Název: Etude de fonctions Autor: Mgr. Jiří Bureš, Ph.D. Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 5. (3. ročník vyššího gymnázia, bilingvní sekce Tématický celek: funkce, limita funkce, derivace funkce, vyšetřování průběhu funkce Stručná anotace: Výukový materiál je zaměřen na základní využití kuželoseček v astronomii - popis dráhy planet v sluneční soustavě. Žák využije své poznatky o kuželosečkách v úlohách z astronomie a mechaniky... Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu Přírodní vědy prakticky a v souvislostech inovace výuky přírodovědných předmětů na Gymnáziu Jana Nerudy (číslo projektu CZ.2.17/3.1.00/36047 financovaného z Operačního programu Praha - Adaptabilita.
I. Cours Le but d'une étude de fonction f est connaître le mieu toutes les propriétés de f. Une telle étude de fonction est souvent achevée par un tracé de la courbe représentative de la fonction f notée (C f. En général, les étapes d'une étude de fonction sont les suivantes : 1. Ensemble de définition 2. Parité, périodicité 3. Limites au bornes de l'ensemble de définition et leur interprétation graphique asymptotes horizontales et/ou asymptotes verticales à (C f 4. Calcul de la dérivée de f, étude de son signe 5. Tableau de variation de f 6. Calcul ou détermination des points d'intersections avec les aes du repère 7. Calcul de l'équation d'une tangente à (C f 8. Étude d'une asymptote oblique éventuelle à (C f 9. Tracé de (C f II. Eemple d'étude d'une fonction rationnelle Pour illustrer la démarche, nous allons choisir une fonction rationnelle. Soit f ( = ²+1 une fonction. +2 1. +2 0 donc D=R { 2}. 2. D n'est pas symétrique par rapport à 0 donc f n'est ni paire ni impaire. 3. Les bornes de D sont 2 et±. 1+ 1 2 +1 lim + +2 = lim 2 + =+ ( 1+0 2 +1 1+ 2 =+. De même, lim +2 =. Donc (C f n'admet pas d'asymptote horizontale. 2 +1 Comme lim 2+ +2 = lim 5 =+, et lim + 2+ 0 une asymptote verticale d'équation = 2. 2-2 +1 +2 = lim 5 2-0 -=, (C admet f
4. f ' ( = 2 ( +2 (2 +11 ( +2 2 = 2 +4 1 ( +2 2. Comme ( +2 2 >0 sur D, le signe de f ' est celui de 2 +4 1. Les points zéro sont 12 = 2± 5. Le signe de f ' est résumé dans le tableau de variations : 5. signe de f ' variations de f 2 5-2 2+ 5 + 0 - - 0 + 4 2 5 + + + 4+2 5 6. Les intersections avec les aes du repère: ²+1 (O: y=0 +2 =0 2 +1=0 mais l ' ae desabscisses. 2 +1>0 et (C f n'a pas d'intersection avec (Oy: =0 f (0= 0²+1 0+2 = 1 2 et P y( 0, 1 2. 7. Tangente au point d'abscisse -1. On a f ( 1=2, f ' ( 1= 4 donc (T : y = 4( ( 1+2= 4 2. 8. Asymptote oblique à (C f L'asymptote oblique (C f pourrait eistet car les limites en + et en sont infinies. Nous allons démontrer que la droite (P: y= 2 est asymptote oblique à (C f en + et en. [ On a lim 2 +1 ± +2 ( 2 ] = lim ± oblique à (C f en ±. 2 +1 2 +4 = lim +2 ± 5 =0 donc (P est asymptote +2
III. Eemple d'étude d'une fonction trigonométrique L'étude d'une fonction trigonométrique est souvent effectuée autrement, en utilisant les propriétés de base de ces fonctions. Nous allons montrer ici un eemple d'étude de ce type de fonctions en utilisant les limites et les dérivées. Comme la plupart des fonctions trigonométriques étudiées au lycée sont périodiques de période est p, il suffit d étudier ses propriétés sur un intervalle de longueur p. Les propriétés sur les autres intervalles bien choisis sont les mêmes que sur celui-ci. Soit f ( =2sin( π 6 [ 1 une fonction définie sur π 3 ; 5π 3 ] et (C f sa courbe représentative. Étudier f sur l'intervalle donné. L'ensemble de définition est donné. Comme D est un intervalle borné et fermé, les limites au bornes de D sont les images de ces nombres par f et (C f n'admet pas d'asymptote. Calcul des coordonnées des points d intersection de la (C f avec les aes des coordonnées. Ae des abscisses : On pose y=0 et on résout l équation 2sin( π 6 1=0. 2sin( π 6 ( 1=0 sin π 6 =1 2, d où π 1 6 = π +2kπ, k Z et 6 2 π 6 =5 π 6 +2kπ, k Z. On obtient ensuite = π 1 3 +2kπ, k Z et =π +2 kπ, k Z. 2 La fonction est définie sur [ π 3 ; 5π 3 ] (C f avec l ae des abscisses - P 1( alors on obtient deu point d intersection de la π 3 ;0 et P 2 ( π ; 0. Ae des ordonnées : On pose =0 et on obtient y=2sin( 0 π 1= 2. Il eiste un seul 6 point d intersection de (C f et de l ae des ordonnées - P y (0 ; 2. Étude de variations de f La fonction f est dérivable sur D. On obtient f ' ( =2cos( π 6. a f ' ( =0 2cos( π 6 =0 cos ( π 6 =0, d où π 6 = π 2 +kπ, k Z et = 2π 3 +kπ, k Z. Sur D, on obtient trois solutions: 1 = π 3, 2 =2 π 3 et 3 =5 π 3. b f ' ( >0 2cos( π 6 >0 cos ( π 6 >0 d où π 2 < π 6 < π 2 et π 3 < < 2π 3.
c f ' ( <0 2cos( π 6 ( <0 cos π <0 d où 6 π 2 < π 6 < 3 π 2 et 2 π 3 < < 5π 3. D après b, la fonction f est strictement croissante sur [ π 3 ; 2π 3 ], strictement décroissante sur [ 2 π 3 ; 5π 3 ], pour 1 = π 3 et 3 =5 π 3, elle atteint le minimum - 3 et pour 2 = 2 π 3, elle atteint le maimum 1 (on calcule les images de π 3 ; 2π 3 ; 5 π 3. Tableau de variation π 2 π 5 π 3 3 3 f 0 + 0-0 f 1-3 3 Construction de (C f dans le repère (O, i, j. Note: On place d abord les points dont on connaît les coordonnées, c est-à-dire les points d intersection avec les aes des coordonnées, les points où la fonction atteint les valeurs etrêmes. On obtient la (C f par la translation de la courbe représentative de 2 sin de vecteur ( π 6 ; 1. Pour déterminer une équation de la tangente à la (C f au point de l abscisse a= π 3, on utilise la démarche suivante. En général, une tangente à la (C f au point d'abscisse a pour équation (t:y= f ' (a( a+ f ( a. On calcule f '( π 3 =2cos ( π 3 π 6 =2 3 2 = 3 et f ( π 3 =2 sin ( π 3 π 6 1=0 On obtient (t:y= 3( π 3.
Etude de fonctions Fiche de travail Activité 1. Soit f ( = 5 10 3 +40 une fonction définie sur [ 3,3] et (C f sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O, i, j. On prendra 2 cm pour unité graphique sur l'ae des abscisses et 1 mm sur l'ae des ordonnées. 1 Calculer f (3, f ( 3. 2 Étudier la parité de f. 3 Déterminer la fonction dérivée de f. 4 Étudier le signe de f ' (. En déduire les variations et les etrêmes de f ( et dresser le tableau de variation de f. 5 Déterminer les équations des tangentes horizontales à (C f. 6 Tracer la courbe représentative de f ainsi que les tangentes. Activité 2. Soit f ( = 2 2 +8 +2 une fonction définie sur [ 5,1] et (C 2 f sa courbe +2 +1 représentative dans un repère orthonormal (O, i, j d'unité graphique 1 cm. 1 Déterminer l'ensemble de définition de f. Calculer les limites au bornes de D. 2 Déterminer la fonction dérivée de f. 3 Étudier le signe de f ' (. En déduire les variations et les etrêmes de f ( et dresser le tableau de variation de f. 4 Déterminer les équations des tangentes horizontales à (C f. 5 Étudier la position relative de (C f et de l'ae des abscisses. 6 Tracer la courbe représentative de f. Activité 3. Soit f ( = 2 2 +3 +2 une fonction définie sur [ 3,4 ] 2 1 représentative dans un repère orthonormal (O, i, j. et (C f sa courbe 1 Déterminer l'ensemble de définition de f. Calculer les limites au bornes de D. 2 Déterminer la fonction dérivée de f. 3 Étudier le signe de f ' (. En déduire les variations et les etrêmes de f ( et dresser le tableau de variation de f. 4 Déterminer les équations des tangentes horizontales à (C f.. 5 Étudier la position relative de (C f et de la droite (P: y= +1. 4 Tracer (C f et (P.