Logické proměnné a logické funkce

Podobné dokumenty
Neuronové sítě Minimalizace disjunktivní normální formy

12. Booleova algebra, logická funkce určitá a neurčitá, realizace logických funkcí, binární kódy pro algebraické operace.

Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.

2. LOGICKÉ OBVODY. Kombinační logické obvody

Booleova algebra. ZákonyBooleovy algebry Vyjádření logických funkcí

P4 LOGICKÉ OBVODY. I. Kombinační Logické obvody

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Binární logika Osnova kurzu

Prvky elektronických počítačů Logické obvody a systémy

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, Varnsdorf, IČO: tel Číslo projektu

Booleovská algebra. Pravdivostní tabulka. Karnaughova mapa. Booleovské n-krychle. Základní zákony. Unární a binární funkce. Podmínky.

Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.

Základy číslicové techniky z, zk

Formální systém výrokové logiky

4. Elektronické logické členy. Elektronické obvody pro logické členy

Y36SAP Y36SAP-2. Logické obvody kombinační Formy popisu Příklad návrhu Sčítačka Kubátová Y36SAP-Logické obvody 1.

VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_04_Aritmetické operace v binární soustavě Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Ing.

Minimalizace logické funkce

Základy číslicové techniky z, zk

Žáci mají k dispozici pracovní list. Formou kolektivní diskuze a výkladu si osvojí způsoby algebraické minimalizace a využití Booleovy algebry

LOGICKÉ OBVODY 2 kombinační obvody, minimalizace

LOGICKÉ ŘÍZENÍ. Matematický základ logického řízení

Logické řízení. Náplň výuky

Úvod do informačních technologií

1. 5. Minimalizace logické funkce a implementace do cílového programovatelného obvodu CPLD

Matematická logika. Miroslav Kolařík

DIGITÁLN LNÍ OBVODY A MIKROPROCESORY 1. ZÁKLADNÍ POJMY DIGITÁLNÍ TECHNIKY

Obsah. Vymezení použitých pojmů

Výroková logika - opakování

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Úvod do informačních technologií

Booleovy algebry. Irina Perfilieva. logo

0.1 Úvod do lineární algebry

LOGICKÉ ŘÍZENÍ. Matematický základ logického řízení. N Měřicí a řídicí technika 2012/2013. Logické proměnné

Základy logiky a teorie množin

Fuzzy logika Osnova kurzu

1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7

Cvičení 4. negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence. a) Najděte UDNF, UKNF a stanovte log. důsledky. 1) [p (p q)] [( p q) (q p)]

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K

Karnaughovy mapy. Pravdivostní tabulka pro tři vstupní proměnné by mohla vypadat například takto:

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Číslicové obvody základní pojmy

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

2. ÚVOD DO OVLÁDACÍ TECHNIKY

Cíle. Teoretický úvod. BDIO - Digitální obvody Ústav mikroelektroniky Základní logická hradla, Booleova algebra, De Morganovy zákony Student

2.7 Binární sčítačka Úkol měření:

Návrh systémů s digitálními integrovanými obvody a mikroprocesory pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO

Úvod do logiky (VL): 9. Úplná disjunktivní / konjunktivní normální forma a její minimalizace

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Otázka 10 - Y36SAP. Zadání. Logické obvody. Slovníček pojmů. Základní logické členy (hradla)

Výroková logika. p, q, r...

průniku podmnožin, spojení je rovno sjednocení podmnožin a komplement je doplněk Obr. 5: Booleovy algebry

Výroková a predikátová logika - VII

Matice. a m1 a m2... a mn

PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Číselné vektory, matice, determinanty

Aut 2- úvod, automatické řízení, ovládací technika a logické řízení

Sylabus kurzu Elektronika

0.1 Úvod do lineární algebry

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

Predikátová logika Individua a termy Predikáty

Logické systémy a jejich návrh

Algebraické výrazy. Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek.

Spojování výroků (podmínek) logickými spojkami

Predikátová logika. prvního řádu

Teorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.

Algebraické výrazy pro učební obory

Úvod do TI - logika Výroková logika - pokračování (3.přednáška) Marie Duží

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α

Číselné obory, množiny, výroky

Projekt realizovaný na SPŠ Nové Město nad Metují. s finanční podporou v Operačním programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Královéhradeckého kraje

Architektura počítačů Logické obvody

Architektura počítačů Logické obvody

Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Marie Duží

Obsah DÍL 1. Předmluva 11

Výroková a predikátová logika - II

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Jak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora

Úvod do logiky (VL): 5. Odvození výrokových spojek z jiných

STRUKTURA POČÍTAČŮ JIŘÍ HRONEK, JIŘÍ MAZURA KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO

ČÍSLICOVÁ TECHNIKA UČEBNÍ TEXTY

Klasická výroková logika - tabulková metoda

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Operace s maticemi

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

Jazyk matematiky Matematická logika Množinové operace Zobrazení Rozšířená číslená osa

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

MINIMALIZACE LOGICKÝCH FUNKCÍ MINIMISATION OF LOGICAL FUNCTIONS

Výroková a predikátová logika - II

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY

2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro

Booleova algebra Luboš Štěpánek

Transkript:

Booleova algebra

Logické proměnné a logické funkce Logická proměnná je veličina, která může nabývat pouze dvou hodnot, označených 0 a I (tedy dvojková proměnná) a nemůže se spojitě měnit Logická funkce n proměnných x 1, x 2, x 3, x n je funkce, která může nabývat, stejně jako všechny logické proměnné, pouze dvou hodnot

Logické proměnné a logické funkce Funkce rovnosti platí, když dvě logické proměnné A, B se sobě rovnají, tzn., jestliže A = I, B = I nebo A = 0, B = 0, což zapisujeme A = B Dvě veličiny A = a 1, a 2, a 3, a n ; B = b 1, b 2, b 3, b n se sobě rovnají, když platí a i = b i pro všechna i.

V Booleově algebře jsou definovány tři základní operace Logická negace Logický součin 0 = I I = 0 Y = A. B Logický součet Y = A + B

Zákony a pravidla Booleovy algebry Komutativní zákon A + B = B A. B = B. + A A Asociativní zákon A + (B + C) = (A + B) + C A. (B. C) = (A. B). C Distributivní zákon A + B. C = (A + B). (A + C) A. (B + C) = A. B + A. C

Zákony a pravidla Booleovy algebry Zákon o agresívnosti prvku I a O Zákon o neutrálnosti prvku I a O Zákon o vyloučení třetího Zákon dvojité negace A + I = I A. 0 = 0 A + 0 = A A. I = A A + A = I A. A = 0 A = A

Zákony a pravidla Booleovy algebry Zákon absorpce Zákon absorpce negace A + A = A A. A = A A + A. B = A A. (A + B) = A A + A = I A. A = 0 A + A. B = A + B A. (A + B) = A. B A + A.B = A + B A(A + B) = A.B

A De Morganův zákon + B + C +... A. B. C. A. B. C.... = A + B + C +... negaci funkce získáme nahrazením každé proměnné její negací a záměnou značek součtu a součinu navzájem A + B. C = Tedy : A + B. C a neplatí : A. B + C A + (B. C) = A. (B + C) =...

Definice logické funkce Pravdivostní tabulkou Pravdivostní tabulka je tabulka, do které se zapisuje logická (Booleovská funkce). Pravdivostní tabulka má r+n sloupců a 2 n řádků. Číslo r je počet sloupců výsledných funkcí (obyčejně bývá jedna výsledná funkce tedy jeden sloupec). Číslo n udává počet proměnných. Číslo 2 n udává počet všech možných kombinací proměnných, kde číslo n je počet proměnných. Tyto kombinace reprezentuje počet řádků. Zápisem logické funkce úplné disjunktivní normální formy ÚDNF úplné konjunktivní normální formy ÚKNF

Úplně zadaná funkce Logická funkce je úplně zadaná, jestliže je známa její hodnota I nebo 0 pro všechny možné kombinace hodnot proměnných A B C f 0 0 0 0 0 0 I I 0 I 0 I 0 I I 0 I 0 0 0 I 0 I I I I 0 0 I I I I

Neúplně zadaná funkce Logická funkce je neúplně zadaná, když její hodnota pro některé kombinace hodnot proměnných je libovolná nebo není určena A B C f 0 0 0 0 0 0 I I 0 I 0 X 0 I I 0 I 0 0 X I 0 I I I I 0 0 I I I X

Logická funkce n-proměnných Logická funkce f n n-proměnných nabývá všech možných hodnot, pro všechny možné kombinace n-proměnných. Počet funkcí je (2 2 ) n

Funkce jedné proměnné A f 0 f 1 f 2 f 3 0 0 0 I I I 0 I 0 I konstanty proměnná sama negace proměnné f f f 0 1 2 = 0 = A = A a f 3 = I

Funkce dvou proměnných A B f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f 12 f 13 f 14 f 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I I I I I I I I 0 I 0 0 0 0 I I I I 0 0 0 0 I I I I I 0 0 0 I I 0 0 I I 0 0 I I 0 0 I I I I 0 I 0 I 0 I 0 I 0 I 0 I 0 I 0 I

Funkce dvou proměnných součet modulo 2 ekvivalence Piercova funkce Schefferova funkce inhibice Negace obrácené implikace Obrácená implikace Implikace A B A B f 6 = AB + f9 = AB + A AB B f8 = A B = A + f14 = A + B = f f f f 2 4 11 13 = AB = = = AB A A + + B B B AB

Úplná disjunktivní normální forma ÚDNF je to součet základních součinů přímých nebo negovaných proměnných. Každý základní součin (minterm z ang. minimal polynomial term) nabývá hodnoty I pro určitou kombinaci, kdy funkce má hodnotu I a hodnoty 0 pro všechny ostatní kombinace. ÚDNF vyjadřuje funkci jako součet případů, kdy má hodnotu I.

Úplná konjunktivní normální forma ÚKNF je to součin základních součtů přímých nebo negovaných proměnných. Každý základní součet nabývá hodnoty 0 pro určitou kombinaci, kdy funkce má hodnotu 0 a hodnoty I pro všechny ostatní kombinace. ÚKNF vyjadřuje funkci jako součin případů, kdy má hodnotu 0.

Výpis logických funkcí z pravdivostní tabulky A B C f 0 0 0 I 0 0 I 0 0 I 0 I 0 I I 0 I 0 0 I I 0 I 0 I I 0 I I I I 0 f = A B C + A B C + A B C + A B C f = (A+ B+ C).(A+ B+ C).(A + B+ C).(A + B+ C)

Karnaughova mapa C A I 0 0 I I 0 0 I f = C B A B C f 0 0 0 I 0 0 I 0 0 I 0 I 0 I I 0 I 0 0 I I 0 I 0 I I 0 I I I I 0

Zjednodušování zápisu logické funkce Algebraická minimalizace upravování logického výrazu podle zákonů a pravidel Booleovy algebry Grafická Karnaughova metoda Pro zjednodušení funkce pomocí algebraické minimalizace spojujeme součiny (mintermy), které se liší v jediné proměnné

Algebraická minimalizace A B f 0 0 I 0 I 0 I 0 I I I I f = AB + AB + AB f = AB + AB + AB = A(B + B) + A B = A + A B = A + B

Minimalizace logická funkce V Karnaughově mapě vytváříme podmapy Podmapou rozumíme sjednocení 2 k sousedních stavů, ve kterých nabývá logická funkce hodnoty 1 pro k = 0, 1, 2,..., n-1 Každou podmapou vyloučíme k proměnných z dvou, čtyř až 2 n-1 základních součinů Snažíme se vytvářet co největší podmapy, abychom vyloučili co největší počet proměnných Využíváme k tomu také neurčité stavy

Pravidla vytváření podmap vybranými podmapami musí být pokryty všechny jednotkové stavy logické funkce, do podmapy spojujeme stejné stavy, které spolu sousedí hranou, a to i přes okraje mapy. Rohy mapy jsou též sousedními stavy. Členy dvou sousedních polí se od sebe liší jednou proměnnou a tuto proměnnou můžeme vyloučit, podmapu pravidelného tvaru (čtverec, obdélník) vytváříme co největší, aby se ze skupiny stavů vyloučilo co nejvíce proměnných, podmapy se mohou prolínat, nevytváříme zbytečné podmapy, tzn. že nespojujeme ty stavy, které už byly předtím pokryty jinou podmapou, čím větší bude podmapa, tím jednodušší bude výsledný výraz

Zjednodušení úplně zadané funkce A B C D f 0 0 0 0 I 0 0 0 I 0 0 0 I 0 I 0 0 I I 0 0 I 0 0 0 0 I 0 I I 0 I I 0 0 0 I I I 0 I 0 0 0 I I 0 0 I I I 0 I 0 I I 0 I I I I I 0 0 0 I I 0 I I I I I 0 0 I I I I 0 D A I 0 0 I 0 I I I 0 0 0 I I 0 0 I A B C D + A B C D = B C D (A + A) = B C D A B C ( D + D) + A B C ( D + D ) = A B C + A B C = A B (C + C) = A B A B D (C + C ) + A B D ( C + C ) = A B D + A B D = B D (A + A) = B D f = B C D + A B + B C B D f = A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + AB CD + A B C D + A B C D + A B C D

Zjednodušení neúplně zadané funkce A B C D f 0 0 0 0 I 0 0 0 I X 0 0 I 0 I 0 0 I I 0 0 I 0 0 0 0 I 0 I I 0 I I 0 X 0 I I I 0 I 0 0 0 I I 0 0 I I I 0 I 0 I I 0 I I I I I 0 0 0 I I 0 I I I I I 0 0 I I I I X A I 0 0 I X I I I D 0 0 X I I X 0 I B f = B D + CD + C AD

Příklad Chceme určit logickou funkci zařízení které: rozsvítí zelenou žárovku F1, když v nějakém výrobním procesu překročí kritickou hodnotu pouze jedna ze sledovaných veličin, např. tlak (x), nebo teplota (y), nebo vlhkost (z), nebo žádná, rozsvítí červenou žárovku - F2, když je překročena kritická hodnota kterýchkoli dvou veličin současně, zapne sirénu - F3, když jsou překročeny kritické hodnoty všech tříveličin současně.

Příklad x y z F1 F2 F3 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 F1 = xyz + xyz + xyz + xyz F2 = xyz + xyz + xyz F3 = xyz