxL» = vstupní stupeň vrcholu x, tj. počet hran s koncovým vrcholem x. d G HxL = d Ḡ HxL + d G + HxL = stupeň vrcholu x, tj. počet hran incidentních s vrcholem x, přičemž smyčky počítáme dvakrát Poznámka. Vždy, když bude z kontextu jasné, o jaký graf G se jedná, budeme ve všech označeních zavedených v odstavcích 3.1 až 3.3 dolní index G kvůli stručnosti a přehlednosti vynechávat Množiny vrcholů a hran v neorientovaných grafech. V slovních definicích množin V G HxL, E G HxL, W G HAL a číselných charakteristik d G HxL, m G Hx, yl zřejmě hrají podstatnou roli pouze množiny krajních vrcholů hran, tj. není důležité vědět, který z krajních vrcholů hrany je počáteční a který koncový. To znamená, že uvedené množiny a číselné charakteristiky lze stejnými slovy definovat i pro neorientovaný graf G =HV, E, L. Kromě toho je zřejmé, že pro libovolnou orientaci H grafu G V G HxL = V H HxL, E G HxL = E H HxL, W G HAL = W H HAL, d G HxL = d H HxL, m G Hx, yl = m H Hx, yl.

4 Grafy.nb Věta. V každém grafu G se součet stupňů všech vrcholů rovná dvojnásobku počtu hran Multigraf a prostý graf. Grafy, orientované i neorientované, se dále dělí na multigrafy a prosté grafy. Multigraf je graf, v němž alespoň jedna hrana má násobnost větší než 1. Orientovaný multigraf je tedy orientovaný graf, v němž m + Hx, yl > 1 pro alespoň jednu dvojici vrcholů x, y, a neorientovaný multigraf je graf, v němž mhx, yl > 1 pro alespoň jednu dvojici vrcholů x, y. Prostý graf je graf, v němž všechny hrany mají násobnost nejvýše 1. Orientovaný graf je tedy prostý, jestliže v němž pro každou dvojici vrcholů x, y platí nerovnost m + Hx, yl 1, a neorientovaný graf je prostý, jestliže v němž pro každou dvojici vrcholů x, y platí nerovnost mhx, yl 1. Poznamenejme, že v literatuře je často slovem graf označován pouze prostý graf a že symetrizací prostého orientovaného grafu může vzniknout neorientovaný multigraf. 4. Isomorfismus grafů, podgrafy a faktory grafů 4.1. Izomorfismus grafů. Nechť G =HV, E, L a G' =HV ', E', 'L jsou grafy stejného typu, tj. oba orientované nebo oba neorientované. Izomorfismem grafu G na graf G' se nazývá uspořádaná dvojice H f, gl bijektivních zobrazení f : V Ø V ', g : E Ø E' zachovávajících vztahy incidence, ', tj. takových, že pro každou hranu e œ E platí implikace HeL =Hx, yl ï ' HgHeLL =H fhxl, fhyll v případě orientovaných grafů, HeL =8x, y< ï ' HgHeLL =8 fhxl, fhyl< v případě neorientovaných grafů. Říkáme, že grafy G a G' jsou izomorfní, označení G', existuje-li alespoň jeden izomorfismus G na G'. Zřejmě G, G' fl G a G'fl G'' fl G'', což znamená, že vztah izomorfismu grafů je reflexivní, symetrická a tranzitivní relace, tj. ekvivalence Poznámka. Ve většině případů je obtížné rozhodnout, zda dva dané grafy jsou nebo nejsou izomorfní. Při řešení tohoto problému lze často využít tato jednoduchá pozorování: HaL Izomorfní grafy mají stejný počet vrcholů a stejný počet hran. HbL Vrchol stupně k resp. vstupního stupně k resp. výstupního stupně k může být izomorfismem zobrazen pouze na vrcho stupně k resp. vstupního stupně k resp. výstupního stupně k. HcL Dvojice sousedních vrcholů může být izomorfismem zobrazena pouze na dvojici sousedních vrcholů. HdL Jestliže se některá vlastnost grafu izomorfismem zachovává, pak dva grafy nemohou být izomorfní, pokud má tuto vlastnost pouze jeden z nich Příklad. Tři neorientované grafy s diagramy Obr.1.4. jsou izomorfní, i když to na první pohled není zřejmé. Není však těžké ověřit, že jeden z možných izomorfismů prvního grafu na druhý je jednoznačně určen např. zobrazením vrcholů

5 Grafy.nb 5 1#1, 2#6, 3#5, 4#3, 5#5, 6#2 a jeden z možných izomorfismů druhého grafu na třetí je jednoznačně určen např. zobrazením vrcholů 1#1, 2#4, 3#5, 4#2, 5#3, 6#6. Naproti tomu žádné dva z orientovaných grafů s diagramy Obr.1.5. nejsou izomorfní, neboť první z nich obsahuje dva vrcholy s nulovým vstupním stupněm, druhý obsahuje pouze jeden a třetí neobsahuje žádný takový vrchol Prosté orientované grafy a relace. Každý prostý orientovaný graf G =HV, E, L je izomorfní s grafem G' =HV, HEL, il, jehož hranami jsou přímo uspořádané dvojice vrcholů a jehož vztahem incidence je identické zobrazení. Jinými slovy, hrany každého prostého orientovaného grafu lza pokládat za uspořádané dvojice vrcholů a každý prostý orientovaný graf lze, až na izomorfizmus, považovat za dvojici HV, RL, kde R Œ V 2 je binární relace na množině V Podgrafy. Nechť G =HV, E, L a G' =HV ', E', 'L jsou grafy stejného typu, tj. oba orientované nebo oba neorientované. Řekneme, že graf G' je podgrafem grafu G, označení G Œ G',jestliže V ' Œ V, E' Œ E a vztah incidence ' je zúžením vztahu incidence. Jinými slovy, graf G' je podgrafem grafu G, vznikne-li z něj vynecháním některých vrcholů a hran. Podstatné přitom je, že s každým vynechaným vrcholem musí být vynechány také všechny hrany s ním incidentní. Řekneme, že graf G' je úplným podgrafem grafu G, je-li jeho podgrafem a obsahuje všechny jeho hrany, jejichž oba krajní vrcholy patří do V '. Jinými slovy, úplný podgraf vznikne vynecháním některých vrcholů a právě všech hran, které jsou s nimi incidentní. Úplný podgraf určený množinou vrcholů A Œ V je úplný podgraf s množinou vrcholů A. Řekneme, že graf G' je faktorem grafu G, je-li jeho podgrafem a V ' = V. Faktor grafu tedy vznikne vynecháním některých hran. Poznamenejme, že každý graf je pografem i faktorem sebe sama Příklad. Uvažujme graf, jehož vrcholy jsou všechny křižovatky v ČR a hrany jsou silnice mezi nimi. Omezíme-li se na všechny křižovatky a silnice některého kraje, získáme úplný podgraf. Ponecháme-li všechny křižovatky a omezíme-li se na silnice 1. třídy, získáme faktor s mnoha izolovanými vrcholy. 5. Sledy a odvozené pojmy 5.1. Sledy. Posloupnost vrcholů a hran Hv 0, e 1, v 1, e 2, v 2,..., e k, v k L orientovaného grafu se nazývá orientovaným sledem, jestliže pro každou hranu e i z této posloupnosti PVHe i L = v i-1 a KVHe i L = v i. Posloupnost vrcholů a hran Hv 0, e 1, v 1, e 2, v 2,..., e k, v k L grafu, orientovaného nebo neorientovaného, se nazývá neorientovaným sledem, jestliže každá hrana e i z této posloupnosti spojuje vrcholy v i-1,v i, tj. je s těmito vrcholy incidentní. Vrchol v 0 nazýváme v obou případech počátečním a vrchol v k koncovým vrcholem sledu. O sledu pak říkáme, že

6 Grafy.nb 6 vede z vrcholu v 0 do vrcholu v k nebo že spojuje vrcholy v 0, v k. V orientovaném i neorientovaném sledu na sebe vrcholy a hrany navazují, u orientovaného sledu však navíc požadujeme, aby všechny hrany byly orientovány směrem od počátečního ke koncovému vrcholu. Sled, který obsahuje jediný vrchol a žádnou hranu, se nazývá triviální. Triviální sled můřeme považovat za orientovaný i neorientovaný. Každý sled kromě triviálního je zřejmě jednoznačně určen posloupností hran Tahy a cesty. Orientovaný (neorientovaný) sled, v němž se žádná hrana neopakuje, se nazývá orientovaným (neorientovaným) tahem. Orientovaný (neorientovaný) sled, v němž se žádný vrchol neopakuje, se nazývá orientovanou (neorientovanou) cestou. Protože ve sledu, v němž se neopakuje žádný vrchol, se zřejmě nemůže opakovat ani žádná hrana, každá cesta je tahem, ale tah nemusí být cestou Uzavřené sledy, tahy a cesty. Sled, orientovaný nebo neorientovaný, který má alespoň jednu hranu a jehož počáteční a koncový vrchol splývají, se nazývá uzavřeným sledem. Analogicky se definuje uzavřený tah a uzavřená cesta. Pro uzavřenou neorientovanou cestu se používá název kružnice a pro uzavřenou orientovanou cestu se používá název cyklus Dostupnost. Řekneme, že vrchol y orientovaného grafu G je orientovaně dostupný z vrcholu x, jestliže v grafu G existuje orientovaný sled vedoucí z vrcholu x do vrcholu y. Řekneme, že vrchol y grafu G, orientovaného nebo neorientovaného, je neorientovaně dostupný z vrcholu x, jestliže v grafu G existuje neorientovaný sled vedoucí z vrcholu x do vrcholu y. Snadno se ověří, že vrchol y je orientovaně resp. neorientovaně dostupný z vrcholu x právě tehdy, když v grafu existuje orientovaná resp. neorientovaná cesta vedoucí z x do y Sledy v ohodnocených grafech. V grafech s ohodnocenými hranami má často dobrý smysl součet ohodnocení hran ve sledu. Tak je tomu např. tehdy, když ohodnocení vyjadřuje vzdálenost nebo nebo náklady na dopravu. Přitom ohodnocení každé hrany počítáme tolikrát, kolikrát se hrana vyskytuje ve sledu. Pro tento součet ohodnocení hran ve sledu se vžil termín délka sledu a v tomto smyslu se mluví o nejkratším nebo nejdelším sledu. Ve stejném smyslu se používají termíny délka tahu, cesty, cyklu resp. kružnice a termíny nejkratší resp. nejdelší tah, cesta, cyklus resp. kružnice. Termín délka sledu, tahu, cesty, cyklu resp. kružnice se často používá i pro označení počtu jejich hran. Z kontextu je však zpravidla zřejmé, zda tento termín označuje součet ohodnocení hran nebo o jejich počet. Kromě toho délka sledu, tahu, cesty, cyklu resp. kružnice ve smyslu počtu jejich hran je zřejmě rovna jejich délce ve smyslu součtu ohodnocení, je-li každá hrana ohodnocena jedničkou. 6. Speciální grafy 6.1. Diskrétní graf. Diskrétní graf je graf, který nemá žádnou hranu. Podle potřeby jej můžeme považovat za orientovaný nebo neorientovaný Úplný orientovaný graf. Úplný orientovaný graf je prostý graf HV, RL, kde R je množina všech uspořádaných dvojic různých vrcholů z množiny V. Dva úplné orientované grafy jsou zřejmě izomorfní právě když mají stejný počet vrcholů. 6.3 Úplný neorientovaný graf. Úplný neorientovaný graf je prostý neorientovaný graf bez smyček, jehož každé dva různé vrcholy jsou spojeny hranou. Třída izomorfismu takového grafu je zřejmě plně určena počtem jeho vrcholů. Je-li počet jeho vrcholů roven n, značíme jej K n. K 5 K 3,4 Obr.1.6. Úplný graf K 5 a úplný bipartitní graf K 3,4.

7 Grafy.nb Bipartitní graf. Bipartitní graf G je graf, jehož množina vrcholů je sjednocením dvou disjunktních množin S, T, pro něž EHGL = W G HSL = W G HTL. Množiny S, T se nazývají strany bipartitního grafu. V orientovaném případě se zpravidla požaduje splnění silnější podmínky EHGL = W G + HSL = W Ḡ HTL, tj. aby všechny hrany byly orientovány souhlasně. Množiny S, T, které však v obecném případě nejsou určeny jednoznačně ani jednou z uvedených podmínek, se nazývají strany bipartitníbo grafu. Úplný bipartitní graf je bipartitní graf se stranami S, T, v němž každá dvojice vrcholů x œ S, y œ T je spojena právě jednou hranou. Úplný bipartitní graf je zřejmě prostý, v orientovaném případě je izomorfní grafu HS T, S ätl ve smyslu odstavce 4.4 a v neorientovaném případě je izomorfní grafu HS T, S ÑTL, kde S ÑT je označena množina všech dvouprvkových množin, jejichž jeden prvek patří do S a druhý patří do T. Na rozdíl od obecného bipartitníbo grafu jsou strany úplného bipartitního orientovaného grafu určeny jednoznačně a strany úplného bipartitního neorientovaného grafu určeny jednoznačně až na pořadí. Úplný bipartitní neorientovaný graf, jehož strany S, T mají m =» S» a n =» T» prvků, značíme K m,n Regulární grafy. Graf se nazývá regulární nebo pravidelný, jestliže všechny jeho vrcholy mají stejný stupeň. Je-li stupeň všech vrcholů grafu roven k, říkáme, že graf je k-regulární nebo k-pravidelný. Např. všechny neorientované a orientované grafy v příkladu 4.3 jsou 3-regulární. 7. Maticový popis grafu 7.1. Matice sousednosti. Matice sousednosti grafu G je určena pořadím v 0, v 1,..., v n neboli očíslováním jeho vrcholů. Je-li graf G orientovaný, jeho matice sousednosti M G + je čtvercová matice řádu n s prvky m i j definovanými předpisem m i j = m G + Hv i, v j L. Je-li graf G neorientovaný, jeho matice sousednosti M G je čtvercová matice řádu n s prvky m i j definovanými předpisem m i j = m G Hv i, v j L. Protože počet neorientovaných hran spojujících vrcholy v i, v j nezávisí na jejich pořadí, matice sousednosti neorientovaného grafu je vždy symetrická. e 2 v 1 v 2 e 1 e 2 v 1 v 2 e 1 e 4 e 5 e 3 e 4 e 5 e 3 e 6 v 3 v 4 G Obr.1.7. e 6 v 3 v 4 H 7.2. Příklad. Orientovaný graf G z obr. 1.7 a jeho symetrizace H mají tyto matice sousednosti: i y i y M G =, M H = j z j z k { k { 7.3. Matice sousednosti bipartitního grafu. Nechť G je bipartitní graf se stranami S, T. Položme n =» S», m =» T» a zvolme pořadí vrcholů v 1,..., v n, v n+1,..., v n+m tak, že prvních n vrcholů leží v S. Matice sousednosti grafu G má pak zřejmě tvar

8 Grafy.nb 8 M + G = i k j O O A y z resp. O{ M G = i k j O A T A y z, O{ kde A je matice typu Hn, ml a A T je matice k ní transponovaná. Matice A se nazývá matice sousednosti bipartitního grafu. Tato matice určuje orientovaný resp. neorientovaný bipartitní graf jednoznačně až na izomorfismus. Obrácené tvrzení však neplatí přinejmenším proto, že strany bipartitního grafu nejsou v obecném případě určeny jednoznačně. v 1 v 2 v 3 Obr Příklad. Orientovaný bipartitní graf na obr. 1.8 se stranami S =8v 1, v 2, v 3 <, T =8v 4, v 5, v 6, v 7 < i jeho symetrizace, což je neorientovaný bipartitní graf se stejnými stranami, jsou až na izomorfismus popsány maticí i y A = j z. k { 7.5. Matice incidence. Matice incidence grafu G je definována pouze v případě, že G neobsahuje smyčky, a je určena pořadím v 0, v 1,..., v n neboli očíslováním jeho vrcholů a pořadím e 1, e 2,..., e m neboli očíslováním jeho hran. Je-li graf G orientovaný, jeho matice incidence B G + je matice typu Hn, ml s prvky b i j definovanými předpisem 1, jestliže v i je počáteční vrchol hrany e j, lo b i j = m -1, jestliže v i je koncový vrchol hrany e j, o n 0, jestliže v i není incidentní s hranou e j. Každý sloupec matice B G + zřejmě obsahuje právě jednu 1 a právě jednu -1 a pro každý vrchol v i platí rovnost m d + Hv i L - d - Hv i L = b i j. j=1 Matice incidence B G neorientovaného grafu G je matice typu Hn, ml s prvky m i j definovanými předpisem v 4 v 5 v 6 v 7 b i j = l o 1, jestliže v i je incidentní s hranou e j, m n o 0, jestliže v i není incidentní s hranou e j. Každý sloupec matice B G zřejmě obsahuje právě dvě 1 a pro každý vrchol v i platí rovnost m dhv i L = b i j. j= Příklad. Orientovaný graf G z obr. 1.7 a jeho symetrizace H mají tyto matice incidence: i y i y B G =, B H = j z j z k { k {

9 Grafy.nb 9 8. Způsoby zadávání grafů 8.1. Zadání geometrickým modelem. Graf s nepříliš velkým počtem vrcholů a hran lze asi nejpřehledněji zadat jeho diagramem. Tento způsob zadání grafu však často svádí k jednostrannému pohledu a není vhodný pro vstup do počítače Zadání seznamem vrcholů a seznamem hran. Množiny vrcholů a hran jsou zadány výčtem prvků, u každé hrany je uvedena uspořádaná dvojice krajních vrcholů, přičemž v případě orientovaného grafu vrchol uvedený na prvním resp. druhém místě je počátečním resp. koncovým vrcholem hrany. Tento způsob je poměrně úsporný, zejména u grafů s malým počtem hran. Není-li však seznam hran vhodně uspořádán, obtížně se v něm hledá Zadání seznamem vrcholů a jejich okolí. Množina vrcholů je opět zadána výčtem prvků, u každého vrcholu je pak uveden seznam hran s ním incidentních nebo, v případě orientovaného grafu, seznam hran z něj vycházejících popř. i seznam hran z něj vystupujících. Tento způsob je výhodný zejména v případě prostých orientovaných grafů, u nichž zřejmě stačí uvést u každého vrcholu seznam koncových vrcholů hran z něj vycházejících. Je také vhodný pro uložení grafu do počítače. Další výhodou je snadné a rychlé prohledávání takto zadaných grafů Zadání maticí sousednosti. Maticí sousednosti je graf určen jednoznačně až na izomorfismus. Je to popis matematicky elegantní, ale u grafů s málo hranami dosti neúsporný. Matice pak obsahuje velmi mnoho nul a vyhledávání nenulových prvků v řádcích a sloupcích zabírá zbytečně mnoho času Zadání maticí incidence. Matematicky elegantní, ale velmi neúsporný způsob - pouze dva nenulové prvky v každém sloupci, určující graf bez smyček jednoznačně až na izomorfismus Zadávání ohodnocených grafů. Je-li graf zadán seznamem vrcholů a seznamem hran nebo seznamem vrcholů a jejich okolí, lze popis každé hrany resp. vrcholu bez obtíží rozšířit o příslušné ohodnocení. U prostých grafů s ohodnocenými hranami lze použít také maticový popis analogický matici sousednosti: Existuje-li hrana mezi vrcholy v i, v j, napíšeme na příslušné místo matice její ohodnocení. V opačném případě zapíšeme na toto místo hodnotu, která nemůže být ohodnocením žádné hrany, např. symbol. Často přitom spoléháme na vlastnosti algoritmu, ktrý takovou matici bude zpracovávat. 2. Pojmy založené na neorientovaných cestách 1. Souvislost, stromy a kostry 1.1. Souvislost. Říkáme, že graf je souvislý jestliže každé jeho dva vrcholy jsou spojeny neorientovanou cestou Komponenty souvislosti. Podgraf H grafu G se nazývá komponentou souvislosti grafu G, též souvislou komponentou nebo jen komponentou, jestliže pro každý souvislý podgraf H ' grafu G inkluzeh Œ H ' implikuje rovnost H = H ' Příklad. Orientovaný graf na obr. 2.1 i jeho symetrizace mají stejné komponenty souvislosti s množinami vrcholů 81, 2, 3<, 84, 5, 6<, 87, 8<, 89<, 810< Obr.2.1.

10 Grafy.nb Věta. Relace ~ na množině vrcholů grafu G definovaná předpisem x ~ y ó vrcholy x, y jsou v grafu G spojeny neorientovanoucestou je ekvivalencí a každá třída ekvivalence je množinou vrcholů některé komponenty souvislosti grafu G Důsledek. (a) Každý vrchol je obsažen v právě jedné komponentě souvislosti. (b) Komponenta souvislosti obsahující daný vrchol x je úplným podgrafem určeným množinou vrcholů, do nichž z vrcholu x vede neorientovaná cesta Les, strom a kostra grafu. Les je graf neobsahující kružnici. Strom je graf, který neobsahuje kružnici a je souvislý. Kostrou grafu nebo také napnutým stromem grafu se nazývá každý jeho faktor, který je stromem Věta. Každý souvislý graf G má kostru. Důkaz. Nechť H je souvislý faktor grafu G s minimálním počtem hran, takže každý jeho vlastní faktor je nesouvislý. H zřejmě neobsahuje smyčky a nemůže obsahovat ani kružnice, neboť jeho vlastní faktor, který vznikne vynecháním některé hrany kružnice, je také souvislý. Faktor H grafu G je tedy stromem, což znamená, že je to kostra grafu G Hledání kostry a cest do vrcholů. Ohodnotíme-li všechny hrany nulou, potom každá kostra grafu je minimální ve smyslu odstavce Kostru souvislého grafu resp. kostru jeho souvislé komponenty obsahující vrchol r můžeme tedy najít kterýmkoliv algoritmem pro hledání minimální kostry. Z algoritmů popsaných v odstavcích 1.13, 1.16 a 1.18 se v tomto případě jako nejjednodušší jeví algoritmus Vojtěcha Jarníka, který lze v poněkud upravené podobě formulovat takto Pomocná proměnná : souvislý podgraf L grafu G neobsahující kružnici, tedy strom. D Označkujeme vrchol r a označíme L diskrétní graf s množinou vrcholů 8r<. ukončeníd Je-li množina neoznačkovaných vrcholů prázdná, výpočet končí. hrany pro připojení ke stromu LD Zvolíme libovolně hranu e, jejíž jeden krajní vrchol je označkován a druhý krajní vrchol v označkován není. hrany k L a značkováníd Hranu e a vrchol v připojíme ke stromu L, vrchol v označkujeme a pokračujeme krokem 2. Při každém provedení kroku 4 se počet neoznačkovaných vrcholů zmenší o jedničku. Výpočet proto skončí nejpozději po n - 1 opakováních tohoto kroku, kde n je počet vrcholů grafu G. Výsledný strom L je kostrou souvislé komponenty vrcholu r. Malou změnou kroku 4 najdeme nejen souvislou komponentu vrcholu r, ale také cesty do všech jejích vrcholů. Stačí v kroku 4 vrcholu v přiřadit navíc hodnotu ODKUDHvL := e. Tato hodnota bude po zastavení výpočtu poslední hranou v některé cestě vedoucí z vrcholu r do vrcholu v. S pomocí hodnot ODKUD tuto cestu snadno najdeme zpětným postupem od vrcholu v k vrcholu r. Vynecháme-li z algoritmu vytváření stromu L, takže v kroku 1 a v každém kroku 4 pouze označkujeme vrchol v, pak po zastavení algoritmu budou označkovány právě všechny vrcholy dostupné z vrcholu r. Cesty do nich opět můžeme najít pomocí hodnot ODKUD Věta. Každý strom s alespoň dvěma vrcholy obsahuje alespoň dva vrcholy stupně 1. Důkaz. Nechť G je strom s n vrcholy. Žádná cesta nemůže mít více než n - 1 hran. Vezměme tedy cestu C s největším počtem hran a označme x a y její počáteční a koncový bod. Kdyby některý z těchto vrcholů měl stupeň alespoň 2, vycházela by z něj další hrana e nepatřící do cesty C. Protože cesta C je maximální, druhý vrchol této hrany by nutně ležel na cestě C a část cesty C spolu s hranou e by tvořila kružnici. To by však byl spor s předpokladem, že G je strom. Oba vrcholy x, y proto mají stupeň Věta. Každý strom o n vrcholech má přesně n - 1 hran. Důkaz. Tvrzení triviálně platí pro n = 1 a proto podle principu matematické indukce stačí dokázat, že platí pro stromy o n + 1 vrcholech, platí-li pro stromy o n vrcholech. Nechť tedy G je strom o n + 1 vrcholech. Podle věty 1.9 v G existuje vrchol v stupně 1, tj. vrchol incidentní pouze s jednou hranou. Odstraněním této hrany a vrcholu v získáme zřejmě strom G' s n vrcholy a tedy, podle indukčního předpokladu s n - 1 hranami. Odtud plyne, že strom G, který se od G' liší pouze jedním vrcholem a jednou hranou, má n hran, což bylo třeba dokázat.

11 Grafy.nb Věta o stromech. Nechť G je graf s n 1 vrcholy. Potom následující tvrzení o G jsou ekvivalentní: Důkaz. HaL G je strom. HbL G neobsahuje kružnici a má přesně n - 1 hran. HcL G neobsahuje kružnici a má alespoň n - 1 hran. HdL G je souvislý a má přesně n - 1 hran. HeL G je souvislý a má nejvýše n - 1 hran. HfL G se souvislý, ale po odebrání kterékoliv hrany již souvislý není. HgL G neobsahuje kružnici, ale po přidání libovolné hrany obsahuje právě jednu kružnici, pokud ztotožníme kružnice lišící se pouze cyklickou permutací vrcholů a hran. HhL G neobsahuje smyčky a každá dvojice vrcholů je spojena právě jednou neorientovanou cestou, pokud ztotožníme cesty lišící se pouze obrácením pořadí vrcholů a hran. Implikace (a) fl (b) je důsledem definice stromu a věty 1.10 a implikace (b) fl (c) a (d) fl (e) jsou triviální. Neobsahuje-li G kružnici, pak každá jeho komponenta grafu je strom. Je-li těchto komponent k a jsou-li n 1, n 2,..., n k počty jejich vrcholů, potom G má podle věty 1.10 n 1 + n n k - k = n - k hran. Předpoklad n - k n - 1 tedy implikuje rovnost k = 1, což dokazuje implikaci (c) fl (d). Implikaci (e) fl (f) dokážeme sporem. Jestliže existují souvislé grafy s n vrcholy a nejvýše n - 1 hranami, které obsahují alespoň jednu hranu, jejímž odstraněním nevznikne nesouvislý graf, pak jistě existuje graf G s touto vlastností a minimálním počtem hran. Tento graf nemůže obsahovat kružnici, neboť odstraněním kterékoliv její hrany bychom dostali souvislý graf s n vrcholy a menším počtem hran. Graf G je tedy stromem. To je však, jak snadno plyne z věty 1.9, ve sporu s předpokladem, že G obsahuje hranu, jejímž odstraněním nevznikne nesouvislý graf. Graf s vlastností (f) nemůže obsahovat kružnici, neboť odstraněním kterékoliv její hrany by vznikl souvislý graf. Tím je dokázána implikace (f) fl (a) a tudíž i ekvivalence všech tvrzení (a) až (f). Existují-li v grafu G dvě různé cesty spojující dva různé vrcholy, pak v něm existuje uzavřený sled obsahující alespoň dvě různé hrany. Z každého takového sledu lze ale vynecháním některých hran získat kružnici. To však není možné, je-li G strom. Obráceně lze z každé kružnice v G získat dvě různé cesty spojující dva různé vrcholy. Tím je zřejmě dokázána ekvivalence (a) ñ (h). Nechť G' je graf získaný ze stromu G přidáním jedné hrany e spojující vrcholy x y grafu G. Přidáme-li k cestě vedoucí v G z vrcholu x do vrcholu y hranu e a vrchol x, dostaneme zřejmě kružnici. Na druhé straně kružnice v G' musí nutně obsahovat hranu e, neboť v G kružnice neexistují. Vynecháním této hrany ze dvou různých kružnic v G' bychom dostali dvě různé cesty spojující v G vrcholy x, y. To však vzhledem k ekvivalenci (a) ñ (h) není možné. V G' tedy existuje právě jedna kružnice obsahující přidanou hranu e, ztotožníme-li kružnice lišící se pouze cyklickou permutací vrcholů a hran. Tím je dokázána implikace (a) fl (g). Zbývá dokázat implikaci (g) fl (a). K tomu stačí dokázat, že G je souvislý. To je však snadné. V opačném případě by totiž kružnici obsahoval ani graf G' získaný z G přidáním jedné hrany spojující vrcholy z jeho dvou různých komponent Minimální kostra. Nechť G je souvislý graf, jehož hrany jsou ohodnoceny reálnými čísly, jimž budeme říkat ceny. Cenou podgrafu grafu G pak nazveme jeho součet cen všech jeho hran. Řekneme, že kostra T grafu G je nejlevnější nebo také minimální, jestliže ze všech jeho koster grafu nejmenší cenu Hledání minimální kostry I. Nechť G je souvislý graf a c : EHGL Ø je ohodnocení jeho hran cenami. Naším úkolem je najít nejlevnější kostru grafu G. Postup: Pomocná proměnná : faktor L grafu G neobsahující kružnici, tj. les. pomocné proměnnéd L = diskrétní graf s množinou vrcholů VHGL. ukončeníd Je-li L strom, výpočet končí, L je hledaná minimální kostra. hrany pro připojení k lesu LD Zvolímelibovolně hranu e splňující tuto podmínku : Hrana e spojuje dvě různé komponenty lesa L a alespoň pro jednu z těchto komponent, označme ji C, HPL platí, že cena hrany e je nejmenší ze všech cen hran z množiny W G HCL.

12 Grafy.nb 12 komponentd Hranu e připojíme k lesu L, čímž dostaneme nový les s menším počtem komponent, a pokračujeme krokem 2. Při každém provedení kroku 4 se počet komponent lesa L zmenší o jedničku. Výpočet proto skončí po n - 1 opakováních tohoto kroku, kde n je počet vrcholů grafu G Poznámka. Před zahájením popsaného algoritmu můžeme zřejmě graf G nahradit jeho faktorem, který neobsahuje smyčky a z každé množiny m G Hx, yl obsahuje pouze hranu s nejnižší cenou. Chceme-li najít kostru neobsahující některé hrany, stačí tyto hrany ocenit hodnotou Příklad. Aplikujme popsaný algoritmus na ohodnocený graf G zadaný následující tabulkou, jejíž každý sloupec obsahuje jeden vrchol a hrany s ním incidentní spolu s jejich cenami: v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 e 1 # 4 e 1 # 4 e 4 # 2 e 2 # 3 e 6 # 5 e 3 # 5 e 12 # 4 e 8 # -2 e 2 # 3 e 4 # 2 e 7 # 6 e 5 # 1 e 7 # 6 e 11 # 3 e 13 # 7 e 14 # -7 e 3 # 5 e 5 # 1 e 8 # -2 e 9 # 2 e 9 # 2 e 15 # 6 e 15 # 6 e 16 # -5 e 6 # 5 e 10 # 1 e 10 # 1 e 16 # -5 e 11 # 3 e 13 # 7 e 12 # 4 e 14 # -7 Pro usnadnění výběru hrany e v kroku 3 nechť V značí v každém kroku množinu krajních vrcholů hran grafu L vyjádřenou jako sjednocení jejích neprázdných průniků s komponentami grafu L. Výpočet pak může probíhat např. takto: 1. Ověříme, že graf je souvislý: v 1 ~ e 1 v 2 ~ e 4 v 3 ~ e 7 v 5 ~ e 9 v 4 ~ e 11 v 6 ~ e 15 v 7 ~ e 16 v Položíme VH LL =8v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6, v 7, v 8 <, EHLL = «, V = «. 3. Zvolíme e = e 2, dostaneme EHLL =8e 2 <, V =8v 1, v 4 <. 4. Zvolíme e = e 5, dostaneme EHLL =8e 2, e 5 <, V =8v 1, v 2, v 4 <. 5. Zvolíme e = e 11, dostaneme EHLL =8e 2, e 5, e 11 <, V =8v 1, v 2, v 4, v 6 <. 6. Zvolíme e = e 14, dostaneme EHLL =8e 2, e 5, e 11, e 14 <, V =8v 1, v 2, v 4, v 6 < 8v 5, v 8 <. 7. Zvolíme e = e 10, dostaneme EHLL =8e 2, e 5, e 11, e 14, e 10 <, V =8v 1, v 2, v 4, v 5, v 6, v 8 <. 8. Zvolíme e = e 16, dostaneme EHLL =8e 2, e 5, e 10, e 11, e 14, e 16 <, V =8v 1, v 2, v 4, v 5, v 6, v 7, v 8 <. 9. Zvolíme e = e 8, dostaneme EHLL =8e 2, e 5, e 10, e 11, e 14, e 16, e 8 <, V =8v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6, v 7, v 8 <. L obsahuje přesně 7 hran a všech 8 vrcholů daného grafu. Podle věty 9.10 je to tedy strom a podle 9.12 je to hledaná nejlevnější kostra. Její cena je = -6. Pořadí hran v konečném seznamu EHLL odpovídá pořadí, v jakém byly k L postupně připojovány. Geometrický model grafu G, v němž je u každé hrany uvedena také její cena, je na obr Hrany nalezené kostry jsou vyznačeny světlejšími silnými čarami. e 1 # 4 e 4 # 2 e 2 # 3 e 5 # 1 e 6 # 5 e 7 # 6 e 3 # 5 e 9 # 2 e 10 # 1 e 8 # 2 e 11 # 3 e 12 # 4 e 13 # 7 e 14 # 7 e 15 # 6 e 16 # 5 Obr.2.2.

13 Grafy.nb Hledání minimální kostry II. Následující velmi jednoduchý postup, vedoucí k minimální kostře souvislého grafu G s ohodnocením c : EHGL Ø jeho hran, popsal již v roce 1926 Otakar Borůvka. Hrany grafu G uspořádáme podle jejich cen do neklesajícího pořadí. Pak je v tomto pořadí probíráme a do postupně vytvářeného grafu L přidáváme pouze ty z nich, jejichž přidání nevytvoří v grafu L kružnici. Přesněji lze tento Borůvkův algoritmus, známější jako Kruskalův algoritmus a označovaný také jako hladový algoritmus, popsat takto: Pomocné proměnné : faktor L grafu G neobsahující kružnici, tj. les, a index k. hran podle cend Nechť e 1, e 2,..., e n jsou všechny hrany grafu seřazené do posloupnosti tak, že jejich ceny tvoří neklesající posloupnost. pomocných proměnnýchd L = diskrétní graf s množinou vrcholů V HGL, k = 0. ukončeníd Je-li L strom, výpočet končí, L je hledaná minimální kostra. hrany pro připojení k lesu LD Položíme k := k + 1. Jestliže krajní body hrany e k leží v různých komponentách grafu L, položíme e = e k, v opačném případě krok zopakujeme. komponentd Hranu e připojíme k lesu L, čímž dostaneme nový les s menším počtem komponent, a pokračujeme krokem Příklad. Aplikujme hladový algoritmus na ohodnocený graf G z příkladu Ceny tvoří neklesající posloupnost např. pro toto uspořádání hran: e 14, e 16, e 8, e 5, e 10, e 4, e 9, e 2, e 11, e 1, e 12, e 3, e 6, e 7, e 15, e 13. Graf L a množina V vrcholů přidaných hran se tedy budou vyvíjet takto: 1. VH LL =8v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6, v 7, v 8 <, EHLL = «, V = «. 2. EHLL =8e 14 <, V =8v 5, v 8 <. 3. EHLL =8e 14, e 16 <, V =8v 5, v 7, v 8 <. 4. EHLL =8e 14, e 16, e 8 <, V =8v 3, v 5, v 7, v 8 <. 5. EHLL =8e 14, e 16, e 8, e 5 <, V =8v 3, v 5, v 7, v 8 < 8v 2, v 4 < 6. EHLL =8e 14, e 16, e 8, e 5, e 10 <, V =8v 2, v 3, v 4, v 5, v 7, v 8 <. 7. EHLL =8e 14, e 16, e 8, e 5, e 10, e 2 <, V =8v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 7, v 8 <. 8. EHLL =8e 14, e 16, e 8, e 5, e 10, e 2, e 11 <, V =8v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6, v 7, v 8 <. Výsledkem je stejná kostra jako v příkladu Hledání minimální kostry III. Jiný jednoduchý postup, vedoucí k minimální kostře souvislého grafu G s ohodnocením c : EHGL Ø jeho hran, popsal v roce 1930 Vojtěch Jarník. Začneme z grafu L tvořeného jedním vrcholem a postupně k němu přidáváme hrany a jejich vrcholy tak, že v každé fázi výpočtu máme strom. Přidávanou hranu vždy volíme tak, aby ze všech hran množiny W G HVL, kde V je množina vrcholů stromu L, měla nejmenší cenu Příklad. Aplikujeme-li Jarníkův postup na ohodnocený graf G z příkladu 9.14 a začneme-li z grafu L tvořeného pouze vrcholem v 1, můžeme postupně přidávat hrany e 5, e 10, e 14, e 16, e 8, e 2, e 11 a dostaneme tutéž kostru jako v příkladech 1.15 a Stupně souvislosti V řadě aplikací je třeba rozlišovat mezi více souvislými a méně souvislými grafy. Např. u silniční sítě může být důležité vědět, na kolika místech by musela být přerušena, např. povodní, aby mezi dvěma danými místy přestalo existovat silniční spojení nebo aby se silniční síť rozpadla na několik nepropojených částí Hranový stupeň souvislosti grafu. Hranový stupeň souvislosti grafu s alespoň dvěma vrcholy je minimální počet hran, jejichž odstraněním vznikne nesouvislý graf. Má-li graf pouze jeden vrchol, je jeho hranový stupeň souvislosti podle definice roven nule. Graf je hranově k-souvislý, je-li jeho hranový stupeň souvislosti alespoň k. Hranový stupeň souvislosti grafu je nejvýše roven stupni kteréhokoliv jeho vrcholu, neboť odstraněním všech hran z

14 Grafy.nb 14 okolí vrcholu některého vrcholu zřejmě vznikne nesouvislý graf. Hrana grafu se nazývá most, jestliže jejím odstraněním vznikne graf s větším počtem komponent souvislosti. Graf s alespoň dvěma vrcholy je tedy hranově 2-souvislý, neobsahuje-li žádný most Vrcholový stupeň souvislosti grafu. Vrcholový stupeň souvislosti grafu, který není úplný a neobsahuje úplný graf jako svůj faktor, je minimální počet vrcholů, jejichž odstraněním vznikne nesouvislý graf. Je-li graf G úplný nebo obsahuje úplný graf jako svůj faktor, pak jeho vrcholový stupeň souvislosti je definován jako»vhgl»-1. Graf je vrcholově k-souvislý, je-li jeho vrcholový stupeň souvislosti alespoň k. Vrchol grafu se nazývá artikulace, jestliže jeho odstraněním vznikne graf s větším počtem komponent. Graf s alespoň třemi vrcholy je tedy vrcholově 2-souvislý, neobsahuje-li žádnou artikulaci Věta (L. R. Ford Jr., D. R. Fulkerson, 1966). Graf je hranově k-souvislý právě tehdy, když pro dva jeho vrcholy x y v něm existuje k hranově disjunktních cest z x do y, tj. takových, že žádné dvě nemají společnou hranu Mengerova věta. Graf je vrcholově k-souvislý právě tehdy, když pro každé dva jeho vrcholy x y v něm existuje k vrcholově disjunktních cest z x do y, tj. cest nemajících kromě x a y žádný společný vrchol Důsledek. Vrcholový stupeň souvislosti je nejvýše roven hranovému stupni souvislosti. 3. Pojmy založené na orientovaných cestách 1. Silná souvislost 1.1. Silně souvislé grafy a silné komponenty. Říkáme, že orientovaný graf G je silně souvislý, jestliže pro každou dvojici jeho vrcholů x, y existuje v G orientovaná cesta vedoucí z x do y. Silně souvislá komponenta neboli silná komponenta grafu G je maximální silně souvislý podgraf H grafu G, tj. silně souvislý podgraf, pro který inkluze H Œ H ', kde H ' je silně souvislý podgraf grafu G, implikuje rovnost H = H '. Silně souvislá komponenta grafu G je zřejmě jeho úplným podgrafem a každý vrchol grafu G patří do právě jedné jeho silné komponenty Příklad. Orientovaný graf G na obrázku 3.1 vlevo je souvislý, ale není silně souvislý. Má 4 silně souvislé komponenty vyznačené na obrázku čárkovaně. V komponentě H 1 každá hrana leží na nějakém cyklu, ale cyklus, který by obsahoval všechny hrany, v ní neexistuje. Čtyři hrany 3 Ø 6, 4 Ø 7, 6 Ø 9 a 8 Ø 7 nepatří do žádné silné komponenty. Tyto hrany indukují tři hrany kondenzace grafu G, viz definici v odstavci 1.5, jejíž diagram je nakresle na obrázku napravo od grafu G H 4 9 H 4 1 H 1 H H 1 5 H 2 H 3 H 3 Obr Věta. Hrana e orientovaného grafu je obsažena v nějakém jeho cyklu, právě když její krajní vrcholy leží v téže jeho silné komponentě.

15 Grafy.nb 15 Důkaz. Nechť e vede z vrcholu x do vrcholu y. Je-li x = y, pak Hx, e, yl je cyklus obsahující e. Jsou-li vrcholy x, y různé a leží v téže silné komponentě, pak existuje orientovaná cesta z vrcholu y do vrcholu x. Tato cesta tvoří spolu s cestou Hx, e, yl hledaný cyklus obsahující e. Obrácená implikace je přímým důsledkem definice silné komponenty Důsledek. Graf je silně souvislý právě tehdy, když je souvislý a každá jeho hrana leží v nějakém cyklu Kondenzace grafu. Kondenzace orientovaného grafu G je prostý orientovaný graf bez smyček, jehož vrcholy jsou všechny silné komponenty grafu G a v němž z vrcholu H vede orientovaná hrana do vrcholu H ', právě když v grafu G vede orientovaná hrana z některého vrcholu komponenty H do některého vrcholu komponenty H ' Věta. Kondenzace orientovaného grafu G neobsahuje žádný cyklus. Důkaz. Kondenzace neobsahuje, podle definice, smyčky. Kdyby v ní existoval cyklus procházející alespoň dvěma vrcholy, pak by v grafu G existovala posloupnost hran e 1, e 2,..., e k+1, v níž e k+1 = e 1 a koncový vrchol každé hrany a počáteční vrchol hrany za ní následující leží ve stejné silné komponentě, takže pro každé i = 1, 2,..., k existuje v G orientovaná cesta z koncového vrcholu hrany e i do počátečního vrcholu hrany e i+1. Spojením těchto cest v jednu bychom dostali cyklus obsahující vrcholy alespoň dvou silných komponent grafu G, což není možné Matice dostupnosti. Podle je vrchol y orientovaného grafu G orientovaně dostupný z vrcholu x, existuje-li v G orientovaná cesta z x do y. Jsou-li vrcholy grafu G uspořádány do posloupnosti v 1, v 2,..., v n, položíme d i j = l o m n o 1, jestliže vrchol v j je orientovaně dostupný z vrcholu v i, 0, v ostatních případech a čtercovou matici řádu n tvořenou prvky d i j označíme D G a nazveme ji matice dostupnosti grafu G. Kromě toho nechť D G + HxL je množina všech vrcholů grafu G orientovaně dostupných z vrcholu x, D Ḡ HxL je množina všech vrcholů grafu G, z nichž je orientovaně dostupný vrchol x. Bude-li z kontextu jasné, o jaký graf G se jedná, budeme používat stručnějčí označení D, D + HxL resp. D - HxL Hledání množin D + HxL a D - HxL. Množinu vrcholů orientovaně dostupných z vrcholu r a orientované cesty do nich najdeme např. pomocí následující orientované verze algoritmu popsaného v závěru odstavce Množinu D - HrL najdeme aplikací tohoto algoritmu na obrácený graf. Algoritmus D Označkujeme vrchol r, ostatní vrcholy značku nemají. ukončeníd Je-li množina neoznačkovaných vrcholů prázdná, výpočet končí. hranyd Zvolíme libovolně hranu e, jejíž počáteční vrchol je označkován a koncový vrchol v označkován není. Označkujeme vrchol v a pokračujeme krokem 2. Při každém provedení kroku 4 se počet neoznačkovaných vrcholů zmenší o jedničku. Výpočet proto skončí nejpozději po n - 1 opakováních tohoto kroku, kde n je počet vrcholů grafu G. Po zastavení algoritmu budou označkovány právě všechny vrcholy orientovaně dostupné z vrcholu r. Malou změnou kroku 4 najdeme množinu vrcholů orientovaně dostupných z vrcholu r, ale také orientované cesty do nich. Stačí v kroku 4 vrcholu v přiřadit navíc hodnotu ODKUDHvL := e. Tato hodnota bude po zastavení výpočtu poslední hranou v některé orientované cestě vedoucí z vrcholu r do vrcholu v. S pomocí hodnot ODKUD tuto cestu snadno najdeme zpětným postupem od vrcholu v k vrcholu r Věta. Množinou vrcholů silně souvislé komponenty obsahující vrchol x je množina D Ḡ HxL D G + HxL Hledání silně souvislých komponent. Předchozí věta dává spolu s algoritmem 1.8 přímý návod pro sestrojení silně souvislé komponenty obsahující daný vrchol r. Všechny silně souvislé komponenty snadno nalezneme opakováním tohoto postupu: Zvolíme vrchol, který neleží v žádné dosud sestrojené silné komponentě a sestrojíme silnou komponentu, která jej obsahuje. Výpočet končí, jakmile je každý vrchol obsažen v některé komponentě.

16 Grafy.nb Obr.3.2. Diagram kondenzace grafu G z příkladu Příklad. Najdeme silně souvislé komponenty a kondenzaci orientovaného grafu G s vrcholy 1, 2,..., 10 zadaného tabulkou počátečních a koncových vrcholů hran: PV KV PV KV PV KV PV KV PV KV PV KV Stačí najít množiny vrcholů silných komponent, protože každá silná komponenta je úplným podgrafem. Začneme hledáním množiny vrcholů silné komponenty CHvL vrcholu v s co největším počtem následníků a předchůdců. Silnou komponentu získáme jako průnik D + HvL D - HvL, kde D + HvL je množina vrcholů orientovaně dostupných z vrcholu v a D - HvL je množina vrcholů, z nichž je orientovaně dostupný vrchol v. Množinu D + HvL získáme jako sjednocení množin A 0, A 1, A 2,..., kde A 0 =8v< a každá množina A i+1 je sjednocením množiny A i a množin následníků vrcholů patřících do A i. Po konečném počtu kroků nastane rovnost A i = A i-1 a množina A i bude hledanou množinou D + HvL. Analogicky, záměnou následníků za předchůdce, najdeme najdeme postupně množiny B 0, B 1, B 2,... a množinu D - HvL. Zvolíme-li v = 9, dostaneme A 1 =81, 4, 6, 7, 8, 9<, A 2 =81, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10< = A 3 = D + H9L, B 1 =85, 6, 9<, B 2 =83, 5, 6, 8, 9< = B 3 = D - H9L, CH9L =81, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10< 83, 5, 6, 8, 9< =86, 8, 9<. Abychom našli další silnou komponentu, zvolíme za v některý vrchol, který nepatří do CH9L, např. vrchol 3, a stejným postupem dostaneme A 1 =81, 3, 5, 8<, A 2 =81, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10<, A 3 =81, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10< = A 4 = D + H3L, B 1 =83, 5< = D - H3L, CH3L =81, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10< 83, 5< =83, 5<. Teď za v zvolíme některý vrchol, který nepatří do CH3L CH9L =83, 5, 6, 8, 9<, např. vrchol 2, a dostaneme A 1 =81, 2, 4<, A 2 =81, 2, 4, 7< = A 3 = D + H2L, B 1 =82, 4, 5, 6< =82, 3, 4, 5, 6, 8, 9< = D - H2L, CH2L =81, 2, 4, 7< 82, 3, 4, 5, 6, 8, 9< =82, 4<. Dále za v zvolíme některý vrchol, který nepatří do CH2L CH3L CH9L =82, 3, 4, 5, 6, 8, 9<, např. vrchol 1, a dostaneme A 1 =81, 7< = A 2 = D + H1L, B 1 =81, 2, 3, 4, 7, 9<, B 2 =81, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10<, B 3 =81, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10< = B 4 = D - H3L, CH1L =81, 7< 81, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10< =81, 7<.

17 Grafy.nb 17 Protože zbývající vrchol 10 nepatří ani do jedné z nalezených komponent, je zřejmě CH10L =810<. Graf G má tedy 5 silně souvislých komponent H 1,..., H 5 s těmito množinami vrcholů: VHH 1 L = CH1L =81, 7<, VHH 2 L = CH2L =82, 4<, VHH 3 L = CH3L =83, 5<, VHH 4 L = CH9L =86, 8, 9<, VHH 5 L = CH10L =810< V kondenzaci grafu G vede z vrcholu H i do vrcholu H j orientovaná hrana právě tehdy, když v grafu G existuje hrana vycházející z vrcholu podgrafu H i a končící ve vrcholu podgrafu H j. Kondenzace grafu G má proto tyto orientované hrany: H 2 Ø H 1, H 3 Ø H 1, H 3 Ø H 2, H 3 Ø H 4, H 4 Ø H 1, H 4 Ø H 2, H 4 Ø H 5, H 5 Ø H Acyklicita a topologické uspořádání 2.1. Acyklické grafy. Acyklický graf je orientovaný graf, který neobsahuje žádný cyklus, tedy ani smyčku. Protože podle věty 1.4 mají silně souvislé komponenty acyklického grafu pouze jeden vrchol, acyklický graf je izomorfní se svou kondenzací, a podle věty 1.6 je každá kondenzace acyklickým grafem 2.2. Věta. Každý acyklický graf obsahuje alespoň jeden vrchol x, pro který d - HxL = 0 a alespoň jeden vrchol y, pro který d + HyL = 0. Důkaz. Nechť n je počet vrcholů grafu. Kdyby pro každý vrchol x platila nerovnost d + HxL > 0, potom by v grafu existoval sled délky alespoň n + 1. V takovém sledu by se však alespoň jeden vrchol grafu musel vyskytovat alespoň dvakrát a úsek sledu mezi dvěma nejližšími výskyty téhož vrcholu by byl cyklem Topologické uspořádání vrcholů. Topologickým uspořádáním vrcholů orientovanéhografu G se nazývá každá prostá posloupnost v 1, v 2,..., v n všech jeho vrcholů, pro kterou platí platí implikace e œ EHGL, PVHeL = v i, KVHeL = v j ï i j. což znamená, že počáteční vrchol každé orientované hrany se nachází v této posloupnosti před jejím koncovým vrcholem Topologické uspořádání hran. Topologickým uspořádáním hran orientovanéhografu G se nazývá každá prostá posloupnost e 1, e 2,..., e m všech jeho hran, v níž pro každé dva indexy i, j platí platí implikace KVHe i L = PVHe j L ï i j. Jinými slovy, pro každý vrchol v platí, že každá hrana z E - HvL se nachází v této posloupnosti před každou hranou z E + HvL Věta o acyklických grafech. Následující vlastnosti orientovaného grafu G jsou ekvivalentní: HaL Existuje topologické uspořádání jeho vrcholů HbL Existuje topologické uspořádání jeho hran. HcL G nemá smyčky a každá jeho silně souvislá komponenta má jen jeden vrchol. HdL G je acyklický. Důkaz. (a) ñ (b) Je-li v 1, v 2,..., v n topologické uspořádání vrcholů, pak topologické uspořádání hran zřejmě získáme tak, že postupně zařadíme do posloupnosti všechny hrany z E + Hv i L pro i = 1, 2,..., n. Obráceně z topologického uspořádání hran e 1, e 2,..., e m získáme topologické uspořádání vrcholů tak, že nejprve zařadíme do posloupnosti všechny izolované vrcholy a za ně pak všechny ostatní vrcholy v tom pořadí, v němž se poprvévyskytují v posloupnosti PVHe 1 L, PVHe 2 L,..., PVHe m L. Tím je dokázána ekvivalence (a) ñ (b). (b) fl (c) Vzhledem k větě 1.3 stačí sporem dokázat, že G neobsahuje cyklus. Je-li e 1, e 2,..., e m topologické uspořádání hran, potom z existence cyklu Hv 0, e i1, v 1,..., e ik, v k L vyplývají nerovnosti i 1 i 2... i k, ale také nerovnost i k i 1, neboť koncový vrchol v k hrany e ik je totožný s počátečním vrcholem v 0 hrany e i1. To je však zřejmě spor. (c) fl (d) Stačí ukázat, že G neobsahuje žádný cyklus. To však vyplývá z věty 1.3, podle níž vrcholy každé hrany