Lineární algebra : Úvod a opakování
|
|
- Petra Macháčková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Lineární algebra : Úvod a opakování (1. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 013/014 vytvořeno: 19. února 014, 13:15 1
2 0.1 Lineární prostory R a R 3 V této přednášce si na jednoduchém příkladu lineárního prostoru, který znáte ze střední školy, ukážeme základní pojmy lineární algebry. Cílem je studenty pomocí konkrétního a jednoduše představitelného příkladu připravit na obecnou (abstraktní) konstrukci lineárního prostoru. Prostory šipek R a R 3 budeme používat jako ilustrační příklady v celé přednášce a silně doporučujeme studentům, aby si všechny probrané pojmy snažili v těchto prostorech představit. I k tomu by měla napomoci tato úvodní přednáška. Vektor : n-tice čísel, šipka, bod Ústředním pojmem lineární algebry je vektor. Na střední škole jste se seznámili s vektory ve dvourozměrném R a třírozměrném prostoru R 3 a vektor jste si představovali jako šipku. Tato představa Vám často pomůže i při studiu tohoto předmětu, kde se ovšem bude pracovat s abstraktními (zobecněnými) pojmy. Tři pohledy na vektor v R : uvažujme vektor v = (, 1/). první souřadnice: v 1 = druhá souřadnice: v = 1 Vektor jako uspořádaná dvojice čísel: v = (v 1, v ) = (, 1/) Vektor jako bod: 3 1 [, 1/] 1 θ Vektor jako šipka:
3 3 3 (, 1/) 1 (, 1/) 1 θ Podobně by to dopadlo pro trojrozměrný vektor z R 3, jenom by přibyla ještě třetí souřadnice v 3, a také příslušná třetí osa. Formálně ovšem můžeme pokračovat a přidávat další souřadnice a dostaneme tak n- rozměrný vektor v = (v 1,..., v n ) jakožto prvek R n. Pro n > 3 už selhává lidská představivost, ale matematika to zvládá hravě. Pro zajímavost ještě doplňme, že i číslo lze chápat jako jednorozměrný vektor v = v 1. Operace s vektory v u Abychom odlišili sčítání vektorů od klasického sčítání, budeme jej značit značkou. Definice 1. Sčítání vektorů v R definujeme jako sčítání po složkách, tedy v u = (v 1, v ) (u 1, u ) := (v 1 + u 1, v + u ). Podobně bychom definovali sčítání v R 3. Všimněte si, že operace sčítání vektorů je definována pomocí notoricky známe operace sčítání čísel. Jak uvidíme, zdědí od ní i mnoho vlastností. Příklad. Součtem vektorů (, 1) a (, ) dostaneme vektor geometrická interpretace (, 1) (, ) = ( +, 1 ) = (4, 1)
4 4 1 (, 1) (, ) 1 θ (4, 1) Geometrická interpretace v u: šipku v položím do počátku θ = (0, 0) a napojím na ni šipku u, součet je šipka mezi θ a koncem šipky u. komutativita Věta 3. Sčítání vektorů v R je komutativní, neboli pro libovolné v a u platí v u = u v. Důkaz (nemístně rozpitván). Chceme ukázat, že pro všechny v, u R platí v u = u v, neboli pro všechna reálná čísla v 1, v, u 1, u R (v 1 + u 1, v + u ) = (u 1 + v 1, u + v ). Dva vektory se rovnají, pokud se rovnají všechny jejich složky, neboli pokud v 1 +u 1 = u 1 +v 1 a v +u = u +v. A to platí, neboť sčítání reálných čísel komutativní je. Co komutativita znamená pro sčítání šipek : komutativita (na šipkách) Příklad 4 (ne důkaz!!!). Na pořadí při sčítání vektorů nezáleží: (, 1) (, ) = ( +, 1 ) = ( +, + 1) = (, ) (, 1) 1 (, 1) (, ) 1 θ (, ) (4, 1) (, 1)
5 5 asociativita Věta 5. Sčítání vektorů v R je asociativní, neboli pro libovolné v, u a w platí ( v u) w = u ( v w). Důkaz. Výše uvedenou rovnost opět s použitím definice operace převedeme na rovnice (v 1 + u 1 ) + w 1 = v 1 + (u 1 + w 1 ) a (v + u ) + w = v + (u + w ) pro souřadnice z R a ty zjevně platí, neboť sčítání reálných čísel je asociativní. Příklad 6 (ne důkaz!!!). Sčítám-li tři vektory, je jedno jestli nejdříve sečtu první dva a přičtu ke třetímu, nebo sečtu druhý a třetí: asociativita (příklad) ((, 1) (, )) ( 1, 3) = (4, 1) ( 1, 3) = (3, ) (, 1) ((, ) ( 1, 3)) = (, 1) (1, 1) = (3, ) Lidsky řečeno (tj. v písemce nepoužitelné!): asociativní zákon říká, že při sčítání více vektorů mohu vynechat závorky, protože to při jakémkoli uzávorkování dopadne stejně. Přidáme-li k asociativitě ještě komutativitu, můžeme dokonce vektory libovolně propermutovat a výsledek sčítání se nezmění. Kdybychom operaci pro vektory definovali jako násobení po složkách v u = (v 1 u 1, v u ) bude se opět jednat o komutativní a asociativní operaci, neboť násobení čísel je komutativní a asociativní. Operace, pro kterou toto neplatí dobře známe: odčítání a dělení čísel 3 3 (8 4) 4 8 (4 4). asociativita a komutativita revisited
6 6 Sčítáme vektory asociativita a komutativita na šipkách (1, 1), (1, ), (3, 1/), ( 1, 5/). Díky asociativitě a komutativitě víme, že příslušné šipky můžeme vkládat za sebe libovolně a vždy skončíme ve stejném bodě [4, 1] (resp. součet bude vektor (4, 1)) [4, 1] 1 θ Násobení vektoru číslem Abychom odlišili násobení vektoru číslem od klasického násobení, budeme jej značit značkou. Definice 7. Násobení vektoru v z R číslem α z R definujeme jako α v = α (v 1, v ) := (αv 1, αv ). Podobně bychom definovali násobení vektoru z R 3. Všimněte si, že operace je definována opět pomocí notoricky známe operace násobení čísel. Jak uvidíme, opět od ní zdědí i mnoho vlastností. Příklad 8. Násobení vektoru (, 1) čísly a 3, : Násobení vektoru číslem: geometrická interpretace
7 7 1 (, 1) = (4, ) (, 1) θ / (, 1) = ( 3, 3/) Násobení číslem znamená změnu velikosti vektoru, v případě násobení záporným číslem i obrácení směru. Je-li vektor v rovnoběžný s u, pak existuje α R tak, že v = α u. Už jsme ukázali, že je komutativní a asociativní, podobně bychom mohli ukázat ještě mnoho dalších vlastností: 1. ( v, u R )( v u = u v ), komutativita. ( v, u, w R )( ( v u) w = v ( u w) ), asociativita 3. ( α, β R)( v R )( α (β v) = (αβ) v ), asociativita 4. ( α R)( v, u R )( α ( v u) = (α v) (α u) ),distributivita 5. ( α, β R)( v R )( (α + β) v = (α v) (β v) ),distributivita 6. ( v R )( 1 v = v ), neutralita jedničky 7. ( θ R )( v R )(0 v = θ). existence nulového vektoru Všechny tyto vlastnosti platí i v případě vektorů z R 3. ope- Vlastnosti rací a Všech sedm vlastností a bychom snadno dokázali s využitím definice a a vlastností operací sčítání a násobení reálných čísel. Vlastnosti operací a : axiomy lineárního prostoru Brzy si ukážeme další vlastnosti a tvrzení o množině vektorů s operacemi a.
8 8 Obecně řečeno postupujeme takto: 1. Vezmeme si konkrétní množinu vektorů (R resp. R 3 ) a na ní definujeme operace a.. O této množině a nově definovaných pojmech ukazujeme další tvrzení. V semestru budeme postupovat jinak: nebudeme zkoumat konkrétní množinu a konkrétní operace, ale obecnou konstrukci, kterou nazveme lineární prostor a která bude vymezena axiomy. Množina vektorů (šipek) z R bude pouze jeden z mnoha možných příkladů lineárního prostoru. Jak bude vypadat konstrukce abstraktního Lineárního prostoru V nad tělesem T : Obecná konstrukce lineárního prostoru (náznak) Těleso je množina T skalárů (obvykle čísel), na které jsou definované dvě binární operace, které z tradičních důvodů značíme + a. Formálně je tedy těleso trojice (T, +, ). Musí být navíc splněny tzv. axiomy tělesa: uzavřenost T vůči operacím + i, asociativita, distributivita, komutativita obou operací a existence jednotky a nuly. My se pro zjednodušení omezíme na číselná tělesa, kde operace + a budou klasické sčítání a násobení, a jako množinu T budeme uvažovat obvykle R nebo C. Lineární prostor pak bude množina V objektů, kterým budeme říkat vektory, vybavená binárními operacemi : V V V a : T V V, které splňují axiomy lineárního prostoru. Tyto axiomy se shodují se sedmi vlastnostmi R uvedenými dříve. Lineární prostor je tedy čtveřice (V, T,, ).
9 9 Lineární kombinace Od teď budeme namísto a psát normální + a (příp. nic). Z kontextu bude vždy jasné, jestli se jedná o klasické sčítání či násobení čísel, nebo o sčítání vektorů či násobení vektorů číslem. Dalším veledůležitým pojmem lineární algebry je lineární kombinace vektorů, která vznikne zřetězením operací násobení číslem a sčítání vektorů: Definice 9. Buďte v 1,..., v n vektory a α 1,..., α n reálná čísla (obecně prvky tělesa), n je přirozené. Potom vektor u = n α k v k = α 1 v α n v n k=1 nazveme lineární kombinací vektorů v 1,..., v n s koeficienty α 1,..., α n. Lineární kombinace Lineární obal Příklad 10. Uvažujme dva vektory e 1 = (1, 0) a e = (0, 1) z R. Tvrdíme, že každý další vektor z R je lineární kombinací těchto dvou. A je tomu skutečně tak: vezměme vektor v = (v 1, v ). Potom zřejmě platí, že v = v 1 e 1 + v e a tedy v je lineární kombinací vektorů e 1 a e. Skutečně jsme ukázali, že lze nakombinovat libovolný vektor, neboť vektor v je vyjádřen pomocí dvou proměnných (tj. libovolných) souřadnic v 1 a v, pro které neplatí žádné omezení (kromě předpokladu, že se jedná o reálná čísla). Použití proměnných z uvedené úvahy dělá obecný důkaz. Pokud byste vzali 1 konkrétní čísla, ukázali byste přinejlepším mechanizmus, jak se důkaz zkonstruuje, ale rozhodně by se nejednalo o korektní a úplný důkaz. Jak za chvíli uvidíme, vektory e 1 a e tvoří tzv. bázi R, jednou z vlastností báze je právě to, že každý vektor je jejich lineární kombinací. Abychom mohli bázi řádně definovat, potřebujeme zavést dva další důležité pojmy. Definice 11. Množinu všech lineárních kombinací vektorů v 1,..., v n, kde n je přirozené číslo, nazýváme jejich lineární obal a značíme v 1,..., v n.
10 10 Lineární obal: příklady (1 ze 3) Příklad 1 (pokračování). Uvažujme stále dva vektory e 1 = (1, 0) a e = (0, 1) z R. Fakt, že každý vektor z R je jejich lineární kombinací můžeme nyní přeformulovat takto: e 1, e = R, neboli že lineární obal e 1 a e je celý prostor R. Otázka: které další soubory vektorů mají tuto vlastnost? Příklad 13. Uvažujme vektory (, 1) a ( 4, ) a zkusme pomocí jejich lineární kombinace získat vektor (, ). Hledáme tedy čísla α a β tak, aby α(, 1) + β( 4, ) = (, ). Lineární obal: příklady ( ze 3) Příklad 14. Uvažujme vektory (, 1) a ( 4, ) a zkusme pomocí jejich lineární kombinace získat vektor (, ). Hledáme tedy čísla α a β tak, aby α(, 1) + β( 4, ) = (, ). To vede na soustavu dvou rovnic o dvou neznámých α 4β = α 4β = 1, která zjevně nemá řešení. Proto jistě neplatí, že (, 1), ( 4, ) = R. Lineární obal: příklady (3 ze 3) 1 Jistě to mnoho lidí v písemce či zkoušce udělá.
11 11 Příklad 15. Uvažujme nyní vektory (, 1) a (1, ) a zkusme napsat vektor (v 1, v ) jako jejich lineární kombinaci: hledáme opět α a β tak, aby platily násl. dvě rovnice: α + 1β = v 1 1α + β = v. Odečtením dvojnásobku druhé rovnice od první dostáváme 3β = v 1 v α + β = v. což vede na řešení β = v v 1 3 a α = v β = v 1 v 3. Ukázali jsme, že libovolný vektor umíme nakombinovat a tedy platí (, 1), (1, ) = R. Lineární nezávislost (1 z 3) Viděli jsme že (, 1), ( 4, ) R. Jakou množinu vektorů ale získáme: (, 1), ( 4, ) =??. Abychom si to ujasnili, reprezentujme si vektory jako šipky: 1 (, 1) θ ( 4, )
12 1 Vzpomeneme-li si na geometrickou interpretaci násobení vektoru číslem a sčítání vektorů, je vidět že lineární obal odpovídá přímce ve směru vektorů (, 1) a ( 4, ). Lineární nezávislost ( z 3) Důvod, proč z vektorů (, 1) a ( 4, ) nedostaneme celý prostor R je ten, že jsou tyto vektory rovnoběžné, neboli jeden je násobek druhého: (, 1) = 1 ( 4, ) a ( 4, ) = (, 1). Platí tedy (, 1), ( 4, ) = (, 1) = ( 4, ) a jeden z vektorů můžeme vyhodit, aniž bychom změnili výsledný lineární obal. Lineární nezávislost (3 ze 3) Definice 16. Soubor n > 0 vektorů v 1,..., v n nazveme lineárně nezávislý, jestliže žádný z vektorů není lineární kombinací ostatních. Kdybychom chtěli ověřit, zda daný soubor vektorů je lineárně nezávislý, nemusíme testovat všechny možnosti jak jeden vektor nakombinovat z ostatních, neboť platí následující. Věta 17. Soubor n > 0 vektorů v 1,..., v n je lineárně nezávislý právě když rovnice α 1 v α n v n = θ má jediné řešení α 1 = α = = α n = 0.
13 13 Důkaz. Předpokládejme nejdříve, že soubor je lineárně nezávislý a ukažme, že rovnice α 1 v α n v n = θ má jediné řešení α 1 = α = = α n = 0. Ukážeme to sporem předpokládejme, že existuje řešení, kde α k 0 pro nějaké 1 k n. Potom platí α 1 v α k 1 v k 1 + α k+1 v k+1 v n = α k v k. Jelikož je α k nenulové, můžeme rovnici tímto číslem vydělit, a tak zjistíme, že vektor v k je lineární kombinací vektorů ostatních a soubor tak není lineárně nezávislý, což je spor. Zbývá ukázat, druhou implikaci: má-li rovnice α 1 v α n v n = θ (1) jediné řešení α 1 = α = = α n = 0, pak musí být soubor lineárně nezávislý. Opět tuto implikaci dokážeme sporem: předpokládejme, že soubor je lineárně závislý. Potom musí existovat vektor v k, kde 1 k n, takový, který je lineární kombinací ostatních. Dle definice lineární kombinace to znamená, že existují koeficienty α 1,..., α k 1, α k+1,..., α n tak, že α 1 v α k 1 v k 1 + α k+1 v k+1 v n = v k. To ale znamená, že rovnice (1) má nenulové řešení α 1 v α k 1 v k 1 1 v k α k+1 v k+1 v n = θ. Lineární nezávislost: příklady Příklad 18. Dříve jsme si vysvětlili, že vektory (, 1) a ( 4, ) jsou lineárně závislé. Skutečně tomu tak je, neb rovnice má řešení např. α = a β = 1. α(, 1) + β( 4, ) = θ
14 14 Příklad 19. Naopak vektory (, 1) a (1, ) jsou lineárně nezávislé, neb rovnice α(, 1) + β(1, ) = θ má jediné řešení α = β = 0, jak si snadno ověříte (Udělejte to!!!). Lineární obaly v R Lineární obal jednoho nenulového vektoru v z R je vždy přímka. Jak to je se dvěma vektory? Věta 0. Lineární obal dvou nenulových vektorů je přímka, jsou-li tyto dva vektory lineárně závislé (tj. rovnoběžné), celý prostor R, jsou-li lineárně nezávislé. Důkaz. Zatím intuitivně (s pomocí geometrické představy). Z předchozí věty plyne, že každý tří a vícečlenný soubor (nenulových) vektorů je lineárně závislý. Skutečně: máme-li tři vektory, je jejich lineární obal buď přímka, a pak jsou jistě lineárně závislé, neb musí být všechny rovnoběžné, anebo v souboru jsou dva lineárně nezávislé vektory a tedy jejich lineární obal je celé R. Z toho nutně plyne, že třetí vektor lze nakombinovat z těchto dvou a tedy celý soubor je lineárně závislý. Tento fakt lze formulovat takto: největší lineárně nezávislý soubor vektorů v R má dva členy. Číslu které vyjadřuje velikost největšího lineárně nezávislého souboru říkáme dimenze lineárního prostoru. Platí tedy, že dimenze R je dva. Nyní je jasné, že lineární obal lineárně nezávislého dvoučlenného souboru vektorů je celé R, takovému souboru budeme říkat báze. Obecně budeme definovat bázi jako lineárně nezávislý soubor n vektorů, kde n je dimenze daného lineárního prostoru (pokud je dimenze konečná). Dimenze a báze lineárního prostoru Báze lineárního prostoru R : příklady Dokazujeme-li implikaci A B sporem, ukážeme, že nemůže platit negace, tedy A B. Zde A = soubor vektorů je lineárně nezávislý a B = rovnice má jediné nulové řešení
15 15 Příklad 1. Viděli jsme, že vektory e 1 = (1, 0) a e = (0, 1) mají jako lineární obal R a tvoří tedy bázi. Těmto vektorům se říká standardní báze R a značíme je E = ((1, 0), (0, 1)). Příklad. Další bází, kterou jsme si ukázali, byl soubor X = ((, 1), (1, )). Lineární prostor R 3 Vše, co jsme si řekli o R, lze rozšířit i na R 3. Dimenze R 3 je rovna třem. Dva vektory jsou lin. nezávislé, nejsou-li rovnoběžné. Jejich lineární obal je pak rovina, která tyto dva vektory obsahuje. Tři vektory jsou lin. nezávislé, pokud neleží všechny v jedné rovině. Je-li tomu tak, je jejich lineárním obalem celé R 3 a tyto vektory tvoří bázi. Standardní bází R 3 jsou vektory E = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)).
Lineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceDefinice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
VíceOdpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.
nad obecným tělesem a lineární kombinace Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 1.1 1.4 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01LAG 1.10.2015: 1/20 nad obecným tělesem Co
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Více6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
VíceLineární algebra : Báze a dimenze
Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,
Více(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.
Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceLineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
VíceV: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 1. přednáška 22.9.2016 Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 19 Organizační pokyny přednášející:
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Více6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceDosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty.
Kapitola 4 Tělesa Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty. Všechna čísla byla reálná, vektory měly reálné souřadnice, matice měly reálné prvky. Také řešení soustav
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VícePoznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceLineární algebra : Lineární (ne)závislost
Lineární algebra : Lineární (ne)závislost (4. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
Víceoznačme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
Více[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).
Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
VíceBáze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
VíceMatice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
Více[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...
[1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.
VíceMatice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text
VíceNechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace
Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z
VíceTeorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
VíceAritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008
Aritmetické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 16. března 2008 Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března 2008 1/ 34 Úvod 1Úvod Definice aritmetických vektorů a operací
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VíceKolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?
Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Více10. Vektorové podprostory
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Definice. Bud V vektorový prostor nad polem P. Podmnožina U V se nazývá podprostor,
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
VíceLineární prostory. - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem
Lineární prostory - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem - volné vektory a operace s nimi(sčítání, násobení reálným číslem) -ve 2 nebove 3 vázanévektorysespolečnýmpočátkem
VíceČíselné vektory, matice, determinanty
Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceCvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
VíceDatum sestavení dokumentu: 9. srpna Lineární algebra 1
Datum sestavení dokumentu: 9 srpna 22 Lineární algebra L ubomíra Balková e-mail: lubomirabalkova@fjficvutcz Slovo na úvod: Abstraktnost, logická výstavba a univerzálnost lineární algebry jsou výhodami
Více1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
VíceLineární algebra : Lineární zobrazení
Lineární algebra : Lineární zobrazení (6. přednáška František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 20. května 2014, 22:40 1 2 6.1 Lineární zobrazení Definice 1. Buďte P a Q dva lineární prostory
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
VíceMatematika pro ekonomy
Matematika pro ekonomy Karel Hrach Matematika pro ekonomy VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU Praha 2007 Matematika pro ekonomy Karel hrach Copyright Vysoká škola ekonomie a managementu 2007. Vydání první.
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VíceŘešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1
Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném
Více3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
Více1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35
1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný
VíceNástin formální stavby kvantové mechaniky
Nástin formální stavby kvantové mechaniky Karel Smolek Ústav technické a experimentální fyziky, ČVUT Komplexní čísla Pro každé reálné číslo platí, že jeho druhá mocnina je nezáporné číslo. Např. 3 2 =
Více2 Vektorový prostor. 2.1 Definice vektorového prostoru
2 Vektorový prostor Axiomatická definice vektorového prostoru, kterou v této kapitole vyslovíme, je velmi abstraktní Aby čtenáře neodradila, je připojena v dodatku skript kapitola o historii lineární algebry
Vícex 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
VíceLingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)
Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České
Více7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v
VícePavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT
Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT 2 0 1 8 Obsah 1 Vektorové prostory 1 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 1 2 Generování podprostor u............................
VíceUspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru
1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)
VíceAfinní transformace Stručnější verze
[1] Afinní transformace Stručnější verze je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím body a vektory: afinní prostor využití například v počítačové grafice a)
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
VíceMatematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34
Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická
VíceLineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je
VícePavel Horák LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE 1 UČEBNÍ TEXT
Pavel Horák LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE 1 UČEBNÍ TEXT 2 0 1 7 Obsah 1 Vektorové prostory 2 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 2 2 Generování podprostor u............................
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
Více[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška
Více1 Připomenutí vybraných pojmů
1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
Více