ZÁKLADY UNIVERZÁLNÍ ALGEBRY. 1. Operace a Ω-algebry

ZÁKLADY UNIVERZÁLNÍ ALGEBRY 1. Operace a Ω-algebry Úvod. V průběhu přednášky z algebry jsme studovali řadu algebraických struktur: grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry. Při zkoumání těchto struktur se často některé pojmy a úvahy opakovaly, například ve všech případech jsme hovořili o homomorfismech a vždy platilo, že složením homomorfismů opět dostaneme homomorfismus. Definovali jsme podobjekty(věnovali jsme se hlavně podgrupám, podokruhům, podtělesům a podsvazům) a vždy platilo, že průnikem libovolného neprázdného systému podobjektů je opět podobjekt. To nám umožnilo definovat podobjekt generovaný podmnožinou, ve všech případech byly definice v podstatě stejné. V případě grupoidů, grup, okruhů a svazů jsme si definovali součin dvou takových struktur, kterým byla stejná struktura na kartézském součinu. Cílem univerzální algebry je právě tyto společné rysy postihnout a popsat z jednotícího hlediska. Budeme tedy popisovat množiny spolu s několika operacemi na nich. Až dosudjsmeoperacínamnožině mělinamyslizobrazení,avšakbudeme potřebovat tuto definici pozměnit. Vždyť kromě těchto operací, kterým v následujícímtextubudemeříkatbinárníoperace,jsmesesetkaliisezobrazeními, kdybylkaždémuprvkumnožiny pevněpřiřazendalšíprvek:napříkladpřiřazení inverzního prvku v grupě, opačného prvku v okruhu, či komplementu v Booleově algebře.totozobrazení budemenazývatunárníoperacenamnožině. Někdy naše struktura obsahovala nějaké význačné prvky, setkali jsme se napříkladsneutrálnímprvkemvgrupě,snulouajedničkouvokruhu,snejmenšíma největšímprvkembooleovyalgebry.tomutovýběrujednohoprvkuzmnožiny budemeříkatnulárníoperacena.mátourčitoulogiku:jdetotižvždyozobrazenízjistékartézskémocninymnožiny domnožiny.označímepropřirozené číslo Òsymbolem Ò kartézskýsoučin Òkopiímnožiny,tedy Ò jemnožina všechuspořádaných Ò-ticprvkůmnožiny.Jistělzepakztotožnit s 1 (množinouvšechuspořádaných1-ticprvkůmnožiny ).Cobyvšakmělobýt 0?Jaksi představitmnožinuvšech0-ticprvkůmnožiny?podobnějakonultoumocninou nenulového čísla rozumíme číslo 1, které je neutrální vzhledem k násobení, nultou kartézskou mocninou nějaké množiny je třeba rozumět množinu, která kartézským vynásobením příliš nezmění násobenou množinu. Vhodnou množinou bude nějaká jednoprvková: ta totiž kartézským součinem nezmění počet prvků násobené množiny(přesněji:je-li jednoprvkovámnožina,existujepřirozenědefinovanábijekce prokaždoumnožinu ).Uvědomtesi,žetoodpovídáiobvyklédefinici:propřirozenéčíslo Òje Ò množinavšechuspořádaných Ò-ticprvkůmnožiny.Uspořádanou Ò-ticiprvkůmnožiny lzedefinovatnapříkladjakozobrazení množiny 1 Ò domnožiny.analogiítétokonstrukcepro Ò=0jetedy chápat 0 jakomnožinuvšech uspořádaných 0-ticprvkůmnožiny,přičemž uspořádaná0-ticeprvkůmnožiny jezobrazeníprázdnémnožinydomnožiny.takovézobrazeníjevždyjedno(aťužjemnožina prázdnánebone),totiž 1

prázdnézobrazení.prolibovolnoumnožinu budemeprotosymbolem 0 rozumět jednoprvkovou množinu; je vhodné si představovat, že tímto jediným prvkem našíjednoprvkovémnožinyjeprázdnámnožina,tedyže 0 =.Paktedyvýběr prvkujezobrazení 0. Definice.Nechť jemnožina, Ònezápornéceléčíslo.Pak Ò-árníoperacína množině rozumímezobrazení Ò. Poznámka. Místo 2-ární operace budeme tedy říkat binární operace, místo 1-ární budeme říkat unární. Číslu Ò z definice říkáme arita dotyčné operace. Při popisu konkrétní operace jsme vždy operaci označovali nějakým symbolem, užívalijsme+,,, probinárníoperace,, 1, ¼ prounárníoperace,0,1pro nulární operace. Těmto symbolům budeme říkat operační symboly; je podstatné, že u každého symbolu je dána arita operace, kterou symbolizuje. Definice.MnožinaΩspolusezobrazením : Ω N 0 senazývátyp. PrvkymnožinyΩsenazývajíoperačnísymboly.Pro ¾Ωse ( )nazýváarita symbolu.operačnísymbol,jehožaritaje Ò,senazývá Ò-ární. Definice. Univerzální algebra typu Ω(neboli stručně Ω-algebra) je množina,nanížjeprokaždý Ò-árníoperačnísymbolz ¾Ωdefinována Ò-árníoperace : Ò.Prolibovolné 1 Ò ¾ značíme ( 1 Ò )hodnotu operace nauspořádané Ò-tici( 1 Ò ). Poznámka.Vpřípaděnulárníhooperačníhosymbolu ¾Ωje Ò=0,tedy 0 = anulárníoperacíjetedyzobrazení :.Zadattakovéto zobrazeníjetotéžjakovybratpevnějedenprvek ( ) ¾.Prozjednodušení označeníbudemevdalšímtextutentopevněvybranýprvekznačitjednoduše místo ( ). Poznámka. Obsahuje-li typ Ω alespoň jeden nulární operační symbol, pak je každá Ω-algebra neprázdná. Příklady. 1.Proprázdnýtyp,tj.Ω=,jeuniverzálníalgebroutypuΩlibovolnámnožina. 2. Grupoid je množina s jednou binární operací, je to tedy univerzální algebra typu, který má jeden binární operační symbol. 3.Grupajeuniverzálníalgebratypu 1 1. 4.Okruhjeuniverzálníalgebratypu + 0 1. 5.Svazjeuniverzálníalgebratypu. 6.Booleovaalgebrajeuniverzálníalgebratypu ¼ 0 1. 7.Vektorovýprostornadtělesem Ì jeuniverzálníalgebratypu + 0 Ì (pro každý prvek tělesa Ø ¾ Ì máme unární operační symbol pro skalární násobek,cožjeunárníoperacenamnožiněvektorů: Ø(Ú)=Ø Ú). Poznámka. V předchozích definicích je určitá nepřesnost, správně bychom mělimístoouniverzálníalgebře mluvitouniverzálníalgebře snosnoumnožinou.vždyťkupříkladunajednéatéženosnémnožiněmůžememítdefinovány různé grupoidy, tedy to, o který jde grupoid, není určeno pouze nosnou množinou,aleioperacínaní.protožetovšakvždyzkontextubudepatrné,můžemesi snadtoutonepřesnostíusnadnitvyjadřování:budemehovořitoω-algebře nebo onosnémnožině. 2

Příklad. NechťΩjelibovolnýtyp, = jednoprvkovámnožina.pak existujejedinýzpůsob,jaknanosnémnožině definovatω-algebru.prolibovolný Ò-árníoperačnísymbol ¾Ωjehodnotaoperace na(jedinéexistující) Ò-tici ( )rovna(jedinémožné)hodnotě. 2. Podalgebry a homomorfismy Definice.Nechť jeuniverzálníalgebratypuω, À podmnožina.řekneme,že ÀjepodalgebraΩ-algebry,jestližeprokaždý Ò-árníoperačnísymbol ¾Ωaprokaždé 1 Ò ¾ Àplatí ( 1 Ò ) ¾ À. Poznámka.Vpřípaděnulárníhooperačníhosymbolu ¾Ωje Ò=0,tedy 0 =.Obraztohotojedinéhoprvkujsmesedohodliznačitstručně místo (možnápřesnějšího)označení ( ).Podmínkuzdefinicejetedytřebachápatve smyslu ¾ À. Poznámka. Obsahuje-li typ Ω alespoň jeden nulární operační symbol, pak je každá podalgebra libovolné Ω-algebry neprázdná. Příklady. V jednotlivých případech příkladu univerzálních algeber z předchozí kapitoly dostáváme tyto podalgebry: 1. Podmnožina množiny. 2. Podgrupoid grupoidu. 3. Podgrupa grupy. 4. Podokruh okruhu. 5. Podsvaz svazu. 6. Booleova podalgebra Booleovy algebry. 7. Vektorový podprostor vektorového prostoru. Poznámka. Následující větu jsme v jednotlivých kontextech dokazovali několikrát. Věta2.1.Nechť jeuniverzálníalgebratypuω, Áneprázdnámnožina.Pro každé ¾ Ánechťjedánapodalgebra À algebry.pakjejichprůnik Ì ¾Á À jepodalgebraω-algebry. Důkaz.Zvolmelibovolně Ò-árníoperačnísymbol ¾Ωaprvky 1 Ò ¾ Ì ¾Á À.Pakprokaždé ¾ Á platí 1 Ò ¾ À.Protože À jepodalgebra Ω-algebry,platí ( 1 Ò ) ¾ À.Toovšemznamená,že ( 1 Ò ) ¾ Ì ¾Á À,cožsemělodokázat. Důsledek. Obsahuje-li typ Ω alespoň jeden nulární operační symbol, pak je průnik libovolného neprázdného systému podalgeber dané algebry neprázdný. Důkaz. V tomto případě není prázdná množina podalgebrou. Důsledek.Nechť Èjemnožinavšechpodalgeberdanéuniverzálníalgebry typuω.pakplatí:(è )jeúplnýsvaz. Důkaz.Protožeuspořádanámnožina(È )mánejvětšíprvek(jejímcelá algebra jakosvápodalgebra),dlepříslušnévětyoúplnýchsvazechstačíověřit, žetéžlibovolnáneprázdnápodmnožina Å Èmávuspořádanémnožině(È ) infimum.tímtoinfimemjemnožinovýprůnik Ì À¾Å À,kterýdlepředchozívěty jeskutečněprvkemmnožiny È. Poznámka. Předchozí věta 2.1 nám umožňuje definovat podalgebru generovanou množinou. Definice.Nechť jeuniverzálníalgebratypuω, Å podmnožinanosné množiny.průnikvšechpodalgeberω-algebry,kteréobsahují Åjakosvoupodmnožinu,značíme Å anazývámepodalgebrouω-algebry generovanoumnožinou Å. 3

Poznámka.Díkytomu,žealespoňjednapodalgebraΩ-algebry obsahující množinu Å existuje(jejíjistěceláω-algebra ),podlevěty2.1jezmíněným průnikem Å skutečněpodalgebraω-algebry.zřejmějetozevšechpodalgeber Ω-algebry obsahujícíchmnožinu Åtanejmenší(vzhledemkmnožinovéinkluzi). Příklady. V jednotlivých případech příkladu univerzálních algeber z předchozí kapitoly dostáváme tyto podalgebry generované množinou: 1.VpřípaděΩ-algebry prázdnéhotypuω= jekaždápodmnožinamnožiny podalgebrou,protovtomtopřípaděprolibovolné Å jepodalgebrou Ω-algebry generovanoumnožinou Åsamamnožina Å. 2. Podgrupoid grupoidu generovaný množinou. Tento pojem jsme v přednášce nezaváděli. 3.Podgrupa Å grupygenerovanámnožinou Å. 4.Podokruh Å okruhugenerovanýmnožinou Å. 5. Podsvaz svazu generováný množinou(nezaváděli jsme). 6. Booleova podalgebra Booleovy algebry generovaná množinou(též jsme nezaváděli). 7. Vektorový podprostor vektorového prostoru generovaný množinou vektorů, což je jeden z nejdůležitějších pojmů lineární algebry. Poznámka. Díky tomu, že podalgebra Ω-algebry je podmnožina uzavřená na všechny operace příslušné operačním symbolům typu Ω, lze tyto operace zúžit na podalgebru. Proto každá podalgebra je sama Ω-algebrou. Uvědomte si, že tuto úvahu jsme prováděli v průběhu přednášky několikrát v různých kontextech. Poznámka. Nyní budeme definovat homomorfismus Ω-algeber. Dá se asi čekat, že to bude takové zobrazení nosných množin, které pro každou operaci splní následující podmínku: jestliže zobrazíme výsledek operace, musíme dostat totéž, jako když zobrazíme každý operand zvlášť a operaci provedeme až ve druhé algebře. Definice.Nechť, jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuω, ³: zobrazení. Řekneme, že ³ je homomorfismus Ω-algeber, jestliže pro každý operační symbol ¾Ωarity Òakaždéprvky 1 Ò ¾ platí (³( 1 ) ³( Ò ))=³( ( 1 Ò )) Poznámka. Pro nulární operační symbol předchozí podmínka samozřejmě znamená ³( )=. Poznámka. JestližejeΩ-algebra prázdná(vtomtopřípadětedytypω nemůže obsahovat žádný nulární operační symbol), pak pro libovolnou Ω-algebru existujejediný homomorfismus Ω-algeber,totižprázdné zobrazení. JestliženaopakΩ-algebra jeprázdná,pakhomomorfismusω-algeber existujepouzevpřípadě,kdyiω-algebra jeprázdná. Příklady. Porovnejme v jednotlivých případech předchozích příkladů tuto definici s definicemi uváděnými dříve pro jednotlivé speciální případy univerzálních algeber: 1.VpřípaděΩ-algeberprázdnéhotypuΩ= jekaždézobrazeníhomomorfismem. 4

2. Pro grupoidy je tato definice totožná s obvyklou definicí homomorfismu grupoidů. 3. Pro grupy byl homomorfismus definován stejně jako pro grupoidy, tedy v definici bylo vyžadováno, aby zachovával součin. Právě uvedená definice pro případ grup vyžaduje, aby homomorfismus zachovával též inverzní prvky a zobrazilneutrálníprvekgrupy naneutrálníprvekgrupy.jeasijasné, proč tyto požadavky nebyly obsaženy v definici homomorfismu grup: jak jsme si dokazovali, to jsou pouhé důsledky toho, že homomorfismus grup zachovává součin. 4. Pro okruhy jsme v definici homomorfismu vyžadovali, aby zachovával sčítání, násobení a převáděl na sebe jedničky okruhů. Jako důsledek jsme dostali další podmínky z právě provedené obecné definice, týkající se opačných prvků a nul okruhů. 5. V případě svazů obě definice splývají: vyžaduje se, aby homomorfismus zachovával a. 6. V případě Booleových algeber jsme požadovali, aby homomorfismus zachovával,,0a1.jakodůsledekjsmepakobdrželi,žeužnutněmusízachovávat též komplementy, proto nebylo nutné komplementy zahrnout do definice homomorfismu Booleových algeber. 7. V případě vektorových prostorů odpovídá homomorfismu lineární zobrazení. Poznámka. Následující dvě věty pro jednotlivé speciální případy univerzálních algeber známe z přednášky: složením dvou homomorfismů opět dostaneme homomorfismus, homomorfním obrazem grupy(grupoidu, okruhu, atd.) je podgrupa(podgrupoid, podokruh, atd.). Věta2.2.Nechť,, jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuω, ³: a : homomorfismyω-algeber.pakjetéžsložení Æ ³homomorfismus Ω-algeber. Důkaz. Protože je ³ homomorfismus Ω-algeber, pro každý operační symbol ¾Ωarity Òakaždéprvky 1 Ò ¾ platí ³( ( 1 Ò ))= (³( 1 ) ³( Ò )) Protožejetéž homomorfismusω-algeber,platí Dohromady tedy což jsme měli dokázat. ( (³( 1 ) ³( Ò )))= ( (³( 1 )) (³( Ò ))) ( Æ ³)( ( 1 Ò ))= (³( ( 1 Ò )))= = ( (³( 1 ) ³( Ò )))= = ( (³( 1 )) (³( Ò )))= = (( Æ ³)( 1 ) ( Æ ³)( Ò )) Věta2.3.Nechť, jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuω, ³: homomorfismusω-algeber.pakobrazω-algebry vhomomorfismu ³ ³( )= ³( ); ¾ 5

jepodalgebraω-algebry. Důkaz.Zvolmelibovolněoperačnísymbol ¾Ωarity Ò.Pakprokaždéprvky 1 Ò ¾ ³( )existují 1 Ò ¾ tak,že ³( 1 )= 1,, ³( Ò )= Ò. Z definice homomorfismu plyne ( 1 Ò )= (³( 1 ) ³( Ò ))=³( ( 1 Ò )) ¾ ³( ) Definice.Nechť, jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuω, ³: zobrazení. Řekneme, že ³ je izomorfismus Ω-algeber, jestliže je ³ bijektivní homomorfismusω-algeber.řekneme,žeω-algebry a jsouizomorfní,jestližeexistuje nějakýizomorfismusω-algeber. Poznámka. Následující věta formuluje očekávanou vlastnost vztahu být izomorfní: je reflexivní, symetrický a tranzitivní. Věta2.4.Nechť,, jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuω.pakplatí: jeizomorfnís ; je-li izomorfnís,pakjetéž izomorfnís ; jestliže jeizomorfnís a jeizomorfnís,pakjetéž izomorfnís. Důkaz. To je snadné, dokažte si sami jako cvičení. Poznámka. Je jasné, že dvě Ω-algebry jsou izomorfní, právě když lze jednu dostat ze druhé přejmenováním prvků. Proto izomorfní Ω-algebry mají všechny algebraické vlastnosti stejné. 3. Součiny Poznámka. Podobně jako jsme definovali součin grup nebo svazů, lze definovat součin libovolných dvou Ω-algeber. Pro každý operační symbol budeme definovat operaci na množině všech uspořádaných dvojic po složkách. Definice.Nechť, jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuω.nakartézském součinu definujemenovouuniverzálníalgebrutypuω,kterounazvemesoučinemω-algeber a.prokaždýoperačnísymbol ¾Ωarity Òakaždéprvky 1 Ò ¾, 1 Ò ¾ klademe (( 1 1 ) ( Ò Ò ))=( ( 1 Ò ) ( 1 Ò )) Poznámka.Předchozípodmínkavpřípaděnulárníhooperačníhosymbolu pochopitelněznamená =( ). Poznámka. Vzpomeňte si, že u součinu grup jsme pracovali s projekcemi ze součinu do původních grup, což byly surjektivní homomorfismy. Stejnou situaci máme i nyní obecně pro Ω-algebry. Protože však Ω-algebry mohou být i prázdné, nemusí být obecně projekce ze součinu surjektivní. Definice.Nechť, jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuω, součin těchtoω-algeber.definujmeprojekce 1 :, 2 : zesoučinu předpisem:prokaždé ¾, ¾ klademe 1 (( ))=, 2 (( ))=. 6

Věta3.1.Nechť, jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuω, součin těchtoω-algeber.pakoběprojekce 1, 2 jsouhomomorfismyω-algeber. Důkaz.Ukažme,žeprojekce 1 jehomomorfismusω-algeber.zatímúčelemzvolmelibovolněoperačnísymbol ¾ Ωarity Òaprvky 1 Ò ¾, 1 Ò ¾.Platí 1 (( 1 1 ) ( Ò Ò )) = 1 ( ( 1 Ò ) ( 1 Ò )) = = ( 1 Ò )= = ( 1 (( 1 1 )) 1 (( Ò Ò ))) Zcelaanalogickysedokáže,žeprojekce 2 jehomomorfismusω-algeber. Věta3.2.Nechť,, jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuω, ³:, : homomorfismy Ω-algeber.Pak existuje jedinýhomomorfismus Ω- algeber : svlastností 1 Æ =³, 2 Æ =,kde 1 :, 2 : jsouprojekcezesoučinu. Důkaz.Jezřejmé,žepodmínky 1 Æ =³, 2 Æ = platíprávětehdy, kdyždefinujeme : následujícímpředpisem:prokaždé ¾ klademe ()=(³() ()).Ověřme,žejetohomomorfismusΩ-algeber.Zvolmelibovolně operačnísymbol ¾Ωarity Òaprvky 1 Ò ¾,pakplatí ( ( 1 ) ( Ò ))= ((³( 1 ) ( 1 )) (³( Ò ) ( Ò )))= = (³( 1 ) ³( Ò )) ( ( 1 ) ( Ò )) Nynívyužijemetoho,že ³:, : jsouhomomorfismyω-algeber: (³( 1 ) ³( Ò )) ( ( 1 ) ( Ò )) = což se mělo dokázat. = ³( ( 1 Ò )) ( ( 1 Ò )) = = ( ( 1 Ò )) Poznámka. Nyní můžeme zobecnit součin Ω-algeber takto: místo součinu dvou Ω-algeber budeme definovat součin libovolného počtu Ω-algeber. Nejprve potřebujeme zobecnit definici kartézského součinu množin. Definice.Jestližeprolibovolnýprvek množiny Ájedánamnožina,pak kartézskýmsoučinemmnožin rozumímemnožinuvšechzobrazení zmnožiny Átakových,že ( ) ¾ prokaždé ¾ Á: ¾Á = Ò : Á ; ¾ Á: ( ) ¾ Ó ¾Á Pro libovolné ¾ Á definujeme -tou projekci z kartézského součinu = É ¾Á takto: : jeurčenopředpisem ( )= ( )prokaždé ¾. Poznámka. Promysleme si, co znamená předchozí definice ve speciálním případě, kdy indexová množina Á je prázdná. Pak přestože vlastně žádnou množinu nemáme,jsmeoprávněnimluvitosoučinu:dledefinicejesoučinem É ¾ 7

množinavšechzobrazení : Ë ¾.Protože Ë ¾Á jemnožinavšech prvků Ü,prokteréexistuje ¾ Átak,že Ü ¾,jezřejmě Ë ¾ =.Ovšem zobrazení : jejediné,totižprázdnézobrazení.protomnožina É ¾ je jednoprvková; jejím jediným prvkem je prázdné zobrazení. Poznámka.Uvědomtesi,žepro Á= 1 2 předchozídefinicesplývásobvyklou:podkartézskýmsoučinemmnožin 1, 2 rozumímemnožinuuspořádaných dvojic 1 2 = ( ); ¾ 1 ¾ 2 Ovšemzadatuspořádanoudvojici( )nenínicjinéhonežpevnězvolit ¾ 1, ¾ 2,cožznamenáprávětolikjakodefinovatzobrazení : 1 2 1 2 svlastností (1) ¾ 1, (2) ¾ 2 :položíme (1)=, (2)=.Protonásledující definice součinu libovolného počtu Ω-algeber zobecňuje předchozí definici součinu dvou Ω-algeber. Definice.NechťΩjetyp.Nechťprolibovolnýprvek množiny Á jedána univerzálníalgebra typuω.součinemtěchtoω-algeberrozumímenovouωalgebrudefinovanounakartézskémsoučinu = É ¾Á takto:prokaždýoperační symbol ¾Ωarity Òakaždéprvky 1 Ò ¾,klademe ( 1 Ò )=, kde ¾ jeurčenopodmínkou ( )= ( 1 ( ) Ò ( ))prokaždé ¾ Á. Poznámka. Ve speciálním případě, kdy indexová množina Á je prázdná, je součinem Ω-algebra na jednoprvkové množině, jejímž jediným prvkem je prázdné zobrazení. Tato Ω-algebra je jediná, neboť na jednoprvkové množině pro libovolné nezáporné celé číslo Ò existuje jen jedna Ò-ární operace(viz poznámku na konci první kapitoly). Dochází tedy k situaci, která se může zdát na první pohled paradoxní: ačkoli nemáme žádnou Ω-algebru, jako součin dostáváme jednoprvkovou Ω-algebru. Tedy naprosto z ničeho jsme najednou dostali informaci o tom, jak vypadáω.aletosedásnadnovysvětlit:součin É jesoučinω-algeber,lzejej aplikovatpouzenaω-algebryprourčitéω.informaceotom,jaktotoωvypadá,je tedyuloženavtom,ojakýsoučin É sejedná.pokudbychomchtělibýtnaprosto přesní,mělibychomtotoωnějakvsymbolu É vyznačit,abychomjednotlivésoučinyodsebeodlišili.jenženějakýindex ÉΩ byjenzbytečněkomplikovalzápis, stačí,ževíme,žesoučin É jeprodanéω.vyplýváodtudito,cosnadbylojasné už od začátku: součin jsme definovali jen pro univerzální algebry téhož typu. Poznámka.Pronulárníoperačnísymbol ¾Ωpodmínkavpředchozídefinicisamozřejměznamená =,kde ¾ jeurčenopodmínkou ( )=. Věta3.3.Nechťprolibovolnýprvek množiny Ájedánauniverzálníalgebra danéhotypuω,nechť = É ¾Á jejejichsoučin.pakplatí Prokaždé ¾ Áje -táprojekce : homomorfismusω-algeber. Nechť jeuniverzálníalgebratéhožtypuω,aprokaždé ¾ Ánechťjedán homomorfismusω-algeber ³ :.Pakexistujejedinýhomomorfismus Ω-algeber ³: takový,že Æ ³=³ prokaždé ¾ Á. Důkaz. Postupujeme naprosto stejně jako při důkazech vět 3.1 a 3.2 pro součin dvou Ω-algeber, odlišnost je pouze formální. Dokažme nejdříve první tvrzení. Zvolmelibovolně ¾ Á a ukažme, že projekce je homomorfismus Ω- algeber.zatímúčelemzvolmelibovolněoperačnísymbol ¾Ωarity Òaprvky 8

1 Ò ¾.Označme = ( 1 Ò ).Přímozdefiniceplyne ( ( 1 Ò ))= ( )= ( )= ( 1 ( ) Ò ( ))= = ( ( 1 ) ( Ò )) což se mělo dokázat. Dokažmenynídruhétvrzení.Jezřejmé,žepodmínka Æ ³=³ prokaždé ¾ Áplatíprávětehdy,kdyždefinujeme ³: následujícímpředpisem.pro každé ¾ klademe ³()=,kde ¾ jeurčenopodmínkou:prolibovolné ¾ Áplatí ( )= ( )= (³())=( Æ ³)()=³ () Pro ³() ¾ tedy platí:pro každé ¾ Á je (³())( ) = ³ (). Ověřme, že taktodefinované zobrazení ³ : jehomomorfismus Ω-algeber. Zvolme libovolně operační symbol ¾ Ω arity Ò a prvky 1 Ò ¾. Označme = (³( 1 ) ³( Ò )),podledefinicesoučinuω-algeberpakprokaždé ¾ Á platí ( )= ((³( 1 ))( ) (³( Ò ))( ))= (³ ( 1 ) ³ ( Ò ))= = ³ ( ( 1 Ò )) neboť ³ : jehomomorfismusω-algeber.ovšem ³ ( ( 1 Ò ))= ³( ( 1 Ò )) = ³( ( 1 Ò )) ( ) Toznamená,že a³( ( 1 Ò ))jsou(jakožtoprvkykartézskéhosoučinu) zobrazení se stejným definičním oborem, oborem hodnot i předpisem, proto platí =³( ( 1 Ò )),tj. (³( 1 ) ³( Ò ))=³( ( 1 Ò )),cožsemělo dokázat. 4. Kongruence a faktorové algebry Poznámka. V této kapitole zobecníme pojmy faktorgrupa a faktorokruh na případ libovolné Ω-algebry. Nepodaří se nám však nalézt pojem odpovídající pojmům normální podgrupa grupy a ideál okruhu. Uvědomme si, jak jsme pojem normální podgrupa dostali: při faktorizaci grupy nebylo nutné si pamatovat celý rozklad nosné množiny užívaný k faktorizaci, stačilo si pamatovat tu třídu, která obsahovala neutrální prvek grupy. Celý rozklad jsme totiž byli schopni ze znalosti této jediné třídy jednoznačně určit, neboť tato třída byla normální podgrupa celé grupy a zmíněný rozklad byl rozkladem příslušným této podgrupě. Tato situace se pak opakovala i v případě okruhů, vždyť každý okruh(zapomeneme-li na operaci násobení) je komutativní grupa. To ale samozřejmě neplatí pro libovolné Ω-algebry. Proto při faktorizaci Ω-algeber nevystačíme jen se zadáním nějaké vhodné podmnožiny nosné množiny(jakožto jedné třídy rozkladu), ale bude vždy třeba zadat rozklad celý. Rozklad samozřejmě lze zadat pomocí jemu odpovídající ekvivalence. 9

Definice.Nechť jeuniverzálníalgebratypuω,nechť jerelaceekvivalence nanosnémnožině.řekneme,že jekongruencenaω-algebře,jestližepro každý Ò-árníoperačnísymbol ¾Ωaprokaždé 1 Ò 1 Ò ¾ platí 1 1 Ò Ò =µ ( 1 Ò ) ( 1 Ò ) Poznámka. Následující věta popisuje vztah mezi homomorfismy Ω-algeber a kongruencemi na Ω-algebrách: každý homomorfismus zadává kongruenci. Později dokážeme, že i naopak každá kongruence vzniká tímto způsobem z vhodného homomorfismu. Věta4.1.Nechť, jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuω, ³: homomorfismusω-algeber.pakrelace nanosnémnožině definovanápředpisem: prokaždé ¾ platí (*) µ ³( )=³( ) jekongruencenaω-algebře. Důkaz.Zřejměje ekvivalencípříslušnouzobrazení ³.Stačítedyukázat,že splňuje implikaci v definici kongruence. Zvolme libovolně Ò-ární operační symbol ¾Ωaprvky 1 Ò 1 Ò ¾ tak,že 1 1,, Ò Ò.Odtudplyne ³( 1 )=³( 1 ),, ³( Ò )=³( Ò ).Pakovšemzdefinicehomomorfismu ³( ( 1 Ò ))= (³( 1 ) ³( Ò ))= (³( 1 ) ³( Ò ))= = ³( ( 1 Ò )) cožznamenádokazované ( 1 Ò ) ( 1 Ò ). Definice.Nechť, jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuω, ³: homomorfismusω-algeber.kongruence naω-algebře definovanápředpisem (*) předchozí věty se nazývá jádro homomorfismu ³. Poznámka. Na rozdíl od jádra homomorfismu grup, což byla normální podgrupagrupy,ajádrahomomorfismuokruhů,cožbylideálokruhu,nenítedy jádrohomomorfismuω-algeberpodmnožinanosnémnožiny,aleekvivalencena nosnémnožině.jetodánotím,že(jakjsmejižzmiňovalivúvodnípoznámce této kapitoly) v obecném případě Ω-algeber není možné charakterizovat celý rozklad(a tedy celou ekvivalenci) pouze jedinou jeho třídou. Poznámka.VnásledujícídefinicikdanéΩ-algebře adanékongruencinaní sestrojíme faktorovou Ω-algebru způsobem známým z faktorizace grup a okruhů: narozkladupříslušném (vždyť jeekvivalencenanosnémnožině )zavedeme operace pomocí reprezentantů. Jako obvykle pak bude potřeba ověřit korektnost této definice, tj. dokázat, že provedená konstrukce nezáleží na naší libovůli při volbě reprezentantů. Definice.Nechť jeuniverzálníalgebratypuω,nechť jekongruencena Ω-algebře.Označme Ê= rozkladpříslušný.prokaždý Ò-árníoperační symbol ¾Ωdefinujme Ò-árníoperacina Êtakto:prokaždé 1 Ò ¾ Ê zvolme 1 ¾ 1,, Ò ¾ Ò adefinujme Ê ( 1 Ò )tím,žejetotřída 10

obsahujícíprvek ( 1 Ò ).Množina Êspolusprávězavedenýmioperacemi senazýváfaktorováalgebraω-algebry podlekongruence,značíse. Věta 4.2. Předchozí definice je korektní. Důkaz. Je třeba ověřit nezávislost na volbě reprezentantů. Zachovejme veškeréoznačenízdefiniceazvolmeještědalšíreprezentanty:nechťtéž 1 ¾ 1,, Ò ¾ Ò.Ovšempatřitdostejnétřídyrozkladuznamenábýtekvivalentní,tedy platí 1 1,, Ò Ò.Zdefinicekongruencepakdostáváme ( 1 Ò ) ( 1 Ò ),cožznamená,že ( 1 Ò )a ( 1 Ò )patřídostejnétřídy rozkladu,totiždotřídy Ê ( 1 Ò ). Příklad. Příklad faktorgrupy a faktorokruhu je známý. Ukažme si proto něco, co jsme v přednášce z algebry nedělali. Univerzální algebra nám dává návod, jak faktorizovatsvazy.nechť(ë )jesvaz.kongruencenaněmjeekvivalence namnožině Ësplňující:prokaždé ¾ Ëtakové,že a,platí a.je-li kongruencenasvazu(ë ),pakfaktorsvazje svaz,jehožnosnámnožinajerozklad Ë aoperacenaníjsoudefinoványpomocí reprezentantů:pro Ì Ê ¾ Ë zvolíme ¾ Ì, ¾ Êadefinujeme Ì Êjakotřídu obsahující aì Êjakotříduobsahující. Věta4.3.Nechť jeuniverzálníalgebratypuω, kongruencenaω-algebře.pakzobrazení : určenépředpisem ¾ ( )prolibovolné ¾ (tedy ( )jetřídaobsahujícíprvek )jesurjektivníhomomorfismusω-algeber. Důkaz. Zobrazení jesurjekce,neboťkaždátřídarozkladu ¾ je neprázdná,existujetedy ¾,prokterésamozřejměplatí ( )=.Ukažme,že jehomomorfismusω-algeber.zvolmelibovolně Ò-árníoperačnísymbol ¾Ωa prvky 1 Ò ¾.Označme 1 = ( 1 ),, Ò = ( Ò ).Paktedy 1 ¾ 1,, Ò ¾ Ò a ( 1 Ò )jeurčenotím,žeobsahujeprvek ( 1 Ò ), tj. ( ( 1 Ò ))= ( 1 Ò )= ( ( 1 ) ( Ò )) což se mělo dokázat. Definice.SurjektivníhomomorfismusΩ-algeber : konstruovaný vpředchozívětěsenazýváprojekceω-algebry nafaktorovoualgebru. Důsledek.Nechť jeuniverzálníalgebratypuω.platí,žekaždákongruence naω-algebře jejádremvhodnéhohomomorfismuω-algebervycházejícíhozωalgebry. Důkaz.Nechť jelibovolnákongruencenaω-algebře.nechť : je projekce Ω-algebry na faktorovoualgebru. Tvrzení bude dokázáno, ověříme-li,žejádrem je.označme jádro.podledefinicejádrahomomorfismuprolibovolné ¾ platí právětehdy,když ( )= ( ),což podledefiniceprojekceznamená,že a patřídotéžetřídyrozkladu,neboli. Definice.Nechť jemnožina, a ekvivalencenamnožině.řekneme, žeekvivalence jemenšíneborovnaekvivalenci,jestližeprokaždé ¾ platí implikace =µ Poznámka.Protožedledefinicejeekvivalencenamnožině relacínamnožině,tedypodmnožinoukartézskéhosoučinu,přičemžnapříklad 11

jestručnějšíapřehlednějšízápisfaktu( ) ¾,znamenáimplikacezpředchozí definicevlastněmnožinovouinkluzi.nemuselijsmetedyproekvivalencepojem menší vůbec zavádět, důvodem byla jen snaha o snadnější porozumění textu. Plyne odtud, že tato relace je uspořádáním na množině všech ekvivalencí na množině.nejmenšíprvektétouspořádanémnožinyjeekvivalence=(dvaprvkyjsou ekvivalentní,právěkdyžjsoustejné),největšímprvkemjeekvivalence,vníž každédvaprvkymnožiny jsouekvivalentní(tedyjíodpovídajícírozkladmá v případě = jedinoutřídurozkladu,totižceloumnožinu ).Uvažmelibovolnouneprázdnoumnožinu ekvivalencínamnožině.průnikemvšechekvivalencí ¾ jetedyrelace namnožině,prokterouplatí:prolibovolné ¾ je právětehdy,kdyžprokaždé ¾ platí.snadnoseověří,žerelace jetéžekvivalencínamnožině (promysletesidůkazsami,jeopravdusnadný). Odvodilijsme,žemnožinavšechekvivalencínamnožině uspořádanáinkluzíje úplnýsvaz.rovněžmnožinavšechkongruencínadanéω-algebřě uspořádaná inkluzí tvoří úplný svaz, jak plyne z následující věty, uvědomíte-li si, že relace jevždykongruencínaω-algebřě. Věta 4.4. Nechť je univerzální algebra typu Ω, à neprázdná množina kongruencínaω-algebře.nechťrelace namnožině jeprůnikemvšechkongruencízmnožiny Ã,tj.prolibovolné ¾ klademe právětehdy,když prokaždé ¾ Ãje. Pakrelace jekongruencínaω-algebře É. UvažmesoučinΩ-algeber = ¾Ã.Prokaždé ¾ Ãoznačme : projekcizesoučinua : projekciω-algebry na faktorovoualgebru.podlevěty3.3existujejedinýhomomorfismusωalgeber ³: takový,že Æ ³=.Pakplatí:jádremhomomorfismu ³jekongruence. Důkaz. První tvrzení je důsledkem druhého, neboť podle věty 4.1 je jádro libovolného homomorfismu kongruencí. Označme ³ jádro homomorfismu ³. Pro libovolné ¾ platí ³ právětehdy,když ³( )=³( ),cožpodledefinice součinuω-algebernastaneprávětehdy,kdyžprokaždé ¾ Ãplatí (³( ))= (³( )),cožvzhledemk Æ ³= znamenáprávě ( )= ( ),neboli.dokázalijsme,žeprolibovolné ¾ platí ³ právětehdy,kdyžpro každé ¾ Ãje,cožvšakpodledefinicerelace nastane,právěkdyž. Věta je dokázána. Poznámka. Následující věta je zobecněním vět, které jsme si uváděli pro faktorgrupy a faktorokruhy. Věta4.5.Nechť, jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuω, ³: homomorfismusω-algebersjádrem.nechť jelibovolnákongruencenaωalgebře menšíneborovnakongruenci.označme : projekciωalgebry nafaktorovoualgebru.pakplatí Existujejedinézobrazení ³: takové,že ³ Æ =³. Toto zobrazení ³ je homomorfismus Ω-algeber. Homomorfismus ³ je surjektivní, právě když homomorfismus ³ je surjektivní. Homomorfismus ³jeinjektivní,právěkdyžjsouoběkongruence a stejné (tj. = ). Důkaz.Konstruujmezobrazení ³: tak,aby ³ Æ =³.Zvolme 12

libovolně ¾.Protože jetřídarozkladu,jeneprázdná,atedyexistuje ¾.Podledefinice pak ( )=.Pakzpodmínky ³ Æ = ³plyne ³( )= ³( ( )) = ( ³ Æ )( ) = ³( ).Toovšemznamená,žepokudnějakézobrazení ³: splňující ³Æ = ³existuje,jejediné.Definujmetedy ³: tímtojedinýmzpůsobem:prolibovolné ¾ tedyzvolíme ¾ aklademe ³( )=³( ).Jealetřebaověřitkorektnosttétodefinice,nebolinezávislostna volbě ¾.Mějmedalší ¾,pakobaprvky, ležívtéžetřídě rozkladu,odkud.protožekongruence jemenšíneborovnakongruenci, plyneodtud.ovšem jejádremhomomorfismu ³,protoposledníznamená ³( )=³( ).Jetedyskutečnědefinicezobrazení ³korektní. Dokažme nyní, že zobrazení ³ je homomorfismus Ω-algeber. Za tím účelem zvolmelibovolněoperačnísymbol ¾ Ωarity Òaprvky 1 Ò ¾. Zvolmelibovolně 1 Ò ¾ tak,že ( 1 )= 1,, ( Ò )= Ò.Protože a ³ jsou homomorfismy Ω-algeber, platí ³ ( 1 Ò ) = ³ ( ( 1 ) ( Ò )) = = ³ ( ( 1 Ò )) = =( ³ Æ )( ( 1 Ò ))= = ³( ( 1 Ò ))= = (³( 1 ) ³( Ò ))= = (( ³ Æ )( 1 ) ( ³ Æ )( Ò ))= = ( ³( ( 1 )) ³( ( Ò )))= = ( ³( 1 ) ³( Ò )) což jsme měli dokázat. Jestližejehomomorfismus ³surjektivní,pakprokaždé ¾ existuje ¾ tak,že =³( )=( ³ Æ )( )= ³( ( )),cožznamená,žehomomorfismus ³je surjektivní. Je-li naopak homomorfismus ³ surjektivní, pak též ³ jakožto složení dvou surjekcí je surjektivní(dokažte si sami). Předpokládejme,že =,aukažme,žehomomorfismus ³jeinjektivní. Nechť 1 2 ¾ jsoulibovolnéprvkysplňující ³( 1 )= ³( 2 ).Zvolmelibovolně 1 2 ¾ tak,že ( 1 )= 1, ( 2 )= 2.Pakplatí ³( 1 )=( ³ Æ )( 1 )= ³( ( 1 ))= ³( 1 )= = ³( 2 )= ³( ( 2 ))=( ³ Æ )( 2 )=³( 2 ) odkudzdefinicejádrahomomorfismuplyne 1 2,aproto 1 2,cožznamená, žeprvky 1 a 2 ležívtéžetříděrozkladu,kterouje 1 = 2. Předpokládejme naopak, že homomorfismus ³ je injektivní. Stačí ověřit, že kongruence jemenšíneborovnakongruenci,neboťopačnounerovnostmáme vpředpokladechvěty.nechťtedyjsou ¾ takové,že.pakzdefinice jádrahomomorfismuplyne ³( )=³( ),tedy ³( ( ))= ³( ( )).Protožepředpokládáme,že ³jeinjektivníhomomorfismus,plyneodtud ( )= ( ).Podle definiceprojekcenafaktorovoualgebrutoznamená,že a ležívtéžetřídě rozkladu,tedy.důkazvětyjeskončen. 13

Důsledek.Nechť, jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuω, ³: homomorfismusω-algebersjádrem.pakobrazω-algebry vhomomorfismu ³ ³( )= ³( ); ¾ jeω-algebraizomorfnísfaktorovoualgebrou. Důkaz. Stačíužítpředchozí větupro = auvědomitsi,že ³( ) = ( ³ Æ )( )= ³( ),neboťprojekce jesurjektivní. 5. Termy Poznámka. V následující kapitole budeme chtít definovat rovnosti. Příkladem těchto rovností jsou komutativní, asociativní, distributivní, absorpční a další identity, se kterými jsme se setkali. Jde vždy o rovnost mezi dvěma výrazy, které obsahují nějaké proměnné spolu svázané operacemi. Tyto výrazy nazýváme termy. Potřebujeme nyní přesně tyto termy definovat. Jediná cesta je definovat je induktivně, tedy říci, že term je něco, co lze určitými pravidly získat z nejjednodušších termů. Představme si pro určitost nějaké konkrétní rovnosti, například následující rovnostiplatnévbooleovýchalgebrách Ü Ü ¼ =1, Ü Ü=Ü.Vidíme,žezdenejjednoduššími termy jsou nulární operace 1 a proměnná Ü. Z nich se pak konstruují složitějšítermy Ü ¼, Ü Ü, Ü Ü ¼.Obecněnevystačímesjedinouproměnnou(vzpomeňte si na rovnosti popisující komutativní nebo asociativní zákon). Na druhou stranu je jasné, že vždy máme v rovnosti jen konečně mnoho proměnných. Proto budestačitpracovatsnásledujícímiproměnnými Ü 1 Ü 2 Ü 3 Definice.NechťΩjetyp.TermemtypuΩnazvemeprávětakovývýraz,který lze zkonstruovat konečně mnoha aplikacemi následujících pravidel: Prolibovolnépřirozenéčíslo Òjeproměnná Ü Ò termtypuω. Prolibovolnýnulárníoperačnísymbol ¾Ωje termtypuω. Prolibovolnépřirozenéčíslo Ò,libovolný Ò-árníoperačnísymbol ¾Ωa libovolnétermy Ø 1,, Ø Ò typuωjevýraz (Ø 1 Ø Ò )termtypuω. Poznámka.Pokudbymělněkdopocit,žepřesveškerousnahuopřesnostje předchozí definice stejně nepřesná, neboť užívá nedefinovaný pojem výraz, může si předchozí definici opravit tím, že místo o výrazech bude mluvit o konečných posloupnostech symbolů z abecedy, která se skládá z množiny proměnných, množiny Ω, kulatých závorek a čárky, tedy o slovech nad touto abecedou. Poznamenejme též,žestriktněpodledefinicenapříklad Ü Ü ¼ termnení,správněbychomjejtotiž mělipsátvetvaru (Ü 1 ¼ (Ü 1 )).Jejasné,žeposlednízápisnapřehlednostinepřidal, proto nebudeme užívat dogmaticky jen zápisy termů povolené předchozí definicí. Na druhou stranu je nezbytné, abychom vždy věděli, jak term, který užíváme, má dle této definice vypadat. Definice.Řekneme,žeterm ØtypuΩje Ò-ární,jestližesepřijehokonstrukci nevyužiložádnéproměnné Ü Ñ pro Ñ Ò. Příklad.Term Ü 2 jebinární,ovšemjetéž3-árníataké4-árníatd.nenívšak unární, přestože v něm vystupuje jen jedna proměnná. Příklad. Nulární term typu Ω je term, při jehož konstrukci se nepoužila žádná proměnná, byl tedy vytvořen jen pomocí druhého a třetího pravidla z definice 14

termu. Je jasné, že takové termy existují jen pro typy obsahující alespoň jeden nulární operační symbol. Poznámka.Jevcelkupatrné,žekaždý Ò-árníterm ØtypuΩnámvlibovolné Ω-algebře zadává Ò-árníoperaci.Chceme-litentojasnýfaktdefinovatpřesně,je nutné užít opět induktivní definici. Definice.Nechť Øje Ò-árnítermtypuΩ.Nechť jeuniverzálníalgebratypu Ω.Definujeme Ò-árníoperaci Ø určenoutermem ØnaΩ-algebře následujícím způsobem.nechť 1 Ò ¾ jsoulibovolnéprvky. Je-litermem Øproměnná Ü,pakoperacíurčenoutermem Øje -táprojekce zkartézskéhosoučinu,tj.pro Ø=Ü klademe Ø ( 1 Ò )=. Je-litermem Ønulárníoperačnísymbol ¾Ω,pakoperacíurčenoutermem ØjeoperacenaΩ-algebře příslušná symbolu,tj.pro Ø = klademe Ø ( 1 Ò )=. Je-literm Øsloženpomocí -árníhooperačníhosymbolu ¾Ω,kde 1, ztermů Ø 1,, Ø typuω,pakoperaci Ø určenoutermem Ødefinujeme takto:jejíhodnotavò-tici( 1 Ò )jehodnotaoperace naω-algebře příslušnésymbolu v -tici((ø 1 ) ( 1 Ò ) (Ø ) ( 1 Ò ))hodnotoperacípříslušnýchtermům Ø 1,, Ø v Ò-tici( 1 Ò ),tj.pro Ø= (Ø 1 Ø Ò )klademe Ø ( 1 Ò )= ((Ø 1 ) ( 1 Ò ) (Ø ) ( 1 Ò )) Poznámka. Protože libovolný Ò-ární term typu Ω lze považovat též za Ñ- árnítermtypuωprolibovolné Ñ Ò,dopustilijsmesevpředchozídefinicijisté nepřesnosti:stejným symbolem Ø označujeme různéoperace!je-li nejmenší takové,žeterm Øje -ární,pak Ø značí Ò-árníoperacinaΩ-algebře prokaždé nezápornéceléčíslo Ò.Ukažmetonanásledujícímpříkladu. Příklad. Předpokládejme, že Ω obsahuje binární operační symbol +. Jestliže napříkladpovažujemeterm Ü 1 + Ü 2 zabinární,pakpodlepředchozídefiniceplatí (Ü 1 + Ü 2 ) ( 1 2 )= 1 + 2,pokudtentotermvšakpovažujemeza3-ární,pak (Ü 1 + Ü 2 ) ( 1 2 3 )= 1 + 2.Obecně,prolibovolné Ò 2,je-literm Ü 1 + Ü 2 považovánza Ò-ární,pak(Ü 1 + Ü 2 ) ( 1 Ò )= 1 + 2. Poznámka. V předchozím příkladě jsme viděli, že nepřesnost, které se dopouštíme, není nijak fatální. Dokážeme to v následující větě. Věta5.1.Nechť Øje Ò-árnítermtypuΩ,nechťpřirozenéčíslo Ñ Ò.Pak prolibovolnouuniverzálníalgebru typuωalibovolné 1 Ñ ¾ platí Ø ( 1 Ò )=Ø ( 1 Ñ ) kdesymbolem Ø rozumímevlevo Ò-árníoperaciurčenoutermem Øna,kdežto vpravo Ñ-árníoperaciurčenoutermem Øna. Důkaz. Důkaz povedeme indukcí vzhledem k termu Ø podle definice termu. První krok této indukce spočívá v tom, že tvrzení dokážeme pro termy, které jsou proměnnou nebo nulárním operačním symbolem. Ve druhém kroku předpokládáme,žeterm Øjepomocínějakéhooperačníhosymbolusloženzjinýchtermůa žeprotytotermybylotvrzeníjiždokázáno,adokážemetvrzeníproterm Ø. 15

Je-litermem Øproměnná Ü,pak Ò,neboť Øje Ò-árníterm.Platí (Ü ) ( 1 Ò )= =(Ü ) ( 1 Ñ ) Je-litermem Ønulárníoperačnísymbol ¾Ω,pak ( 1 Ò )= = ( 1 Ñ ) Předpokládejme,žejeterm Øsloženpomocí -árníhooperačníhosymbolu ¾ Ω,kde 1,ztermů Ø 1,, Ø typuω,prokteréjižbylotvrzení dokázáno,tedyprokaždé =1 platí Pak platí (Ø ) ( 1 Ò )=(Ø ) ( 1 Ñ ) Ø ( 1 Ò )= ((Ø 1 ) ( 1 Ò ) (Ø ) ( 1 Ò ))= = ((Ø 1 ) ( 1 Ñ ) (Ø ) ( 1 Ñ ))= = Ø ( 1 Ñ ) Věta je dokázána. Příklad.NechťΩ=,kde jebinárníoperačnísymbol,nechť jeuniverzálníalgebratypuω(tedygrupoid).uvažmeterm Ü 1 Ü 2.Pakdlepředchozí definice tento term určuje binární operaci Podobně (Ü 1 Ü 2 ) ( 1 2 )=(Ü 1 ) ( 1 2 ) (Ü 2 ) ( 1 2 )= 1 2 (Ü 2 Ü 1 ) ( 1 2 )=(Ü 2 ) ( 1 2 ) (Ü 1 ) ( 1 2 )= 2 1 Naivnělzetedyoperacipříslušnoutermu Øpopsattakto:zaproměnnou Ü dosadímeprvek aprovedemevšechnyoperacetermu Ø. Příklad.UvažmetypΩ= ¼ 0 1,kdeoperačnísymboly a jsou binární,symbol ¼ jeunárníasymboly0,1jsounulární.nechť jeuniverzální algebra typu Ω(příkladem takové Ω-algebry je libovolná Booleova algebra, ovšem nekaždáω-algebrajebooleovaalgebra,jejíjenta,vnížplatípodmínkykladené na Booleovy algebry, tj. asociativita, komutativita, idempotentnost obou operací, absorpční a distributivní zákony, identity spojené s nejmenším a největším prvkem, identityprokomplement viznásledujícíkapitolu).uvažmeterm(ü 1 Ü ¼ 2 ) (ܼ 1 Ü 2 ),pakhodnotaoperacena určenétímtotermemvuspořádanédvojiciprvků 1 2 ¾ je ((Ü 1 Ü ¼ 2 ) (ܼ 1 Ü 2)) ( 1 2 )=(Ü 1 Ü ¼ 2 ) ( 1 2 ) (Ü ¼ 1 Ü 2) ( 1 2 )= = (Ü 1 ) ( 1 2 ) (Ü ¼ 2) ( 1 2 ) (Ü ¼ 1) ( 1 2 ) (Ü 2 ) ( 1 2 ) = = 1 ((Ü 2 ) ( 1 2 )) ¼ ((Ü 1 ) ( 1 2 )) ¼ 2 = =( 1 ¼ 2 ) ( ¼ 1 2 ) což je v případě Booleovy algebry hodnota operace sčítání na odpovídajícím Booleově okruhu. Příklad.UvažmelibovolnýtypΩobsahující Ò-árníoperačnísymbol,aterm (Ü 1 Ü Ò ).PakprolibovolnouΩ-algebru alibovolné 1 Ò ¾ platí ( (Ü 1 Ü Ò )) ( 1 Ò )= ((Ü 1 ) ( 1 Ò ) (Ü Ò ) ( 1 Ò ))= atedy( (Ü 1 Ü Ò )) =. = ( 1 Ò ) 16

Poznámka. Právě definované operace určené termy umožňují zformulovat následující obecnou větu o tom, jak vypadá podalgebra Ω-algebry generovaná podmnožinou. Se speciálními případy této věty jsme se již několikrát setkali, například pro podgrupu grupy generovanou množinou, nebo pro vektorový podprostor vektorového prostoru generovaný danou množinou vektorů. Věta5.2.Nechť jeuniverzálníalgebratypuω, Åpodmnožinanosnémnožiny.Pakpodalgebra Å Ω-algebry generovanámnožinou Åjetvaru Å = Ø ( 1 Ò ); Ò ¾Z Ò 0 Øje Ò-árnítermtypuΩ 1 Ò ¾ Å Důkaz. Označme Æ množinu na pravé straně uvedené rovnosti. Nejprve dokážeme Å Æ, a totak,že ukážeme, že Æ je podalgebra Ω-algebry obsahující množinu Å. Pro inkluzi Å Æ stačí vzít Ò = 1 a unární term Ü 1,neboťprolibovolné ¾ Å je(ü 1 ) ( )=.Dokažmetedy,že Æ jepodalgebraω-algebry.zvolmelibovolně -árníoperačnísymbol ¾Ωa libovolnýchprvků 1 ¾ Æaukažme,že ( 1 ) ¾ Æ.Ovšemprokaždé =1 existuje Ò -árníterm Ø typuωaò prvků 1 Ò ¾ Åtak, že =(Ø ) ( 1 Ò ).Potřebujemeprvky 1 získatjakohodnoty operací příslušných nějakým termům typu Ω na stejné Ò-tici prvků množiny Å. Protopoložme Ò=Ò 1 + +Ò auvažme Ò-tici( 1 1 1 Ò1 1 Ò ) vzniklouposkládánímzmíněných Ò -ticzasebe.označme Ø ¼ term,kterývznikne ztermu Ø tím,žeseindexyvšechproměnnýchvněmpoužitýchzvětšíočíslo Ò 1 + +Ò 1 (tedyspeciálně Ø1= ¼ Ø 1 ).Platítedyprokaždé =1 aproto =(Ø ) ( 1 Ò )=(Ø ¼ ) ( 1 1 1 Ò1 1 Ò ) ( 1 )=( (Ø ¼ 1 Ø ¼ )) ( 1 1 1 Ò1 1 Ò ) Tojealedledefinicemnožiny Æprvek Æ,cožsemělodokázat. Dokažmenyníinkluzi Å Æ,atotak,žeukážeme,žeprvkymnožiny Æ ležívkaždépodalgebřeω-algebry obsahujícímnožinu Å.Dledefinicemnožiny Æ je její libovolnýprvek tvaru Ø ( 1 Ò ),kde Øje Ò-ární termtypuωa 1 Ò ¾ Å.Nechť ÀjelibovolnápodalgebraΩ-algebry obsahujícímnožinu Åaukažmeindukcípodledefinicetermu,že Ø ( 1 Ò ) ¾ À. Je-litermem Øproměnná Ü,pak Ø ( 1 Ò )= ¾ Å À. Je-litermem Ønulárníoperačnísymbol ¾Ω,pakpodledefinicepodalgebry Ø ( 1 Ò )= ¾ À. Předpokládejme,žejeterm Øsloženpomocí -árníhooperačníhosymbolu ¾ Ω,kde 1,ztermů Ø 1,, Ø typuω,prokteréjižbylotvrzení dokázáno,tedyprokaždé =1 platí =(Ø ) ( 1 Ò ) ¾ À.Pak platí Ø ( 1 Ò )= ((Ø 1 ) ( 1 Ò ) (Ø ) ( 1 Ò ))= dle definice podalgebry. Věta je dokázána. = ( 1 ) ¾ À 17

6. Variety Definice.Nechť Ø 1, Ø 2 jsoutermytypuω.výraz Ø 1 = Ø 2 nazývámerovností typu Ω. Příklad.NechťΩ=,kde jebinárníoperačnísymbol,pakrovnostítypu Ωjenapříkladrovnost Ü 1 Ü 2 = Ü 2 Ü 1.Tatorovnostpsánanaprostoformálněje tvaru (Ü 1 Ü 2 )= (Ü 2 Ü 1 ),alejejasné,ženenítřebasizbytečněkomplikovatživot přehnanou snahou po formálnosti, podstatné je to, že víme, jak formálně rovnost vypadá, a jsme schopni v případě potřeby ji správně formálně přepsat. Příklad.UvažmetypΩ= 1 1,kdeoperačnísymbol jebinární,symbol 1 jeunárníasymbol1jenulární.příkladyrovnostíjsou(ü 1 Ü 2 ) Ü 3 = Ü 1 (Ü 2 Ü 3 ), Ü 1 Ü 1 1 =1,atd. Definice.Nechť Ø 1 a Ø 2 jsoutermytypuω,nechť jeuniverzálníalgebra typuω.nechť ÒaÑjsounejmenšípřirozenáčíslataková,že Ø 1 je Ò-árníaØ 2 je Ñ-árníterm.Označme =max Ò Ñ.Řekneme,žerovnost Ø 1 = Ø 2 platívωalgebře,jestližetermy Ø 1, Ø 2 určujístejnou -árníoperacinaω-algebře,tj. prokaždéprvky 1 ¾ platí(ø 1 ) ( 1 )=(Ø 2 ) ( 1 ). Poznámka.Podlevěty5.1platí,žepokudtermy Ø 1 a Ø 2 zpředchozídefinice určujístejnou -árníoperacina,takprolibovolnépřirozenéčíslo Ð tyto termyurčujístejnou Ð-árníoperacina.Protovpředchozídefinicijsmemísto =max Ò Ñ mohlivzítlibovolnépřirozenéčíslo max Ò Ñ. Příklad. Nechť Ø 1 = Ø 2 jelibovolnárovnosttypuω.pakvlibovolnéjednoprvkovéuniverzálníalgebře typuωplatírovnost Ø 1 = Ø 2.Jestližeexistuje prázdná Ω-algebra(tj. jestliže typ Ω nemá žádný nulární operační symbol), pak v tétoprázdnéalgebřerovnost Ø 1 = Ø 2 taképlatí. Příklad.NechťΩ=,kde jebinárníoperačnísymbol,pakrovnost Ü 1 Ü 2 = Ü 2 Ü 1 platívω-algebře,právěkdyžje komutativnígrupoid. Definice. Libovolnou množinu rovností typu Ω nazýváme teorií typu Ω. Definice. Nechť Ì je teorie typu Ω. Třídu všech Ω-algeber, v nichž platí všechny rovnosti teorie Ì, nazýváme varietou Ω-algeber určenou teorií Ì. Příklad.Nechť ÌjelibovolnáteorietypuΩ.Pakplatí,ževevarietěurčené teorií Ì leží všechny jednoprvkové Ω-algebry. Jestliže typ Ω nemá žádný nulární operační symbol, pak ve varietě určené teorií Ì leží také prázdná Ω-algebra. Poznámka. Všimněte si, že v předchozí definici hovoříme o třídě všech Ω- algeber, nikoli o množině všech Ω-algeber. Nelze totiž hovořit o množině všech Ω- algeber stejně jako nelze hovořit o množině všech množin. Důvodem jsou paradoxy naivní teorie množin(pokud by existovala množina všech množin, existovala by i množina Å všech těch množin, které nejsou svým prvkem; pak oba případy Å ¾ Åi Å ¾ Åvedoukesporu). Poznámka pro ty, kteří znají predikátovou logiku. Uvažíme predikátovoulogikuvjazycesoperačnímisymbolyzω.pakprolibovolné Ò-árnítermyje rovnost Ø 1 = Ø 2 atomickouformulípredikátovélogiky,znížpřidánímkvantifikátorů utvořímeuzavřenouformuli(tj.sentenci)( Ü 1 ) ( Ü Ò )(Ø 1 = Ø 2 ).Provedeme-lito 18

se všemi rovnostmi nějaké teorie Ì typu Ω, získáme tak množinu uzavřených formulí, tedy teorii predikátové logiky. Varieta určená teorií Ì je pak právě třída všech modelů takto vzniklé teorie predikátové logiky. Příklad.NechťΩ=,kde jebinárníoperačnísymbol.teorie Ü 1 Ü 2 = Ü 2 Ü 1 určujevarietuvšechkomutativníchgrupoidů,teorie (Ü 1 Ü 2 ) Ü 3 = Ü 1 (Ü 2 Ü 3 ) určuje varietu všech pologrup, teorie Ü 1 Ü 2 = Ü 2 Ü 1 (Ü 1 Ü 2 ) Ü 3 = Ü 1 (Ü 2 Ü 3 ) Ü 1 Ü 1 = Ü 1 určuje varietu všech polosvazů. Naproti tomu třídu všech grup nedostaneme jako varietu -algeberurčenounějakouteoriítypu :nevímetotiž,jakzapsatpodmínku pro existenci neutrálního prvku nějakými rovnostmi(tato podmínka obsahuje existenční kvantifikátor, kdežto my můžeme zapsat jen podmínky se všeobecnými kvantifikátory). Příklad.UvažmetypΩ= 1 1,kdeoperačnísymbol jebinární,symbol 1 jeunárníasymbol1jenulární.teorie (Ü 1 Ü 2 ) Ü 3 = Ü 1 (Ü 2 Ü 3 ) Ü 1 1=Ü 1 1 Ü 1 = Ü 1 Ü 1 (Ü 1 ) 1 =1 (Ü 1 ) 1 Ü 1 =1 určujevarietuvšechgrup,přidánímdalšírovnosti Ü 1 Ü 2 = Ü 2 Ü 1 získámeteorii určující varietu všech komutativních grup. Tato varieta je samozřejmě též varietou určenou teorií (Ü 1 Ü 2 ) Ü 3 = Ü 1 (Ü 2 Ü 3 ) Ü 1 Ü 2 = Ü 2 Ü 1 Ü 1 1=Ü 1 Ü 1 (Ü 1 ) 1 =1 Příklad.UvažmetypΩ= + 0 1,kdeoperačnísymboly+a jsou binární,symbol jeunárníasymboly0,1jsounulární.varietavšechokruhůje varieta Ω-algeber určená následující teorií typu Ω: (Ü 1 + Ü 2 )+Ü 3 = Ü 1 +(Ü 2 + Ü 3 ) Ü 1 + Ü 2 = Ü 2 + Ü 1 Ü 1 +0=Ü 1 Ü 1 +( Ü 1 )=0 (Ü 1 Ü 2 ) Ü 3 = Ü 1 (Ü 2 Ü 3 ) Ü 1 1=Ü 1 1 Ü 1 = Ü 1 Ü 1 (Ü 2 + Ü 3 )=(Ü 1 Ü 2 )+(Ü 1 Ü 3 ) (Ü 1 + Ü 2 ) Ü 3 =(Ü 1 Ü 3 )+(Ü 2 Ü 3 ) Není jasné, jak zachytit podmínky oboru integrity a tělesa. Později uvidíme, že ani třídu všech oborů integrity ani třídu všech těles nemůžeme dostat jako varietu univerzálních algeber. Příklad.UvažmetypΩ=,kdeobaoperačnísymbolyjsoubinární. Pak varieta všech svazů je určená následující teorií Ì typu Ω: Ì= Ü 1 Ü 2 = Ü 2 Ü 1 (Ü 1 Ü 2 ) Ü 3 = Ü 1 (Ü 2 Ü 3 ) Ü 1 Ü 1 = Ü 1 Ü 1 Ü 2 = Ü 2 Ü 1 (Ü 1 Ü 2 ) Ü 3 = Ü 1 (Ü 2 Ü 3 ) Ü 1 Ü 1 = Ü 1 (Ü 1 Ü 2 ) Ü 1 = Ü 1 (Ü 1 Ü 2 ) Ü 1 = Ü 1 Teorie Ì 1 = Ì Ü 1 (Ü 2 Ü 3 )=(Ü 1 Ü 2 ) (Ü 1 Ü 3 ) 19

určuje varietu všech distributivních svazů, teorie Ì 2 = Ì (Ü 1 Ü 2 ) (Ü 1 Ü 3 )=Ü 1 (Ü 2 (Ü 1 Ü 3 )) určuje varietu všech modulárních svazů. Příklad.UvažmetypΩ= ¼ 0 1,kdeoperačnísymboly a jsou binární,symbol ¼ jeunárníasymboly0,1jsounulární.nechť Ì 1 jeteoriezpředchozího příkladu. Pak teorie Ì 1 Ü 1 0=0 Ü 1 1=1 Ü 1 (Ü 1 ) ¼ =1 Ü 1 (Ü 1 ) ¼ =0 určuje varietu všech Booleových algeber. Příklad. Připomeňmedefinicivektorovéhoprostorunadtělesem(Ê + ). Pro větší srozumitelnost odlišíme operaci sčítání vektorů od sčítání v tělese a budemejiznačit.podobně Ùbudeopačnývektorkvektoru Ù.Odlišímetaké násobení vektorů skaláry od násobení v tělese a budeme jej značit. Vektorový prostornadtělesem(ê + )jekomutativnígrupa(î )azobrazení :Ê Î Î splňujícíprokaždé Ù Ú ¾ Î akaždé Ö ¾ Ê Ö (Ù Ú)=(Ö Ù) (Ö Ú) (Ö+ ) Ù=(Ö Ù) ( Ù) (Ö ) Ù=Ö ( Ù) 1 Ù=Ù Popišme nyní třídu všech vektorových prostorů jako varietu určenou vhodnou teorií.uvažmetypω= Ó Ê,kdeoperačnísymbol jebinární,symbol jeunární,symbol Ójenulárníaprokaždé Ö ¾ Êje Öunárníoperačnísymbol. Uvažme následující teorii Ì typu Ω: Ì= (Ü 1 Ü 2 ) Ü 3 = Ü 1 (Ü 2 Ü 3 ) Ü 1 Ü 2 = Ü 2 Ü 1 Ü 1 Ó=Ü 1 Ü 1 ( Ü 1 )=Ó Tatoteorie(uvažovanájakoteorietypu Ó )určujevarietuvšechkomutativních grup. Přidáme k ní zbylé čtyři axiomy vektorových prostorů. Čtvrtý axiom 1 Ù=Ùjenejsnadnější:1 ¾ Êjeunárníoperačnísymbol,tedyodpovídajícírovnostíjerovnost1(Ü 1 )=Ü 1.Prodruhýatřetíaxiomuvážímelibovolné Ö ¾ Ê. Tojsouunárníoperačnísymboly.Alepaktéž Ö+ aö jsouprvky Ê,atedy unární operační symboly. Dostáváme následující rovnosti typu Ω: (Ö+ )(Ü 1 )=Ö(Ü 1 ) (Ü 1 ) (Ö )(Ü 1 )=Ö( (Ü 1 )) Prvníaxiomprolibovolné Ö ¾ Êdávárovnost Ö(Ü 1 Ü 2 )=Ö(Ü 1 ) Ö(Ü 2 ).Celkem tedy dostáváme teorii Ì 1(Ü 1 )=Ü 1 Ö¾Ê ¾Ê Ö¾Ê Ö(Ü 1 Ü 2 )=Ö(Ü 1 ) Ö(Ü 2 ) (Ö+ )(Ü 1 )=Ö(Ü 1 ) (Ü 1 ) (Ö )(Ü 1 )=Ö( (Ü 1 )) 20

Tato teorie určuje varietu všech vektorových prostorů. Poznámka. Následující větu lze stručně zformulovat takto: variety jsou uzavřené na podalgebry algeber. Věta6.1.Nechť ÌjeteorietypuΩ, Î varietaω-algeberurčenáteorií Ì.Pak prokaždouω-algebru ¾ Î akaždoupodalgebru Ω-algebry platí ¾ Î. Důkaz. Uvažmelibovolnourovnost Ø 1 = Ø 2 zteorie Ì. Protože ¾ Î, platítatorovnostvω-algebře.ovšemzřejměprokaždý Ò-árníterm ØtypuΩ alibovolné 1 Ò ¾ platí Ø ( 1 Ò )=Ø ( 1 Ò ).Protorovnost Ø 1 = Ø 2 platíivω-algebře.dokázalijsme,žekaždárovnostteorie Ì platív Ω-algebře atedy ¾ Î. Poznámka. Následující věta ukazuje, že definiční vlastnost homomorfismu platí nejen pro všechny operační symboly typu Ω, ale dokonce pro libovolné termy typu Ω. Věta6.2.Nechť, jsouuniverzálníalgebrytypuω, ³: homomorfismusω-algeber.pakprolibovolný Ò-árníterm ØtypuΩalibovolné 1 Ò ¾ platí Ø (³( 1 ) ³( Ò ))=³(Ø ( 1 Ò )) Důkaz. Větu dokážeme indukcí vzhledem k termu Ø. Je-litermem Øproměnná Ü,pak Ø i Ø jsou -téprojekce,atedy ³(Ø ( 1 Ò ))=³( )=Ø (³( 1 ) ³( Ò )) Je-litermem Ønulárníoperačnísymbol ¾ Ω,pak Ø ( 1 Ò ) =, Ø (³( 1 ) ³( Ò ))=.Ovšem ³( )= podledefinicehomomorfismu. Předpokládejme,žejeterm Øsloženpomocí -árníhooperačníhosymbolu ¾ Ω, kde 1, z termů Ø 1,, Ø typu Ω, pro které již bylo tvrzenídokázáno,tedyprokaždé =1 platí(ø ) (³( 1 ) ³( Ò ))= ³((Ø ) ( 1 Ò )).Podledefiniceoperaceurčenétermemplatí podobně Ø ( 1 Ò )= ((Ø 1 ) ( 1 Ò ) (Ø ) ( 1 Ò )) Ø (³( 1 ) ³( Ò ))= = ((Ø 1 ) (³( 1 ) ³( Ò )) (Ø ) (³( 1 ) ³( Ò ))) Podle definice homomorfismu a indukčního předpokladu platí ³(Ø ( 1 Ò ))=³( ((Ø 1 ) ( 1 Ò ) (Ø ) ( 1 Ò )))= = (³((Ø 1 ) ( 1 Ò )) ³((Ø ) ( 1 Ò )))= = ((Ø 1 ) (³( 1 ) ³( Ò )) (Ø ) (³( 1 ) ³( Ò )))= = Ø (³( 1 ) ³( Ò )) což se mělo dokázat. Věta je dokázána. 21

Poznámka. Následující větu lze stručně zformulovat takto: variety jsou uzavřené na obrazy algeber v homomorfismech. Podle důsledku věty 4.5 to znamená, že variety jsou uzavřené na faktoralgebry. S konkrétními případy tohoto tvrzení jsme se tedy setkali již dříve: faktorizací(komutativní) grupy jsme dostali(komutativní) grupu, faktorizací(komutativního) okruhu jsme dostali(komutativní) okruh. Věta6.3. Nechť Ì jeteorietypuω, Î varietaω-algeberurčenáteorií Ì. Nechť, jsouω-algebry, ³: surjektivníhomomorfismusω-algeber.pak platí:je-li ¾ Î,paktéž ¾ Î. Důkaz.Uvažmelibovolnourovnost Ø 1 = Ø 2 zteorie Ì.Protože ¾ Î,platí tatorovnostvω-algebře.nechť Òjetakové,žeobatermy Ø 1, Ø 2 jsou Ò-ární.Je třebaověřit,žeprolibovolné 1 Ò ¾ platí (Ø 1 ) ( 1 Ò )=(Ø 2 ) ( 1 Ò ) Protožeje ³surjekce,existují 1 Ò ¾ tak,že 1 = ³( 1 ),, Ò = ³( Ò ). Pakzpředchozívětyatoho,žerovnost Ø 1 = Ø 2 platívω-algebře,dostáváme (Ø 1 ) ( 1 Ò )=(Ø 1 ) (³( 1 ) ³( Ò ))=³((Ø 1 ) ( 1 Ò ))= = ³((Ø 2 ) ( 1 Ò ))=(Ø 2 ) (³( 1 ) ³( Ò ))=(Ø 2 ) ( 1 Ò ) Dokázalijsme,žekaždárovnostteorie ÌplatívΩ-algebře atedy ¾ Î. Poznámka. Následující věta ukazuje, že podmínka, kterou byly definovány operace na součinu Ω-algeber, platí nejen pro všechny operační symboly typu Ω, ale dokonce pro libovolné termy typu Ω. Věta6.4.NechťΩjetyp.Nechťprolibovolnýprvek množiny Ájedánauniverzálníalgebra typuω.označme součintěchtoω-algeber,tj. = ¾Á. É Uvažme libovolný Ò-árníterm Ø typu Ω a libovolné 1 Ò ¾. Označme =Ø ( 1 Ò ).Pakprokaždé ¾ Áplatí ( )=Ø ( 1 ( ) Ò ( )). Důkaz. Větu dokážeme indukcí vzhledem k termu Ø. Je-litermem Øproměnná Ü,pak Ø i Ø jsou -téprojekce,atedy = Ø ( 1 Ò )= a Ø ( 1 ( ) Ò ( ))= ( )= ( ). Je-litermem Ønulárníoperačnísymbol ¾Ω,pakdledefinicesoučinuΩalgeberplatí =,kde ¾ jeurčenopodmínkou ( )=,cožje dokazované tvrzení. Předpokládejme,žejeterm Øsloženpomocí -árníhooperačníhosymbolu ¾Ω,kde 1,ztermů Ø 1,, Ø typuω,prokteréjižbylotvrzenídokázáno.nejprvezformulujmetentoindukčnípředpoklad.prokaždé =1 označme =(Ø ) ( 1 Ò ).Předpokládámetedy,že Ø= (Ø 1 Ø )aže prokaždé ¾ Áaprokaždé =1 platí ( )=(Ø ) ( 1 ( ) Ò ( )). Podle definice operace určené termem platí Ø ( 1 ( ) Ò ( ))= = ((Ø 1 ) ( 1 ( ) Ò ( )) (Ø ) ( 1 ( ) Ò ( )))= = ( 1 ( ) Ò ( )) 22

ataké =Ø ( 1 Ò )= = ((Ø 1 ) ( 1 Ò ) (Ø ) ( 1 Ò ))= = ( 1 Ò ) atedypodledefiniceoperacínasoučinuω-algeberprokaždé ¾ Áplatí ( )= ( 1 ( ) Ò ( )).Ovšemvýšejsmeodvodili,že ( 1 ( ) Ò ( ))= Ø ( 1 ( ) Ò ( )). Věta je dokázána. Poznámka. Následující větu lze stručně zformulovat takto: variety jsou uzavřené na libovolné součiny algeber. Věta6.5. Nechť Ì jeteorietypuω, Î varietaω-algeberurčenáteorií Ì. Nechťprolibovolnýprvek množiny Á jedánauniverzálníalgebra typuω. Označme součintěchtoω-algeber,tj. = É ¾Á.Pakplatí:jestližeprokaždé ¾ Áje ¾ Î,paktéž ¾ Î. Důkaz. Uvažmelibovolnourovnost Ø 1 = Ø 2 zteorie Ì.Protožeprokaždé ¾ Áje ¾ Î,platítatorovnostvΩ-algebře.Nechť Òjetakové,žeobatermy Ø 1, Ø 2 jsou Ò-ární.Jetřebaověřit,žeprolibovolné 1 Ò ¾ platí (Ø 1 ) ( 1 Ò )=(Ø 2 ) ( 1 Ò ) Označme 1 =(Ø 1 ) ( 1 Ò )a 2 =(Ø 2 ) ( 1 Ò ).Našímcílemjedokázat,že 1 = 2.Podledefinicesoučinumnožinjsou 1 a 2 zobrazenísestejným definičním oborem i oborem hodnot. Je třeba ověřit, že mají též stejný předpis, tj. žeprokaždé ¾ Áplatí 1 ( )= 2 ( ).Zpředchozívětyplyne,žeprokaždé ¾ Á platí 1 ( )=(Ø 1 ) ( 1 ( ) Ò ( ))a 2 ( )=(Ø 2 ) ( 1 ( ) Ò ( )).Protože rovnost Ø 1 = Ø 2 platívω-algebře,je (Ø 1 ) ( 1 ( ) Ò ( ))=(Ø 2 ) ( 1 ( ) Ò ( )) atedytéž 1 ( )= 2 ( ),cožjsmechtělidokázat.dokázalijsme,žekaždárovnost teorie ÌplatívΩ-algebře atedy ¾ Î. Příklad. Nyní jsme schopni dokázat slíbené tvrzení, že ani třídu všech oborů integrity ani třídu všech těles nemůžeme dostat jako varietu univerzálních algeber typu + 0 1.Podlepředchozívětyktomustačínajítdvětělesa,jejichžsoučinem není těleso, a dva obory integrity, jejichž součinem není obor integrity. Hledání takových těles je snadné: platí dokonce, že součin libovolných dvou těles(která jsou samozřejmě i obory integrity) není oborem integrity(a tedy ani tělesem). V každém takovémsoučinutotižmámedělitelenuly,neboťplatí(0 1) (1 0)=(0 0).(Pokud Vám není tento obecný příklad jasný, uvažte dvě kopie tělesa o dvou prvcích okruhuzbytkovýchtřídmodulo2 avypištesivšechnyčtyřiprvkyasestavte tabulku pro operaci násobení.) Příklad. Třída všech svazů, které jsou řetězci(tj. lineárně uspořádanými množinami)netvořívarietuuniverzálníchalgebertypu,neboťsoučinem dvou dvouprvkových svazů, které jsou řetězci, je čtyřprvkový svaz, který není řetězec. 23