VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií Semestrální projekt Vyhodnocení přesnosti sebelokalizace Vedoucí práce: Ing. Tomáš Jílek Vypracovali: Michaela Homzová, Martin Sehnoutka Datum odevzdání: 9.5.2014 Strana: 1
Obsah 1Použitá terminologie...4 2Zpracování měření v jednorozměrném prostoru...5 2.1Údaje charakterizující rozdělení měřených hodnot...5 2.1.1Střední hodnota...5 2.1.2Konvenčně pravá hodnota...5 2.1.3Odchylka od střední hodnoty - preciznost...5 2.1.4Odchylka od konvenčně pravé hodnoty - pravdivost...5 2.2Pravdivost měření...6 2.3Přesnost měření...6 2.3.1Kvadratický průměr - RMS...6 2.4Aproximace měření normálním rozdělením...6 2.5Údaje charakterizující měření v čase...6 2.6Grafické výstupy...6 3Zpracování ve dvourozměrném prostoru...15 3.1Preciznost měření...15 3.2Pravdivost měření...16 3.2.1CEP...16 3.2.2DRMS, 2DRMS...16 3.3Grafické výstupy...16 4Zpracování ve trojrozměrném prostoru...19 4.1Výpočet vektoru...19 4.2Preciznost měření...19 4.2.1Střední hodnota...19 4.2.2Směrodatná odchylka průměru...19 4.2.3SEP - Spherical Error Probable...19 4.2.4Elipsoid chyb...20 4.3Pravdivost měření...20 4.3.1SEP - Spherical Error Probable...20 4.3.2MRSE - Mean Radial Spherical Error...20 4.3.390% Spherical Accuracy Standard...20 4.3.499% Spherical Accuracy Standard...20 4.3.5Elipsoid chyb...21 4.4Grafické výstupy...21 5Inkrementální výpočet parametrů - návrh...22 5.1Aritmetický průměr...22 5.2Kvadratický průměr (RMS)...22 5.3LEP, CEP...22 Seznam ilustrací Ilustrace 1: Grafické znázornění terminologie...4 Ilustrace 2: Histogram rozložení naměřených dat...7 Ilustrace 3: Distribuční funkce naměřených dat...10 Ilustrace 4: Histogram rozdělení chyby preciznosti...10 Strana: 2
Ilustrace 5: Distribuční funkce chyby preciznosti...11 Ilustrace 6: Rozdělení chyby pravdivosti...11 Ilustrace 7: Distribuční funkce chyby pravdivosti...12 Ilustrace 8: Časový průběh měření...12 Ilustrace 9: Měřená data ve 2D...17 Ilustrace 10: Elipsy konstantní pravděpodobnosti...17 Ilustrace 11: CEP, DRMS, 2DRMS...18 Ilustrace 12: Histogram 2D...19 Ilustrace 13: 2D měření v časové oblasti...20 Ilustrace 14: Spektrum 2D měření...21 Strana: 3
1 Použitá terminologie Zdroj: International vocabulary of metrology Basic and general concepts and associated terms Pravdivost Vyjadřuje blízkost střední hodnoty měřených hodnot a konvenčně pravé hodnoty. Parametr se vztahuje k celému souboru měřených dat. Preciznost Vyjadřuje těsnost shody mezi hodnotami daného měřeného vzorku. Parametr se vztahuje k celému souboru měřených dat. Přesnost Blízkost naměřené hodnoty ke konvenčně pravé hodnotě. Do této hodnoty se projeví jak velikost preciznosti, tak pravidovosti. Parametr se vztahuje k jedné naměřené hodnotě. Ilustrace 1: Grafické znázornění terminologie Zdroj: http://en.wikipedia.org/wiki/accuracy_%28trueness_and_precision%29 Strana: 4
2 Zpracování měření v jednorozměrném prostoru 2.1 Údaje charakterizující rozdělení měřených hodnot 2.1.1 Střední hodnota Všem měřením přikládáme stejnou váhu, takže použijeme vzorec pro aritmetický průměr. x STR = 1 n n x i i=1 2.1.2 Konvenčně pravá hodnota Předpokládáme hodnotu získanou z jiného zdroje, než z měření. x P =konst. 2.1.3 Odchylka od střední hodnoty - preciznost Δ x STR =x i x STR 2.1.4 Odchylka od konvenčně pravé hodnoty - pravdivost Δ x P =x i x P 2.2 Pravdivost měření LEP=median(Δ p ) 2.3 Přesnost měření 2.3.1 Kvadratický průměr - RMS RMS= 1 n n 2 Δ x P i=1 2.4 Aproximace měření normálním rozdělením Pro výpočet parametrů rozdělení je použit kvadratický průměr: K= 1 n n 2 Δ x STR i=1 Z něj se vypočtena odchylka: n σ= (1 n Δ x 2 2 STR ) Δ x STR i=1 kde průměr odchylek od střední hodnoty je roven nule. Strana: 5
2.5 Údaje charakterizující měření v čase Data jsou zobrazena v čase měření (předpokládáme konstantní délku času mezi měřeními). Spektrum je vypočteno pomocí Rychlé Fourierovy transformace (FFT). 2.6 Grafické výstupy Ilustrace 2: Histogram rozložení naměřených dat Ilustrace 3: Distribuční funkce naměřených dat Strana: 6
Z těchto grafů je možné vidět, jak se od sebe odlišují samotná měřená data. Ilustrace 4: Histogram rozdělení chyby preciznosti Ilustrace 5: Distribuční funkce chyby preciznosti Strana: 7
Chyba preciznosti se pohybuje okolo nuly, protože je vztažena ke střední hodnotě měřených dat. Na grafu distribuční funkce je vyznačena oblast směrodatné odchylky (σ). Ilustrace 6: Rozdělení chyby pravdivosti Ilustrace 7: Distribuční funkce chyby pravdivosti Na grafech zobrazujících pravdivost měření je vidět posun střední hodnoty od nuly. To znamená, že měřené hodnoty se soustřeďují na místo s určitou odchylkou od konvenčně pravé hodnoty. Na Strana: 8
distribuční funkci jde vidět rozsah 50% měřených hodnot (LEP). Ilustrace 8: Časový průběh měření Na časovém průběhu měření lze vidět, že hodnoty mají jistou periodu, se kterou se vlní. To lze vidět i na grafu spektra, kde je na začátku špička. Strana: 9
3 Zpracování ve dvourozměrném prostoru Zpracování vychází ze 2 jednorozměrných veličin. Z nich spočítáme chyby přesnosti a preciznosti obdobně jako u jednorozměrné veličiny. Zdroj: http://inggeo.fsv.cvut.cz/wiki/doku.php?id=04_teorie_chyb:0407_chyby_dvojrozmerne 3.1 Preciznost měření Je zobrazena jako elipsa s odchylkou 1σ a 2σ. Sklon elipsy je vypočten jako vzájemná závislost dat (korelace): k= n x i y i x i y i n x i 2 ( x i ) 2 Z koeficientu k, můžeme získat úhel natočení elipsy jako ϕ =arctg (k). Pro výpočet poloos elipsy přepočítáme body na pootočený souřadný systém. Vzorce: x N =cosϕ [x+ y tg (ϕ)] y N =cosϕ [ y x tg(ϕ)] Vypočítáme směrodatné odchylky pro nové body x N, y N. Ty použijeme jako poloosy elipsy. Vykreslení elipsy do původního souřadného systému: x=cos(ϕ) [a cos(t)+b sin(t ) tg(ϕ)] y=cos(ϕ) [b sin(t )+ a cos( t) tg (ϕ)] 3.2 Pravdivost měření Odchylka bodu od konvenčně pravé hodnoty: ϵ= Δ x P 2 +Δ y P 2 3.2.1 CEP Kružnice ohraničující 50% měřených bodů. CEP=median(ϵ) 3.2.2 DRMS, 2DRMS Poloměry kružnic: DRMS= σ x 2 +σ y 2 DRMS =2 DRMS Strana: 10
3.3 Grafické výstupy Ilustrace 9: Měřená data ve 2D Ilustrace 10: Elipsy konstantní pravděpodobnosti Strana: 11
Ilustrace 11: CEP, DRMS, 2DRMS Na obrázku je vidět, že hodnoty jsou soustředěny na místo mimo konvenčně pravou hodnotu. Ilustrace 12: Histogram 2D Strana: 12
Ilustrace 13: 2D měření v časové oblasti Ilustrace 14: Spektrum 2D měření Ve spektrální oblasti jsou vidět určité frekvence, které jsou pro dané měření významnější. Strana: 13
4 Zpracování ve trojrozměrném prostoru Naměřené hodnoty ve 3D prostoru byly zpracovány pro každou souřadnici zvlášť, což je založeno na zpracování 1D veličiny. Poté pro tři roviny XY, YZ a ZX. Toto je založeno na zpracování hodnot ve 2D prostoru, což je zmíněno výše. Každá naměřená hodnota obsahuje 3 složky, jedna pro každou souřadnici. Proto jsou vypočítány odchylky pro každou osu zvlášť a poté je vypočtena velikost vektoru odchylky, se kterou se dále pracuje jako s jednorozměrnou hodnotou. 4.1 Výpočet vektoru Jedná se o odmocninu se součtu kvadrátů odchylek ve 3 osách. Toto je provedeno pro každou trojici hodnot. Výpočet odchylky pro 1 osu: σ x = x namerena x prava Výpočet vektoru odchylek pro jednu trojici hodnot: vektor = (σ x 2 +σ y 2 +σ z 2 ) Pomocí tohoto vzorce však není zachována informace o směru vektoru jeho znaménku. Rovina XY byla stanovena jako referenční. Pokud má odchylka v ose z záporné znaménko, má vektor směr pod rovinu XY, tudíž se záporný. Naopak se jedná o kladnou hodnotu. vektor = (σ x 2 +σ y 2 +σ z 2 ) sign(σ z ) 4.2 Preciznost měření 4.2.1 Střední hodnota Jedná se o aritmetický průměr. Sečteme všechny hodnoty a vydělíme jejich počtem. Toto je implementováno pro odchylky 1D, 2D i 3D. x STR = 1 n n x i i=1 4.2.2 Směrodatná odchylka průměru Rozptyl normálního rozdělení střední hodnota kvadrátu odchylek od střední hodnoty: D( X )=σ 2 = 1 2 vektor n i i =1 n https://bitbucket.org/sehny/brob-b7 Směrodatná odchylka je definována jako odmocnina z rozptylu: σ= (D (x)) 4.2.3 SEP - Spherical Error Probable Poloměr koule se středem ve střední hodnotě, která obsahuje danou hodnotu v pravděpodobností 50%. Obsahuje 50% hodnot. Strana: 14
σ x = x merena x strednihodnota SEP=0,51 (σ x +σ y +σ z ) 4.2.4 Elipsoid chyb Chyby v jednotlivých osách normálního rozdělení pravděpodobnosti udávají elipsoidy se středem ve střední hodnotě. Pokud se parametr t = 1, jde o střední elipsoid chyb. Všechny hodnoty ležící na povrchu elipsoidu mají stejnou pravděpodobnost výskytu. x 2 σ + y 2 2 x σ + z2 2 y σ =t=1 2 z 4.3 Pravdivost měření 4.3.1 SEP - Spherical Error Probable Poloměr koule se středem v konvenčně pravé hodnotě, která obsahuje danou hodnotu v pravděpodobností 50%. Obsahuje 50% hodnot. σ x = x namerena x prava SEP=0,51 (σ x +σ y +σ z ) 4.3.2 MRSE - Mean Radial Spherical Error Poloměr koule se středem v konvenčně pravé hodnotě, která obsahuje danou hodnotu s pravděpodobností 61%. σ x = x namerena x prava MRSE= (σ x 2 +σ y 2 +σ z 2 ) 4.3.3 90% Spherical Accuracy Standard Poloměr koule se středem v konvenčně pravé hodnotě, která obsahuje danou hodnotu s pravděpodobností 90%. 90SAS=0,833 (σ x +σ y +σ z ) 4.3.4 99% Spherical Accuracy Standard Poloměr koule se středem v konvenčně pravé hodnotě, která obsahuje danou hodnotu s pravděpodobností 99%. 99SAS=1,122 (σ x +σ y +σ z ) Strana: 15
4.3.5 Elipsoid chyb Chyby v jednotlivých osách normálního rozdělení pravděpodobnosti udávají elipsoidy se středem ve konvenčně pravé hodnotě. Pokud se parametr t = 1, jde o střední elipsoid chyb. Všechny hodnoty ležící na povrchu elipsoidu mají stejnou pravděpodobnost výskytu. x 2 σ + y 2 2 x σ + z2 2 y σ =t=1 2 z 4.4 Grafické výstupy Ilustrace 16: Naměřená 3D data Strana: 16
Ilustrace 17: Směrodatná odchylka absolutní hodnoty vektoru odchylek Strana: 17
Ilustrace 18: SEP od střední hodnoty Strana: 18
Ilustrace 19: SEP od referenční hodnoty Strana: 19
Ilustrace 20: MRSE Strana: 20
Ilustrace 21: Srovnání SEP(červená), MRSE(zelená) a 90% Spherical Accuracy Standard Strana: 21
Ilustrace 22: Elipsoidy chyb od referenční a střední hodnoty Ilustrace 22: Distribuční funkce odchylky vzhledem ke střední hodnotě Strana: 22
Ilustrace 23: Histogram rozložení odchylek od střední a konvenčně pravé hodnoty Ilustrace 24: Histogram rozložení odchylek od střední a konvenčně pravé hodnoty Strana: 23
Ilustrace 22: Průběh prostorové odchylky v čase vzhledem ke střední a konvenční hodnotě Ilustrace 23: Průběh absolutní prostorové odchylky v čase vzhledem ke střední a konvenční hodnotě Strana: 24
Ilustrace 24: Amplitudové spektrum pro absolutní odchylku od střední a konvenčně pravé hodnoty Ilustrace 25: Fázové spektrum pro absolutní odchylku od střední a konvenčně pravé hodnoty Strana: 25
5 Inkrementální výpočet parametrů - návrh 5.1 Aritmetický průměr Pro výpočet průměru bychom si mohli držet v paměti celkový součet měřených hodnot a jejich počet. x= x n Nebo jen počet hodnot a pokaždé propočítat průměr: x i+ 1 =x i + x x+1 x i n i+1 Kde : x i+ 1...nový průměr x i... průměr z minulého kroku x x+1... nová hodnota n i+1... nový počet hodnot Průměrnou chybu pravdivosti můžeme počítat obdobným způsobem. Průměr chyby preciznosti je z principu nulový. 5.2 Kvadratický průměr (RMS) K výpočtu by stačilo mít proměnnou obsahující RMS 2. Pak bychom počítali se stejnými vzorci jako pro aritmetický průměr, pouze bychom jako vstupní hodnoty brali kvadráty. Tento postup by však nešel použít pro kvadratický průměr odchylky od střední hodnoty, protože střední hodnota se dynamicky mění. 5.3 LEP, CEP Jelikož se jedná o medián, tak by bylo potřeba uchovávat všechny měřené data. Jedním z možných řešení by bylo rozdělit si interval předpokládaných hodnot na části a pro každou část udržovat počet měření, které spadají do tohoto intervalu. Pro výpočet by se pak vybral interval, jenž by obsahoval medián. Strana: 26
6 Závěr Zadání byla přesnost sebelokalizace robota. Zadání bylo po dohodě změněno a projekt byl vypracován v Matlabu místo v C#, kvůli snadnějšímu vykreslování grafů. Určení přesnosti sebelokalizace se zpracováním pro stacionární měření. Je to řešeno pro 1D veličinu, 2D veličinu a poté 3D veličinu, která se prezentována jako tři jednorozměrné veličiny x, y a z. Poté jako tři dvourozměrné veličiny xy, yz a xz, a konečně jako trojrozměrná veličina, kdy se počítá s prostorovým vektorem odchylek. V Matlabu jsou implementovány výpočty pro soubor dat, v dokumentaci je dále nastíněno řešení inkrementálního výpočtu. Strana: 27