IMPLEMENTACE GAUSSOVA A SPLINE FILTRU POVRCHOVÝCH PROFILŮ STROJÍRENSKÝCH SOUČÁSTÍ V MATLABU

IMPLEMENTACE GAUSSOVA A SPLINE FILTRU POVRCHOVÝCH PROFILŮ STROJÍRENSKÝCH SOUČÁSTÍ V MATLABU J. Vít, J. Šípal Univerzita Jana Evangelity Purkyně v Útí nad Labem Abtrakt Přípěvek e zabývá implementací Gauva filtru pdle ISO 16610-21:2011 a pline filtru pdle ISO/TS 16610-22:2006 v prtředí MATLAB. Uvedené filtry ju navrženy a zaváděny d praxe pr pužití při vyhdncvání gemetrických dchylek trjírenkých dílů d ideálníh tvaru. Výtupem práce ju čtyři knihvny prcedur pr filtrvání tevřených a uzavřených prfilů pmcí Gauva a pline filtru. Každá knihvna bahuje mim hlavní filtrvací funkce také demntrační prceduru, předvádějící způb pužití filtru na přilženém reálném prfilu a na harmnickém prfilu vygenervaném pdle zadaných parametrů. Krmě generátru harmnických prfilů ju učátí knihven další pdpůrné prcedury, určené zejména pr výpčet tandardizvaných přenvých charakteritik. V závěru přípěvku ju prvnány přenvé charakteritiky implementvaných filtrů e tandardizvanými charakteritikami. 1 Úvd V metrlgii pvrchu trjírenkých učátí e pužívají filtry pr ddělvání krátkvlnných a dluhvlnných lžek prfilů. Strukturu pvrchu e zabývá nrma ČSN EN ISO 4288 1. Krátkvlnné lžky ju pužívány pr vyhdncení drnti v drnměrech. Dluhvlnné lžky ju pužívány pr vyhdncvání úchylek tvaru a plhy 2 v prfilměrech, kruhměrech a 3D měřicích přítrjích. Tent přípěvek e zabývá filtrváním prfilů zíkaných na kruhměrech, cž ju přítrje pr vyhdncvání úchylek tvaru a plhy rtačních učátek. Typická učátka vhdná pr měření na kruhměru je uvedena na br. Obrázek 1. Kruhměry ju pecifické tím, že jedna z měřicích je rtační, cž umžňuje zíkávat prfily vyjádřené v plárních uřadnicích. Příklad v učanti vyráběnéh kruhměru je uveden na br. Obrázek 2. Schéma tht kruhměru e třemi měřicími ami je na br. Obrázek 3. Svilá rtační a C je tlek, který táčí učátku a zaznamenává plhu natčení. Hrizntální a R nee nímací ndu, a zaznamenává radiální vzdálent d průečíku rtační u C. Svilá lineární a Z e phybuje rvnběžně rtační u C, a nee vdrvnu u R e Obrázek 1 - Typická učátka pr měření na kruhměru. nímačem. Oa Z zaznamenává vzdálent d upínací rviny tlku. Pvrch učáti nímá jednměrná dtykvá nda, která je klm k pvrchu natáčena pmcí naklápěcíh a táčecíh mechanimu. Kntrukce kruhměru umžňuje nímat prfily na čtyřech typech měřicích mít, uvedených na br. Obrázek 4. Při plárně-radiálním měření e táčí a C a nda nímá hrizntální výchylky ve měru y R. Při plárně-axiálním měření e táčí a C a nda nímá vertikální výchylky ve měru y Z. Při lineárně-radiálním měření e phybuje vertikální a Z a nda nímá hrizntální výchylky ve měru y R. Knečně při lineárně-axiálním měření e phybuje hrizntální a R a nda nímá 1 ČSN EN ISO 4288 Gemetrické pžadavky na výrbky (GPS) - Struktura pvrchu: Prfilvá metda - Pravidla a ptupy pr puzvání truktury pvrchu. 2 ISO 1101 Gemetrical Prduct Specificatin (GPS) - Gemetrical tlerancing - Tlerance f frm, rientatin, lcatin and run-ut

vertikální výchylky ve měru y Z. Prfily ejmuté na plárních měřicích mítech ju značvány jak uzavřené a prfily ejmuté na lineárních měřicích mítech jak tevřené. OSA OTÁČENÍ SNÍIMACE OSA Z OSA R OSA NAKLÁPĚNÍ SNÍMAČE OSA C-ROTAČNÍ STOLEK Obrázek 2 Přítrj pr měření tvarvých úchylek rtačních učátí - kruhměr Obrázek 3 Schéma kruhměru Otevřený prfil je vyjadřván v kartézké utavě uřadnic. Je předtavván rztečí ekviditantních bdů a řádkvým vektrem hdnt. Příklad tevřenéh prfilu, nanímanéh na čele utružené učáti (lineárně-axiální měřicí mít), je na br. Obrázek 5. Uzavřený prfil je vyjadřván v plární utavě uřadnic. Je předtavván úhlvu rztečí ekviditantních bdů a řádkvým vektrem hdnt uřadnice. Příklad uzavřenéh prfilu, nanímanéh na bvdu válcvé učáti (plárně-radiální měřicí mít) je na br. Obrázek 6. Plárně-radiální měřicí mít (C,R) Plárně-axiální měřicí mít (C,Z) Lineárně-radiální měřicí mít (Z,R) Lineárně-axiální měřicí mít (R,Z) Obrázek 4 Typy měřicích mít Zaznamenaný prfil je nazýván primární a je značván pímenem. Filtrváním e zíkává prfil krátkvlnných lžek značvaný pímenem (rughne) a prfil dluhvlnných lžek značvaný pímenem (wavene). Kritériem pr filtrvání tevřených prfilů je mezní vlnvá délka (mm) a pr filtrvání uzavřených prfilů mezní frekvence (pčet vln/bvd). Ve trjírenké metrlgii e tat mez nazývá CUT-OFF. Vlatnti filtrů ju z důvdu prvnatelnti výledků tandardizvány. Metrlgické filtry e vyvíjely d 70. let minuléh tletí. Půvdní filtry, realizvané analgvými učátkami 3, byly p 3 DIN 4768:1974 Determinatin f rughnee parameter RA, Rz, Rmax by mean f electrical tylu intrument; cnveratin f parameter RA t Rz and vice vera.

zavedení digitálních pčítačů nahrazeny matematickými aprximacemi. Pzději byly dplněny další typy filtrů 4, dtraňující nedknalti vých předchůdců. Obrázek 5 Otevřený prfil délky = 4.8, nanímaný na čele utružené učáti. Obrázek 6 Uzavřený prfil nanímaný na bvdu válcvé učáti. Plměr třední kružnice je upraven z důvdu viditelnti dchylek pvrchu. V učanti je nrmu ISO 5 nvě tandardizván Gauův knvluční filtr a ve tadiu technické pecifikace 6 e nachází nvý typ filtru, zalžený na aprximaci kubickým plinem za pdmínky minimalizace hybvé energie. Ve tadiu vývje e dále nacházejí rbutní 7 a mrflgické 8 prfilvé filtry. Rbutnt znamená, že filtr je dlný prti dlehlým hdntám vykytujícím e v naměřeném prfilu, které ju způbeným nečittami, neb jinými rušivými vlivy. Cílem je zamezit nežáducímu zkrelení výlednéh filtrvanéh prfilu, přičemž rtucí pžadavky na tprcentní metrlgicku kntrlu ve trjírenké výrbě vyžadují, aby e tak děl bez záahu lidké bluhy. Pr puzvání vlatntí nvých filtrů a pr jejich prvnávání filtry již zavedenými vyvtala ptřeba jejich implementace d přívětivéh prgramvacíh prtředí. K tmut účelu byl zvlen MATLAB. 2 Teretická výchdika 2.1 Gauův filtr Principem Gauva filtru je knvluce primárníh prfilu e ymetricku váhvu funkcí. Vzrec, ppiující váhvu funkci, je tandardem ISO 9 předepán pr tevřené a uzavřené prfily rzdílně. Váhvu funkci pr tevřené prfily ppiuje rvnice (1). 4 (ISO 11562 Gemetrické pžadavky na výrbky (GPS)-Struktura pvrchu: Prfilvá metda - Metrlgické charakteritiky fázvě krigvaných filtrů., 1998) 5 (ISO 16610-21 Gemetrical prduct pecificatin (GPS)-Filtratin-Part 21: Linear prfile filter: Gauian filter, 2011) 6 (ISO/TS 16610-22 Gemetrical prduct pecificatin (GPS) - Filtratin Part 22: Linear prfile filter: Spline filter, 2006) 7 Připravvané nrmy ISO řady 16610 čáti 31-35 8 Připravvané nrmy ISO řady 16610 čáti 41-45 9 (ISO 16610-21 Gemetrical prduct pecificatin (GPS)-Filtratin-Part 21: Linear prfile filter: Gauian filter, 2011)

5 $ #! " 1 = %,'() +. 5+. 0,.)/0/í2h'ří'02h Jedntlivé ymbly v rvnici (1) znamenají: - vzdálent d tředu váhvé funkce - cut-ff vlnvá délka - kntanta zajišťující 50 % přen na cut-ff vlnvé délce, viz rvnice (3) + - řezávací kntanta váhvé funkce (běžně + =0.5) 10 Váhvu funkci pr uzavřené prfily ppiuje rvnice (2). $ 7 8 "9 : % +.+ =,'() +.+ + 0,.)/0/í2h'ří'02h Jedntlivé ymbly v rvnici (2) znamenají: - vzdálent d tředu váhvé funkce pdél uzavřenéh prfilu - cut-ff frekvence v pčtech vln na bvd + - délka uzavřenéh prfilu + - řezávací kntanta váhvé funkce (běžně + =0.5) - kntanta zajišťující 50 % přen na cut-ff frekvenci, viz rvnice (3) ln 2 =; =0,4697? (1) (2) (3) U tevřených prfilů dchází vlivem přeahu váhvé funkce pře krajní bdy primárníh prfilu ke zkrelením výlednéh filtrvanéh prfilu, nazývaným kncvé efekty. Pkyny pr řešení kncvých efektů bahuje technická pecifikace ISO/TS 16610-28 11. Zde je mim jiné navrhván prdlužit primární prfil na bu kncích délku 0.5 a t tak, že dplněné bdy budu lineárně extraplvány z přímek, tanvených minimalizací kvadrátů dchylek v krajvých úecích délky 0.5 půvdníh primárníh prfilu. Přenvá charakteritika Gauva filtru tevřených prfilů pr dluhvlnné lžky může být pdle tandardu ISO aprximvána rvnicí (4). 0 D 0 E = Jedntlivé ymbly v rvnici (4) znamenají: $! "! # % (4) - cut-ff vlnvá délka λ - vlnvá délka primárníh inuvéh prfilu α - kntanta zajišťující 50 % přen na cut-ff vlnvé délce λ`, viz rvnice 3 a E - amplituda primárníh inuvéh prfilu a D - amplituda tht inuvéh prfilu p filtrvání Přenvá charakteritika Gauva filtru uzavřených prfilů pr dluhvlnné lžky může být pdle tandardu ISO aprximvána rvnicí (5). $ 0 D = 7 8 : 8 % (5) " 0 E 10 (ISO 16610-21 Gemetrical prduct pecificatin (GPS)-Filtratin-Part 21: Linear prfile filter: Gauian filter, 2011), tr. 17, Recmmendatin A.5 11 (ISO/TS 16610-28 Gemetrical prduct pecificatin (GPS)-Filtratin - Prfile filter: End effect, 2010)

Jedntlivé ymbly v rvnici (5) znamenají: 2.2 Spline filtr - cut-ff frekvence - frekvence primárníh inuvéh prfilu - kntanta zajišťující 50 % přen na cut-ff frekvenci, viz rvnice (3) 0 E - amplituda primárníh inuvéh prfilu 0 D - amplituda tht inuvéh prfilu p filtrvání Standard ISO 12 vyjadřuje pline filtry maticvu rvnicí. Vztah pr pline filtr tevřených prfilů je dán rvnicí (6). bc+e f g+1 e h ijk=l (6) g= V rvnici (6) ju g a i matice rzměru, viz (7), p n 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 t 1 2 1 1 1r i= p n 1 2 1 2 5 4 1 1 4 6 4 1 t 1 4 6 4 1 1 4 5 2 1 2 1r (7) a keficienty a e mají hdnty pdle (8). = 1 2in? 8 Jedntlivé ymbly v (6) a (8) znamenají: 0 e 1 bvykle e vlí e=0 n - pčet bdů nefiltrvanéh prfilu z - vektr délky n hdnt jedntlivých bdů nefiltrvanéh prfilu w - vektr délky n hdnt jedntlivých bdů filtrvanéh prfilu 8 - cut-ff vlnvá délka prfilvéh filtru - vzrkvací interval Vztah pr pline filtr uzavřených prfilů je dán rvnicí (9). vc+e f gw+1 e h iwxky =l (9) (8) gw = V rvnici (9) ju gw a iw matice rzměru, viz (10). p n 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 t 1 2 1 1 1 2r 6 4 1 1 4 4 6 4 1 1 p t 1 4 6 4 1 iw = 1 4 6 4 1 1 1 4 6 4 n 4 1 1 4 6r (10) a keficienty a e mají hdnty pdle (11). = 1 2in? 8 Jedntlivé ymbly v (9) a (11) znamenají: 0 e 1 bvykle e vlí e=0 (11) 12 (ISO/TS 16610-22 Gemetrical prduct pecificatin (GPS)-Filtratin Part 22: Linear prfile filter: Spline filter, 2006)

n - pčet bdů nefiltrvanéh prfilu z - vektr délky n hdnt jedntlivých bdů nefiltrvanéh prfilu w - vektr délky n hdnt jedntlivých bdů filtrvanéh prfilu 8 - cut-ff vlnvá délka prfilvéh filtru - vzrkvací interval Rvnice (12) uvádí přenvu charakteritiku pline filtru pr dluhvlnné lžky. 0 D ={1+e f f? 0 E 8 #+161 eh h? D 8 #} (12) Jedntlivé ymbly v rvnici (12) znamenají: 0 E - amplituda inuvéh prfilu před filtrváním 0 D - amplituda dluhvlnné lžky inuvéh prfilu p filtrvání 8 - vlnvá délka inuvéh prfilu - vzrkvací interval 3 Realizace filtrů v prtředí Matlab Všechny dále uvedené funkce byly vytvřeny jak vlatní funkce. Nevyžadují žádný tlbx a ju přítupné na kmunitním webu Matlab. 3.1 Gauův filtr Princip realizvanéh Gauva knvlučníh filtru je naznačen na br. Obrázek 7. Hdnta každéh bdu filtrvanéh prfilu zhledňuje hdntu dpvídajícíh bdu v nefiltrvaném prfilu a dalších bdů ležících v jeh klí pmcí ymetrické váhvé funkce. Střed váhvé funkce e nachází v plze právě zpracvávanéh bdu. Na br. Obrázek 7 je zachycen tav na knci prceu knvluce, takže e třed váhvé funkce nachází pd pledním bdem. Rzteč bdů dikrétní váhvé funkce ~ muí být hdná rztečí nefiltrvanéh prfilu. Pr jednznačné tanvení tředu váhvé funkce je třeba, aby její pčet bdů byl lichý. Zachvání půvdní hladiny prfilu je zajištěn tím, že učet všech dikrétních hdnt váhvé funkce je rven 1, viz (13). Na brázku ju patrná zkrelení knců filtrvanéh prfilu způbená tím, že váhvá funkce zde zaahuje mim filtrvaný prfil a knvluce e chvá jak by filtrvaný prfil v tmt úeku exitval, ale jeh bdy měly nulvu hdntu. U prfilů kmitajících klem nulvé čáry ju kncvé efekty zanedbatelné, ale čím je hladina prfilu vyšší, tím ju výraznější. Velké kncvé efekty způbují zkrelení vyhdncvaných parametrů drnti a úchylek tvaru a plhy. V praxi e kncvé efekty běžně řeší dtraněním zkrelených čátí filtrvanéh prfilu, ale ju případy, kdy je měřená čát pvrchu učátky tak malá, že by dtranění čátí prfilu zabránil ddržet tandardizvané vyhdncvací pdmínky. Tyt případy řeší technická pecifikace ISO/TS 16610-28 a některá řešení ju vetavěna d funkce pr filtrvání tevřených prfilů. = =1 Obrázek 7 Knvluce tevřenéh prfilu e ymetricku váhvu funkcí (přerušvaná čára = půvdní prfil, lupcvý diagram = váhvá funkce, plná červená čára = výledný prfil) (13)

3.1.1 Gauův filtr pr tevřené prfily Prcedury a funkce, vytvřené pr filtrvání tevřených prfilů pmcí Gauva filtru, ju uvedeny v tabulce Tabulka 1. Celá knihvna je přítupná na kmunitním webu uživatelů MATLAB 13. Tabulka 1 KNIHOVNA VLASTNÍCH FUNKCÍ PRO GAUSSŮV FILTR OTEVŘENÝCH PROFILŮ [wprfile] = gfltlin( pprfile,dx,lcut ) hwtuegfltlin.m [weight] = gwfilin( x,lc ) gwfilintet.m [wprfile] = cnvym( pprfile,weightfunctin,padding ) [tranmiin] = gfltlwlint( l,lc ) gfltlwlinchar.m [tranmiin] = gfltwlint( l,lc ) gfltwlinchar.m Funkce pr filtrvání tevřených prfilů pmcí Gauva filtru. Prcedura demntrující pužití filtrvací funkce gfltlin() Hdnta Gauvy váhvé funkce pr zadané a 8 pdle vztahu (1). Prcedura pr vykrelení průběhu Gauvy váhvé funkce. Funkce pr knvluci tevřenéh prfilu a ymetrické váhvé funkce. Výpčet tandardizvanéh přenu dluhvlnné lžky pr zadané a 8 pdle vztahu (4). Prcedura pr vykrelení průběhu tandardizvané přenvé charakteritiky pr dluhvlnné lžky. Výpčet tandardizvanéh přenu krátkvlnné lžky pr zadané a 8 Prcedura pr vykrelení průběhu tandardizvané přenvé charakteritiky pr krátkvlnné lžky. 3.1.1.1 Vlatní funkce pr filtrvání tevřenéh prfilu pmcí Gauva filtru Gauův filtr tevřených prfilů je realizván funkcí která čekává tyt vtupní argumenty: [wprfile] = gfltlin( pprfile,dx,lc ) pprfile - půvdní nefiltrvaný (primární) prfil ekviditantním rzlžením naměřených bdů. Řádkvý vektr [y1 y2 yn] údaji v mm. dx - rzteč naměřených bdů v mm. lc - cut-ff vlnvá délka prfilvéh filtru v mm. Výtupním argumentem je: wprfile - filtrvaný prfil e hdným ekviditantním rzlžením bdů. Řádkvý vektr [y1 y2 yn] údaji v mm. Způb řešení kncvých efektů je vlen uvnitř funkce gfltlin() při vlání knvluční funkce [wprfile] = cnvym( pprfile,weightfunctin,padding ) 13 (Vit, 2015) http://www.mathwrk.cm/matlabcentral/fileexchange/52892-urface-metrlgy-pen-prfilegauian-filter

Standardně je funkce cnvym() vlána hdntu elect vtupníh argumentu padding, která nabídne bluze mžnt vlby způbu řešení kncvých efektů. Má-li být určitý způb řešení pužit trvale, je třeba tut prceduru vlat přílušným argumentem: cled zer - knce prfilu ju prpjeny, tzn. úeky před pčátečním a za kncvým bdem primárníh prfilu ju dplněny úeky z prtilehlých knců dle br. Obrázek 11, - úeky před pčátečním a za kncvým bdem primárníh prfilu, v délce plviny váhvé funkce, ju dplněny nulami, tzv. zer padding dle br. Obrázek 8, cntant - úeky před pčátečním a za kncvým bdem primárníh prfilu ju dplněny hdntami těcht krajvých bdů dle br. Obrázek 9, lineextrap - úeky před pčátečním a za kncvým bdem primárníh prfilu ju lineárně extraplvány z přímek, tanvených minimalizací kvadrátů dchylek v krajvých úecích dle br. Obrázek 10. Obrázek 8 Zer padding. Dplnění prfilu nulvými bdy. Obrázek 9 Dplnění prfilu kntantními hdntami krajvých bdů. Obrázek 10 Lineární extraplace. Dplnění prfilu přímkami, aprximujícími krajvé úeky metdu nejmenších kvadrátů dchylek. Obrázek 11 Spjení knců prfilu. Dplnění prfilu prtilehlými kncvými úeky. Příklad filtrvání tevřenéh inuvéh prfilu funkcí gfltlin() je uveden na br. Obrázek 12. V tmt případě byla pužita metda zer padding. Nefiltrvaný prfil kmitá klem nulvé čáry, a prt e kncvé efekty příliš neprjevily. Přet je první a plední vlna filtrvanéh prfilu znatelně vyšší.

Filtrvání reálnéh tevřenéh prfilu je zbrazen na br. Obrázek 13. Hdnty prfilu ju přibližně ve výšce 97.8 mm. V tmt případě by byly neřešené kncvé efekty značné, prt byla zvlena metda lineární extraplace. Obrázek 12 - Filtrvání inuvéh prfilu délku vlny =0,8 Gauvým filtrem =0,8, bez řešení kncvých efektů. Obrázek 13 - Filtrvání reálnéh prfilu pvrchu učáti Gauvým filtrem =0,8 lineární extraplací. 3.1.1.2 Přenvé charakteritiky Gauva filtru tevřených prfilů Standardizvaná funkce, aprximující přenvu charakteritiku Gauva filtru tevřených prfilů pr dluhvlnné lžky, je genervána prceduru gfltlwlinchar.m V ekci input data je mžné zadat bdy, které mají být na křivce zvýrazněny a jejich hdnty ju pak uvedeny v příkazvém kně. Graf aprximvané přenvé charakteritiky je na br. Obrázek 16. Zvýrazněné bdy ju vyčíleny v tabulce Tabulka 5 a pužity pr hdncení realizvanéh filtru. Obdbně je v knihvně bažena prcedura pr genervání tandardizvané funkce, aprximující přenvu charakteritiku pr krátkvlnné lžky 3.1.2 Gauův filtr pr uzavřené prfily gfltwlinchar.m Prcedury a funkce, vytvřené pr filtrvání uzavřených prfilů pmcí Gauva filtru, ju uvedeny v tabulce Tabulka 2. Celá knihvna je přítupná na kmunitním webu uživatelů MATLAB 14. Tabulka 2 KNIHOVNA VLASTNÍCH FUNKCÍ PRO GAUSSŮV FILTR UZAVŘENÝCH PROFILŮ [wrh] = gfltpl( prh,fcut ) hwtuegfltpl.m [weight] = gwfipl( x,fc,l ) gwfipltet.m Funkce pr filtrvání uzavřených prfilů Gauvým filtrem. Prcedura demntrující pužití filtrvací funkce gfltlin( ) Hdnta Gauvy váhvé funkce pr zadané, a + pdle vztahu (2). Prcedura pr vykrelení průběhu Gauvy váhvé funkce. 14 (Vit, 2015) http://www.mathwrk.cm/matlabcentral/fileexchange/52769-urface-metrlgy-cled-prfilegauian-filter

[wprfile] = cnvympl( pprfile,weightfunctin ) [tranmiin] = gfltlwplt( f,fc ) gfltlwplchar.m [tranmiin] = gfltwplt( f,fc ) gfltwplchar.m Funkce pr knvluci uzavřenéh prfilu a ymetrické váhvé funkce. Výpčet tandardizvanéh přenu dluhvlnné lžky pr zadané a pdle vztahu (5). Prcedura pr vykrelení průběhu tandardizvané přenvé charakteritiky pr dluhvlnné lžky. Výpčet tandardizvanéh přenu krátkvlnné lžky pr zadané a 8 Prcedura pr vykrelení průběhu tandardizvané přenvé charakteritiky pr krátkvlnné lžky. 3.1.2.1 Vlatní funkce pr filtrvání uzavřenéh prfilu pmcí Gauva filtru Gauův filtr uzavřených prfilů je realizván vlatní funkcí která čekává tyt vtupní argumenty: prh fc [wrh] = gfltpl( prh,fc ) - půvdní nefiltrvaný (primární) prfil ekviditantním rzlžením naměřených bdů p bvdu kružnice 2?. Řádkvý vektr radiálních uřadnic [r1 r2 rn] údaji v mm. - cut-ff frekvence v pčtech vln na bvd kružnice. Výtupním argumentem je: wrh - filtrvaný prfil e hdným ekviditantním rzlžením bdů. Řádkvý vektr radiálních uřadnic [r1 r2 rn] údaji v mm. Knce uzavřenéh prfilu ju vždy prpjeny pdle br. Obrázek 11, tzn. úeky před pčátečním a za kncvým bdem primárníh prfilu ju dplněny úeky z prtilehlých knců prfilu. Obrázek 14 - Filtrvání uzavřenéh inuvéh prfilu frekvencí f=8vln bvd Gauvým filtrem =8. ).). Obrázek 15 - Filtrvání reálnéh uzavřenéh prfilu Gauvým filtrem = 8. ).). Příklad filtrvání uzavřenéh inuvéh prfilu funkcí gfltpl() je uveden na br. Obrázek 14. Filtrvání reálnéh uzavřenéh prfilu je zbrazen na br. Obrázek 15.

3.1.2.2 Přenvé charakteritiky Gauva filtru uzavřených prfilů Standardizvaná funkce, aprximující přenvu charakteritiku Gauva filtru uzavřených prfilů pr dluhvlnné lžky, je genervána prceduru gfltlwplchar.m V ekci input data je mžné zadat bdy, které mají být na křivce zvýrazněny a jejich hdnty ju pak uvedeny v příkazvém kně. Graf aprximvané přenvé charakteritiky je na br. Obrázek 17. Zvýrazněné bdy ju vyčíleny v tabulce Tabulka 6 a pužity pr hdncení realizvanéh filtru. Obdbně je v knihvně bažena prcedura pr genervání tandardizvané funkce, aprximující přenvu charakteritiku pr krátkvlnné lžky gfltwplchar.m Obrázek 16 - Standardizvaná přenvá charakteritika Gauva filtru tevřených prfilů pr dluhvlnné lžky. Obrázek 17 - Standardizvaná přenvá charakteritika Gauva filtru uzavřených prfilů pr dluhvlnné lžky. 3.2 Spline filtr 3.2.1 Spline filtr pr tevřené prfily Prcedury a funkce, vytvřené pr filtrvání tevřených prfilů pmcí pline filtru, ju uvedeny v tabulce Tabulka 3. Celá knihvna je přítupná na kmunitním webu uživatelů MATLAB 15. Tabulka 3 - KNIHOVNA VLASTNÍCH FUNKCÍ PRO SPLINE FILTR OTEVŘENÝCH PROFILŮ [wprfile] = plfltlin( pprfile,dx,lc,hw ) hwtueplfltlin.m Funkce pr filtrvání tevřených prfilů pline filtrem pdle vztahu (6) Prcedura demntrující pužití filtrvací funkce plfltlin(). [pmatrix] = pmatlin(n) Funkce pr genervání matice pdle vztahu (7) [qmatrix] = qmatlin(n) Funkce pr genervání matice ƒ pdle vztahu (7). [tranmiin] = plfltlwt(l,dx,lc ) plfltlwchar.m Výpčet tandardizvanéh přenu dluhvlnné lžky pr zadané zadané, a 8 pdle vztahu (12). Prcedura pr vykrelení průběhu tandardizvané přenvé charakteritiky pr 15 (Vit, 2015) http://www.mathwrk.cm/matlabcentral/fileexchange/52562-urface-metrlgy-pen-prfilepline-filter

[tranmiin] = plfltwt(l,dx,lc ) plfltwchar.m dluhvlnné lžky. Výpčet tandardizvanéh přenu krátkvlnné lžky pr zadané, a 8 Prcedura pr vykrelení průběhu tandardizvané přenvé charakteritiky pr krátkvlnné lžky. 3.2.1.1 Vlatní funkce pr filtrvání tevřenéh prfilu pmcí pline filtru Spline filtr tevřených prfilů pdle vztahu (6) je realizván funkcí která čekává tyt vtupní argumenty: [wprfile] = plfltlin( pprfile,dx,lc,hw ) pprfile - půvdní nefiltrvaný prfil ekviditantním rzlžením naměřených bdů. Řádkvý vektr [y1 y2 yn] údaji v mm. dx - rzteč naměřených bdů v mm. lc - cut-ff vlnvá délka prfilvéh filtru v mm. hw - nepvinný argument pr grafické zbrazení nefiltrvanéh a filtrvanéh prfilu uvnitř tét funkce. Služí pr ladění prgramu. Očekávané hdnty ju filtered, unfiltered neb bth. Výtupním argumentem je: wprfile - filtrvaný prfil e hdným ekviditantním rzlžením bdů. Řádkvý vektr [y1 y2 yn] údaji v mm. Příklad filtrvání tevřenéh inuvéh prfilu funkcí plfltlin() je uveden na br. Obrázek 18. Na kncích filtrvanéh prfilu ju zjevné kncvé efekty, které však neju v tmt případě způbeny nedknaltí metdy, prtže třední čára minimalizující hybvu energii pline tudy kutečně prchází. Filtrvání reálnéh tevřenéh prfilu je na br. Obrázek 19. Obrázek 18 - Filtrvání tevřenéh inuvéh prfilu délku vlny =4 pline filtrem =8. Obrázek 19 - Filtrvání reálnéh tevřenéh prfilu pvrchu učáti pline filtrem =8. 3.2.1.2 Přenvá charakteritika pline filtru pr dluhvlnné lžky Nrma ISO uvádí puze jednu plečnu přenvu charakteritiku pr tevřené i uzavřené prfily. Standardizvaná přenvá funkce pline filtru pr dluhvlnné lžky je genervána prceduru plfltlwchar.m V ekci input data je mžné zadat bdy, které mají být na křivce zvýrazněny a jejich hdnty ju pak uvedeny v příkazvém kně. Graf přenvé charakteritiky dluhvlnných lžek pline

filtru je na br. Obrázek 22. Zvýrazněné bdy ju vyčíleny v tabulce Tabulka 7 a pužity pr hdncení realizvanéh filtru. Obdbně je v knihvně bažena prcedura pr genervání přenvé charakteritiky pr krátkvlnné lžky 3.2.2 Spline filtr pr uzavřené prfily plfltwchar.m Prcedury a funkce vytvřené pr pline filtr uzavřených prfilů ju uvedeny v tabulce Tabulka 4. Celá knihvna je přítupná na kmunitním webu uživatelů MATLAB 16. Tabulka 4 - KNIHOVNA VLASTNÍCH FUNKCÍ PRO SPLINE FILTR UZAVŘENÝCH PROFILŮ [wprfile] = plfltpl( pprfile,dx,lc,hw ) hwtueplfltpl.m [pmatrix] = pmatpl(n) [qmatrix] = qmatpl(n) Funkce pr filtrvání uzavřených prfilů pline filtrem pdle vztahu (9). Prcedura demntrující pužití filtrvací funkce plfltlin(). Funkce pr genervání matice pdle vztahu (10). Funkce pr genervání matice ƒ pdle vztahu (10). 3.2.2.1 Vlatní funkce pr filtrvání uzavřenéh prfilu pmcí pline filtru Spline filtr uzavřených prfilů pdle vztahu (9) je realizván funkcí která čekává tyt vtupní argumenty: [wprfile] = plfltpl( pprfile,dx,lc,hw ) pprfile - půvdní nefiltrvaný prfil ekviditantním rzlžením naměřených bdů. Řádkvý vektr [y1 y2 yn] údaji v mm. dx - rzteč naměřených bdů v mm. lc - cut-ff vlnvá délka prfilvéh filtru v mm. hw - nepvinný argument pr grafické zbrazení nefiltrvanéh a filtrvanéh prfilu uvnitř tét funkce. Služí pr ladění prgramu. Očekávané hdnty ju filtered, unfiltered neb bth. Výtupním argumentem je: wprfile - filtrvaný prfil e hdným ekviditantním rzlžením bdů. Řádkvý vektr [y1 y2 yn] údaji v mm. Příklad filtrvání uzavřenéh inuvéh prfilu funkcí plfltpl() je uveden na br. Obrázek 20. Filtrvání reálnéh uzavřenéh prfilu je na br. Obrázek 21. 4 Hdncení přenvých charakteritik Přenvé charakteritiky ju prvěřvány v bdech vyznačených na přílušných grafech na br. Obrázek 16, Obrázek 17 a Obrázek 22. Pměr výšek filtrvanéh a půvdníh inuvéh prfilu známé vlnvé délky je prvnán hdntami přenvé funkce tandardizvané v ISO nrmě. Zkrelené kncvé úeky ju dřezány. 16 (Vit, 2015) http://www.mathwrk.cm/matlabcentral/fileexchange/52858-urface-metrlgy-cled-prfilepline-filter

Obrázek 20 - Filtrvání uzavřenéh inuvéh prfilu frekvencí =8./).) pline filtrem =8. ).). Obrázek 21 - Filtrvání reálnéh uzavřenéh prfilu pvrchu učáti pline filtrem =8. ).). 4.1 Gauův filtr pr filtrvání tevřených prfilů Průběh přenvé charakteritiky tandardizvanéh Gauva filtru tevřených prfilů pr dluhvlnné lžky je na br. Obrázek 16. Prvnání přeny realizvanéh filtru je uveden v tabulce Tabulka 5. Primární nefiltrvaný prfil je dluhý 8 mm a bahuje 4000 naměřených bdů. Maximální výška prfilu je zjišťvána p dřezání kncvých úeků délky 0,5, cž dpvídá plvině šířky váhvé funkce. Tabulka 5 - POROVNÁNÍ DOSAŽENÉ PŘENOSOVÉ CHARAKTERISTIKY GAUSSOVA FILTRU OTEVŘENÝCH PROFILŮ PRO DLOUHOVLNNÉ SLOŽKY A STANDARDIZOVANÉ PŘENOSOVÉ CHARAKTERISTIKY PODLE ROVNICE (4). Parametry prfilu Š = ŒŒ Š= ˆˆˆ Parametry filtru Ž =ˆ, =ˆ, Přen / c / ˆ Skutečnt Standard Rzdíl relativních hdnt 0,3 0,155 % 0,045 % 0,110 % 0,4 1,725 % 1,314 % 0,411 % 0,6 14,111 % 14,582 % -0,471 % 0,8 34,340 % 33,856 % 0,484 % 1 51,040 % 50,000 % 1,040 % 2 84,855 % 84,090 % 0,765 % 4 96,000 % 95,760 % 0,240 % 6 98,205 % 98,093 % 0,112 % 8 98,985 % 98,923 % 0,062 % Pdle nrmy ISO 17 je implementační chyba váhvé funkce, způbená řezávací kntantu + =0,5, rvna 0,76 %. Standardizvaná přenvá funkce (4) je navíc puze aprximující a hdntu řezávací kntanty vůbec nezhledňuje. Chybu aprximace nrma neuvádí. Odchylka přenu realizvanéh Gauva filtru tevřených prfilů d tandardizvané charakteritiky je pravděpdbně způbena vzrkváním váhvé funkce intervalem naměřených bdů dx. Maximální rzdíl relativních hdnt kutečnéh a tandardizvanéh přenu 1,04 % lze pvažvat za vyhvující a realizvaný Gauův filtr pr filtrvání tevřených prfilů je mžné pužívat. 17 (ISO 16610-21 Gemetrical prduct pecificatin (GPS)-Filtratin-Part 21: Linear prfile filter: Gauian filter, 2011), tr. 15, tabulka A1

4.2 Gauův filtr pr filtrvání uzavřených prfilů Průběh přenvé charakteritiky tandardizvanéh Gauva filtru uzavřených prfilů pr dluhvlnné lžky je na br. Obrázek 17. Prvnání přeny realizvanéh filtru je uveden v tabulce Tabulka 6. Primární, nefiltrvaný prfil je kružnice plměrem 30 mm a bahuje 4000 naměřených bdů. Maximální výška prfilu je zjišťvána p dřezání kncvých úeků délky 0.5, cž dpvídá plvině šířky váhvé funkce. Tabulka 6 - POROVNÁNÍ DOSAŽENÉ PŘENOSOVÉ CHARAKTERISTIKY GAUSSOVA FILTRU UZAVŘENÝCH PROFILŮ PRO DLOUHOVLNNÉ SLOŽKY A STANDARDIZOVANÉ PŘENOSOVÉ CHARAKTERISTIKY PODLE ROVNICE (5). Parametry prfilu = ˆ ŒŒ Š= ˆˆˆ Parametry filtru Ž =ˆ, = Š Přen / c / ˆ Skutečnt Standard Rzdíl relativních hdnt 0,2 97,425 % 97,265 % 0,160 % 0,4 90,055 % 89,503 % 0,552 % 0,6 78,880 % 77,916 % 0,964 % 0,8 65,345 % 64,171 % 1,174 % 1,0 51,500 % 50,000 % 1,500 % 1,2 37,470 % 36,857 % 0,613 % 1,5 20,845 % 21,022 % -0,177 % 2 5,810 % 6,250 % -0,440 % 3 0,520 % 0,195 % 0,325 % Maximální rzdíl relativních hdnt kutečnéh a tandardizvanéh přenu 1,174 % lze pvažvat za vyhvující a realizvaný Gauův filtr pr filtrvání uzavřených prfilů je mžné pužívat. 4.3 Spline filtr Průběh přenvé charakteritiky tandardizvanéh pline filtru pr dluhvlnné lžky je na br. Obrázek 22. Prvnání přeny realizvanéh filtru je uveden v tabulce Tabulka 7. Primární, nefiltrvaný prfil je dluhý 8 mm a bahuje 4000 naměřených bdů. Maximální výška prfilu je zjišťvána p dřezání kncvých úeků délky. Tabulka 7 - POROVNÁNÍ DOSAŽENÉ PŘENOSOVÉ CHARAKTERISTIKY SPLINE FILTRU LINEÁRNÍCH PROFILŮ PRO DLOUHOVLNNÉ SLOŽKY A STANDARDIZOVANÉ PŘENOSOVÉ CHARAKTERISTIKY PODLE ROVNICE (12). Parametry prfilu œ = ŒŒ œ= ˆˆˆ Parametry filtru =ˆ, Přen š c /šˆ / Skutečnt Standard Rzdíl relativních hdnt 0,3 0,865 % 0,805 % 0,060 % 0,4 2,645 % 2,498 % 0,147 % 0,6 11,630 % 11,476 % 0,154 % 0,8 29,06 % 29,060 % 0,000 % 1 50,200 % 50,000 % 0,200 % 2 94,115 % 94,117 % -0,002 % 3 98,780 % 98,780 % 0,000 % 4 99,610 % 99,611 % -0,001 % 5 99,845 % 99,840 % 0,005 % Maximální rzdíl relativních hdnt kutečnéh a tandardizvanéh přenu 0,2 % lze pvažvat za vyhvující a realizvaný pline filtr je mžné pužívat.

5 Závěr V přípěvku je ppána realizace Gauva filtru pdle ISO 16610-21:2011 a pline filtru pdle ISO/TS 16610-22:2006 pr filtrvání tevřených a uzavřených prfilů, v prtředí Matlab. Filtry ju pužívány v bru trjírenké metrlgie pr filtrvání prfilů nanímaných na pvrchu rtačních učátí. Cílem filtrvání je zíkání dvu amtatných prfilů, z nichž jeden bahuje puze dluhvlnné a druhý puze krátkvlnné lžky. Z prfilu krátkvlnných lžek ju pléze vyhdncvány parametry drnti pvrchu a z prfilu dluhvlnných lžek ju vyhdncvány dchylky tvaru, plhy a házení. Obrázek 22 - Standardizvaná přenvá charakteritika pline filtru pr dluhvlnné lžky. Smylem zavádění filtrů pužívajících kubické pliny je jednak jejich chpnt filtrvat prfily, zíkané na pvrchu bahujícím tvarvé lžky až třetíh řádu, a také dtranění prblémů kncvými efekty vykytujícími e u Gauva filtru. Zkrelení, vznikající na kncích filtrvanéh prfilu vlivem přeahu ymetrické Gauvy váhvé funkce pře kraje půvdníh primárníh prfilu, způbují zkrelení vyhdncvaných parametrů drnti a úchylek tvaru a plhy. V učané dbě ju zpravidla řešena dtraněním zkrelených úeků, čímž e filtrvaný prfil prti půvdnímu primárnímu prfilu zkrátí plvinu váhvé funkce, cž dpvídá plvině cut-ff vlnvé délky, na každém knci. Vykytují e však případy, kdy je měřená čát pvrchu učátky tak malá, že by dtranění kncvých čátí prfilu zabránil ddržet tandardizvané vyhdncvací pdmínky. Takvé případy řeší technická pecifikace ISO/TS 16610-28. D prezentvané funkce pr filtrvání tevřených prfilů pmcí Gauva filtru ju vetavěna řešení, pžívající prdlužení knců primárníh prfilu úeky, jejichž délka dpvídá plvině délky váhvé funkce. Bdy v těcht úecích mhu mít krmě nulvé hdnty, cž dpvídá případu neřešení kncvých efektů, tejnu hdntu jak mají krajvé bdy prfilu, neb mhu být extraplvány přímku. Tat přímka je tanvenu metdu minimalizace kvadrátů dchylek z přílušných kncvých úeků, pět v délce plviny váhvé funkce, půvdníh primárníh prfilu. Knce tevřenéh prfilu mhu být také prpjeny. Realizvané vlatní funkce pr filtrvání tevřených a uzavřených prfilů pmcí Gauva a pline filtru ju rzděleny d čtyř amtatných knihven a umítěny na kmunitním webu Matlab Central File Exchange. Žádná z funkcí nevyžaduje peciální tlbx. V přípěvku je vyvětlena yntaxe hlavních filtrvacích funkcí a ju zde uvedeny grafické příklady filtrvání jak inuvých, tak reálných prfilů. V závěru ju realizvané filtry tetvány na adě inuvých prfilů a zjištěné přeny dluhvlnných lžek ju prvnány nrmalizvanými přenvými charakteritikami. Největší rzdíl relativních hdnt kutečnéh a tandardizvanéh přenu je u Gauva filtru tevřených prfilů 1,04 % a u Gauva filtru uzavřených prfilů 1,174 %. Těcht hdnt byl dažen při pužití řezávací kntanty váhvé funkce 0.5. Pdle nrmy ISO tat hdnta řezávací kntanty způbuje chybu váhvé funkce 0,76 %. Standardizvaná funkce pr přenvu charakteritiku Gauva filtru navíc puze aprximuje kutečnu přenvu charakteritiku, přičemž chybu tét aprximace nrma neuvádí. Za těcht pdmínek lze pvažvat realizvaný Gauův filtr za vyhvující a způbilý k pužívání. U realizvanéh pline filtru je největší rzdíl relativních hdnt kutečnéh a tandardizvanéh přenu 0,2 %. Tat hdnta je vyhvující a pline filtr je způbilý k pužívání.

Pužitá literatura ISO 11562 Gemetrické pžadavky na výrbky (GPS)-Struktura pvrchu: Prfilvá metda - Metrlgické charakteritiky fázvě krigvaných filtrů. 1998. mít neznámé : ISO, 1998. ISO 16610-21 Gemetrical prduct pecificatin (GPS)-Filtratin-Part 21: Linear prfile filter: Gauian filter. 2011. mít neznámé : ISO, 2011. ISO/TS 16610-22 Gemetrical prduct pecificatin (GPS)-Filtratin Part 22: Linear prfile filter: Spline filter. 2006. mít neznámé : ISO, 2006. ISO/TS 16610-28 Gemetrical prduct pecificatin (GPS)-Filtratin - Prfile filter: End effect. 2010. mít neznámé : ISO, 2010. Vit, Jiri. 2015. Surface metrlgy cled prfile Gauian filter. Matlab Central File Exchange. [Online] 31. 08 2015. [Citace: 4. 10 2015.] http://www.mathwrk.cm/matlabcentral/fileexchange/52769-urface-metrlgy-cled-prfilegauian-filter.. 2015. Surface metrlgy cled prfile pline filter. Matlab Central File Exchange. [Online] 31. 08 2015. [Citace: 4. 10 2015.] http://www.mathwrk.cm/matlabcentral/fileexchange/52858- urface-metrlgy-cled-prfile-pline-filter.. 2015. Surface metrlgy pen prfile Gauian filter. Matlab Central File Exchange. [Online] 6. 09 2015. [Citace: 4. 10 2015.] http://www.mathwrk.cm/matlabcentral/fileexchange/52892-urface-metrlgy-pen-prfilegauian-filter.. 2015. Surface metrlgy pen prfile pline filter. Matlab Central File Exchange. [Online] 19. 08 2015. [Citace: 4. 10 2015.] http://www.mathwrk.cm/matlabcentral/fileexchange/52562- urface-metrlgy-pen-prfile-pline-filter. Ing. Jiří Vít, dktrand Fakulta výrbních technlgií a managementu Univerzita Jana Evangelity Purkyně v Útí nad Labem vit-jiri@eznam.cz www.linkedin.cm/in/vitjiri Dc. Ing. Jarlav Šípal, Ph.D. Fakulta výrbních technlgií a managementu Univerzita Jana Evangelity Purkyně v Útí nad Labem ipal@fvtm.ujep.cz