0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému

Transkript

1 x 1 2 Jméno a příjmení: ID.č Řešte diferenciální rovnici: y + 2xy x = sin x x y = C cos x x Vypočtěte z 2 e z dz, kde je křivka parametricky zadaná: (t) = t cos(πt) + j sin(πt), kde t [0, 1]. [e z (1 z)] 1 0 = 2e 1 (z 3 1)dz 3. Vypočtěte z 3 4z 2, kde je kladně orientovaná kružnice z = z ( z 3 1 2πj rez z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez z=1 ( 1 2πj ) = 8πj 3 z 3 1 z 3 4z 2 + 3z + rez z=3 z 3 ) 1 z 3 4z 2 + 3z = 2πj = 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému funkce f(x) = 2x definované na 1, 1 4( 1) n sin (nπx) πn n=1 5. Nalezněte pomocí Laplaceovy řešení rovnice y (t) + y(t) 2 t Y (p) = p2 p + 1 p 2 (p 1) 0 y(s)ds = t 2 t + 1 kde y(0) = 1. y = e t t 6. Pomocí Ztransformace nalezněte řešení diferenční rovnice určené počátečními y n+2 4y n+1 + 4y n = 2 n+3 kde y 0 = 0, y 1 = 2.

2 výsledek: y n = n 2 2 n 7. Student uspěje u zkoušky s pravděpodobností 3/4. Určete pravděpodobnost, že u zkoušky uspěje více než 230 studentů ze 300 zúčastněných. ( ) /4 P (X 230) = 1 P (X 230) = 1 Φ = 300 1/4 3/4 1 Φ(2/3). = 0.25

3 Jméno a příjmení: ID.č Řešte diferenciální rovnici: y + 2xy x = cos x x y = C + sin x x Vypočtěte t [0, π]. 3. Vypočtěte z e z dz, kde je křivka parametricky zadaná z(t) = ejt, kde [ e z (z + 1)] 1 1 = 2e 1 (z 2 + 1)dz, kde je kladně orientovaná kružnice z 3 = 4. 2πj z(z 2 9) ( rez z=0 z z(z 2 9) + rez z=3 z 2 ) ( z(z 2 = 2πj 9) ) = πj 4. Napište{ Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému funkce 0, 2 < x < 0; f(x) = 2, 0 < x < ( 1) n 1 ( nπ ) sin π n 2 x = 1+ 4 ( ) 1 (2k 1)π π 2k 1 sin x 2 n=1 5. Nalezněte pomocí Laplaceovy řešení rovnice n=1 y (t) + 4y (t) + 4y(t) = 8 sin(2t) kde y(0) = 1, y (0) = 0. y = cos 2t 6. Pomocí Ztransformace nalezněte řešení diferenční rovnice určené počátečními y n+2 2y n+1 2y n = 3 n kde y 0 = 1, y 1 = 3. výsledek: y n = 3 n 7. Student uspěje u zkoušky s pravděpodobností 2/3. Určete pravděpodobnost, že u zkoušky uspěje alespoň 125 studentů ze 200 zúčastněných. ( ) /3 P (X 125) = 1 P (X 125) = 1 Φ = 200 1/3 2/3 Φ(5/4) =

4 Jméno a příjmení: ID.č Napište rovnici tečné roviny v bodě A = [1, 1, 1] k ploše zadané implicitně rovnicí cos(y + xz) = x + y + z. x y + z = 1 2. Řešte diferenciální rovnici: y tg x y = 1 cos x. y = C+x cos(x) 3. Vypočtěte z sin zdz, kde je křivka parametricky zadaná z(t) = te jt, kde t [0, π]. [ ] π sin z z cos z = π 0 z Vypočtěte dz, kde je kladně orientovaná kružnice z 2 = 3. z(z 2 4) ( rez z=0 2πj z 2 1 z(z 2 4) + rez z=2 z 2 ) ( 1 1 z(z 2 = 2πj 4) ) = πj 5. Určete singulární body funkce f(z) = ez z 3 a rezidua v nich. z2 e z e z rez z=0 z 3 = 2 rez z2 z=1 z 3 z 2 = e 6. Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení rovnice y (t) + 2y (t) 3y(t) = 4e t kde y(0) = 0, y (0) = 1. y = te t 7. Pomocí Ztransformace nalezněte řešení diferenční rovnice určené počátečními y n+2 3y n+1 + y n = 2 n+1 kde y 0 = 2, y 1 = 4. y n = 2 n

5 Jméno a příjmení: ID.č Nalezněte rovnici tečné roviny grafu funkce z(x, y) = x 2 y 3 + 4xy 2 4x v bodě T = [1, 1,?]. 2. Řešte diferenciální rovnici: y y x 2 = Najděte obecné řešení rovnice y + y 2y = 2 cos x 6 sin x 4. Vypočtěte kde t [0, 2π]. e z + 1 z 2 dz, kde je křivka parametricky zadaná z(t) = e jt, 5. Vypočtěte t [0, π]. (sin z + z cos z)dz, kde je křivka zadaná z(t) = t 2 ejt, kde 6. Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení diferenciální rovnice určené počátečními y (t) + y(t) = t 2 kde y(0) = 2, y (0) = Nalezněte funkci komplexní proměnné, která je v Ztransformac obrazem posloupnosti {f n } n=0 = {2(1 ( 1) n+1 )}

6 Jméno a příjmení: ID.č Napište rovnici tečné roviny v bodě A = [1, 1,?] k ploše zadané funkcí z(x, y) = 2x 2 ye x y + y x. 2. Řešte lineární diferenciální rovnici: y = 4x + y Řešte lineární diferenciální rovnici druhého řádu y 2y + y = 4e x. 4. Vypočtěte t [ π 2, π 2 ]. z e z dz, kde je křivka parametricky zadaná z(t) = πejt, kde 5. Vypočtěte t [0, 2π]. ze z dz (z 1) 2, je křivka parametricky zadaná z(t) = 1 + ejt, kde 6. Nalezněte pomocí Laplaceovy řešení rovnice y (t) + 2y (t) + y(t) = 2t + 4 kde y(0) = 0, y (0) = Nalezněte funkci komplexní proměnné F (z), která je obrazem Z posloupnosti {f n } n=0 = { π(1 ( 1)) n+1} = {2π, 0, 2π, 0, 2π,... } n=0

7

8 Jméno a příjmení: ID.č. 1. Napište rovnici tečné roviny v bodě A = [2, 1, 2] k ploše zadané implicitně rovnicí ln(y z) = (x + y)(x + z). 2. Řešte diferenciální rovnici: y 2 y x = x2. 3. Vypočtěte z sin zdz, kde je křivka parametricky zadaná z(t) = je jt, kde t [0, π]. 4. Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení diferenciální rovnice určené počátečními y (t) + 2y (t) 8y(t) = 7e 3t kde y(0) = 1, y (0) = Pomocí Ztransformace nalezněte řešení diferenční rovnice určené počátečními y n+2 y n+1 2y n = 2 kde y 0 = y 1 = Nalezněte Fourierův rozvoj funkce f(x) = 1 x 1 v intervalu [0, 2]. 7. Určete singulární body funkce f(z) = cos z bodech. z 2 a vypočtěte rezidua v těchto

9 Jméno a příjmení: ID.č. 1. Napište rovnici tečné roviny v bodě A = [2, 2, 2] k ploše zadané implicitně rovnicí z + y = (x + z)e x y. 2. Řešte diferenciální rovnici: y 2y x = x2. 3. Vypočtěte sin z 4z 2 dz, kde je kladně orientovaná kružnice se středem π2 v bodě 1 + j o poloměru 2 tj. z 1 j = Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení diferenciální rovnice určené počátečními y (t) + 3y (t) 4y(t) = 4t + 2 kde y(0) = 1, y (0) = Pomocí Ztransformace nalezněte řešení diferenční rovnice určené počátečními y n+1 2y n = 2 n kde y 0 = 2, y 1 = Nalezněte Fourierův rozvoj funkce f(x) = 3 x v intervalu [ 4, 4]. 7. Určete singulární body funkce f(z) = sin z z 2 1 bodech. a vypočtěte rezidua v těchto Jméno a příjmení: ID.č. příklad je hodnocen 10 body.

10 1. Napište rovnici tečné roviny v bodě A = [2, 1] k funkci z = x2 y 2 x + y. 2. Řešte diferenciální rovnici: y y tg x = 2 sin x. 3. Vypočtěte ze z dz, kde je křivka parametricky zadaná z(t) = je jt, kde t [0, π]. 4. Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení diferenciální rovnice určené počátečními y (t) + 2y (t) 8y(t) = 8t + 2 kde y(0) = 1, y (0) = Pomocí Ztransformace nalezněte řešení diferenční rovnice určené počátečními y n+2 y n+1 2y n = 0 kde y 0 = 2, y 1 = Nalezněte Fourierův rozvoj funkce f(x) = x 1 v intervalu [ 3, 3]. 7. Určete singulární body funkce f(z) = cos z bodech. z 2 a vypočtěte rezidua v těchto

11 Jméno a příjmení: ID.č. 1. Napište rovnici tečné roviny v bodě A = [2, 1] k funkci z = x2 y 2 x + y. 2. Řešte diferenciální rovnici: y y tg x = 2 sin x. 3. Vypočtěte ze z dz, kde je křivka parametricky zadaná z(t) = je jt, kde t [0, π]. 4. Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení diferenciální rovnice určené počátečními y (t) + 2y (t) 8y(t) = 8t + 2 kde y(0) = 1, y (0) = Pomocí Ztransformace nalezněte řešení diferenční rovnice určené počátečními y n+2 y n+1 2y n = 0 kde y 0 = 2, y 1 = Nalezněte Fourierův rozvoj funkce f(x) = x 1 v intervalu [ 3, 3]. 7. Určete singulární body funkce f(z) = cos z bodech. z 2 a vypočtěte rezidua v těchto