MODELOVÁNÍ SHALLOW WATER

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "MODELOVÁNÍ SHALLOW WATER"

Otakar Slavík
před 4 lety
Počet zobrazení:

1 Západočeská univerzita Fakulta aplikovaných věd Matematické metody v aplikovaných vědách a ve vzdělávání MODELOÁNÍ SHLLOW WTER KRISTÝN HDŠOÁ ziraf@students.zcu.cz

2 1 ÚOD Dostala jsem za úkol namodelovat jak se chová mělká voda. Tento model je velice praktický a vyuzívá se při modelování záplav či přílivových vln(tsunami). Také se tento model používá jako tester pro numerické metody v 1D. 2 ZÁKON ZCHOÁNÍ HMOTNOSTI Zákon zachování hmotnosti může být vyjádřen v integrální formě [1]. Za předpokladu, že se žádná hmotnost nebude vytvářet (zanikat) v objemu musí platit, že změna hmotnosti odpovídá přítoku (odtoku) přes hranici objemu. Platí následující vztah ρ t d = n (ρ)d. (1) Jestliže je objem pevně dán a nezávisí na t, pak se dá levá strana přepsat jako ρ t d = d ρd. (2) dt v Pravá strana (1) je tedy změna hmotnosti přítoku oproti odtoku přes hranici v časovém úseku. Levá strana představuje změnu hmotnosti v objemu za absence zdrojů. Může být změněna jen činností toku přes hranici objemu. Což znamená d dt ρd = n (ρ)d. (3) Kde ρ je hmotnostní tokový vektor a n je vnější normálový vektor kolmý na hladinu, je vektor rychlosti. Pro výpočtovou matematiku je integrální podoba zákonu zachování hmotnosti užitečnější. plikujeme-li Gaussovu větu, můžeme napsat n (ρ)d = div(ρ)d, (4) což můžeme přepsat na [ ρ t + div(ρ) ] d = 0. (5) 2

3 Místo integrální formy můžeme použít diferenciální podobu zákona zachování hmotnosti ve tvaru ρ t + (ρu) x + (ρv) y + (ρw) z = 0. (6) 3 ZÁKON ZCHOÁNÍ HYBNOSTI Nyní odvodíme zákon zachování hybnosti v integrálním tvaru. Celková hybnost v objemu s hranicí je Ψ(t) = ρd, Ψ = (x, y, z, t). (7) Zákon zachování hybnosti vyplývá z použití Newtonova zákona: Časová změna hybnosti objemu je úměrná celkové působící síle na objem. Celková síla se dělí na povrchovou sílu f S a objemovou sílu f. f S = Sd, f = ρgd, (8) kde g je objemovo-silový vektor a může to být setrvačná síla, gravitační síla, elektromagnetická síla... S je vektor napětí, který je dán jako S = n S, kde S je tenzor napětí, S = pi + Π, Π je tenzor vazkých sil a p je objemový tlak [1]. Použitím Newtonova zákona a rovnice kontinuity [1] t (ρ)d = DΨ Dt = f S + f, (9) (n ρ)d + f S + f. (10) Je-li objem pevně dán nezávisle na čase, můžeme napsat d dt (ρ)d = (n ρ)d + f S + f. (11) Tedy, časová změna hybnosti s pevně daným objemem je úměrná hybnosti přítoku oproti odtoku spolu s povrchovými a objemovými silami. Když rozepíšeme všechny povrchové složky získáme 3

4 d dt (ρ)d = [(n ρ) + pn n Π]d (12) + (ρg)d Obecná formulace je platná až na případy nespojitých řešení. Diferenciální podoba zákona může být odvozena od (12) za předpokladu, že integrand v povrchovém integrálu je dostatečně hladký, aplikací Gaussovy věty. První člen integrandu povrchového integrálu v (12) je kde Což znamená (n ρ) = n ρ, (13) = u 2 uv uw uv v 2 vw uw vw w 2. (14) u (n ρ) = n [ρu 2, ρuv, ρuw] T, (15) v (n ρ) = n [ρuv, ρv 2, ρvw] T, (16) w (n ρ) = n [ρuw, ρvw, ρw 2 ] T. (17) plikací Gaussovy věty na každý povrchový člen získáme t (ρ)d = [div(ρ ) + grad p divπ]d (18) + (ρg)d. Toto platí pro jakýkoliv objem (ρ) + div[ρ + pi Π] = ρg. (19) t Diferenciální podoba zákona zachování hybnosti pro nevazké (Π = 0) případy a pro gravitaci působící jen v ose z je (ρu) t + (ρu 2 + p) x + (ρuv) y + (ρuw) z = 0 (20) (ρv) t + (ρuv) x + (ρv 2 + p) y + (ρvw) z = 0 (21) (ρw) t + (ρuw) x + (ρvw) y + (ρw 2 + p) z = gρ. (22) 4

5 4 SHLLOW WTER RONICE Budeme považovat hustotu kapaliny za konstantní. Jestliže přidáme podmínku, že je voda homogenní, neměnná v prostředí, tak řekneme, že ρ je neměnné v čase. Ze zákona zachování hybnosti můžeme napsat Du Dt u t + uu x + vu y + wu z = 1 ρ p x, (23) Dv Dt v t + uv x + vv y + wv z = 1 ρ p y, (24) Dw Dt w t + uw x + vw y + ww z = 1 ρ p z g. (25) Spolu s rovnicí zachováni hmotnosti (6) máme čtyři rovnice o čtyřech neznámých (u,v,w,p). principu po zadání okrajových podmínek budeme schopni řešit tyto rovnice pro u,v,w a p jako funkce prostoru x, y, z a času t. Shallow water rovnice jsou zjednodušením předchozího modelu za předpokladu, že svislá souřadnice rychlosti i zrychlení Dw/Dt je zanedbatelná. ložením Dw/Dt=0 do rovnice (25) získáme p = ρgh. (26) Toto se nazývá hydrostatický tlak. Derivováním p podle x a podle y získáme p x = ρgh x, (27) p y = ρgh y. (28) Obě proměnné p x a p y jsou nezávislé na z a tak x a y složky zrychlení Du/Dt a Dv/Dt jsou nezávislé na z. Také složky rychlosti u, v jsou nezávislé na z pro všechna t. Proto platí u t + uu x + vu y = gh x. (29) v t + uv x + vv y = gh y. (30) 5

6 Z rovnice (6) získáme úpravou (hmotnost závisí jen na výšce a složka rychlosti w je 0) rovnici pro zachování hmotnosti h t + (uh) x + (vh) y = 0. (31) Nyní máme dvě rovnice (29) a (31), první vynásobíme h a druhou rovnici u a získáme u t h + u x hu + hvu y + ghh x = 0, (32) uh t + u(hu) x + (hv) y u = 0. (33) tyto dvě rovnice sečteme (uh) t + (u 2 h) x + (uvh) y = ghh x. (34) Stejným způsobem získáme i rovnici (35) a to z rovnic (30) a (31) (vh) t + (uvh) x + (w 2 ) y = ghh y. (35) Pravá strana se dá přepsat jako ghh x = 1 2 gh2 x. (36) Což s přeznačením dá (φu) t + (φu φ2 ) x + (φuv) y = 0, (37) (φv) t + (φuv) x + (φv φ2 ) y = 0. (38) přičemž φ = gh (39) φ se nazývá geopotenciál. Dvoudimenzionální rovnice Shallow Water se dají přepsat do maticové formy U t + F (U) x + G(U) x = 0. (40) kde U = φ φu φv, F = uφ φu φ2 φuv, G = vφ φuv φv φ2. 6

7 kde U je zachovávaná proměnná, F (U) a G(U) jsou tokové funkce. S podobným zápisem se setkáváme i v [2, 3]. 5 NUMERICKÉ SIMULCE Je hotom program, který zpracovává 1D Shallow water. Na programu se i nadále pracuje a předpokládá se využití jeho výsledku v bakalářské práci. Také se uvažuje o rozšíření modelu i o model s neplochým dnem. Reference [1] Eleuterio F. Toro Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics, Springer-erlag Berlin Heidenberg, 1999 [2] Randall J. Leveque Finite volume methods for hypebolic problems, Cambridge university press, 2002 [3] Shallow water equations 7

Podobné dokumenty

Skalární a vektorový popis silového pole

Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma