rčeno pro posluchače bakalářských studijních programů FS 3. STŘÍDAVÉ JEDNOFÁOVÉ OBVODY Příklad 3.: V obvodě sestávajícím ze sériové kombinace rezistoru, reálné cívky a kondenzátoru vypočítejte požadované veličiny, určete také charakter obvodu a nakreslete fázorový diagram proudů a napětí naznačených ve schématu. Parametry reálné cívky vyjádříme pomocí indukčnosti a odporu. Skutečné schéma (, ) ~ Náhradní schéma ~ adané hodnoty: 30 Ω 7 Ω 0, H 33 µf 4 V f 50 Hz rčit:,,,, P, Q, S. Řešení: Potřebujeme znát úhlovou frekvenci: ω π f π 50 34,5 rad s - Výsledný odpor sérioparalelní kombinace tří rezistorů v obvodě: nduktivní reaktance cívky : X ω 34,5 0, 3,4 Ω Kapacitní reaktance kondenzátoru : X 6 96, 46 Ω ω 34, 5 33 0 reaktancí vypočítáme impedance jednotlivých prvků, které budeme později potřebovat pro výpočty napětí na prvcích, velikost impedance rezistoru se rovná jeho odporu a má reálný charakter (fázový posuv je 0 ): 0 5 Ω 0, impedance reálné cívky: j X (7 j 3,4) Ω 3, Ω 77,4, velikost impedance ideálního kondenzátoru je rovna jeho reaktanci a má imaginární charakter, (fázový posuv -90 ). -j X -j 96,46 Ω 96,46 Ω 90. Dále vypočítáme výslednou impedanci spojení všech prvků: j (X - X ) 5 7 j (3,4-96,46) ( - j 65,04) Ω mpedanci převedeme ze složkového tvaru na exponenciální: ψ e{ } m{ } 65,04 arctg arctg 7,3 e{ } 68,66 Ω m{ } 7,3 65,04 68,66 Ω
Vypočítáme proud (nejdříve jeho velikost, absolutní hodnotu): 4 68 66 0, 3495 A, pro jednoduchost výpočtu si zvolíme, že počáteční fázový posuv, proudu je 0 : 0,3495 A 0 Vypočítáme jednotlivá napětí (pro konečnou kontrolu výsledků i ve složkovém tvaru): 5 0 0,3495 90 5 0,3495 (00) 5,4 V 0 5,4 V 3, 77,4 0,3495 0 3, 0,3495 (77,40),5 V 77,4 (,45 j 0,98) V 96,46-90 0,3495 0 96,46 0,3495 (-900) 33,7 V -90 -j 33,7 V elkové napětí 68,66-7,3 0,3495 0 4-7,3 V Kontrola vypočítaných napětí podle druhého Kirchhoffova zákona, součet napětí na jednotlivých prvcích se musí rovnat napětí zdroje: 5,4,45 j 0,98 - j 33,7 (7,69 - j,73) V 4-7,3 V Kontrola vyšla, výsledky jsou správně. Vypočítáme celkový fázový posuv v obvodě, v tomto případě se rovná fázovému úhlu výsledné impedance: ϕ ψ -7,4 Kdybychom neznali fázový posuv výsledné impedance, mohli bychom vypočítat fázový posuv z rozdílu fázového úhlu napětí a proudu: ϕ ψ -ψ -77,4-0 -7,4 Vypočítáme činný, jalový a zdánlivý výkon: P cos(ϕ) 4 0,3495 cos(- 7,4 ),68 W Q sin(ϕ) 4 0,3495 sin(- 7,4 ) -7,95 var S 4 0,3495 8,388 VA rčíme výsledný charakter obvodu. Obvod má odporově kapacitní charakter, protože: - výsledný fázový posuv je záporný, menší než 0 a větší než -90, - v obvodě je činný výkon větší než nula a záporný jalový výkon. j Fázorový diagram : ω mm ~ V mm ~ 0,0 A ϕ Pro určení charakteru obvodu by nám stačila i jen jedna z těchto podmínek. Příklad 3.: Následující obrázek znázorňuje náhradní schéma transformátoru s převodem p. Předpokládáme, že transformátor pracuje nejdříve naprázdno, pak s odporově-induktivní zátěží, pak s odporově-kapacitní zátěží. adané hodnoty: 30 V, f 50 Hz, 0,9 Ω, X σ X σ,45 Ω, Fe 577 Ω, X µ 54 Ω, 7 Ω, 0, H,
00 µf. rčit: a),, při chodu naprázdno (bez zátěže), nakreslit fázorový diagram,,, b),, s odporově induktivní zátěží, nakreslit fázorový diagram,,,, c),, s odporově kapacitní zátěží, nakreslit fázorový diagram,,,. d), s odporově induktivní zátěží zjednodušenou metodou, (se zanedbáním příčné větve transformátoru.) e), s odporově kapacitní zátěží zjednodušenou metodou. Schéma: transformátor X σ X σ b) zátěž c) zátěž ~ 0 Fe X µ 0 Řešení: Jednotlivé impedance v obvodě: jx σ (0,9j,45) Ω,77 Ω 57,6 0 Fe Xµ Fe 0 X µ 90 577 0 54 90 0 0 0,00733 0 0,003937 0 0,00733 j 0,003937 0,00430 66,4 3,45 Ω 66,4 ( 93, 65 j,75) Ω mpedance zátěže v případě b) ω π f π 50 34,5 rad s - X ω 34,5 0, 3,4 Ω b jx (7 j3,4) Ω 4,4 Ω 57,6 mpedance zátěže v případě c) X 3,83 Ω ω 6 34,5 00 0 c jx (7 j3,83) Ω 4,74 Ω - 49,69 Řešení pro případ a) K transformátoru není připojena žádná zátěž, proud 0. Proto na impedanci není žádný úbytek napětí a 0 Výsledná impedance transformátoru vzhledem ke svorkám zdroje bude: 0 0,9j,45 93,65j,75 (94,57j4,) Ω 34,5 Ω 66,8 Ω Pro jednoduchost výpočtu se zvolíme, že počáteční fázový úhel napětí je nula. Potom vypočítáme proud tekoucí obvodem: 3
30 0 0 0,983 A - 66,8 34,5 66,8 Napětí na výstupu transformátoru je v tomto případě rovno 0 : 0 0 0 3,45 66,4 0,983-66,8 8,34 0,06 V Výsledky pro případ a), absolutní hodnoty proudů a napětí: 0,984 A, 0 A, 8,34 V. Řešení pro případ b) mpedance a impedance zátěže b jsou řazeny do série, jejich výsledná impedance bude: b b 0,9j,457j3,4 (7,9j3,87) Ω 43,3 49,66 Ω mpedance 0 a b jsou řazeny paralelně, jejich výsledná impedance bude: b0 0,0386-49,66 0,00430-66,4 b 0 43,3 49,66 3,45 66,4 b0 0,05009 j0,07673 0,00733 j0,003937 0,0674 j0,06 0,07344-5,4 b0 36,57 Ω 5,4 (,39 j8,9) Ω Výsledná impedance vzhledem ke svorkám zdroje bude: b0,39j8,90,9j,45 (3,3j30,36) Ω 38,7 5,48 Ω Proud tekoucí ze zdroje potom bude: 30 0 6,0-5,48 A 38,7 5,48 Tento proud protéká impedancí b0 na níž vytváří napětí 0 : 0 b0 6,0-5,48 36,57 5,4 9,79 V -0,4 Toto napětí je přivedeno na impedanci b a vyvolává v ní proud : 9,79-0,4 0 5,096 A - 49,9 b 43,3 49,66 Tento proud vytvoří na impedanci zátěže b napětí : b 5,096-49,9 4,4 49,33,08 V 0,57 Výsledky pro případ b), absolutní hodnoty proudů a napětí: 6,0 A, 5,096 A,,08 V. Řešení pro případ c) Výsledná impedance spojení a c bude: c c 0,9j,457-j3,83 (7,9-j30,38) Ω 4,6 Ω 47,4 4
c0 c 0 4,6 47,4 3,45 66,4 0,0437 47,4 0,00430 66,4 c0 0,06399 j0,078465 0,00733 j0,003937 0,083 j0,03909 0,085 37,49 c0 43,76 Ω 37,49 (34,7 j6,63) Ω Výsledná impedance vzhledem ke svorkám zdroje bude: c0 34,7-j6,630,9j,45 (35,64-j5,8) Ω 43,63-35,4 Ω Proud tekoucí ze zdroje potom bude: j 0 30 e 5,7 A 35,4 43,63-35,4 Tento proud protéká impedancí c0 na níž vytváří napětí 0 : 0 c0 5,7 35,4 43,76-37,49 30,6 V,5 Toto napětí je přivedeno na impedanci c a vyvolává v ní proud : 30,6 -,5 0 5,59 A 45,7 c 4,6-47,4 Tento proud vytvoří na impedanci zátěže c napětí : c 5,59 45,7 4,74-49,69 33,33 V -4,5 Výsledky pro případ b), absolutní hodnoty proudů a napětí: 5,7 A, 5,59 A, 33,33 V. Fázorové diagramy m b) s odporově induktivní zátěží mm ~ 5 V mm ~ 0, A ϕ ϕ e a) naprázdno m c) s odporově kapacitní zátěží m ϕ ϕ ϕ e e d) V tomto případě zanedbáme příčnou větev transformátoru, při výpočtech poměrů na transformátoru ve stavu při zatížení se toto zjednodušení často používá. Obvod se nám podstatně zjednoduší, jak ukazuje následující obrázek: 5
Náhradní schéma: transformátor X σ X σ b) zátěž c) zátěž ~ V obvodě máme pouze jeden proud a všechny impedance jsou zapojeny do série. elková impedance v případě b): b 0,9 j,45 0,9 j,45 7 j3,4 (8,84 j34,3) Ω 44,8 Ω 50 30 0 Proud 5,3 A - 50 44,8 50 Napětí na výstupu transformátoru : b 4,4 49,33 5,3-50,48 V -0,67 e) V tomto případě je výpočet podobný jako v případě d). b 0,9 j,45 0,9 j,45 7 - j3,83 (8,84 - j8,93) Ω 40,85 Ω -45, 30 0 5,63 A 50, A 40,85-45, c 4,74-49,69 5,63 50, 35 V -0,4 výsledků je patrné, že v případě b) je napětí na výstupu transformátoru menší než na vstupu, v případě c) je naopak na výstupu napětí vyšší, přestože transformátor má převod p a vstupní i výstupní napětí by mělo být stejné. Je to způsobeno úbytky napětí na impedancích transformátoru. V případě c) (protože transformátor představuje určitou indukčnost) dochází vlivem kapacitní zátěže dokonce ke zvýšení napětí na zátěži, protože napětí na indukčnostech transformátoru a kapacitě zátěže jsou v protifázi. Srovnáním výsledků přesného výpočtu v bodech b) a c) a zjednodušeného výpočtu v bodech d) a e) je vidět, že chyba při zjednodušeném výpočtu není velká. Odchylky velikosti napětí jsou do V, což při velikosti napětí přez 00 V představuje méně než %. Příklad 3.3. Máme zářivkové svítidlo zapojené podle následujícího schématu, v němž byly naměřeny uvedené hodnoty napětí a proudu. Předpokládejme, že tlumivka (cívka s železným jádrem) je ideální indukčnost a zářivková trubice se chová jako ideální odpor. rčete účiník zářivkového svítidla a navrhněte kapacitu kompenzačního kondenzátoru pro kompenzaci na účiník a vypočítejte proud odebíraný po kompenzaci. 6
poznámka: - V původním zapojení není kompenzační kondenzátor. - Startér funguje jako spínač, který spíná pouze na krátkou dobu při zapnutí. Při chodu zářivky je rozepnutý, takže se v náhradním schématu neuplatní. adané hodnoty: 9 V, f 50 Hz, 0,5 A, tl 9 V, z 05 V. rčit: ϕ zářivkového svítidla bez kompenzace, K pro kompenzaci na cos ϕ k. kompenzované proud odebíraný svítidlem po kompenzaci Řešení: Pro určení fázového posuvu mezi proudem a napětím nekompenzovaného svítidla vyjdeme z fázorového diagramu. Protože celým obvodem (bez kompenzačního kondenzátoru) prochází stejný proud, zvolíme si, že fázor proudu bude ležet v reálné ose. fázorového diagramu vidíme, že z cosϕ z 05 ϕ arccos arccos 6, 35 9 Pro potřebný jalový výkon kompenzačního kondenzátoru platí: Q P (tgϕ - tgϕ K ) S (sinϕ - sinϕ K ) kde: ϕ je fázový posuv před kompenzací ϕ K je požadovaný fázový posuv po kompenzaci Q (sinϕ - sinϕ K ) 9 0,5 {sin(6,35 )-sin(0 )} 98,0 var toho vypočítáme potřebnou kapacitu kompenzačního kondenzátoru: Q sinϕ přičemž ϕ 90, zcela korektně -90, ale pro tento výpočet záporné znaménko zanedbáme. Potom: schéma zapojení tlumivka K tl Q sinϕ z zářivková trubice startér Fázorový diagram napětí a proudu v zářickovém svítidle bez kompenzace. (Pro určení cos(ϕ) z naměřených hodnot proudu a napětí) j tl ϕ z mm ~ 6 V mm ~ 0,0 A náhradní schéma ~ tlumivka 98, 0 9 0, 4476 A, z toho potom X 489, 3 Ω 9 0, 4476 K tl z X 6, 5 0 6 ω ω X π f X π 50 489, 3 F 6,5 µ F 7
Výpočet proudu po kompenzaci můžeme vypočítat například z napájecího napětí a činného výkonu, protože tyto veličiny se kompenzací nezmění: P cos( ϕ) cos( ϕ ) kompenz. cos( ϕ) cos( 6, 35 ) kompenz. 0, 5 0, 4 A cos( ϕk ) Poměry v obvodě před a po kompenzaci znázorňuje fázorový diagram. Jak je vidět z výpočtu i z fázorového diagramu, proud odebíraný ze sítě se kompenzací podstatně zmenší. k j Fázorový diagram napájecího napětí a proudů zářivkového svítidla před a po kompenzaci. mm ~ 6 V mm ~ 0,0 A kompenzované ϕ Příklad 3.4. Máme jednofázové vedení délky l, na jehož konci je odporově induktivní zátěž, viz. schéma. Vypočítejte napětí na konci vedení a činný výkon zátěže. adané hodnoty: 40 V; f 50 Hz; X k 0,3 Ω km - (induktivní reaktance kilometru vedení) S 50 mm (průřez vodiče vedení); ρ,7 0-8 Ω m (měrný odpor vodiče-hliník) l,8 km (délka vedení); 8 Ω; 4 mh rčit:, P V S (000 je tam kvůli přepočtu kilometrů na metry) Úhlová rychlost ω π f π 50 34,5 rad s - nduktivní reaktance zátěže X l ω 34,5 0,04 7,53 Ω. mpedance zátěže X 7, 53 8 0, 99 Ω elková impedance: Pro určité typy elektrického vedení (průřez a vzdálenost vodičů) se v tabulkách udává jejich induktivní reaktance na jeden kilometr délky, pro kmitočet 50 Hz celková induktivní reaktance se určí: X V l X k,8 0,3 0,84 Ω Odpor jednoho vodiče vedení bude: l ρ 000 7 0 000 8 8,, 5, Ω 50 0 ( X X ) ( ) ( 0, 84 7, 53) ( 5, 8) 4, 36 Proud protékající vedením: 40 4 36 6, 7 A, Napětí na konci vedení: 6,7 0,99 83,64 V Výkon na zátěži P 8 6,7 34 W Příklad 3.5. X V ~ X V V V V V V V Ω Pro jednofázový spotřebič odporově induktivního charakteru s činným výkonem P a účiníkem cos ϕ navrhněte kompenzační kondenzátor pro kompenzaci na cos ϕ k. Napětí napájecí sítě je. Vypočítejte další požadované parametry kompenzačního kondenzátoru. 6 8
adáno: P 0 kw cos ϕ 0,75 30 V f 50 Hz cos ϕ k 0,95 rčete: jalový výkon kompenzačního kondenzátoru Q, kapacitu kompenzačního kondenzátoru, maximální hodnotu napětí na kterou musí být kondenzátor dimenzován max, proud procházející kondenzátorem. Řešení: ϕ arccos(cos ϕ) arccos (0,75) 4,4 ϕ k accos(cos ϕ k ) arccos (0,95) 8,9 Potřebný jalový výkon kompenzačního kondenzátoru vypočítáme ze vztahu: Q P [tg (ϕ) - tg(ϕ k )] 0000 [tg(4,4 )-tg(8,9 )] 5533,3 var následujícího obecného vztahu pro jalový výkon určíme proud procházející kompenzačním kondenzátorem. (Pozn. fázový posuv u kondenzátoru je 90, sin ϕ ). Q 5533,3 Q sin( ϕ ) 4,06 A sin( ϕ ) 30 rčíme potřebnou kapacitní reaktanci kondenzátoru: 30 X 9,56 4,06 Úhlová rychlost napájecího napětí: ω π f π 50 34,5 rad s - raktance určíme kapacitu kondenzátoru: 4 X 3,3 0 F 33,µ F ω ω X 34,5 9,56 Příklad 3.6. Máme skutečnou cívku, jejíž náhradní schéma si můžeme představit jako sériovou kombinaci odporu a indukčnosti. K cívce byl nejprve připojen stejnosměrný zdroj s napětím av a v obvodě byl naměřen proud av, pak střídavý zdroj s napětím a byl naměřen proud, viz obrázek. rčete parametry náhradního schématu cívky. ~ A av av A adáno: av V; av,3 A; 0 V; 5, A; fi 50 Hz rčete:, Řešení: Při stejnosměrném napájení se v ustáleném stavu uplatní pouze činný odpor cívky: av 9, 3 av,3 napětí a proudu při střídavém napájení vypočítáme impedanci cívky: 0 5 4, 3Ω, skutečná cívka 9
Dále platí: X X 4,3 9,3 4, 9 Vypočítáme úhlovou frekvenci: ω π f π 50 34,5 rad s - e známé induktivní reaktance cívky vypočítáme její indukčnost: X 4, 9 X ω 0, 3 H ω 34, 5 0