Repetitorium matematiky (pomocný učební text soubor testů s výsledky) KMA/P113, KMA/K113

Transkript

1 Univerzita J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Přírodovědecká fakulta Repetitorium matematiky (pomocný učební text soubor testů s výsledky) KMA/P113, KMA/K113 Lenka Cibochová Ústí nad Labem 016

2 Anotace: Tato opora, která vznikla v roce 013 v rámci projektu Mezioborové vazby a podpora praxe v přírodovědných a technických studijních programech UJEP, je souborem vzorových zápočtových testů z předmětu Repetitorium matematiky KMA/P113 a KMA/K113 a měla by sloužit studentům jako sbírka úloh pro přípravu na zápočtové písemné práce. V tomto roce byla doplněna o výsledky.

3 3 Test 1 1) Zjednodušte do základního tvaru [ ( ) Výsledek: 1000 ] 3 ) Zjednodušte výraz a určete, pro která x má smysl: ( x x 1 1 ) : 1 + x x x Výsledek:, x 0, x ±1 x 1 3) Řešte rovnici s neznámou x R: 3x x 3 Výsledek: x = 19 9 = 4) Řešte nerovnici s neznámou x R: x + 8 6x Výsledek: x 1, 4 5) Řešte soustavu rovnic s neznámými x R a y R: 4x + 3y = 4 6x + 5y = 7 [ ] 1 Výsledek:, 6) Určete definiční obor funkce: f(x) = 3+x x 3 Výsledek: D f = (, 3 (3, )

4 4 7) Nakreslete graf funkce a označte průsečíky se souřadnicovými y = 3x 6x Obrázek 1: y = 3x 6x, P 1 [, 0], P [0, 0], V [ 1, 3] 8) Nakreslete graf funkce s asymptotami (pokud má) a označte průsečíky se souřadnicovými y = x + 3 Obrázek : y = x + 3, P [ ] 0, 3, a : x = 3

5 5 9) Nakreslete graf funkce s asymptotami (pokud má) a označte průsečíky se souřadnicovými y = log (x 1 4 ) Obrázek 3: y = log (x 1 4 ), P [ 5 4, 0], a : x = ) Nakreslete graf funkce a označte průsečíky se souřadnicovými y = 1 sin x 4 Obrázek 4: y = 1 4 sin x, P [ k π, 0], k Z

6 6 Test 1) Zjednodušte do základního tvaru [ (1 9 ) 3 ] 7 3 Výsledek: 79 4 ) Zjednodušte výraz a určete, pro která x má smysl: ( x x 1 x + 1 ) ( x : x x + 1 x 1 ) x Výsledek: x + 1, x 0, x ±1 x 1 3) Řešte rovnici s neznámou x R: 4x 7 x 4 = x 3 6 Výsledek: x = 1 4) Řešte nerovnici s neznámou x R: x 3x 10 0 Výsledek: x (, 5, ) 5) Řešte soustavu rovnic s neznámými x R a y R: x + 15y = 53 3x + y = 7 Výsledek: [8, 3] 6) Určete definiční obor funkce: f(x) = 5+x x 4 Výsledek: D f = (, 5 (4, )

7 7 7) Nakreslete graf funkce a označte průsečíky se souřadnicovými y = 4x + 8x Obrázek 5: y = 4x + 8x, P 1 [0, 0], P [, 0], V [1, 3] 8) Nakreslete graf funkce s asymptotami (pokud má) a označte průsečíky se souřadnicovými y = 1 x + Obrázek 6: y = 1 x +, P [ 1, 0], a : y =

8 8 9) Nakreslete graf funkce s asymptotami (pokud má) a označte průsečíky se souřadnicovými y = log 3 (x ) Obrázek 7: y = log 3 (x ), P x [ 3, 0], p y [0, 1], a : x = ) Nakreslete graf funkce a označte průsečíky se souřadnicovými y = 1,5 sin 1 3 x Obrázek 8: y = 1,5 sin 1 3 x, P i [k3π], k Z

9 9 Test 3 1) Zjednodušte do základního tvaru [ (1 8 ) Výsledek: 6 ] 1 ) Zjednodušte výraz a určete, pro která x má smysl: ( x x + + x ) x : x + x x + x Výsledek: x +, x 0, x 3) Řešte rovnici s neznámou x R: x + 7 3x + 5 = Výsledek: x = 83 4) Řešte nerovnici s neznámou x R: 10 x 1x Výsledek: x 3 14, ) Řešte soustavu rovnic s neznámými x R a y R: 3x 5y = 14 6x 10y = 17 Výsledek: K = 6) Určete definiční obor funkce: f(x) = x x+11 Výsledek: D f = ( 11, 0

10 10 7) Nakreslete graf funkce a označte průsečíky se souřadnicovými y = x + 8x Obrázek 9: y = x + 8x, P 1 [0, 0], P [4, 0], V [, 8] 8) Nakreslete graf funkce s asymptotami (pokud má) a označte průsečíky se souřadnicovými y = x 1 Obrázek 10: y = 1, P [, 0], a : y = 1 x

11 11 9) Nakreslete graf funkce s asymptotami (pokud má) a označte průsečíky se souřadnicovými y = log 5 (x 1) Obrázek 11: y = log 5 (x 1), P [, 0], a : x = 1 10) Nakreslete graf funkce a označte průsečíky se souřadnicovými y = sin 1 x Obrázek 1: y = sin 1 x, P i [kπ, 0], k Z

12 1 Test 4 1) Zjednodušte do základního tvaru [ ( ) Výsledek: + 5 ( ) 1 ] 1 ) Zjednodušte výraz a určete, pro která x má smysl: ( 1 + x 1 ) ( ) : x x 1 x x 1 Výsledek: x, x 0, x 1 3) Řešte rovnici s neznámou x R: 9 4x x + 5 = 7 Výsledek: x = ) Řešte nerovnici s neznámou x R: x + 8x 0 Výsledek: x 0, 4 5) Řešte soustavu rovnic s neznámými x R a y R: [ Výsledek: x 3y = 4x + 6y = 4 t, t 3 ], t R 6) Určete definiční obor funkce: f(x) = 3+x 3 Výsledek: D f = (, 3

13 13 7) Nakreslete graf funkce a označte průsečíky se souřadnicovými y = x 3x [ Obrázek 13: y = x 3x, P 1 [0, 0], P 3, 0], V [ 3, ] ) Nakreslete graf funkce s asymptotami (pokud má) a označte průsečíky se souřadnicovými y = 1 x + 3 Obrázek 14: y = 1 x + 3, P [ 1 6, 0], a : y = 3

14 14 9) Nakreslete graf funkce s asymptotami (pokud má) a označte průsečíky se souřadnicovými y = log 4 (x 1 ) Obrázek 15: y = log 4 (x 1 ), P [ 3, 0], a : x = 1 10) Nakreslete graf funkce a označte průsečíky se souřadnicovými y = 4 sin x Obrázek 16: y = 4 sin x, P i [ k π, 0], k Z

15 15 Test 5 1) Zjednodušte do základního tvaru [ ( ) ] Výsledek: 4 ) Zjednodušte výraz a určete, pro která x má smysl: ( 1 1 x + 1 ) ( 1 : 1 + x 1 x 1 ) 1 + x Výsledek: 1, x 0, x ±1 x 3) Řešte rovnici s neznámou x R: 9 7x 6 3x = 8 Výsledek: x = ) Řešte nerovnici s neznámou x R: 4x x 3 Výsledek: x 0, 5) Řešte soustavu rovnic s neznámými x R a y R: Výsledek: 3x y = 1 x + y = 4 [ ] 17 5, ) Určete definiční obor funkce: f(x) = 1 x x 1 Výsledek: D f =

16 16 7) Nakreslete graf funkce a označte průsečíky se souřadnicovými y = 3x + 4x [ Obrázek 17: y = 3x + 4x, P 1 4, 3 0], P [0, 0], V [, ] ) Nakreslete graf funkce s asymptotami (pokud má) a označte průsečíky se souřadnicovými y = 1 x + Obrázek 18: y = 1 x +, P [ 1, 0], a : y =

17 17 9) Nakreslete graf funkce s asymptotami (pokud má) a označte průsečíky se souřadnicovými y = log(x + 1) Obrázek 19: y = log(x + 1), P [0, 0], a : x = 1 10) Nakreslete graf funkce a označte průsečíky se souřadnicovými y = ( 3) sin ( x) Obrázek 0: y = ( 3) sin ( x), P i [kπ, 0], k Z

18 18 Test 6 1) Zjednodušte do základního tvaru [ ( ) 5 Výsledek: 5 41 ( ) 5 1 ( ] ) ) Zjednodušte výraz a určete, pro která x má smysl: ( 1 + x 1 x 1 x ) ( ) 1 + x : 1 + x 1 x 1 Výsledek:, x 0, x ±1 x + 1 3) Řešte rovnici s neznámou x R: 3x 6 + x = 4 Výsledek: x = ) Řešte nerovnici s neznámou x R: x + x 6 > 0 Výsledek: x (, 3) (, ) 5) Řešte soustavu rovnic s neznámými x R a y R: x + 3y = 16 x y = 6 Výsledek: [, 4] 6) Určete definiční obor funkce: f(x) = 1 (x 3) Výsledek: D f = R \ {3}

19 19 7) Nakreslete graf funkce a označte průsečíky se souřadnicovými y = 1 x + x Obrázek 1: y = 1 x + x, P 1 [0, 0], P [4, 0], V [, ] 8) Nakreslete graf funkce s asymptotami (pokud má) a označte průsečíky se souřadnicovými y = 3 x 3 Obrázek : y = 3 x 3, P x [ 9, 0], a : y = 3

20 0 9) Nakreslete graf funkce s asymptotami (pokud má) a označte průsečíky se souřadnicovými y = log 1 (x ) Obrázek 3: y = log 1 (x ), P [3, 0], a : x = 10) Nakreslete graf funkce a označte průsečíky se souřadnicovými y = 1 + cos x Obrázek 4: y = 1 + cos x, P 1 [ π 3 + kπ, 0], P [ 5 3 π + kπ, 0], P 3 [0, 1], k Z

21 1 Test 7 1) Zjednodušte do základního tvaru [ ( ) ] 1 Výsledek: 9 80 ) Zjednodušte výraz a určete, pro která x má smysl: ( 1 + x ) ( : 1 x + 1 ) x + 1 x x(x + 1) Výsledek:, x 0, x 1 x + 1 3) Řešte rovnici s neznámou x R: 5x x Výsledek: x = 5 19 = 3 4) Řešte nerovnici s neznámou x R: 3x + 9x > 1 Výsledek: x ( 1, 4) 5) Řešte soustavu rovnic s neznámými x R a y R: 3x + y = 3 x y = 10 Výsledek: [, 3] 6) Určete definiční obor funkce: f(x) = 1 x 4 Výsledek: D f = (, )

22 7) Nakreslete graf funkce a označte průsečíky se souřadnicovými y = 1 4 x x Obrázek 5: y = 1 4 x x, P 1 [ 4, 0], P [0, 0], V [, 1] 8) Nakreslete graf funkce s asymptotami (pokud má) a označte průsečíky se souřadnicovými y = 1 x 1 Obrázek 6: y = 1, P [0, 1], a : x = 1 x 1

23 9) Nakreslete graf funkce s asymptotami (pokud má) a označte průsečíky se souřadnicovými y = log 1 (x + 1) 3 Obrázek 7: y = log 1 (x + 1), P [0, 0], a : x = 1 10) Nakreslete graf funkce a označte průsečíky se souřadnicovými y = 1 cos x Obrázek 8: y = 1 cos x, P [ 0, 3 ]

24 4 Test 8 1) Zjednodušte do základního tvaru [ ( ) Výsledek: ] ) Zjednodušte výraz a určete, pro která x má smysl: ( x + 3x ) x 9 1 3x x Výsledek: x + x 3 1 x + x 1, x 0, x 1, x ±3 x(x 1) 3) Řešte rovnici s neznámou x R: 3x x Výsledek: x = 17 1 = x + 4) Řešte nerovnici s neznámou x R: x 8x > 6 Výsledek: x (, 1) (3, ) 5) Řešte soustavu rovnic s neznámými x R a y R: x + y = 7 3x 4y = 6 Výsledek: [, 3] 6) Určete definiční obor funkce: f(x) = 1 x +7 Výsledek: D f = R

25 5 7) Nakreslete graf funkce a označte průsečíky se souřadnicovými y = 1 x x Obrázek 9: y = 1 x x, P 1 [, 3 0], P [0, 0], V [ 1, ] ) Nakreslete graf funkce s asymptotami (pokud má) a označte průsečíky se souřadnicovými y = 1 x Obrázek 30: y = 1 x, P [ ] 0, 1 4, a : x =

26 6 9) Nakreslete graf funkce s asymptotami (pokud má) a označte průsečíky se souřadnicovými y = log 1 (x + 5) 5 Obrázek 31: y = log 1 (x + 5), P x [ 4, 0], P y [0, 1], a : x = ) Nakreslete graf funkce a označte průsečíky se souřadnicovými y = π + cos x Obrázek 3: y = π + cos x, P [0, π + 1]

27 7 Test 9 1) Zjednodušte do základního tvaru [ ( ) 1 ] Výsledek: 9 4 ) Zjednodušte výraz a určete, pro která x má smysl: x x + Výsledek: 3x + x x + 4x x +, x ±, x 1 3 3) Řešte rovnici s neznámou x R: 5x 1 8 6x + 5 = 10 Výsledek: x = ) Řešte nerovnici s neznámou x R: x + x 3 > 0 Výsledek: x (, 3) (1, ) : (x )(3x + 1) x 4 5) Řešte soustavu rovnic s neznámými x R a y R: 4x + 3y = 11 3x + y = 13 Výsledek: [ 61, 85] 6) Určete definiční obor funkce: f(x) = 3 3x Výsledek: D f =

28 8 7) Nakreslete graf funkce a označte průsečíky se souřadnicovými y = 1 3 x 3x Obrázek 33: y = 1 3 x 3x,, P 1 [0, 0], P [9, 0], V [ 9, ] 7 4 8) Nakreslete graf funkce s asymptotami (pokud má) a označte průsečíky se souřadnicovými y = 3 x + 1 Obrázek 34: y = 3, P [0, 3], a : x = 1 x + 1

29 9 9) Nakreslete graf funkce s asymptotami (pokud má) a označte průsečíky se souřadnicovými y = log 1 (x + 3) 3 Obrázek 35: y = log 1 (x + 3), P x [, 0], P y [0, 1], a : x = ) Nakreslete graf funkce a označte průsečíky se souřadnicovými y = + cos x Obrázek 36: y = + cos x, P [kπ, 0], k Z

30 30 Test 10 1) Zjednodušte do základního tvaru [ ( ) Výsledek: 5 ] 1 ) Zjednodušte výraz a určete, pro která x má smysl: (1 + 1 x ) (1 x + x ) : 1 x4 x Výsledek: 1 x, x 0, x ±1 1 + x 3) Řešte rovnici s neznámou x R: 1,5 x +,5 x 4 Výsledek: x = 1 8 = 1,5 4) Řešte nerovnici s neznámou x R: 1 x > x 3 Výsledek: x (, 3) ( 1, ) 5) Řešte soustavu rovnic s neznámými x R a y R: x 3y = 16 5x + 4y = 33 Výsledek: [ 5, ] 6) Určete definiční obor funkce: f(x) = 1 x 1 Výsledek: D f = (, 1) (1, )

31 31 7) Nakreslete graf funkce a označte průsečíky se souřadnicovými y = 1 4 x + 1 x ] Obrázek 37: y = 1 4 x + 1 x, P 1[, 0], P [0, 0], V [ 1, 1 4 8) Nakreslete graf funkce s asymptotami (pokud má) a označte průsečíky se souřadnicovými y = 1 x Obrázek 38: y = 1 x, P [ ] 0, 1, a : x =

32 3 9) Nakreslete graf funkce s asymptotami (pokud má) a označte průsečíky se souřadnicovými y = log 1 x 3 Obrázek 39: y = log 1 x 3, P [ 1, 8 0], a : x = 0 10) Nakreslete graf funkce a označte průsečíky se souřadnicovými y = 1 3 cos x Obrázek 40: y = 1 3 cos x, P 1 k Z [ arccos 1 + kπ, [ 6 0], P π arccos 1 + kπ, 6 0], P [ ] 0, 5 3,

33 Literatura [1] ODVÁRKO O. Matematika pro gymnázia - Funkce. 008, Prometheus, ISBN [] ODVÁRKO O. Matematika pro gymnázia - Goniometrie. 008, Prometheus, ISBN [3] BOČEK L. a kol. Matematika pro gymnázia - Rovnice a nerovnice. 008, Prometheus, ISBN [4] BUŠEK I. a kol. Matematika pro gymnázia - Základní poznatky z matematiky. 008, Prometheus, ISBN [5] BUŠEK I. a kol. Řešené maturitní úlohy z matematiky. 1999, Prometheus, ISBN X. [6] PETÁKOVÁ J. Matematika - příprava k maturitě a přijímacím zlouškám na vysoké školy. 1998, Prometheus, ISBN