Diskontinuity a šoky

tok plazmatu Oblast 1 Oblast ( upstream ) ( downstream ) ρu Uu Bu pu ρd Ud Bd pd hranice mezi oblastmi může tu docházet k disipaci (růstu entropie a nevratným změnám) není popsatelná pomocí MHD popisujeme situaci v systému, kde je hranice v klidu ( shock frame )

Tangenciální elektrické pole E = Stacionární + Stokesův zákon: E Δ l + E 1 ( Δ l ) = 0 ( E E 1 ) Δ l = 0 n ( E E1) = 0 elektrické pole rovnoběžné s hranicí se nemění [ Et ] = 0 B t

Tangenciální magnetické pole ( B = μ0 j + B Δ l + B1 ( Δ l ) = μ 0 J s Δ l n ( B B1 ) = μ 0 J s [ Bt ] = μ0 J s D t )

Normálové magnetické pole B = 0 Gaussův zákon: (B B1 ) n = 0 [ Bn ] = 0

Normálové elektrické pole D = ρ [ D n ] = ρs (nicméně v plazmatu je ρs = 0 )

Hraniční podmínky obecně MHD rovnice popisující plazma + záměna: X n [X] X n [ X ] X n [X]

Hraniční podmínka pro tok hmoty ρm + (ρm U ) = 0 t ρm1 U 1 n = ρm U n [ρm U n ] = 0 Hraniční podmínka z pohybové rce: [ ] ( U 1 B ρm + (U )U = μ 0 ( B ) B P + t μ0 1 B [ρm U n U ] = μ [ B n B] n P+ 0 μ Bn ρm U n [U t ] = μ [ B t ] 0 [ 0 ] [ ) B ρm U n [U n ] = p + μ0 ]

Hraniční podmínka ze zamrzlých siločar B = (U B) t [U B n ] = [ B U n ] B n [U ] = [ B U n ] B n [U t ] = [U n B t ]

Rankine Hugoniot [ Bn ] = 0 [ρm U n ] = 0 Bn ρm U n [U t ] = μ [ B t ] 0 [ B ρm U n [U n ] = p + μ0 ] B n [U t ] = [U n B t ] Jak upravit skok součinu? Zavedeme: 1 < X > = ( X 1 + X ) A potom: [ A B] = [ A] + < A>[ B]

1 ν= ρ m Zavedeme specifický objem : A normálový hmotnostní tok : (konstantní přes hranici) F = ρm U n Potom můžeme podmínky pro přechod přepsat na: F [ν] [U n ] = 0 1 1 F [U ] + n[ p] + μ n [ B] μ B n [ B] = 0 0 0 F <ν>[ B] + [U n ] B n [U ] = 0 [ Bn ] = 0 Střední hodnoty bereme jako dané, řešíme jako soustavu pro velikost skoků Aby mělo netriviální řešení, musí být determinant soustavy roven 0

Po relativně zdlouhavých úpravách se dá ukázat, že determinant soustavy lze zapsat jako: ( Bn F F μ0 <ν> ){ ( ) } B n [ p] 4 [ p] F +F = 0 [ν] μ0 <ν> μ 0<ν> [ν] Rovnice 7. řádu pro normálový hmotnostní tok F. Součin 3 činitelů => v MHD existují 3 typy diskontinuit: I. typ diskontinuit Hmotnostní tok skrz diskontinuitu je nulový; vede na kontaktní a tangenciální diskontinuity FI = 0 Bn 0 Bn = 0 II. typ diskontinuit F II = ± Bn μ0 <ν> Závisí jen na normálové složce mag. pole (která se nemění) a na střední hustotě plazmatu; vede na rotační diskontinuity

III. typ diskontinuit 4 F III + F III ( ) B n [ p] [ p] = 0 [ν ] μ 0<ν> μ0 <ν> [ ν] Obsahuje skoky tlaku a specifického objemu, vede na šoky ( F III Diskriminant ) 1 [ p] = ± Δ [ ν] μ 0 <ν> 4 Δ je kladný: ( ) 4 B n [ p] [ p] Δ = + > 0 [ ν] μ 0<ν> μ 0 <ν> [ ν] Dále zřejmě musí být: F III > 0 Vždy má řešení pro: [ p] > [ ν] μ 0<ν> (zřejmě splněno pro [ p] < 0) [ν]

Kontaktní diskontinuity F I = ρm U n = 0 Bn 0 Un = 0 [ Bn ] = 0 Bn ρm U n [U t ] = μ [ B t ] 0 [ [ Bt ] = 0 B ρm U n [U n ] = p + μ0 B n [U t ] = [U n B t ] ] [ p] = 0 [U t ] = 0 Plazma na obou stranách diskontinuity je svázáno normálovým magnetickým polem, které způsobuje, že skok v tangenciální rychlosti je nulový. Jediná veličina, která se mění při přechodu diskontinuitou, je hmotnostní hustota ρm. Tlak se při přechodu nemění => změna hustoty musí být vyvážena změnou teploty (nicméně gradient teploty rychle vymizí díky transportu tepla elektrony podél magnetického pole, takže tento typ diskontinuity typicky existuje pouze krátce)

Tangenciální diskontinuity (1/) F I = ρm U n = 0 Un = 0 Bn = 0 Bn ρm U n [U t ] = μ [ B t ] 0 B n [U t ] = [U n B t ] zřejmě splněno [ B ρm U n [U n ] = p + μ0 ] [ ] B p+ = 0 μ 0 Celkové tlaky na obou stranách diskontinuity jsou vyrovnané, žádný hmotnostní ani magnetický tok skrz diskontinuitu. Tok plazmatu i magnetické pole jsou čistě tangenciální na obou stranách diskontinuity. Ostatní veličiny se mohou měnit libovolně.

Tangenciální diskontinuity (/)

Rotační diskontinuity (1/) F II = ρm U n = ± Bn Bn 0 0 μ0<ν> [ Bn ] = 0 [U n ] = 0 [ρm U n ] = 0 [ρm ] = 0 B n [U t ] = [U n B t ] Bn Un = μ ρ 0 m B n [U t ] = U n [ B t ] [ Pro rotační diskontinuitu požadujeme: [ p] = 0 Potom: Pro (aby se neměnila teplota a nedocházelo k růstu entropie) [ B ρm U n [U n ] = p + μ0 [ p] 0 ] ] Bt Ut μ ρ = 0 0 m [ B ] = 0 bychom dostali intermediate shock (souvisí s Alfvénovou vlnou)

Rotační diskontinuity (/)

Šoky F 4III + F III ( B [ p] [ p] n = 0 [ν ] μ 0<ν> μ0 <ν> [ ν] ) Řešení vykazují skoky v tlaku, specifickém objemu a hustotě (tj. i v teplotě) => plazma přechází z jednoho termodynamického stavu do druhého, roste entropie Dva páry konjugovaných řešení pro FIII, fyzikální jen ta, pro něž F III ( F III > 0 ) 1 [ p] = ± Δ [ ν] μ 0 <ν> 4 Vychází tři řešení: 1) ) + 3) [ p] >0 [ν] pro [ p] <0 [ν] pro [ p] > 0 je [ν] > 0 tj. [ρ] < 0 tj. [ρ] > 0 rarefaction shock [ p] > 0 je [ν] < 0

[ρm U n ] = 0 hustota a rychlost se mění opačně [U n ] = [ρm ] <ρm> [ρm U n ] = <ρm >[U n ] + [ρm ] = 0 Coplanarita (1/) Bn ρm U n [U t ] = μ [ B t ] 0 B n [U t ] = [U n B t ] Bn [U n B t ] = [ Bt ] μ 0 ρm U n [ B t ] [U n Bt ] = 0 (U nu U nd ) ( Btu Btd ) [U n ] 0 B tu Btd = 0

Coplanarita (/) určení normály rovina obsahující jeden z těchto vektorů a normálu šoku obsahuje i druhý z nich ( coplanarity theorem ) B tu Btd ( Bu B d ) n = 0 [ B n ] = ( Bu B d ) n = 0 n = ( Bu B d ) ( Bu Bd ) ( Bu B d ) ( Bu Bd ) Další možnosti: variance analysis [ B n ] = 0 skok v rychlosti je ve stejné rovině jako magnetická pole (a určení pak analogicky jak pro magnetická pole, jen teď znám další vektor z dané roviny) multi-spacecraft timing (z toho, jak hranice přechází přes několik družic) Poznámka: rychlost šoku relativně vůči družici (z rovnice kontinuity) ρmd U d ρmu U u v sh = n ρmd ρmu

Komentář 1: Šoky a nadzvukovost Komentář : Šoky bez srážek? Jak?

Rovnice pro energii -. moment Boltzmannovy rovnice - za předpokladu adiabatické stavové rovnice [ ( Un pρ γ = konst. lze ukázat, že: ] Bn γ 1 B ρm U + p + Un μ U B μ = 0 0 0 γ 1 kinetická energie toku ) kinetická energie vnitřní tok EM energie (Poynting) P= E B μ0 E = U B

Rychlé a pomalé šoky Z rovnice pro energii + z Rankine-Hugoniotových podmínek se dá ukázat, že: ( ) H H [ p] = [ Bt ] γ 1 μ 0 F III [ B t ] γ F III H = + 4μ0 γ 1 Při přechodu šokem (z neporušeného do porušeného a zahřátého plazmatu) vždy roste tlak: [ p] > 0 typy šoků 1. rychlé šoky (souvisí s rychlou MSW) t [B ] > 0 > ( γ 1) H. pomalé šoky (souvisí s pomalou MSW) [ Bt ] < 0 < ( γ 1) H Šok je vlastně nelineární verze dané MHD vlny Rychlost v upstreamu musí být vyšší než rychlost příslušné MHD vlny

Paralelní šoky Bn ρm U n [U t ] = μ [ B t ] 0 [( 1 But = 0 Bn μ 0 ρm U n B n [U t ] = [U n B t ] ) ] U n Bt = 0 B dt = 0 Bn se rovněž nemění (jedna z RH podmínek) => B = konst Dochází ke kompresi plazmatu, ale ne magnetického pole. Po zpětném dosazení do RH podmínek magnetické pole vypadne => plazma se chová jako běžná tekutina a magnetické pole nehraje roli (až na roli prostředníka v bezesrážkové disipaci).

Perpendikulární šoky Bn = 0 Bn ρm U n [U t ] = μ [ B t ] 0 Bu = But + řešíme v takové vztažné soustavě, kde Uut = 0 U dt = 0 Zavedeme kompresní poměr ρd r=ρ u U un U dn = r [ρm U n ] = 0 B d = r Bu B n [U t ] = [U n B t ] Dá se ukázat, že: [ (r 1) r ( ) ] γ γ + r + + γ 1 (γ+1) = 0 MA MA Mc Pro M : s γ+1 r= =4 γ 1

Průlet Voyager skrz termination shock ~ 84 AU sluneční vítr: nadzvukový => podzvukový Richardson et al., Nature, 008

Dvě možnosti: 1. Coronal Mass Ejections (CMEs) - jednorázové události, častěji v době slunečního maxima - téměř vždy způsobují velké bouře ( Dst > 100 nt). Corotating Interaction Regions (CIRs) - opakují se s periodou ~7 dní (odpovídá době rotace Slunce) - důvod: rychlý sluneční vítr z koronálních děr, které mohou být stabilní po několik slunečních rotací - převažují během solárního minima - způsobují především středně velké bouře ( Dst < 100 nt)