MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

Transkript

1 MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech doplněné o další úlohy. část DIFERENCIÁLNÍ POČET funkcí jedné proměnné Další část ( integrální počet) bude vydána na konci listopadu Případné nesrovnalosti ve výsledcích, jakož i připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz ) Některé úlohy jsou převzaty z tetů [], [] a []. [] J. Neustupa: Matematika I. Skriptum Strojní fakulty. Vydavatelství ČVUT, Praha 00 (též 008,...). [] J.Neustupa, S.Kračmar: Vybrané příklady ze skript Sbírka příkladů z Matematiky I. Firma Copia a webové stránky Ústavu technické matematiky pod odkazem Matematika I. [] E.Brožíková, M.Kittlerová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Řešené příklady. Skriptum Strojní fakulty. Vydavatelství ČVUT, Praha 004. Následující výčet nelze chápat jako jednoznačné zařazení uvedené úlohy do zkoušky úrovně A (alfa), resp. úrovně B, ale jako orientační rozlišení. Zaměřením a náročností odpovídají požadavkům zkoušky úrovně B např. úlohy,, 5, 8, 9, 0, a, a,, 4, 6, 7, 0. Požadavkům zkoušky úrovně A odpovídají např. úlohy až 7, 9 až,, 5, 8, 9,. Další doporučené úlohy k samostatnému počítání, a to ze sbírky [] jsou uvedeny na webu ÚTM pod odkazem Matematika I v souboru Základní informace (v části Cvičení ).. a) Definujte, kdy posloupnost reálných čísel {a n } n= nazýváme rostoucí, resp. klesající. { } n b) Napište prvních pět členů posloupnosti. Je tato posloupnost rostoucí nebo klesající? Odpověd n n= zdůvodněte podle definice. [Výsl.: rostoucí] (n )( n) c) Vypočítejte lim n 5n. [Výsl.: 4/5] n. a) Vypočítejte limitu posloupnosti lim n 4n (n + ). b) Užitím l Hospitalova pravidla vypočítejte limitu funkce lim [Výsl.: /4]. [Výsl.: /] ln( 5) Varianty předchozí úlohy: a) výpočet limity posloupnosti, b) výpočet limity funkce pomocí l Hospitalova pravidla): ( n n ) [Výsl.: 0] 6n 7n + (n ) 9n [Výsl.: ] (0 5n)(n + 5) n 0n 5 [Výsl.: 0] e [Výsl.: /] + sin 9 [Výsl.: /] sin() [Výsl.: /] e cos [Výsl.: /9]. a) Vypočítejte limitu posloupnosti lim ( n n + n) b) Uved te větu o limitě vybrané posloupnosti. c) Sestavte posloupnost, která nemá limitu. Zdůvodněte! [Výsl.: /] n + cos(n!) 4. a) Vypočítejte limitu posloupnosti lim. [Výsl.: /] n b) Definujte co to znamená, že posloupnost {a n } je klesající. c) Sestavte klesající posloupnost, která má limitu rovnou. Ověřte, že tato posloupnost má zmíněné vlastnosti. 5. a) Definujte pojem limita posloupnosti {a n } n=. (n ) (n + ) b) Vypočítejte limitu posloupnosti lim 6n (n )(n + ). { } 00n + c) Vyšetřete, zda posloupnost je rostoucí nebo klesající. [Výsl. b) +, c) klesající] n

2 6. a) Vypočítejte limitu posloupnosti lim n( n n + 4 ). [Výsl.: -] cos b) Vypočítejte limitu funkce lim ln( + ). Pokud se rozhodnete pro l Hospitalovo pravidlo, ověřte, zda ho lze použít. [Výsl.: /] Další varianty předchozí úlohy: a) výpočet limity posloupnosti, b) výpočet limity funkce s pomocí l Hospitalova pravidla (pokud lze): (n + 4) 8n 4n. [Výsl.: ] (n + ) n n(n ). [Výsl.: / ] n! + (n + )! (n )! + (n + )! cos + 4. [Výsl.: 4/] [Výsl.: ] π/ 7. a) Určete definiční obor D(f) funkce f : f() = ( ) sin. [Výsl.: ] tg cos. [Výsl.: ] cos sin ( π. [Výsl.: /] ) +. Je funkce sudá, resp. lichá? (Odpověd zdůvodněte.) b) Vypočítejte limity f() pro + a pro. Vyšetřete jednostranné limity v bodě 0 = 0. c) Napište rovnici tečny ke grafu funkce f v bodě [ 0, f( 0 )], je-li 0 =. [Výsl.: D(f) = (, ) (0, + ), funkce není sudá ani lichá, lim = pro +, zatímco pro je lim = - (nebot = ), limita pro 0 neeistuje, limita pro 0 + je rovna 0, oboustranná limita pro 0 neeistuje, rovnice tečny: y = + ( )] 6 8. a) Určete definiční obory a do jednoho obrázku načrtněte grafy funkcí f () =, f () = +, f () =. b) Určete definiční obor funkce f() = ln(4 ). Je tato funkce sudá, resp. lichá? (Odpověd zdůvodněte.) c) Určete průsečíky grafu funkce f s oběma osami. d) Najděte všechny body 0, ve kterých je derivace funkce f nulová. Jakou polohu má tečna sestrojená ke grafu funkce f v těchto bodech [ 0, f( 0 )]? [Výsl.: D(f) = (, ), funkce je sudá, průsečíky [0, ln 4], [, 0], [, 0], derivace nulová pouze v bodě = 0, tečna v bodě [0, ln 4] je rovnoběžná s osou ] Varianty této úlohy s jinými funkcemi f, f, f : a) f () = ln, f () = ln( ), f () = ln +. a) f () = ln, f () = log 0, f () = log /. 9. a) Definujte pojem derivace funkce f v bodě 0. b) Vypočítejte derivaci funkce f : f() = ( ). Určete definiční obory D(f) a D(f ). c) Napište rovnici tečny a rovnici normály ke grafu funkce f v bodě [ 0, f( 0 )], je-li 0 = 4. d) Pomocí rovnice tečny určete přibližně hodnotu funkce f v bodě =.8. [Výsl.: D(f) = 0, + ), D(f ) = (0, + ), f () = + ( ), tečna: y = ( 4) normála: y = 4 9 ( 4), f(.8) =. /0 =, 55 ] Varianty této úlohy s jinými funkcemi f a body 0. Pro funkce z úloh b) a b) určete též průsečíky grafu s oběma osami. b) f() = + c) 0 = d) f( = 0, 8) [Výsl.: D(f) = D(f ) = (, + ), f 6 () = + ( + ), tečna: y = + ( + ) normála: y = ( + ), f( 0.8) =. 4/5 = 0.8, průsečíky: [0, ], [ /, 0]] b) f() = + c) 0 = d) f( =, ) [Výsl.: D(f) = /, + ), D(f ) = ( /, + ), f () = ( ), f(.). = /5, průsečíky: [0, ], [, 0], ale bod [, 0] NE! ], tečna: y = + ( ), normála: y =

3 0. a) Vypočítejte derivaci funkce f : f() = +. Určete definiční obory D(f), D(f ). b) Napište rovnici tečny ke grafu funkce f v bodě [ 0, f( 0 )], je-li 0 =. c) Vypočítejte derivace f (), f (). Do jednoho obrázku načrtněte tečnu a tvar grafu dané funkce v okolí bodu [, f()]. d) Popište chování dané funkce v okolí bodu 0, tj. rostoucí nebo klesající, jak rychle (odhad sklonu tečny), tvar grafu. [Výsl.: D(f) = 0, + ), D(f ) = (0, + ), f () = +, tečna: y = + ( ), (normála: y = ( )), f () = 4, f () = 4, v okolí daného bodu je funkce rostoucí, konvení, tečna svírá s kladným směrem osy úhel přibližně 55 o.] Další varianty této úlohy si sestavte sami s jinými funkcemi f a body 0, např. s funkcemi b), b) a b) z předchozí úlohy.. a) Vypočítejte derivaci funkce f: f() = + 5. Určete definiční obory D(f) a D(f ). b) Napište rovnici tečny ke grafu této funkce v bodě [ 0, f( 0 )], je-li 0 =. Výsledku použijte pro výpočet přibližné hodnoty funkce f v bodě =,. c) Zdůvodněte eistenci absolutních etrémů funkce f na intervalu I =,. Tyto absolutní etrémy určete (tj. stanovte jejich polohu a hodnotu). [Výsl.: D(f) = 5, 5, D(f ) = ( 5, 5), f () = Ma= v bodech = ±, Min= 5 v bodě = 0]. Varianty této úlohy s jinými funkcemi f, body 0 a intervaly I., tečna: y = 5 5 ( + ), abs. etrémy: a) f() = ( ) e b) 0 = 0 c) I = 0, [Výsl.: D(f) = D(f ) = R, f () = ( ) e, tečna: y =, (normála y = + ), abs. etrémy: Ma=0 v bodě =, Min= e v bodě = ] a) f() = tg b) 0 = π c) I = π/4, π/4 [Výsl.: D(f) = D(f ) = ( π + k π, +π + k π), k Z, f () = cos ; f (π) = 0, proto tečna: y = π, (normála = π), f () 0 pro každé I, proto abs. etrémy: Ma= π/4 v bodě = π/4, Min= + π/4 v bodě = π/4]. a) f() = + 0 b) 0 = 0 c) I =, [Výsl.: D(f) = D(f ) = ( 4, + ), f () = + 4 ( + 4) + 4 (po úpravě), tečna: y = 5 8, (normála y = 5 + 8), abs. etrémy: Ma=7 v bodech =, Min= 6 v bodě = ]. V následujícíh čtyřech úlohách a) Definujte absolutní etrémy funkce f na intervalu I. Popište stručně postup při jejich výpočtu. b) Zdůvodněte eistenci absolutních etrémů dané funkce f na daném intervalu I. c) Absolutní etrémy určete (tj. jejich polohu a hodnotu.). f() = 4 + 5, I = 0, [Výsl.: Ma=f() =, Min=f() = 4]. f() = +, I =, [Výsl.: Ma=f() = 4, Min=f(0) = 0] 4. f() = +, I =, 5 [Výsl.: Ma=f() =, Min=f() = f(5) = ] 5. f() = + 6 6, I =, 4 [Výsl.: Ma=f(4) = 4, Min=f() = 4] 6. Je dána funkce f() = + 4. a) Určete definiční obor D(f) a vypočítejte limity v jeho krajních bodech. b) Vypočítejte f () a určete D(f ). Najděte body, ve kterých je derivace nulová. c) Určete lokální etrémy a intervaly monotonie (tj. funkce rostoucí, resp. klesající). d) Načrtněte graf dané funkce f. [Výsl.: D(f) = (, ), daná funkce je lichá, obě limity, tj. pro + i pro jsou rovny nule, f () = 4 ( + 4), f () = 0 pro = ±, funkce je klesající v intervalu (,, rostoucí v,, klesající v intervalu, ), ostré lokální minimum (navíc i absolutní) v bodě =, f( ) = /4, ostré lokální maimum (navíc i absolutní) v bodě =, f() = /4.]

4 Varianty této úlohy s jinými funkcemi f. a) f() = 4 + na zúženém definičním oboru D(f) = (0, ) [Výsl.: Obě limity, tj. pro + i pro 0 + jsou rovny +, f () = 4, f () = 0 pro = ±, funkce je klesající v intervalu (0,, rostoucí v, ), ostré lokální minimum (navíc i absolutní) v bodě =, f() = 4/.] a) f() = 9 na zúženém definičním oboru D(f) = (, ) [Výsl.: Daná funkce je sudá, obě limity, tj. pro i pro + jsou rovny +, f () = (9 ), f () = 0 pro = 0, funkce je klesající v intervalu (, 0, rostoucí v 0, ), ostré lokální minimum (navíc i absolutní) v bodě = 0, f(0) = /9.] a) f() = na zúženém definičním oboru D(f) = (, 0) Další varianty této úlohy lze nalézt v [], a to např. úlohy č. 44,, 9 (pro zkoušku B bez konvenosti). 7. Je dána funkce f() = ( ) e. a) Určete definiční obor D(f). Vypočítejte derivaci a stanovte její definiční obor D(f ). b) Určete intervaly monotonie a lokální etrémy. c) Určetete intervaly, na nichž je tato funkce konvení, resp. konkávní. Najděte inflení body. d) Určete průsečíky grafu s osami, y. Vypočítejte funkční hodnoty ve významných bodech (lokální etrémy, inflení body). Načrtněte graf dané funkce f v intervalu,. [Výsl.: f () = ( ) e, D(f) = D(f ) = (, ), f () = 0 pro =, funkce je klesající v intervalu (,, rostoucí v, ), ostré lokální minimum (navíc i absolutní) v bodě =, f () = e, f () = 0 pro = 0, funkce je konkávní v intervalu (, 0, konvení v 0, ), inflení bod = 0, f( ) = /e. =., f(0) =, f() = e, průsečíky [0, ], [, 0].] Varianty této úlohy s jinými funkcemi f. a) f() =, graf v intervalu /, 6, bez konvenosti, bez průsečíků [Výsl.: Derivace f () =, D(f) = /, ), D(f ) = (/, ), f () = 0 pro =, funkce je rostoucí v /,, klesající v, ), ostré lokální maimum (navíc i absolutní) v bodě =, f(/) = /, f() =, f(6) =.] a) f() = e +, graf v intervalu, 0, bez konvenosti. [Výsl.: Derivace f () = e + ( + ), D(f) = D(f ) = R = (, ), f () = 0 pro =, funkce je klesající v (,, rostoucí v, ), ostré lokální minimum (navíc i absolutní) v bodě =, f( ) =, f( ) = /e, f(0) =, průsečík [0, ], průsečík s osou není.] 8. Je dána funkce f() = ln. a) Určete definiční obor D(f) a vypočítejte limity v jeho krajních bodech. b) Určete lokální etrémy a intervaly monotonie (tj. funkce rostoucí, resp. klesající). c) Určetete intervaly, na nichž je tato funkce konvení, resp. konkávní. Najděte inflení body. d) Určete průsečíky grafu s osou. Načrtněte graf dané funkce f. [Výsl.: D(f) = (0, ), limita pro 0 + je rovna nule, limita pro + je +, f () = ln +, f () = 0 pro = /e, funkce je klesající v intervalu (0, /e, rostoucí v /e, + ), ostré lokální minimum (navíc i absolutní) v bodě = /e, f(/e) = /e, f () = /, f je konvení v D(f), průsečík je [, 0].] Varianty této úlohy s jinými funkcemi f lze nalézt ve sbírce [], kde jsou uvedeny s výsledky např. úlohy č. 8. f() = 4, 9. f() = ( + ) e /, 9. f() = ( ), 08. f() = e 9. Je dána funkce f() = e. a), b), c) viz předchozí úloha d) Určete průsečíky grafu s osami, y. Vyšetřete asymptoty. Načrtněte graf dané funkce f. [Výsl.: D(f) = (, ) (, ), limity pro + a pro + jsou +, limita pro je rovna a pro je rovna nule, f () = e ( 4) ( ), f () = 0 pro = 4, funkce je klesající v intervalu (, ) a v intervalu (, 4, rostoucí v 4, + ), ostré lokální minimum v bodě = 4, f(4) = e 4, průsečík je [0, /], průsečík s osou není, svislá asymptota =, asymptota y = 0 pro ] 4

5 Varianta této úlohy s jinou funkcí. a) f() = + [Výsl.: D(f) = (, ), obě limity, tj. pro a pro + jsou rovny nule, derivace f () = ( + ), D(f ) = D(f), f () = 0 pro = a pro =, funkce je rostoucí v intervalu (, a v, ), klesající v,, ostré lokální maimum (navíc i absolutní) v bodě =, f( ) = /, ostré lokální minimum (navíc i absolutní) v bodě =, f() = /6, průsečíky [0, /], [, 0], asymptota y = 0 pro i pro.] Další varianty této úlohy, příp. jenom její části s jinými funkcemi lze nalézt ve sbírce [], kde jsou uvedeny s výsledky např. úlohy č. 4. f() = ( + ) e, 56. f() = ln, 09. f() = ln 60. f() = ln ( + ), 78. f() =, 95. f() =, (bez konvenosti), +. f() = + arccotg (oprava výsledků: funkce není lichá, šikmá asymptota pro je y = + π). 0. Je dána funkce f() = e 4. a) Vypočítejte derivaci f () a určete definiční obory D(f), D(f ). b) Napište rovnici tečny ke grafu dané funkce v bodě [ 0, f( 0 )], je-li 0 =. c) Vypočítejte hodnotu f (). Napište Taylorův polynom. stupně T () dané funkce se středem v bodě 0 =. Pomocí T () určete přibližně hodnotu f() pro = /. [Výsl.: derivace f () = e 4, D(f) = D(f ) = (, ), f () =, tečna: y = + ( ), f () = 4 e 4, f () = 4, T () = + ( ) + ( ), f(/). = T (/) = /. ] Varianty této úlohy s jinými funkcemi f a body 0. a) f() = f() = 6, 0 =, přibližně f(/) [Výsl.:derivace f () = 6, D(f) = (,, D(f ) = (, ), f () = /, tečna: y = ( ), f () =, f () = /8, T () = ( ) (6 ) 6 ( ), f(/) =. T (/) = 4/64 =... ] a) f() = ( + ) e, 0 = 0, přibližně f(/4) [Výsl.:derivace f () = ( + ) e, D(f) = D(f ) = (, ), f (0) =, tečna: y = +, f () = ( + ) e, f (0) =, T () = + +, f(/4) =. T (/4) = 5/ =..6. ]. Je dána funkce f() = + a) Vypočítejte. a. derivaci této funkce. Stanovte definiční obory funkcí f, f a f. b) Napište Taylorův polynom T () stupně dva se středem 0 = 0 dané funkce f. Pomocí T () určete přibližně hodnotu f() pro = /4. c) Napište Lagrangeův tvar zbytku R (). Jeho pomocí odhadněte velikost chyby aproimace hodnoty funkce f v bodě = /4 při použití Taylorova polynomu T () z úlohy b). [Výsl.:Derivace f () =, f () =, D(f) = /, ), D(f ) = D(f ) = ( /, ), T () = + ( + ) +, f(/4) f(/4) T (/4) 7/8.]. = T (/4) = 9/6. =., f () = ( + ) 5, R () = (ξ + ) 5, R (/4) = Varianta této úlohy s jinou funkcí f a s jiným bodem 0. a) f() = f() = ln(+), 0 =, přibližně f( 0.8) [Výsl.: Derivace f () = +, f () = D(f ) = D(f ) = (, ), T () = ( + ) ( + ), f( 0.9). = T ( 0.9) = 0.095, f () = (ξ + ) ( + ), R ( 0.9) = f( 0.9) T ( 0.9) 0.00/ < ] ( + ), D(f) = ( + ), R () = Další varianty této úlohy s jinými funkcemi f lze nalézt ve sbírce [], kde jsou uvedeny s výsledky vybrané úlohy z úloh č. 0 až 76 (pro zkoušku B bez vyjádření zbytku a bez odhadu chyby). 5