Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

Transkript

1 Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c = y = x 3 9x Funkce = x 1+x. Derivace jsou f (x) = 1+x x = 1 x (1+x ) (1+x ) a f (x) = x(1+x ) (1 x )(1+x )4x (1+x ) 4 = = x(1+x )((1+x )+(1 x )) (1+x ) 4 = x(3 x ) (1+x ) 3. Funkce f je konvexní na intervalu ( 3, ) a na intervalu ( 3, ) a konkávní na intervalu (, 3) a na intervalu (, 3). Inflexní body jsou c 1 = 3, c = a c 3 = y = x / (1+x ) 4 4 Funkce je definována: = x 3 pro x < a = x pro x. Pak f () =, ale f () neexistuje. Nicméně, f má inflexní bod x =. 5. přednáška (5.11.9) Matematika 1 1 / 6

2 Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c = y = x 3 9x Funkce = x 1+x. Derivace jsou f (x) = 1+x x = 1 x (1+x ) (1+x ) a f (x) = x(1+x ) (1 x )(1+x )4x (1+x ) 4 = = x(1+x )((1+x )+(1 x )) (1+x ) 4 = x(3 x ) (1+x ) 3. Funkce f je konvexní na intervalu ( 3, ) a na intervalu ( 3, ) a konkávní na intervalu (, 3) a na intervalu (, 3). Inflexní body jsou c 1 = 3, c = a c 3 = y = x / (1+x ) 4 4 Funkce je definována: = x 3 pro x < a = x pro x. Pak f () =, ale f () neexistuje. Nicméně, f má inflexní bod x =. 5. přednáška (5.11.9) Matematika 1 1 / 6

3 Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c = y = x 3 9x Funkce = x 1+x. Derivace jsou f (x) = 1+x x = 1 x (1+x ) (1+x ) a f (x) = x(1+x ) (1 x )(1+x )4x (1+x ) 4 = = x(1+x )((1+x )+(1 x )) (1+x ) 4 = x(3 x ) (1+x ) 3. Funkce f je konvexní na intervalu ( 3, ) a na intervalu ( 3, ) a konkávní na intervalu (, 3) a na intervalu (, 3). Inflexní body jsou c 1 = 3, c = a c 3 = y = x / (1+x ) 4 4 Funkce je definována: = x 3 pro x < a = x pro x. Pak f () =, ale f () neexistuje. Nicméně, f má inflexní bod x =. 5. přednáška (5.11.9) Matematika 1 1 / 6

4 Příklady na asymptoty. Asymptoty grafu funkce = 3x + x 5. V bodě c = 5 má funkce nevlastní jednostranné limity, tedy graf funkce f má svislou asymptotu x = 5. Pro c = : k = lim x x = lim x x(x 5) = 3, q = lim x kx = lim x x 5 =, funkce má šikmou asymptotu y = 3x v okolí. Podobně pro c = : k = lim x x = lim x x(x 5) = 3, q = lim x kx = lim x x 5 =, funkce má šikmou asymptotu y = 3x v okolí asymptota x = 5 y = 3x + 1/(x 5) asymptota y = 3x přednáška (5.11.9) Matematika 1 / 6

5 Asymptoty grafu funkce = 7x + sin x. f je spojitá na R, proto nemá svislou asymptotu. Pro c = : k = lim x = lim x x 7 + sin x = 7, x q = lim x kx = lim x sin x neexistuje. V okolí c = graf funkce f nemá asymptotu. Podobně pro c = y = x/3 + sin(x) Asymptoty grafu funkce = x. asymptota neex.! f je spojitá na R, proto nemá svislou asymptotu Pro c = : k = lim x x = lim x x = / R, proto v okolí c = graf funkce f nemá asymptotu. Podobně pro c =. 5. přednáška (5.11.9) Matematika 1 3 / 6

6 Asymptoty grafu funkce = 7x + sin x. f je spojitá na R, proto nemá svislou asymptotu. Pro c = : k = lim x = lim x x 7 + sin x = 7, x q = lim x kx = lim x sin x neexistuje. V okolí c = graf funkce f nemá asymptotu. Podobně pro c = y = x/3 + sin(x) Asymptoty grafu funkce = x. asymptota neex.! f je spojitá na R, proto nemá svislou asymptotu Pro c = : k = lim x x = lim x x = / R, proto v okolí c = graf funkce f nemá asymptotu. Podobně pro c =. 5. přednáška (5.11.9) Matematika 1 3 / 6

7 Příklad - průběh funkce. Určete průběh funkce = ln (1 + cos x). Definiční obor je D(f ) = R \ {π + kπ, k Z}. Průsečíky s osami: {[ π + kπ, ], k Z}. Sudost, lichost, periodičnost - funkce f je sudá a periodická - nadále budeme zkoumat jen interval, π). Limity v krajních bodech definičního oboru: lim x π = lim x π ln (1 + cos x) =. Asymptoty: Svislá asymptota x = π, periodicky se opakuje, x = π + kπ, k Z. Funkce není definovaná na nějakém okolí nebo, tedy nemá šikmou asymptotu. První derivace je f (x) = sin x 1+cos x. Monotonie: f (x) < pro všechna x (, π), tedy f je klesající na intervalech (kπ, π + kπ) a rostoucí na intervalech (π + kπ, kπ), k Z. 1 Lokální maxima v bodech x = kπ, k Z. Globální neostrá maxima v bodech x = kπ, k Z. π π/ π/ Lokální ani globální minima nejsou. Druhá derivace je f (x) = cos x cos x sin x cos x 1 = (1+cos x) (1+cos x) < pro x D(f ). Konvexnost a konkávnost: funkce f je na D(f ) konkávní y = ln(1 + cos(x)) π přednáška (5.11.9) Matematika 1 4 / 6

8 Příklad - průběh funkce. Určete průběh funkce = ln (1 + cos x). Definiční obor je D(f ) = R \ {π + kπ, k Z}. Průsečíky s osami: {[ π + kπ, ], k Z}. Sudost, lichost, periodičnost - funkce f je sudá a periodická - nadále budeme zkoumat jen interval, π). Limity v krajních bodech definičního oboru: lim x π = lim x π ln (1 + cos x) =. Asymptoty: Svislá asymptota x = π, periodicky se opakuje, x = π + kπ, k Z. Funkce není definovaná na nějakém okolí nebo, tedy nemá šikmou asymptotu. První derivace je f (x) = sin x 1+cos x. Monotonie: f (x) < pro všechna x (, π), tedy f je klesající na intervalech (kπ, π + kπ) a rostoucí na intervalech (π + kπ, kπ), k Z. 1 Lokální maxima v bodech x = kπ, k Z. Globální neostrá maxima v bodech x = kπ, k Z. π π/ π/ Lokální ani globální minima nejsou. Druhá derivace je f (x) = cos x cos x sin x cos x 1 = (1+cos x) (1+cos x) < pro x D(f ). Konvexnost a konkávnost: funkce f je na D(f ) konkávní y = ln(1 + cos(x)) π přednáška (5.11.9) Matematika 1 4 / 6

9 Příklad - průběh funkce. Určete průběh funkce = ln (1 + cos x). Definiční obor je D(f ) = R \ {π + kπ, k Z}. Průsečíky s osami: {[ π + kπ, ], k Z}. Sudost, lichost, periodičnost - funkce f je sudá a periodická - nadále budeme zkoumat jen interval, π). Limity v krajních bodech definičního oboru: lim x π = lim x π ln (1 + cos x) =. Asymptoty: Svislá asymptota x = π, periodicky se opakuje, x = π + kπ, k Z. Funkce není definovaná na nějakém okolí nebo, tedy nemá šikmou asymptotu. První derivace je f (x) = sin x 1+cos x. Monotonie: f (x) < pro všechna x (, π), tedy f je klesající na intervalech (kπ, π + kπ) a rostoucí na intervalech (π + kπ, kπ), k Z. 1 Lokální maxima v bodech x = kπ, k Z. Globální neostrá maxima v bodech x = kπ, k Z. π π/ π/ Lokální ani globální minima nejsou. Druhá derivace je f (x) = cos x cos x sin x cos x 1 = (1+cos x) (1+cos x) < pro x D(f ). Konvexnost a konkávnost: funkce f je na D(f ) konkávní y = ln(1 + cos(x)) π přednáška (5.11.9) Matematika 1 4 / 6

10 Příklady na globální extrémy. Najdeme globální extrémy funkce = x ln x na intervalu 1, e. Derivace je f (x) = x 3 ln x + x 1 x = x 3 (ln x 1 ). Derivace je nulová jen v bodě x 1 = e 1/. Spočteme hodnoty funkce f v krajních bodech intervalu 1 a e a v bodě x 1 : f (1) =, f (e 1/ ) = 1 e 1, f (e) = e. Porovnáme < e < 1 e 1. Funkce f má na intervalu 1, e globální minimum v bodě 1 a globální maximum 1 e 1 v bodě e 1/ [1,] [e 1/,e 1 /] [e,e ] y = x ln(x) na <1,e> přednáška (5.11.9) Matematika 1 5 / 6

11 Do kružnice o poloměru R vepište rovnoramenný trojúhelník největšího obsahu. Označme polovinu základny trojúhelníka a a výšku v. Jistě bude v > R. Obsah trojúhelníka je S = av. Základna a výška jsou svázány vztahem R = (v R) + a, tedy a = R (v R). Tedy pro obsah platí S = av = v R (v R). 1) Tím máme obsah S jako funkci výšky trojúhelníka S(v) = v R (v R). ) Definičním oborem funkce S je interval (R, R). 3) Najdeme maximum funkce S na intervalu (R, R). Derivace funkce S podle v je 1.8 S (v) = R (v R) + v (v R) = R (v R).6 = R (v R) v(v R) = v(3r v). R (v R) R (v R) Na intervalu (R, 3 R) je derivace S kladná, a tedy S rostoucí. Na intervalu ( 3 R, R) je derivace S záporná, a tedy S klesající. To znamená, že na intervalu (R, R) nabývá funkce S svého maxima pro v = 3 R. Obsah takového trojúhelníka je pak S( 3 R) = = R R a S v 5. přednáška (5.11.9) Matematika 1 6 / 6