Mechanika příklady pro samostudium Dynamika hmotného bodu Příklad 1: Určete konstantní sílu F, nutnou pro zrychlení automobilu o hmotnosti 1000 kg z klidu na rychlost 20 m/s během 10s. Dáno: m = 1000 kg, v0 = 0 ms-1, v1 = 20 ms-1, t = 10 s. Určit: Sílu F. Příklad 2: Blok o hmotnosti 90kg leží na vodorovné podložce, působí na něho síla dle obrázku. Zadání a): Předpokládáme, že povrch je hladký, blok se pohybuje s konstantním zrychlením a. Dáno: m = 90 kg, α = 34º, f = 0, a = 5 ms-2. Určit: Velikost síly F. Zadání b): Předpokládáme drsný povrch a známou velikost síly F. Dáno: m = 90 kg, α = 34º, f = 0,25, F = 1,5 kn. Určit: Velikost zrychlení a.
Příklad 3: Blok o hmotnosti 20 kg leží na nakloněné rovině o elevačním úhlu 20º. Na blok působí síla 250 N v naznačeném směru. V čase t = 0 s předpokládáme nulové hodnoty polohy a rychlosti. Vypočtěte rychlost a polohu bloku v čase t = 5 s. Zadání a): Předpokládáme, že povrch je hladký. Dáno: m = 20 kg, α = 20º, f = 0, F = 250 N, v(0) = 0 ms-1, x(0) = 0 m. Určit: v(5 s), x(5 s). Zadání b): Předpokládáme, že povrch je drsný. Dáno: m = 20 kg, α = 20º, f = 0,2, F = 250 N, v(0) = 0 ms-1, x(0) = 0 m. Určit: v(5 s), x(5 s). Příklad 4: Balík o hmotnosti 15 kg se pohybuje po skluzu o délce 5 m a sklonu 30º. Počáteční rychlost balíku jsou 3 ms-1, koeficient tření mezi balíkem a skluzem je f1 = 0,15. Určete rychlost balíku na konci skluzu a dráhu d, na které balík zastaví na vodorovné podložce, která má koeficient tření f2 = 0,30. Dáno: m = 15 kg, l = 5 m, α = 30º, v0 = 3 ms-1, f1 = 0,15, f2 = 0,30. Určit: v1 (na konci skluzu), d (dráha pro zastavení na vodorovné podložce). Příklad 5: Nákladní automobil o hmotnosti ma = 5400 kg veze náklad o hmotnosti mn = 2200 kg. Jestliže automobil rovnoměrně zrychlí ze 40 km/h na 80 km/h na dráze 60 m, vypočtěte celkovou sílu, kterou při zrychlování přenášela kola na vozovku. Dále vypočtěte nejmenší možný koeficient smykového tření f min mezi nákladem a korbou, takový, aby při tomto zrychlení nedošlo k posunu nákladu. Dáno: ma = 5400 kg, mn= 2200 kg, v0 = 40 kmh-1, v1 = 80 kmh-1, l = 60 m. Určit: F (mezi automobilem a vozovkou), fmin.
Příklad 6: Závaží A a B jsou spojena dokonale ohebným lanem, které je vedeno přes ideální kladku, v uspořádání dle obrázku. Koeficient tření mezi závažím A a nakloněným povrchem je f = 0,15, hmotnost bloku A je ma = 25 kg. Na počátku děje je soustava v klidu, v naznačené poloze (závaží B ve výšce 3m). Jestliže po uvolnění soustavy narazí závaží B na vodorovný povrch za čas td = 3 s, určete zrychlení a hmotnost závaží B a sílu v laně v průběhu děje. Dáno: α = 40º, ma = 25 kg, f = 0,15, td = 3 s, h = 3 m. Určit: ab, mb, FL. Příklad 7: Na objímku o hmotnosti m = 20 kg působí vodorovná síla P, která se mění s časem dle naznačeného průběhu. Objímka je na počátku děje v klidu. Koeficient smykového tření za klidu je fs = 0,35, koeficient smykového tření za pohybu je fd = 0,30. Určete čas t1, ve kterém se objímka začne pohybovat, rychlost objímky v čase 5 s a dráhu, kterou objímka urazila během 5s. Dáno: m = 20 kg, fs = 0,35, fd = 0,30, v(0) = 0 ms-1, x(0) = 0 m, průběh síly P v čase. Určit: t1 (čas, ve kterém dojde k pohybu), v(5 s), x(5 s).
Příklad 8: Blok o hmotnosti m = 20 kg je spojen s pružinou o zanedbatelné hmotnosti. Pružina je svým působením lineární, její tuhost je k = 100 N/m. Jestliže je blok posunut o 200 mm směrem doprava z rovnovážné polohy a poté uvolněn (z klidu), vypočtěte rychlost jeho pohybu v místě, kde je síla pružiny nulová, tj. pružina je nedeformovaná. Třecí síly zanedbáváme. Dáno: m = 20 kg, k = 100 N/m, x(0) = 200 mm, v(0) = 0 m/s. Určit: vn (rychlost v bodě x = 0 mm). Příklad 9: Kulička o hmotnosti m = 0,15 kg je vystřelena pružinou ze šikmé roury (sklon 30º). Konstanta tuhosti pružiny je k = 5 N/cm. Volná délka pružiny je lv = 20 cm. Na obrázku je znázorněn výchozí stav, kdy kulička byla v klidu (Pružina je tedy na počátku děje stlačena o 10 cm). Vypočtěte rychlost kuličky na konci roury, jestliže zanedbáme veškeré pasivní odpory. Dáno: α = 30º, m = 0,15 kg, k = 5 N/cm, lv = 20 cm, v(0) = 0 m/s, rozměry z obrázku. Určit: v1 (rychlost na konci roury). Příklad 10: Závaží A o hmotnosti m = 10 kg je na počátku děje v klidu. Na počátku děje je též lineární pružina o tuhosti k = 25 N/m nedeformovaná. V čase t = 0 s dojde k uvolnění soustavy. Určete rychlost a zrychlení závaží a sílu v laně v okamžiku, kdy závaží A klesne o 10 cm oproti své původní poloze. Pasivní odpory zanedbáváme. Dáno: m = 10 kg, k = 25 N/m, v(0) = 0 m/s. Určit: v(0,1 m), a(0,1 m), FL(0,1 m).
Příklad 11: Objímka o hmotnosti m = 2 kg se pohybuje po hladké vodorovné tyči s rychlostí v0 = 3 m/s, v okamžiku, kdy se dotkne pružiny. Pružina je nelineární, vztah mezi silou pružiny F a deformací x je kvadratický, F = cx2, kde c je konstanta o fyzikálním rozměru [kg m-1 s-2]. Jestliže objímka zastaví na dráze l = 10 cm, určete konstantu c pružiny. Dáno: m = 2 kg, v0 = 3 m/s, l = 10 cm. Určit: c. Příklad 12: Dragster o hmotnosti m = 550 kg se v okamžiku, kdy řidič vystřelí brzdící padák, pohybuje rychlostí v0 = 160 km/h. Brzdná síla padáku je úměrná druhé mocnině rychlosti dle vztahu Fp = 0,25 v2, kde Fp je v Newtonech a v v metrech za sekundu. Určete zpomalení dragsteru v okamžiku vyhození padáku a vzdálenost l12, kterou dragster ujel mezi vyhozením padáku a okamžikem, kdy dosáhl rychlosti v1 = 40 km/h. Dáno: m = 550 kg, v0 = 160 km/h, Fp = 0,25 v2, v1 = 40 km/h. Určit: a(0 s), l12. Příklad 13: Projektil o hmotnosti m = 5 kg je vystřelen kolmo vzhůru počáteční rychlostí v0 = 300 m/s. a): Vypočtěte výšku výstupu hb, pokud zanedbáme odpor vzduchu. b): Pokud je odpor vzduchu úměrný druhé mocnině rychlosti dle vztahu Fo = 0.006 v2, kde F je v Newtonech a v v metrech za sekundu, vypočtěte výšku výstupu h a rychlost dopadu vd. Dáno: m = 5 kg, v0 = 300 m/s, Fo = 0.006 v2. Určit: hb, h, vd.
Příklad 14: Letadlo se v okamžiku vypuštění bomby pohybuje rychlostí v0 = 750 km/h a letí pod úhlem 20º směrem k zemi. Bomba byla vypuštěna ve výšce h = 5000 m. Při zanedbání odporu vzduchu určete vodorovnou vzdálenost R mezi místem vypuštění bomby a místem jejího dopadu. Dáno: v0 = 750 km/h, α = 20º, h = 5000 m. Určit: vzdálenost R. Příklad 15: Automobil se pohybuje konstantní rychlostí v = 100 km/h po stoupající a klesající silnici. Vypočtěte sílu přenášenou mezi řidičem o hmotnosti m = 80 kg a sedačkou v nejnižším a nejvyšším bodě cesty, nakreslené na obrázku. Poloměry oblouků klesání a stoupání jsou shodně r = 90 m. Dáno: v = 100 km/h, m = 80 kg, r = 90 m. Určit: FD, FH.
Příklad 16: Kruhový disk se otáčí ve vodorovné rovině. Hmotný bod o hmotnosti m = 1,5 kg leží ve vzdálenosti r = 8 cm od osy rotace. Koeficient smykového tření (statický) mezi hmotným bodem a diskem je f = 0,5. Na počátku děje je disk v klidu. V čase t = 0 s se začne roztáčet s konstantním úhlovým zrychlením ε = 0.5 rad s-2. Určete čas t1, ve kterém se hmotný bod začne smýkat po disku. Dáno: m = 1,5 kg, r = 8 cm, f = 0,5, ε = 0.5 rad s-2. Určit: t1 ( čas, ve kterém se hmotný bod začne smýkat). Příklad 17: Kuličky jsou uvolňovány po jedné ze zásobníku na hladkou kruhovou dráhu o poloměru r = 1,5 m. Na počátku dráhy, v bodě A mají nulovou rychlost. Kuličky dráhu opouštějí v bodě C ve vodorovném směru a jsou chytány v bodě B. Určete velikost rychlosti kuličky jako funkci úhlu θ, rychlost kuličky v bodě C a vzdálenost xb. Dáno: r = 1,5 m, va = 0 m/s, h = 50 cm. Určit: v(θ), vc, xb.
Příklad 18: Hmotný bod o hmotnosti m = 0,5 kg se pohybuje po hladké vodorovné dráze rychlostí v0 = 1,8 m/s. Poté se dostane na čtvrtkruhovou rampu o poloměru r = 40 cm. Určete úhel θ, kde dojde k oddělení hmotného bodu od povrchu. Dáno: m = 0,5 kg, v0 = 1,8 m/s, r = 40 cm. Určit: θ. Příklad 19: Hmotný bod o hmotnosti m = 3 kg je spojena s tyčí o zanedbatelné hmotnosti a provázkem. Délka tyče l = 2 m. Na počátku děje je vše v klidu, tyč svírá se svislým směrem úhel α = 45º. V čase t = 0 je provázek přestřižen. Určete sílu T v tyči v těchto okamžicích: a) v pozici nakreslené na obrázku před přestřižením provázku, b) v téže pozici těsně po přestřižení provázku, c) v nejnižším bodě dráhy kuličky ( α = 0º). Dáno: m = 3 kg, l = 2 m, α0 = 45º, v(0) = 0 m/s. Určit: T0-, T0+, T90.
Příklad 20: Hmotný bod o hmotnosti m se pohybuje po drsné nakloněné rovině (koef. smykového tření f, úhel α) směrem vzhůru. Na počátku děje, v bodě A, má nulovou rychlost. V tomto bodě začne na hmotný bod působit pružina s volnou délkou l0 a tuhostí k. V bodě B přestane pružina působit a hmotný bod se začne pohybovat šikmým vrhem, v bodě C dopadne na podložku. Odpor prostředí zanedbáváme. Určete rychlost vb hmotného bodu v bodě B a délku vrhu d, je-li počáteční natažení pružiny lab. Dáno: α = 25º, m = 0,1 kg, f = 0,15, k = 500 N/m, l0 = 20 cm, lab = 8 cm. Určit: vb, d. Poznámka o autorských právech: Všechny zde uvedené příklady a obrázky (vyjma příkladu 20) byly převzaty z knihy Riley W.F. Sturges L.D.: Engineering mechanics Dynamics, second edition, John Wiley & sons, 1996. Tento dokument slouží pouze pro potřeby výuky předmětu Mechanika pro 2. ročník FM TU Liberec.
Výsledky (bez záruky :-): Příklad 1: F = 2000 N. Příklad 2: a: F = 542,80 N, b: a = 9,035 ms-2. Příklad 3: a: v(5) = 45,724 ms-1, x(5) =114,31 m. b: v(5) = 36,506 ms-1, x(5) =91,264 m. Příklad 4: v1 = 6,731 ms-1, d = 7,697 m. Příklad 5: F = 23,456 kn, fmin = 0,315. Příklad 6: ab = 0,6667 ms-2, mb = 22,146 kg, FL = 202,49 N. Příklad 7: t1 = 1,867 s, v(5) = 1,066 ms-1, x(5) = 0,3885 m. Příklad 8: vn = 0,4472 ms-1. Příklad 9: v1 = 5.636 ms-1. Příklad 10: v(0,1 m) = 1.365 ms-1, a(0,1 m) = 8,81 ms-2, FL(0,1 m) = 5 N. Příklad 11: c = 27000 kg m-1 s-2. Příklad 12: a(0 s) = 0,8979 ms-2, l12 = 3049,8 m. Příklad 13: hb = 4587,2 m, h = 1035,7 m, vd = 86,57 ms-1. Příklad 14: R = 4988,2 m. Příklad 15: FD = 1470,7 N, FH = 98,93 N. Příklad 16: t1 = 15.66 s. Příklad 17: v = 2 g r sin, vc = 5.425 ms-1, xb = 1,732 m. Příklad 18: θ = 19,628º. Příklad 19: T0- = 41,620 N, T0+ = 20,810 N, T90 = 46,670 N. Příklad 20: vb = 14,064 ms-1, d = 15,446 m.