PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

Transkript

1 MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ..07/2.2.00/28.002) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky. Mgr. Radka SMÝKALOVÁ, Ph.D. smyky@seznam.cz

2 MT MATEMATIKA Průběh funkce - CVIČENÍ 2 Cvičení. Vyšetřete průběh funkce:. y = Řešení. Postupně počítáme vlastnosti funkce a na závěr nakreslíme graf. Definiční obor: D(f) = R Znaménko funkce (f() > 0 kladná, f() < 0 záporná): Nulové body: 0, Kladná: (0, ) Záporná: (,0) Průsečíky s osou (y = 0), průsečík s osou y ( = 0): S osou : [0,0],[,0] S osou y: [0,0] > < 0 ( 2 2+) > 0 ( 2 2+) < 0 ( ) 2 > 0 ( ) 2 < y = 0 = 0 0 = y = = ( 2 2+) y = 0 0 = ( ) 2 Parita - sudá (f() = f( )), lichá (f() = f( )), ani jedno, obojí Není sudá, není lichá. f() = f() = f( ) = ( ) 3 2( ) 2 +( ) [f( )] = [ ] f( ) = f( ) = f() f( ) f() f( )

3 MT MATEMATIKA Průběh funkce - CVIČENÍ 3 Monotónnost a lokální etrémy - pomocí první derivace y = ( ) = ( 3 ) (2 2 ) +() = 3 2 2( 2 ) + = y = = 0,2 = 4± = = 4±2 6 2 = 3 Nulové body:, 3 Roste: (, 3 ) (, ) Klesá: ( 3,) V bodě = 3 je lokální maimum a v bodě = je lokální minimum. Lokální minimim: f() = = 0. Souřadnice [,0]. Lokální maimum: f( 3 ) = ( 3 3) 2 ( ) = Souřadnice [ 3, 4 27 ]. Konvenost, konkávnost a inflení body - pomocí druhé derivace ր ց ր /3 + + y = (3 2 4+) = (3 2 ) (4) +() = 3( 2 ) 4()+0 = 6 4 y = = 0 = 2 3 Nulové body: 2 3 2/3 +

4 MT MATEMATIKA Průběh funkce - CVIČENÍ 4 Konvení: ( 2 3, ) Konkávní: (, 2 3 ) Inflení bod je = 2 3. Inflení bod: f( 2 3 ) = ( 2 3 ( 3) 2 2 ) = Souřadnice [2 3, 2 27 ]. Asymptoty se směrnicí a bez směrnice - pomocí limit se směrnicí y = a+b f() : a = = 2 = f() : a = = = 2 = = a / R a / R Asymptota v neeistuje. Asymptota v neeistuje. Ani v jednom případě nemá smysl počítat b. bez směrnice - hledáme v bodech, kde funkce f() není definovaná Definiční obor funkce D(f) = R. Nejsou body, kde bychom hledali asymptotu. Asymptoty bez směrnice neeistují.

5 MT MATEMATIKA Průběh funkce - CVIČENÍ 5 Graf y 0 /3 2/3

6 MT MATEMATIKA Průběh funkce - CVIČENÍ 6 2. y = 2 + Řešení. Postupně počítáme vlastnosti funkce a na závěr nakreslíme graf. Definiční obor: 0 D(f) = R {0} Znaménko funkce (f() > 0 kladná, f() < 0 záporná): Nulové body: 0 Kladná: (0, ) Záporná: (,0) Průsečíky s osou (y = 0), průsečík s osou y ( = 0): S osou : nemá S osou y: nemá > 0 < 0 Nulové body čitatele: 2 + = 0 / R Nulové body jmenovatele: = 0 + y = 0 = = 2 + y = = 2 + nesmysl / R

7 MT MATEMATIKA Průběh funkce - CVIČENÍ 7 Parita - sudá (f() = f( )), lichá (f() = f( )), ani jedno, obojí f() = 2 + f( ) = ( )2 + ( ) f( ) = 2 + f() f( ) f() = 2 + [ ] [f( )] = 2 + f( ) = 2 + f() = f( ) Není sudá, je lichá. Monotónnost a lokální etrémy - pomocí první derivace ( y 2 ) + = = (2 +) () ( 2 +)() 2 = = (2)() (2 +)() 2 = = 2 2 Čitatel i jmenovatel se rovná nule: Nulové body:,,0 y = = 0 2 = 0 2 = 0 ( )(+) = 0 = 0 ր ց ց ր 0 + +

8 MT MATEMATIKA Průběh funkce - CVIČENÍ 8 Roste: (, ) (, ) Klesá: (,0) (0,) V bodě = je lokální maimum a v bodě = je lokální minimum. Lokální minimum: f() = 2 + = 2. Souřadnice [, 2]. Lokální maimum: f( ) = ( )2 + = 2. Souřadnice [, 2]. Konvenost, konkávnost a inflení body - pomocí druhé derivace ( y 2 ) = 2 = (2 ) ( 2 ) ( 2 )( 2 ) 4 = = (2)(2 ) ( 2 )(2) 4 = 23 (2 3 2) 4 = 2 4 = 2 3 Čitatel i jmenovatel se rovná nule: Nulové body: 0 y = = 0 2 = 0 3 = 0 nesmysl = Konvení: (0, ) Konkávní: (, 0) Inflení bod funkce nemá.

9 MT MATEMATIKA Průběh funkce - CVIČENÍ 9 Asymptoty se směrnicí a bez směrnice - pomocí limit se směrnicí y = a+b f() : a = 2 + = = = f() : a = 2 = 2 + = = 2 2 = = :b (f() a ) = + (2 ) = = 0 Asymptota se směrnicí v : y = +0 y =. Asymptota se směrnicí v : y = +0 y =. :b (f() a ) = = + (2 ) = = = 0

10 MT MATEMATIKA Průběh funkce - CVIČENÍ 0 bez směrnice - hledáme v bodech, kde funkce f() není definovaná Definiční obor funkce D(f) = R {0}. V bodě = 0 hledáme asymptotu. V bodě = 0 je asymptota bez směrnice. 0 : lim 0 f() = 0+ : lim 0 +f() = = = = = = = = 0, = = 0, =

11 MT MATEMATIKA Průběh funkce - CVIČENÍ Graf y 2 0 2

12 MT MATEMATIKA Průběh funkce - CVIČENÍ 2 3. y = 2 2 Řešení. Postupně počítáme vlastnosti funkce a na závěr nakreslíme graf. Definiční obor: ( 2 ) 0 D(f) = R {, } Znaménko funkce (f() > 0 kladná, f() < 0 záporná): Nulové body: 0,, Kladná: (, ) (, ) Záporná: (,) Průsečíky s osou (y = 0), průsečík s osou y ( = 0): 2 2 > < 0 Nulové body čitatele: 2 = 0 = 0 Nulové body jmenovatele: 2 = 0 ( )(+) = 0 =, y = 0 = 0 0 = 2 2 y = = 2 y = 0 = 0 y = 0 S osou : [0,0] S osou y: [0,0]

13 MT MATEMATIKA Průběh funkce - CVIČENÍ 3 Parita - sudá (f() = f( )), lichá (f() = f( )), ani jedno, obojí f() = 2 2 f( ) = ( )2 ( ) 2 f( ) = 2 2 f() = f( ) f() = 2 2 [ 2 ] [f( )] = 2 f( ) = 2 2 f() f( ) Je sudá, není lichá. Monotónnost a lokální etrémy - pomocí první derivace ( ) y 2 = 2 = (2 ) ( 2 ) ( 2 )( 2 ) ( 2 ) 2 = = (2)(2 ) ( 2 )(2) ( 2 ) 2 = ( 2 ) 2 = 2 ( 2 ) 2 Čitatel i jmenovatel se rovná nule: Nulové body: 0,, y = 0 2 ( 2 ) 2 = 0 2 = 0 ( 2 ) 2 = 0 = 0 2 = 0 ( )(+) = 0 =, ր ր ց ց 0 + +

14 MT MATEMATIKA Průběh funkce - CVIČENÍ 4 Roste: (, ) (,0) Klesá: (0,) (, ) V bodě = 0 je lokální maimum. Lokální maimum: f(0) = = 0 = 0. Souřadnice [0,0]. Konvenost, konkávnost a inflení body - pomocí druhé derivace ( ) 2 y = ( 2 ) 2 = ( 2) (( 2 ) 2 ) ( 2)(( 2 ) 2 ) ( 2 ) 4 = = ( 2)(2 ) 2 +2(2( 2 ) 2) ( 2 ) 4 = ( 2)(2 ) ( 2 ) ( 2 ) 4 = ) [ 2( = (2 2 )+8 2] [ ] ( 2 ) 4 = ( 2 ) 3 = ( 2 ) 3 Čitatel i jmenovatel se rovná nule: Nulové body:, y = ( 2 ) 3 = = 0 ( 2 ) 3 = 0 kvadratická rovnice, která nemá řešení 2 = 0 ( )(+) = 0 =, + + Konvení: (, ) (, ) Konkávní: (, ) Inflení bod funkce nemá.

15 MT MATEMATIKA Průběh funkce - CVIČENÍ 5 Asymptoty se směrnicí a bez směrnice - pomocí limit se směrnicí y = a+b f() : a = 2 2 = 2 2 = 2 = 2 = = 0 f() : a = 2 2 = 2 2 = 2 = 2 = = 0 :b (f() a ) = ( ) = 2 2 = 2 2 = = :b (f() a ) = ( ) = 2 2 = 2 2 = = Asymptota se směrnicí v : y = 0 + y =. Asymptota se směrnicí v : y = 0 + y =.

16 MT MATEMATIKA Průběh funkce - CVIČENÍ 6 bez směrnice - hledáme v bodech, kde funkce f() není definovaná Definiční obor funkce D(f) = R {, }. V bodě = hledáme asymptotu. V bodě = je asymptota bez směrnice. V bodě = hledáme asymptotu. : V bodě = je asymptota bez směrnice. : lim f() = + : lim +f() = 2 = = = 2 ( ) 2 = = 2 ( + ) 2 = = (0,999) 2 = = (, ) 2 = = 0,999 = =, = = 0, = = 0, = 2 lim f() = + : lim +f() = 2 = = = ( ) 2 ( ) 2 = = ( ) 2 ( + ) 2 = = (, ) 2 = = ( 0,999) 2 = =, = = 0,999 = = 0, = = 0, = 2

17 MT MATEMATIKA Průběh funkce - CVIČENÍ 7 Graf y 0