ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha
Předmluva Předkládaná učební pomůcka je určena studentům.roč. magisterského učebního programu nteligentní budovy zaměření elektrotechnické / informatické a tvoří vhodný doplněk vlastního učebního textu k usnadnění studia předmětu Elektrické světlo. Ve skriptu jsou v příkladech ukázány běžné postupy řešení základních světelně technických veličin i možnosti praktického využití jejich vzájemných souvislostí. V několika komplexnějších příkladech jsou výsledky výpočtů ověřeny energetickými bilancemi. Čtenář v publikaci nalezne i výpočty rozložení světelných toků bodových přímkových a obdélníkových typů svítidel a příklady ilustrující vliv mnohonásobných odrazů v interiérech. Na přípravě pomůcky a řešení jednotlivých příkladů a na zpracování pomůcky se podíleli : Prof. ng. Jiří Habel DrSc. ng. Tomáš Veselka ng. Marek Bálský ng. Rudolf Bayer a ng. Jan álešák. Předložená učební pomůcka není jistě bez nedostatků. Proto budeme všem čtenářům vděčni za veškeré jejich připomínky jak k obsahu tak i ke způsobu zpracování látky. V Praze v říjnu roku Autoři i
OBSAH Předmluva... i OBSAH.... Rozlišení detailu.... Prostorový úhel... 3 3. Prostorový úhel... 4 4. Prostorový úhel... 5 5. Světelný tok sodíkové výbojky... 6 6. Určení světelného toku ze svítivosti zdroje... 7 7. Určení svítivosti ze světelného toku zdroje... 7 8. Jas povrchu tělesa ve tvaru koule... 8 9. Jas povrchu tělesa ve tvaru polokoule... 9. Jas povrchu tělesa ve tvaru válce.... Určení světlení z dopadlého toku na plošku.... Světelný tok a osvětlenost v poli bodového zdroje... 3 3. Světlení povrchu a integrální činitele odrazu a prostupu... 5 4. ntegrální činitele odrazu prostupu a pohlcení... 6 5. Osvětlenost v poli bodového zdroje... 7 6. Osvětlenost v poli bodového zdroje... 9 7. Světlení plochy v poli dvou bodových zdrojů... 8. Určení svítivosti zdroje vizuální metodou na fotometrické lavici... 4 9. Výpočet osvětlenosti v místnosti se čtyřmi svítidly bodového typu... 5. Výpočet rozložení toku rotačně souměrně vyzařujícího svítidla bodového typu... 3. Výpočet rozložení světelného toku svítidla přímkového typu... 33. Výpočet toku dopadajícího ze svítidla bodového typu na obdélník... 36 3. Graficko-početní metoda výpočtu toku rotačně souměrně vyzařujícího svítidla... 39 4. Výpočet osvětlenosti v poli obdélníkového zdroje... 4 5. Výpočet světlenosti v poli přímkového typu... 43 6. Mnohonásobné odrazy v duté ploše s otvorem... 47 7. Výpočet rozložení světelného toku svítidla obdélníkového typu... 49 8. Řešení mnohonásobných odrazů v prostoru ve tvaru kvádru... 5 9. Rozložení jasů v prostoru ve tvaru kvádru... 55 3. Řešení parametrů osvětlovací soustavy v programu DALux... 58 3. Analýza zapínacího proud žárovek... 66 3. Analýza napájecího obvodu zářivky 36 W s indukčním předřadníkem... 67 33. Kompenzace účiníku v obvodu zářivky 36 W s indukčním předřadníkem... 7
. Rozlišení detailu Určete vzdálenost ze které lidské oko rozliší úsečku o délce mm při rozlišovací schopnosti oka. Řešení: Pro malé úhly zejména v oblasti minut lze přistupovat k problému zjednodušeně podle obr. b. Obr. a Obr. b Obr. Pozorovatel sleduje objekt o délce mm ze vzdálenosti l pod úhlem. [Při malých úhlech (cca do ) lze při řešení postupovat i podle obr. b]. Výpočet pro situaci na obr. a: 3 5 mm 5 mm 5 tg( 5') l 3 438 m l tg( 5') tg( 5') Pro přepočet z minut na stupně resp. z minut na radiány lze použít vztahy 5' π 454 8 Výpočet pro situaci na obr. b: 3 ( ) ( ) ( 5/ 6) 5 6 8 333 ; 5' 3 mm tg( ') l 3 438 m l tg( ') V tomto případě se výsledky obou přístupů liší až na 7. desetinném místě. Pro přepočet z minut na stupně resp. z minut na radiány lze použít vztahy ' π 99 8 ( ) ( ) ( / 6) 6 666 ; ' 4 rad 4 rad
. Prostorový úhel Pod jakým prostorovým úhlem vidí pozorovatel svítidlo S ve tvaru koule o průměru d 3 cm pokud jej pozoruje z bodu P ze vzdálenosti l 5 m od středu svítidla pod úhlem β 3 podle obr.? Řešení: Obr. Svítidlo S ve tvaru koule o průměru d se pozoruje z bodu P ze vzdálenosti l. Úhel β svírá svislá osa o s svítidla se spojnicí středu svítidla S a bodu P. Prostorový úhel Ω pod nímž je z bodu P vidět svítící povrch svítidla obecného tvaru ze vzdálenosti l lze spočítat podle vztahu Ω A cos β (sr; m m) () l kde A je svítící povrch svítidla který pozoruje pozorovatel z bodu P β je úhel mezi svislou osou o s a spojnicí středu svítidla S a bodem P ( A cosβ ) je průmět svítícího povrchu svítidla do roviny kolmé k ose pohledu tj. ke spojnici bodu S a bodu P. Svítící povrch svítidla S ve tvaru koule vidí pozorovatel z jakéhokoliv směru (tj. pro jakýkoliv A cosβ π d ] ležící v rovině kolmé k paprsku l. úhel β) jako kruh [o ploše ( ) 4 rovnice () pro hledaný prostorový úhel Ω pod nímž je z bodu P vidět kruhový zdroj S pak A cosβ vyplývá po dosazení za ( ) Ω A l π l π 3 5 cos β d 4 4 3-3 sr ávěr: Pozorovatel z bodu P vidí svítidlo S ve tvaru koule pod prostorovým úhlem Ω 3-3 sr. 3
3. Prostorový úhel Pod jakým prostorovým úhlem vidí pozorovatel svítidlo S tvaru kruhu o průměru d 3 cm pokud jej pozoruje z bodu P ze vzdálenosti l 5 m od středu svítidla S a pod úhlem β 3 podle obr. 3? Řešení: Obr. 3 Svítidlo S ve tvaru kruhu o průměru d se pozoruje z bodu P ze vzdálenosti l. Úhel β svírá paprsek l s normálou N A k vyzařovací ploše svítidla. Při výpočtu hledaného prostorového úhlu Ω se vychází z obecné rovnice () uvedené v příkladu do které se dosadí: l 5 m; A π d ; d 3 m; β 3 ; cosβ cos(3 ) ávěr: A cos β π d cos β π 3 cos3 Ω 98-3 sr l 4 l 4 5 Pozorovatel z bodu P vidí svítidlo S ve tvaru kruhu pod prostorovým úhlem Ω 98-3 sr. 4
4. Prostorový úhel Pod jakým prostorovým úhlem vidí pozorovatel svítidlo tvaru válce s podstavou o průměru d 3 cm a výškou h 4 cm ze vzdálenosti l 5 m od středu svítidla pokud jej pozoruje z bodu P pod úhlem α 3 dle obr. 4? Obr. 4 Svítidlo S ve tvaru válce s podstavou o průměru d a výškou h se pozoruje z bodu P ze vzdálenosti l. Úhel β svírá svislá osa o s svítidla S se spojnicí středu svítidla S a bodu P. Řešení: Při výpočtu hledaného prostorového úhlu Ω se vychází z obecné rovnice () uvedené v příkladu kde součin ( A cosβ ) představuje průmět povrchu válcové plochy roviny kolmé ke směru pohledu tj. k paprsku l. Povrch válce si lze rozdělit na dílčí plochy podle obr. 5 a to na kruh a obdélník. Obr. 5 pohledu pozorovatele P lze povrch svítidla S ve tvaru válce rozdělit na kruh A k pozorovaný pod úhlem β a na obdélník A o pozorovaný pod úhlem (9 -β) jak je naznačeno v pravé části obrázku. K získání celkového prostorového úhlu Ω dosadíme do obecného vztahu () úhel β a plochu A k úhel (9 -β) a plochu A o ( 9 α ) π d cosα ( h d ) cos( 9 α ) + A cosα B cos Ω + l l 4 l l π ( 4 3) cos( 9 3 ) cos3 + 3 4 5 5 94-3 sr ávěr: Pozorovatel z bodu P vidí svítidlo S pod prostorovým úhlem Ω 94-3 sr. 5
5. Světelný tok sodíkové výbojky Při uvažování fotopického vidění určete světelný tok sodíkové výbojky 5 W která vyzařuje na vlnové délce λ 555 nm zářivý tok Φ e (λ) 8 W. 7 6 S v ě t e l n ý ú č i n e k z á ř e n í ( l m/ W ) 5 4 3 9 8 7 6 5 4 3 K (λ) - skotopické vidění max. 7 lm /W při 57 nm 555 nm K (λ) K (λ) - - mezopické vidění vidění adaptační adaptační jas jas cd.m cd.m - - max. 756 lm /W při 53 nm K(λ) - fotopické vidění max. 683 lm /W při 555 nm K (λ) - mezopické vidění adaptační jas cd.m - max. 695 lm /W při 545 nm Obr. 6 ávislosti světelného účinku záření K(λ) normálního fotometrického pozorovatele při fotopickém mezopickém a skotopickém vidění na vlnové délce viditelného záření. Řešení: Světelný tok Φ(λ) odpovídající zářivému monofrekvenčnímu toku Φ e (λ) při fotopickém vidění normálního fotometrického pozorovatele se stanoví jako součin zmíněného zářivého toku Φ e (λ) a světelného účinku K(λ) záření ze vztahu Φ( λ) K( λ) Φ ( λ) (lm; lm/w W) () e V daném případě Φ e (λ) Φ e (555) 8 W a tudíž K(λ) K(555) 683 lm W -. Po dosazení do vztahu () pro hledaný světelný tok Φ(λ) vychází ávěr: 4 4 44 46 48 5 5 54 56 58 6 6 64 66 68 7 Φ( λ) K( λ) Φ ( λ) 683 8 5464 lm 546 lm e vlnová délka (nm) Světelný tok sodíkové výbojky o příkonu 5 W je 546 lm. 6
6. Určení světelného toku ze svítivosti zdroje adání: Stanovte světelný tok Φ zdroje jehož průměrná svítivost do dolního poloprostoru je d 48 cd a do horního poloprostoru h 36 cd. Řešení: Svítivost γ bodového zdroje ve směru určeném úhlem γ je rovna světelnému toku Φ obsaženému v jednotkovém prostorovém úhlu Ω.a to v souladu s definiční rovnicí svítivosti dφ γ (cd; lm sr) (3) dω kde dω je prostorový úhel jehož osa leží ve směru určeném úhlem γ a v jehož mezích uvažovaný zdroj vyzařuje světelný tok dφ. Prostorový úhel Ω celého prostoru je roven 4π a prostorový úhel poloprostoru je π. Je-li průměrná svítivost d do dolního a h do horního poloprostoru stanoví se hledané světelné toky Φ d a Φ h do dolního a horního poloprostoru ze vztahu ávěř: Φ Ω Ω + Ω 48 π + 36 π 5779 lm 58 lm Světelný tok Φ zdroje je 58 lm. d d h h 7. Určení svítivosti ze světelného toku zdroje adání: Jaká je svítivost bodového zdroje světla který vyzařuje světelný tok Φ 56 lm rovnoměrně do všech směrů v prostoru? Řešení: Svítivost γ bodového zdroje je definována vztahem (3) uvedeném v příkladu 6. Pokud je světelný tok Φ rovnoměrně vyzařován do všech směrů (Ω 4π) je průměrná svítivost rovna poměru toku Φ a prostorového úhlu Ω tj. Φ 56 9995 cd cd Ω 4π ávěr: Průměrná svítivost uvažovaného bodového zdroje rovnoměrně vyzařujícího tok 56 lm do celého prostoru je cd. 7
8. Jas povrchu tělesa ve tvaru koule adání: Určete jas L povrchu tělesa ve tvaru koule o průměru d 3 cm které do všech směrů vyzařuje s konstantní svítivostí cd. Řešení: Obr. 7 Pozorovatel vidí z bodu P svítidlo tvaru koule o průměru d jako kruh o průměru d. Pro jas L γ svazku paprsků rozbíhajících se z bodového zdroje jehož svítivost ve směru osy svazku je γ platí obecný vztah γ L γ A cosγ (cd m - ; cd m ) (4) kde A je vyzařující plocha γ je úhel mezi normálou N A plochy A a osou svazku paprsků γ (viz obr. 8). Obr. 8 Náčrt průmětu (A cosγ) svítící plochy A do roviny kolmé ke směru svítivosti γ. Pokud pozorovatel P podle obr. 7 pozoruje svítidlo ve tvaru koule uvidí z jakéhokoliv úhlu γ (obr. 8) kruh o průměru d. V daném případě je tedy pro libovolný úhel γ průmět ávěr: d A cos β π (5) 4 a hledaný jas L se při konstantní svítivost vypočte z rovnice S π d π 3 4 4 L 44 7cd m 45 cd m - Hledaný jas L povrchu tělesa ve tvaru koule je tedy 45 cd m. 8
9. Jas povrchu tělesa ve tvaru polokoule adání: Určete jas povrchu tělesa ve tvaru polokoule o průměru d 3 cm ve směru k pozorovateli v bodě P (ve směru pod úhlem γ 3 od normály N A ) je-li svítivost tělesa ve sledovaném směru γ cd (viz obr. 9). Řešení: Obr. 9 Jas svítidla tvaru polokoule o průměru d hodnotí pozorovatel z bodu P. Úhel γ svírá normála N A kruhové podstavy svítící plochy polokoule a spojnice středu podstavy s bodem P. Pro jas L γ svazku paprsků rozbíhajících se paprsků platí vztah (4) uvedený v příkladu 8 γ L γ (cd m - ; cd m ) (4) A cosγ Důležité je že ve jmenovateli vztahu (4) je průmět svítící plochy A zdroje do roviny kolmé ke směru pohledu pozorovatele tj. A cosγ. Pro daný případ je situace znázorněna na obr.. Obr. b Obr. a Obr. Polokulové svítidlo je z bodu P (obr. a) vidět ve tvaru znázorněném na obr. b. Plocha A představuje polovinu obsahu kruhu o průměru d tj. π d A 4 π d plocha A je pak rovna polovině kruhu pozorovaného pod úhlem γ tj. A cosγ. obr. je zřejmé že v daném případě je průmět ( cosβ ) k ose pohledu roven 4 A svítící plochy A do roviny kolmé π d π d A cos γ A + A cosγ + (6) 4 4 9
Po dosazení do vztahu (6) pro hledanou hodnotu jasu vychází L γ γ A cosγ γ γ A + A π d π d cosγ + 4 4 π 3 4 π 3 cos3 + 4 56 8 56 cd m - ávěr: Jas povrchu zadaného tělesa ve tvaru polokoule se svítivostí γ cd v pozorovaném směru je 56 cd m -.. Jas povrchu tělesa ve tvaru válce adání: Určete jas povrchu svítícího tělesa ve tvaru válce s podstavou o průměru d 3 cm výškou h 4 cm a to ve směru pod úhlem γ 3 od osy o v válce za předpokladu že svítivost γ daného svítidla v uvažovaném směru je rovna γ cd (viz obr. ). Obr. Jas svítícího tělesa ve tvaru válce o průměru podstavy d a výšce h hodnotí pozorovatel z bodu P. Úhel γ se měří mezi normálou N A kruhové podstavy válce a spojnicí středu svítidla s bodem P. Přímka N A prochází středem válce a je kolmá k normále N A. Řešení: Pro jas L γ svazku paprsků rozbíhajících se paprsků platí vztah (4) uvedený v příkladu 8 γ L γ (cd m - ; cd m ) (4) A cosγ
Obr. a Obr. b Obr. Svítící válec (obr. a) je z bodu P vidět ve tvaru znázorněném na obr. b. Pozorovanou svítící plochu lze rozdělit na svítící kruh podstavy A p pozorovaný pod úhlem γ jako plocha A a na plášť válce pozorovaný pod úhlem (9 -γ) jako plocha A obdélníku. obr. je zřejmé že v daném případě je průmět ( cosβ ) k ose pohledu roven A svítící plochy A do roviny kolmé π d A cosγ A + A cosγ + h d cosγ (7) 4 Po dosazení do vztahu (7) pro hledanou hodnotu jasu L γ vychází L γ γ A cosγ γ A + A π d 4 γ cosγ + h d cosγ ávěr: 84 98 85 cd m - π 3 cos3 + 4 3 cos3 4 Jas povrchu zadaného tělesa ve tvaru válce s danou svítivostí v pozorovaném směru je 85 cd m -.
. Určení světlení z dopadlého toku na plošku adání: Určete světlení rovinné plošky A o obsahu S cm ze které vychází světelný tok Φ lm (obr. 3). Řešení: Obr. 3 Plocha A vyzařuje tok Φ. Světlení je definováno jako plošná hustota světelného toku dφ v vyzařovaného z plošky da podle výrazu M dφv (lm m - ; lm m ) (8) da Pro průměrnou hodnotu světlení M plochy A vyzařující tok Φ v pak platí M Φv (lm m - ; lm m ) (9) A Po dosazení do rovnice (9) pro hledané světelní M vychází Φ M lm m - S ávěř: Hodnota světelní M zadané plošky A je lm m -.
. Světelný tok a osvětlenost v poli bodového zdroje adání: Určete světelný tok Φ dopadlý z bodového zdroje na plochu A kruhového tvaru o průměru d 3 cm. droj světla vyzařuje rovnoměrně do všech směrů s konstantní svítivostí cd a je od plochy A umístěn ve vzdálenosti l 5 m (obr. 4). Dále určete osvětlenost plochy A. droj osvětluje plochu A ze směru pod úhlem β 3 měřeným od normály N A. Obr. 4 droj osvětluje kruhovou plochu A ze vzdálenosti l. Osa svazku paprsků dopadajících ze zdroje na plochu A svírá s normálou N A úhel β. Řešení: Svítivost γ svítidla bodového typu ve směru určeném úhlem γ je rovna světelnému toku Φ obsaženému v jednotkovém prostorovém úhlu Ω. dφ γ (cd; lm sr) () dω kde dω je prostorový úhel jehož osa leží ve směru určeném úhlem γ a v jehož mezích uvažovaný zdroj vyzařuje světelný tok dφ. Vyzáří-li zdroj do prostorového úhlu Ω světelný tok Φ pak je průměrná svítivost s v mezích prostorového úhlu Ω rovna Φ s (cd; lm sr) () Ω výrazu () vyplývá že vyzařuje-li zdroj do prostorového úhlu Ω s konstantní svítivostí s pak do prostorového úhlu Ω vyzáří světelný tok Φ který se zjistí ze vztahu Φ s Ω (lm; cd sr) () adaný zdroj vyzařuje s konstantní svítivostí do celého prostoru. Svítivost je tedy konstantní i v mezích prostorového úhlu Ω A pod kterým je z bodu vidět plocha A. Světelný tok Φ A dopadající na plochu A v mezích prostorového úhlu Ω A (obr. 5) lze tedy vypočítat ze vztahu Φ (lm; cd sr) (3) A Ω A 3
Obr. 5 bodu zdroje je osvětlovaná plocha A vidět pod prostorovým úhlem Ω A. Prostorový úhel Ω pod nímž je ze zdroje vidět plochu obecného tvaru ze vzdálenosti l lze spočítat podle vztahu A cosβ Ω (sr; m m) (4) l kde A je osvětlovaná plocha která je z bodu vidět pod prostorovým úhlem Ω A v daném případě A π d 4 β je úhel mezi spojnicí středu plochy A a zdrojem a normálou N A plochy A. Po dosazení do rovnice (4) pro prostorový úhel Ω A vychází Ω A π d π 3 cos β cos3 A cos β 4 4 3 9 79 sr l l 5 Dosadíme-li výsledek do vztahu (3) nalezneme již hledaný světelný tok Φ A Φ 9 79 A Ω A 3 98 lm Průměrná osvětlenost E A plochy A se pak vypočte z výrazu ΦA ΦA 98 EA 39 lx A π d π 3 4 4 Stejná hodnota osvětlenosti E A se zjistí i dosazením do základního vzorce pro výpočet osvětlenosti E Pρ v bodě P obecně položené roviny ρ osvětlené svítidlem bodového typu γ E P ρ cos β cos3 36 lx l 5 ávěr: Světelný tok Φ dopadající na plochu A má hodnotu Φ A 98 lm a osvětlenost E plochy A hodnotu E A 39 lx. K hodnotě osvětlenosti plošky A v bodě P lze dospět výpočtem světelného toku Φ A dopadajícího na plochu A a vztažením tohoto toku na plochu A nebo dosazením do základního vzorce pro výpočet osvětlenosti E Pρ v bodě P obecně položené roviny ρ. 4
3. Světlení povrchu a integrální činitele odrazu a prostupu adání: Mějme kruhovou difúzně odrážející a propouštějící plochu A o průměru d m. ntegrální činitel odrazu plochy A je ρ 7 a integrální činitel prostupu materiálu τ. Na uvažovanou plochu A dopadá světelný tok Φ 3 lm. Vypočítejte světelní M povrchu A do poloprostoru v němž je zdroj a M do druhého poloprostoru (obr. 6). Řešení: Obr. 6 droj osvětluje kruhovou plochu A o průměru d. Světlení M je obecně definováno vztahem (8) uvedeném v příkladu. Průměrná hodnota světlení M plochy A vyzařující (odrážející) tok Φ V se zjistí ze vztahu (9). Dopadá-li na difúzně odrážející plochu A tok Φ odráží se od jejího povrchu do poloprostoru v němž je zdroj světelný tok Φ ρ. Obsah kruhové plochy A o průměru d se vypočte z výrazu d 4 Φ o A π. Po dosazení do vztahu (9) pro světlení M vychází Φo Φ ρ 3 7 M 67 lm m - A π d π 4 4 Tok Φ p prošlý materiálem do poloprostoru se stanoví z rovnice Φ p Φ τ. Průměrné světlení M do poloprostoru je rovno poměru toku Φ p a obsahu plochy A M Φ p A Φ τ 3 π d π 4 4 76 lm m - ávěr: adaná plocha A po dopadu světelného toku Φ 3 lm ze zdroje vykazuje do poloprostoru se zdrojem světlení M 67 lm m - při daném integrálním činiteli odrazu ρ plochy A a do opačného poloprostoru M 76 lm m - při daném integrálním činiteli prostupu τ materiálu plochy A. 5
4. ntegrální činitele odrazu prostupu a pohlcení adání: Mějme plochu A na kterou dopadá světelný tok Φ lm. 7 % světelného toku Φ se od plochy A odrazí a 3 lm látkou projde. Určete činitel pohlcení α materiálu plochy A. Řešení: Světelně technické vlastnosti látek charakterizují tři bezrozměrné integrální činitele: činitel odrazu ρ činitel prostupu τ a činitel pohlcení α. Tyto činitele určují jaká část dopadajícího světelného toku Φ se odrazí projde látkou a je látkou pohlcena. Platí tedy ρ + τ + α (5) Pokud se podle zadání 7 % dopadajícího světelného toku Φ odrazí je činitel odrazu ρ 7. Dále víme že látkou projde světelný tok Φ τ 3 lm což je 3 % z dopadajícího světelného toku Φ lm. Činitel prostupu je tedy τ 3. Činitel pohlcení α se pak stanoví dosazením do rovnice (5) z výrazu ávěr: α ρ τ 7 3 5 ntegrální činitele odrazu ρ prostupu τ a pohlcení α určují jaká část světelného toku Φ dopadající např. na danou plochu A se odrazí projde a je pohlcena materiálem plochy. Sledovaný materiál plochy A vykazuje tedy při integrálním činiteli odrazu ρ 7 hodnotu integrálního činitele prostupu τ 3 a hodnotu integrálního činitele pohlcení α 5. 6
5. Osvětlenost v poli bodového zdroje adání: Určete osvětlenost E Pρh v bodě P vodorovné srovnávací roviny ρ h (kolmé ke svisle orientovanému směru vztažné svítivosti ) kterou zajistí jediný bodový zdroj (viz obr. 7). adáno : vztažná svítivost 5 cd; h 3 m; p 4 m Rozložení svítivosti rotačně souměrně vyzařujícího zdroje vystihuje čára svítivosti jejíž tvar matematicky popisuje funkce f ( γ ) cos γ. Řešení: Obr. 7 Geometrické uspořádání zdroje a kontrolního bodu P ve vodorovné srovnávací rovině ρ h. V bodě P je vztyčena normála N ρh vodorovné srovnávací roviny ρ h (svislá čerchovaná čára). Obr. 8 Bodový zdroj osvětluje plošku da v rovině ρ v okolí kontrolního bodu P. Ve směru ke kontrolnímu bodu P vykazuje zdroj svítivost γ. 7
Osvětluje-li se bodovým zdrojem ze vzdálenosti l ploška da tvořící okolí bodu P v rovině ρ a svírá-li normála N ρ roviny ρ úhel β s paprskem l lze odvodit pro osvětlenost E Pρ v bodě P roviny ρ bodovým zdrojem výraz E P ρ γ cos β (lx; cd m ) (6) l Je-li křivka svítivosti uvažovaného rotačně souměrně vyzařujícího zdroje je v závislosti na úhlu γ f γ cos platí pro svítivost γ vztah popsána funkcí ( ) γ γ ( γ ) γ (7) f cos Obr. 9 názornění průběhu charakteristické funkce f (γ) cos γ v polárních souřadnicích. Pro úhel γ z obr. 7 vyplývá vztah p 4 γ β arctg arctg h 3 53 3 (8) Vzdálenost l se stanoví z rovnice l h + p 3 + 4 5 m Svítivost γ uvažovaného zdroje ve směru pod úhlem γ 533 se zjistí dosazením do vztahu (8) ( cos( 53 3 )) cd cos γ 5 54 (9) γ Po dosazení do rovnice (6) pro osvětlenost E Pρh horizontální roviny ρ h v bodě P kdy β γ vychází ávěr: cos β ( 53 3 ) 54 cos 5 γ E P ρ h 3 lx l Osvětlenost E Pρh srovnávací roviny ρ h (kolmé k ) v bodě P ve vzdálenosti 5 m bodovým zdrojem ( γ 54 cd) je rovna E Pρh 3 lx. 8
6. Osvětlenost v poli bodového zdroje adání: Určete osvětlenost E Pρv v bodě P svislé srovnávací roviny ρ v [rovnoběžné se sněrem vztažné svítivosti a kolmé k úsečce p (viz obr. ) ] kterou zajistí jediný bodový zdroj. adáno : vztažná svítivost 5 cd; h 3 m; p 4 m rozložení svítivosti zdroje vystihuje čára svítivosti jejíž tvar matematicky popisuje funkce f ( γ ) cos γ. Řešení: Obr. Geometrické uspořádání zdroje a kontrolního bodu P ve vertiklání rovině ρ v. Pro výpočet osvětlenosti E Pρ v bodě P obecné roviny ρ platí vztah (6) z příkladu 5. Rozložení svítivosti uvažovaného rotačně souměrně vyzařujícího zdroje je i v tomto případě popsáno charakteristickou funkcí f ( γ ) cos γ a tedy i rovnicí (9) z příkladu 5. Úhel γ se i v tomto případě stanoví z rovnice (8) tj. γ 533 a tudíž je shodná i svítivost ve směru pod úhlem γ tj. podle rovnice (9) γ 54 cd. Pro úhel β z obr. vyplývá h 3 β arctg arctg 36 87 cos β 7999 p 4 Vzdálenost l kontrolního bodu P od zdroje se v souladu s obr. vypočte z rovnice l h + p 3 + 4 5 m Nyní můžeme dosadit získané hodnoty do vztahu pro osvětlenost E Pρv vertikální roviny ρ v v bodě P ávěr: E P ρ v γ cos β l ( 36 87 ) 54 cos 5 7 lx Osvětlenost E Pρv v bodě P svislé roviny ρ v ve vzdálenosti 5 m bodovým zdrojem ( γ 54 cd) je rovna E Pρv 7 lx. 9
7. Světlení plochy v poli dvou bodových zdrojů adání: Určete světlení M a M obou stran rovinné plošky A o rozměrech x cm která se nachází v poli dvou bodových zdrojů a (obr. ) vyzařujících světelné toky Φ a Φ s konstantní svítivostí do celého prostoru. Výpočet proveďte za předpokladu že ploška A vykazuje:. oboustranně shodný rovnoměrně rozptylný odraz i prostup Φ Φ 9 lm.. integrální činitel odrazu ρ 5 integrální činitel prostupu τ 5. Při řešení uvažujte: h m p m p m β. Obr. droje světla a osvětlují povrchy A a A plochy A jejíž normála svírá s vodorovnou rovinou úhel β. Řešení: Průměrná hodnota světlení M povrchu plochy A který vyzařuje tok Φ v je v souladu s rovnicemi (8) a (9) rovna poměru Φv A. Celkový tok Φ v který v daném případě vyzařuje povrch A plochy A se skládá z toku:. [ρ Φ A ] což je tok Φ A dopadlý ze zdroje na A a odrazí se od povrchu A s činitelem odrazu ρ. [τ Φ A ] což je tok Φ A dopadlý ze zdroje na povrch A a prošlý (s činitelem prostupu τ) materiálem plochy A na povrch A. Pro tok Φ v který povrch A vyzařuje platí tedy rovnice Φ [ Φ( A) ] + Φ( ) [ ] ρ τ () v A
Celkový tok Φ v který v daném případě vyzařuje povrch A plochy A se skládá z toku:. [ρ Φ A ] což je tok Φ A dopadlý ze zdroje na A a odrazí se od povrchu A s činitelem odrazu ρ. [τ Φ A ] což je tok Φ A dopadlý ze zdroje na povrch A a prošlý (s činitelem prostupu τ) materiálem plochy A na povrch A. Pro tok Φ v který povrch A vyzařuje platí tedy rovnice Φ [ Φ( A) ] + Φ( ) [ ] ρ τ () v A výrazů () a () vyplývá že je nejprve třeba stanovit tok Φ A dopadající ze zdroje na povrch A potažmo tok Φ A dopadající ze zdroje na povrch A. Připomeňme že průměrná svítivost p bodového zdroje v mezích určitého prostorového úhlu Ω je rovna poměru světelného toku Φ vyzářeného zdrojem do zmíněného úhlu Ω a velikostí tohoto prostorového úhlu tj. platí Φ p (cd; lm sr) () Ω V daném případě každý zdroj vyzařuje tok Φ 9 lm a svítivost obou zdrojů je stejná a konstantní do všech směrů celého prostoru [Ω 4π]. Svítivost zdroje resp. do libovolného směru prostoru se tedy v souladu s rovnicí () zjistí ze vztahu Φ Ω 9 377 cd 3 cd 4 π obecného vztahu () dále vyplývá že světelný tok Φ který bodový zdroj vyzáří do prostorového úhlu Ω se stanoví jako součin průměrné (v mezích zmíněného Ω) svítivosti p zdroje a velikosti Ω Φ p Ω (lm; cd sr) (3) Protože svítivost p 3 cd obou zdrojů a je shodná a konstantní do celého prostoru postačuje ke stanovení toků Φ A resp. Φ A zjistit prostorové úhly Ω a Ω pod nimiž je plocha A vidět z bodu resp. viz obr..
Obr. K výpočtu prostorových úhlů Ω a Ω. Prostorové úhly Ω a Ω lze vypočítat ze vztahů Ω A cos β A cos β ; Ω l l kde A A m h β arctg β arctg 6 57 p l p + h + 5 m h + β arctg β arctg + 65 p l p + h + m ( 5) ( 6 57 ) A cosβ cos 3 Ω 3 97 sr l ( ) ( 65 ) A cosβ cos 3 Ω 4 3 sr l
Při známé svítivosti obou zdrojů a vypočtených prostorových úhlech Ω a Ω lze již podle rovnice (3) stanovit světelné toky Φ A a Φ A vyzařované zdroji a do prostorových úhlů Ω a Ω. Po dosazení do výrazu (3) pro toky Φ A a Φ A vychází Φ A Ω 3 3 3 97 9 lm Φ A Ω 3 3 4 3 98 lm Obr. 3 Ke stanovení toků Φ v a Φ v vycházejících z povrchu A resp. povrchu A plochy A. Po dosazení toků Φ A a Φ A do rovnic () a () se již stanoví tok Φ v vycházející z povrchu A a tok Φ v vycházející z povrchu A. Φ Φ [ Φ( A) ] + τ Φ( A) [ ] [ 5 9] + [ 5 98] ρ 6 lm v [ Φ( A) ] + τ Φ( A) [ ] [ 5 98] + [ 5 9] ρ 63 lm v Hledané průměrné hodnoty světlení M a M se získají vztažením toků Φ v a Φ v na obsah plochy A ávěr: Φv 6 M 35 lm m - A Φv 63 M 35 lm m - S A Abychom mohli zjistit průměrné hodnoty světlení M obou stran rovinné plochy A v poli dvou světelných bodových zdrojů a s daným světelným tokem Φ bylo nejprve třeba vypočítat svítivost zdrojů a určením prostorové úhly Ω resp. Ω pod kterými jsou povrchy A a A plochy A z bodových zdrojů resp. vidět. Poté již bylo možno vyřešit světelné toky Φ A resp. Φ A dopadající na povrch A resp. A plochy A. toků Φ A a Φ A pak byly stanoveny toky Φ v resp. Φ v vycházející z povrchů A resp. A a jejich vztažením ne velikost plochy A byly konečně určeny hledané hodnoty světlení M 35 lm m - a M 35 lm m - obou sledovaných povrchů. 3
8. Určení svítivosti zdroje vizuální metodou na fotometrické lavici adání: Na fotometrické lavici byla vizuální metodou měřena svítivost světelného zdroje (obr. 4). Určete svítivost zdroje za předpokladu že je dáno:. svítivost normálu N 34 cd. vzdálenost normálu l N m 3. vzdálenost měřeného zdroje l 43 m. Obr. 4 Geometrické uspořádání normálu N svítivosti zkoušeného zdroje a hranolu H na fotometrické lavici a znázornění pozice pozorovatele při vizuálním měření svítivosti přímým pozorováním. Pozorovatel změnou polohy fotometru (hranolu H) nastavuje stejný jas obou v okuláru sledovaných povrchů. Řešení: Po vyrovnání jasů stěn fotometrického hranolu pozorovatelem podle obr. 4 platí vztah N l N l předchozí rovnici stačí tedy vyjádřit a dosadit N ln l 43 3 4 6 cd 4
9. Výpočet osvětlenosti v místnosti se čtyřmi svítidly bodového typu adání: Určete průměrnou hladinu osvětlenosti E p srovnávací roviny ρ a rovnoměrnost r osvětlení v místnosti o půdorysu 8x5 m a výšce h 35 m. Místnost je osvětlena čtyřmi svítidly opatřenými rozptylným krytem ve tvaru koule. Umístění svítidel je zakótováno v obr. 5. Délka závěsu svítidel pod stropem je h z 8 m. Světelný tok každého svítidla je Φ 7 lm vztažná svítivost 8 cd/klm. Průměr rozptylných krytů svítidel d z 5 m. Kontrolní body jsou na srovnávací rovině rozmístěny podle obr. 5. Srovnávací rovina ρ se nachází ve výšce 85 m nad podlahou. Obr. 5 Místnost o půdorysu 8x5 m je osvětlena čtyřmi zavěšenými (délka závěsu h z 8 m) svítidly (označeny červeně) s rozptylným krytem ve tvaru koule o průměru d z 5 m. Výška místnosti je h 35 m. Srovnávací rovina ρ se uvažuje ve výšce h 3 85 m. Osvětlenost se ověřuje v devíti kontrolních bodech (označeny zeleně). Řešení: Aby bylo možné určit průměrnou hladinu osvětlenosti E p a rovnoměrnost osvětlení r je potřeba nejprve spočítat osvětlenosti v jednotlivých měřicích bodech od všech čtyř svítidel tzn. spočítat osvětlenosti v daném bodě postupně pro jednotlivá svítidla a pak je sečíst. Osvětlenost v bodě P j vodorovné srovnávací roviny ρ od svítidla i (podle obr. 6) E ij cosγ ij (4) l γij ij kde ij je je svítivost ve směru γ podle obr. 6 l ij je vzdálenost bodu P j od zdroje i γ ij je úhel mezi normálou N ρ a úsečkou l ij. 5
Ke stanovení osvětlenosti ve vybraném kontrolním bodě P j bude tedy třeba určit vzdálenost l ij bodu P j od svítidla i a dále úhel γ ij mezi normálou srovnávací roviny N ρ a úsečkou l ij který je při daném uspořádání totožný s úhlem mezi normálou srovnávací roviny N ρ a úsečkou l ij podle obr. 6. Obr. 6 Svítidlo i osvětluje bod P j srovnávací roviny ρ. Jelikož jsou svítidla osazena rozptylnými kryty kulového tvaru uvažujme že svítivost svítidel bude do všech směrů konstantní a tudíž svítivost γ bude pro všechny úhly γ rovna vypočtené svítivosti vztažné (viz obr. 7). Obr. 7 Křivka svítivosti svítidla s ideálně rozptylným kulovým krytem. Byla zadána svítivost vztažená na klm. K získání aktuální svítivosti pro dané světelné zdroje se světleným tokem Φ z 7 lm použijeme vztah ' 8 Φ 7 694 cd γ (5) 6
Výška h (viz obr. 5) je pro kombinaci všech svítidel i a bodů P j srovnávací roviny ρ totožná. h d z 5 h h h3 h hz + h3 3 5 8 + 8 775 m (6) kde h je výška místnosti podle zadání h je vzdálenost světelného středu svítidla od stropu (viz obr. 6) h 3 je výška srovnávací roviny (viz obr. 5) h z je délka závěsu svítidla (viz obr. 5) d z je průměr baňky svítidla (viz obr. 5). Pro výpočet úhlů γ ij a vzdáleností l ij dosadíme x ij y ij a z ij (viz obr. 6) do vztahů l ij ij ij ij x + y + z (7) p xij + y ij ij γ ij arctg arctg (8) zij zij Hodnoty x ij a y ij lze odečíst z obr. 8. Obr. 8 Půdorys místnosti. elená čísla označují kontrolní body červená čísla vyznačují umístění svítidel. Při užití značení kontrolních bodů a svítidel dle obr. 8 vycházejí hodnoty vzdálenosti l j a úhlu γ j (svítidlo viz obr. 6) jak uvedeno v tab.. j - číslo bodu l j (m) γ j ( ) 3 943 77 54 43 494 6965 4 5 6 7 95 55 3865 5335 69839 7 8 9 348 396 5787 59354 63365 737 Tab. Vzdálenosti l j a úhly γ j jednotlivých kontrolních bodů P j od svítidla. Body P j jsou v tabulce umístěny dle obr. 8. 7
Po dosazení hodnot z tab. do vztahu (4) pro výpočet osvětlenosti E ij vychází hodnoty osvětleností sestavené do tab.. j číslo bodu E j (lx) 3 49878 559 3856 4 5 6 5638 6894 3 7 8 9 79 4848 556 Tab. Hodnoty osvětlenosti E j srovnávací roviny v kontrolních bodech P j zajištěné svítidlem. Osvětlenosti v tab. zahrnují světelný tok pouze od svítidla. Podle obr. 8 jsou měřicí body P j a svítidla i rozmístěny symetricky. e symetrie plynou rovnosti osvětleností E (9) E3 E37 E49 E (3) E E38 E48 E (3) 3 E E39 E47 E (3) 4 E34 E6 E46 E (33) 5 E5 E35 E45 E (34) 6 E4 E36 E44 E (35) 7 E3 E9 E43 E (36) 8 E3 E8 E4 E (37) 9 E7 E33 E4 Pro výpočet celkových osvětleností v kontrolních bodech P j od všech svítidel lze tedy použít hodnoty z tab.. Pro každý bod P j platí vztah E j E j + E j + E3 j + E4 j (38) Např. pro výpočet osvětlenosti E v bodě P bude platit E + (39) E + E + E3 + E4 E + E3 + E7 E9 přičemž hodnoty E E 3 E 7 a E 9 jsou již spočteny v tab.. Výsledné celkové hodnoty osvětleností v kontrolních bodech jsou uvedeny v tab. 3. j číslo bodu E j (lx) 3 5469 436 5469 4 5 6 556788 467576 556788 7 8 9 5469 436 5469 Tab. 3 Celkové osvětlenosti E j v kontrolních bodech P j srovnávací roviny. 8
důvodu symetrie místnosti rozložení kontrolních bodů P j a svítidel i jsou některé hodnoty osvětleností shodné E E E E3 E7 E9 E E8 4 6 Průměrná hodnota osvětlenosti E P se stanoví z údajů v tab. 3 podle vztahu 9 E j j 4463 E P 496 lx (4) 9 9 Rovnoměrnost r lze získat ze vztahu ávěr: 9 min E j j 4 36 r 87 (4) E 495 9 P Aby bylo možné určit průměrnou hladinu osvětlenosti E P srovnávací roviny ρ bylo nejprve třeba zjistit osvětlenosti E ij kontrolních bodů P j od jednotlivých svítidel i. Poté byly sečteny v daných kontrolních bodech P j osvětlenosti E j od všech čtyř svítidel i a jejich aritemtickým průměrem byla získána průměrná hladina osvětlenosti E P. Rovnoměrnost r byla určena poměrem nejmenší hodnoty získané osvětlenosti v kontrolním bodě E j a průměrné hladiny osvětlenosti E P. Pro osvětlení pracovních prostorů dle normy ČSN EN 464- je třeba navrhnout osvětlovací soustavu tak aby po celou dobu provozu soustavy v udržovacím období navrženém v projektu byla zajištěna udržovaná osvětlenost E m. Udržovaná osvětlenost je tedy hodnota místně průměrné osvětlenosti na daném povrchu pod kterou nesmí osvětlenost po dobu zvoleného cyklu údržby poklesnout. Hodnota udržované osvětlenosti E m se získá z hodnoty průměrné osvětlenosti E P vynásobením udržovacím činitelem z jehož hodnota závisí zejména na využití místnosti čistotě prostoru a na délce cyklu údržby a pohybuje se od 5 pro silně znečištěné prostory až po 8 a vyšší hodnoty pro velmi čisté místnosti s nižší roční dobou využití). Pokud by se uvažoval např. udržovací činitel z 7 (čistá místnost 3-letý cyklus údržby) bude v daném případě udržovaná osvětlenost rovna E m E z P 496 7 347lx Pozn. V souladu s normou ČSN EN 464- je v pracovních prostorech nezbytné splnit i řadu dalších požadavků zejména zabránit oslnění (UGR L ) a zajistit vhodné podání barev (index podání barev R a > 8). 9
. Výpočet rozložení toku rotačně souměrně vyzařujícího svítidla bodového typu adání: Vypočtěte světelné toky dopadající z difúzně vyzařujícího svítidla bodového typu na stěny a na srovnávací rovinu místnosti ve tvaru kvádru o délce 8 m šířce 4 m a výšce 35 m. Svítidlo je zapuštěno uprostřed stropu jeho vyzařovací plocha je v rovině stropu a jeho svítivost v kolmém směru je (cd). Dáno : srovnávací rovina je umístěna ve výši 85 m nad podlahou; Řešení: výška h svítidla (i stropu) nad srovnávací rovinou je h 35 85 4 m; f γ cos. pro svítivost difúzně vyzařujícího svítidla platí výraz ( ) γ. Výpočet světelného toku Φ dopadajícího na srovnávací rovinu γ f plochy srovnávací roviny [obr. 9] platí vztah Obr. 9 cos Pro tok Φ z daného bodového zdroje [ ( γ ) γ Φ a + a arctg b + a + b + b arctg ] který dopadá na obdélník tvořící čtvrtinu a + b (lm; cd -) (4) kde c 8 4 m d 4 m poměrné rozměry a c h 4 4 67; b d h 4 83. rovnice (4) pak vychází Φ 5 98435987 46475994 Tok Φ 3 na celou srovnávací rovinu je čtyřnásobný tj. Φ3 4 46475994 85687398 Φ 3 857 (lm cd -) (4a) 3
. Výpočet světelného toku dopadajícího na stěny kvádru Obr. 3 Pro tok Φv dopadající z daného bodového zdroje [f (γ) cos γ] na obdélník umístěný podle obr. 3 v rovině rovnoběžné se směrem platí rovnice Φ v a arctg a arctg (lm) (43) + b + b kde a c p b d p Podle vztahu (43) se vypočtou toky dopadající vždy na polovinu jak delší tak kratší ze stěny. Polovina delší stěny má rozměry c 4 m d h 4 m p m takže poměrné rozměry jsou: a c p 4 ; b d p 4. Na polovinu delší stěny dopadá tedy tok Φ va který se vypočte podle rovnice (43) Φ v a 5 56354 63677 Na celou delší stěnu pak dopadá tok dvojnásobný tj. Φv 56354 & 56 (43a) Polovina kratší stěny má rozměry c m d h 4 m p 4 m takže poměrné rozměry jsou: a c p 4 5; b d p 4 4 6. Na polovinu kratší stěny dopadá tedy tok Φ va který se vypočte podle rovnice (43) Φv a 5 6389739 586448695 Na celou kratší stěnu pak dopadá tok dvojnásobný tj. Φv 6389739 & 6 (43b) Tok Φ dopadající na obě delší a na obě kratší stěny tedy na všechny stěny je roven Φ 56354 + 6389739 Φ ( ) 84756 ( 56 + 6 ) 85 (lm cd -) (44) 3
3. Ověření výsledku výpočtu Vzhledem k tomu že na strop z uvažovaného svítidla nedopadá žádný tok pak součet toků dopadlých na srovnávací rovinu Φ 3 a na stěny Φ tzn. Φ Φ 3 + Φ 85687398 + 84756 3459654 3 + Φ 857 + 85 34 (45) musí být roven toku Φ sv vyzařovanému difúzním svítidlem. Mezi světlením M a jasem L difúzně vyzařující plochy platí známý vztah M π L (lm m - - cd m - ) (46) Jsou-li rozměry vyzařující plochy A vyz zanedbatelné v porovnání se vzdáleností od kontrolních bodů na srovnávací rovině (což je v daném případě splněno neboť jde o svítidlo bodového typu) pak je svítivost daného svítidla ve zvoleném vztažném směru (tj. ve směru normály k vyzařovací ploše) rovna součinu jasu L a velikosti A vyz vyzařovací plochy L (cd; cd m - m ) (47) A vyz Tok Φ sv vyzařovaný difúzně svítící plochou daného svítidla je roven součinu průměrné hodnoty světlení M a velikosti A vyz vyzařovací plochy svítidla tzn. Φ sv M A vyz (lm lm m - m ) (48) Dosadí-li se do rovnice (48) vztahy (46) a (47) vychází pro hledaný tok Φ sv že je roven součinu čísla π a svítivosti tedy Φ sv M A π L A π 3459654 (49) vyz vyz Porovnáním rovnic (45) a (49) se již snadno ověří že výsledky předchozích výpočtů jsou správné. Pozn. Výsledky jsou uváděny na více desetinných míst pouze pro jejich snadnější vzájemné porovnání. Při výpočtu světelných toků obvykle plně postačí počítat se čtyřmi platnými číslicemi. 3
. Výpočet rozložení světelného toku svítidla přímkového typu adání: Vypočtěte světelné toky dopadající z daného svítidla Sv přímkového typu na stěny místnosti a na srovnávací rovinu. Místnost ve tvaru kvádru [o rozměrech: délka c 8 m šířka d 4 m výška 35 m] je osvětlena jedním difúzně vyzařujícím svítidlem přímkového typu. Přímkový zdroj délky c 8 m je tvořen pěti v řadě za sebou osazenými svítidly se zářivkami x 58 W zapuštěnými ve stropě. Přímkový zdroj Sv je umístěn rovnoběžně s podélnou osou místnosti podle obr. 3. Obr. 3 V daném případě vyzařování svítidla přímkového typu popisují charakteristické funkce svítivosti π ( γ ) cos γ ; f ( α ) cosα f (5) δ Předpoklay : srovnávací rovina je umístěna ve výši 85 m nad podlahou. výška svítidla Sv (i stropu) nad srovnávací rovinou je h 3 5 85 4 m. Řešení: počítejte s obecnou hodnotou (cd m - ) svítivosti zdroje připadající na m jeho délky.. Výpočet světelného toku dopadajícího na srovnávací rovinu Pro tok Φ (½) dopadající z difúzně vyzařujícího přímkového zdroje Sv na polovinu srovnávací roviny platí výraz Φ ( ) a b a b h arctg + + a arctg arctgb + b + b + a kde a c h 8 4 3333; b ( d ) h 4 8333 Φ ( ) 4 687997 5 3644994 & 5 364 Na celou srovnávací rovinu dopadá tok Φ rovný dvojnásobku Φ (½) tj. (5) Φ Φ ( ) 8674679 8675 (lm) (5) 33
. Výpočet světelného toku dopadajícího na stěny kvádru Pro tok Φ v dopadající z difúzně vyzařujícího přímkového zdroje Sv na jednu z delších stěn místnosti na obr. 3 platí vztah Φ v p g arctg g g g + g + r arctg + ln + r + r + g + r (53) kde g c p 8 4; r h p 4 Φ v 8889357 3 65778744 & 3 6578 Na obě delší stěny tedy dopadá tok Φv (+) rovný dvojnásobku toku Φ v tj. Φv( + ) Φv 3 65778744 7 3557488 7356 (lm) (54) Pro tok Φ k3(½) dopadající z difúzně vyzařujícího přímkového zdroje Sv na polovinu jedné z kratších stěn místnosti na obr. 3 platí vztah Φ k 3 c arctg t + s arctg t s + s arctg t + s + t ln s + t t + s + t + t kde t ( d ) c 8 5; s h c 4 8 3 (55) Φ ( ) 8 54678373 3746538 k. & 374 3 Na jednu kratší stěnu dopadá dvojnásobek Φ k 47485376 & 4748 3 Na obě kratší stěny místnosti dopadá pak tok Φ k(3+4) rovný dvojnásobku toku Φ k3 tj. Φk ( 3 + 4) Φk 3 4 949765 49497 (lm) (56) Na všechny stěny místnosti podle obr. 3 dopadá ze svítidla Sv přímkového typu tok Φ který se stanoví sečtením dílčích výsledků z výrazů (54) a (56) ( 356 + 4 9497) 653 7 Φ & (lm) 34
3. Ověření výsledku výpočtu Vzhledem k tomu že na strop místnosti nedopadá ze svítidla Sv žádný tok je celkový tok Φ sv vyzářený zmíněným svítidlem roven ( 8674679 + 7 3557488 + 4 949765) Φ sv 53743 ( 8675 + 7 356 + 4 9497) Φ sv & 537 (57) Pro difúzně vyzařující plochu A vyz svítidla s konstantním jasem L platí základní vztahy a to. pro světlení M: M π L (lm m - ; - cd m - ). pro svítivost ve vztažném směru (tj. ve směru normály k vyzařovací ploše A vyz ): L A vyz (cd; cd m - m ) 3. pro tok Φ sv vyzařovaný difúzně svíticí plochou A vyz : Φ sv M A π L A π vyz vyz (lm; lm m - m ; - cd m - m ; - cd) (58) V případě svítidla přímkového typu třeba do vztahu (58) pro tok Φ sv za svítivost dosadit součin c svítivosti (cd m - ) a délky c 8 m takže rovnice pro tok Φ sv má pak tvar Φ sv π π c 459654 8 53743 (59) 3 Porovnáním výsledků výrazů (57) a (59) se již snadno ověří že výsledky předchozích výpočtů jsou správné. Pozn. Výsledky jsou uváděny na více desetinných míst pouze pro jejich snadnější ověření. Při výpočtu světelných toků obvykle plně postačí počítat se čtyřmi platnými číslicemi. K přiblížení představy o hodnotě svítivosti připadající na m délky vyzařovací plochy v příkladu uvažovaného svítidla přímkového typu : křivek svítivosti uváděných v katalozích zářivkových svítidel s rozložením svítivosti blízkým kosinusovému lze snadno zjistit že svítivost ( cd klm ) svítidla ve vztažném směru připadající na lm světelného toku zářivky bývá např. 3 cd klm. Uváží-li se že zářivka 58 W vyzařuje světelný tok přibližně 5 lm pak svítivost svítidla s jednou zářivkou 58 W ve vztažném směru bude 3 5 5 cd. Délka svítidla se zářivkou 58 W (o délce 5 m) je cca 6 m a tudíž svítivost připadající na m délky takového svítidla přímkového typu bude přibližně 5 6 & 7 cd m tzn. orientačně 7 cd/m. 35
. Výpočet toku dopadajícího ze svítidla bodového typu na obdélník adání: Vypočtěte světelný tok který dopadá z difúzně a rotačně souměrně vyzařujícího svítidla bodového typu na obdélníkovou plochu BCDG kolmou ke směru vztažné svítivosti a umístěnou v rovině ρ podle obr. 3 a to ve vzdálenosti h G 4 m tak že kolmý průmět bodu do osvětlované roviny se ztotožňuje s vrcholem G obdélníku BCDG. Ve zvoleném pravoúhlém souřadnicovém systému x y z leží směr vztažné svítivosti ve směru osy z. Rovina ρ je rovnoběžná se souřadnicovou rovinou x y. Ověřte současně možnost praktického využití přibližné metody řešení výpočtem hledaného toku z osvětleností několika dílčích ploch na které se osvětlovaný obdélník rozdělí. Řešení: Obr. 3 Pro svítivost g difúzně a rotačně souměrně vyzařujícího svítidla bodového typu platí vztah. Přesný výpočet ( γ ) cosγ (cd; cd -) (6) γ f Pro tok Φ který z bodového difúzně vyzařujícího zdroje dopadá na obdélník BCDG kolmý ke směru a umístěný podle obr. 3 platí rovnice a b b a Φ arctg + arctg + a + a + b + b (lm; cd -) (6) kde c 8 4 m; d 4 m a poměrné rozměry a c h 4 4 67 ; b d h 4 83 rovnice (6) vychází pro hledaný světelný tok vztah Φ 5 98435987 46475994 Pozn. Φ 464 (lm; cd) (6) Pokud by vztažná svítivost uvažovaného svítidla byla rovna cd pak by průměrná osvětlenost E p celé plochy A 4 8 m obdélníku BCDG byla E p ( 464) 8 & 464 8 58 lx Φ & A 36
. Přibližné řešení Rozdělme osvětlovaný obdélník BCDG např. na osm stejných dílčích ploch o rozměrech c m [ve směru osy x] a d m [ve směru osy y]. Obsah jednotlivých dílčích ploch je tedy stejný a je roven m. Ve středu každé dílčí plochy umístěme kontrolní bod P i [index i označuje pořadové číslo dílčí plochy]. Předpokládá se že osvětlenosti E i v kontrolních bodech P až P 8 jsou rovny průměrným hodnotám osvětlenosti v rámci každé dílčí plochy. Potom tok Φ i dopadající na i-tou dílčí plochu je roven Φ E A E E (lm; lx m ) (63) i i i i i Pro osvětlenost E Pρ bodovým zdrojem v bodě P obecně položené roviny ρ platí vztah γ E P ρ cos β (lx; cd m ) (64) l kde γ je svítivost zdroje ve směru k bodu P tj. ve směru pod úhlem γ měřeném od směru vztažné svítivosti l je vzdálenost kontrolního bodu P od zdroje β je úhel sevřený normálou osvětlované roviny ρ se spojnicí bodu s bodem P. V daném případě leží osvětlovaný obdélník BCDG v rovině ρ kolmé ke směru vztažné svítivosti (obr. 3). Normála osvětlované roviny je tudíž rovnoběžná se směrem. toho vyplývá že úhel β γ. adané svítidlo bodového typu vyzařuje do všech směrů podle kosinusového zákona v souladu s rovnicí (6). Dosadíme-li uvedené skutečnosti do obecného vztahu (64) vychází pro osvětlenost E i v kontrolním bodě P i vztah E i cos (lx; cd - m) (65) l γ i i kde l i xi + yi + h xi + yi + 4 ; (x i y i h 4 m) souřadnice bodu P i (střed i-té dílčí plošky); γ i je úhel sevřený paprskem l i a směrem (obr. 3) pro který platí výraz xi + yi γ i arctg (rad) (66) h 37
P i x i (m) y i (m) l i γ i (rad) cos γ i cos γ i l P 5 5 66 865 93 469853 P 5 5 86 5854 69734 84433 P 3 5 5 86 5854 69734 84433 P 4 5 5 6 7384 564 54777 P 5 5 5 6 856 4698 3834 P 6 5 5 46 887 4393 8359 P 7 35 5 86 97443 3544 775 P 8 35 5 6 84 843 438 - - - - - Ê 468548 i Tab. 4 Přehled dílčích výpočtů Hledaný světelný tok dopadající ze zdroje na obdélník BCDG je tedy přibližně roven cos Φ γ i li 4685 (lm; cd) (67) Pozn. Pokud by vztažná svítivost uvažovaného svítidla byla rovna cd pak by průměrná osvětlenost E p celé plochy A 4 8 m obdélníku BCDG byla přibližně E p ( 4685) 8 ( 468 5 8) Φ & A 586 lx Porovnáním přibližného výsledku ve výrazu (67) s přesným výsledkem v rovnici (6) zjistíme že chyba přibližného řešení činí 9 % což je v daném případě plně vyhovující. volené rozdělení osvětlované plochy je tudíž pro praktický výpočet ve sledované situaci dostačující. Obdobné postupy většinou s jemnějším dělením se aplikují v počítačových programech. 38
3. Graficko-početní metoda výpočtu toku rotačně souměrně vyzařujícího svítidla Ke stanovení světelných toků rotačně souměrně vyzařujících zdrojů a svítidel se v praxi často užívá graficko-početní metoda Rousseauova. Kolem dané křivky svítivosti se opíše jednotková kružnice jejíž průměr se rozdělí např. na dílů (viz obr. 33). Tak vzniknou proužky jimž v prostoru odpovídají dílčí prostorové úhly ve tvaru kulových pásů. Výška proužků je rovna ( γ i. sinγ i ). Středům pásků odpovídají z křivky svítivosti odečtené hodnoty γ svítivostí. i Obr. 33 Dílčí světelný tok Φ vyzařovaný do pásma charakterizovaného úhlem γ i je pak úměrný součinu výšky pásma γ i. sinγ i a svítivostí tj. plošce A γ i v diagramu nakresleném v pravé části i obr. 33 s čarou světelných toků resp. Rousseauovou čarou. Využívá-li se při kreslení měřítka svítivosti (cm) u (cd) a je-li poloměr jednotkové kružnice roven r (cm) pak Φ n π A r i i. u (lm) (68) Je-li vyzařování nesouměrných zdrojů či svítidel popsáno několika křivkami svítivosti z nichž každá odpovídá určitému rozmezí ς i úhlu ς pak je možno světelný tok takového zdroje či svítidla stanovit z výrazu Φ π m i ζ. Φ i i kde m je počet oblastí úhlu ζ i respektive počet křivek svítivosti popisujících vyzařování v jednotlivých oblastech ζ i úhlu ζ. Φ i je světelný tok rotačně souměrně vyzařujícího zdroje či svítidla stanovený některou z dříve uvedených metod pro i-tou křivku svítivosti. (69) 39
4. Výpočet osvětlenosti v poli obdélníkového zdroje adání: Difúzně vyzařující svítidlo obdélníkového typu o rozměrech c m d 6 m je zavěšeno ve výšce h m nad srovnávací rovinou. Svítící plocha svítidla je rovnoběžná se srovnávací rovinou. Srovnávací rovina leží v souřadnicové rovině x y. Kontrolní bod P leží v počátku souřadnicového systému. Průmět bodu P do roviny zdroje se ztotožňuje s vrcholem svítícího obdélníku. Jas difúzně svíticího obdélníku L konst 3 cd m. Poměrné rozměry obdélníku a c h 6; b d h 6 3. Vypočtěte osvětlenosti které svíticí obdélník zajistí v bodě P ve všech třech souřadnicových rovinách. Řešení: A. Výpočet osvětlenosti v poli obdélníkového zdroje L konst. přesnou metodou Pro průměty ε x ε y ε z světelného vektoru ε do souřadnicových os tj. pro osvětlenosti tří souřadnicových rovin v bodě P při zadaném geometrickém uspořádání platí odvozené vztahy: ε x L b arctgb arctg + a + a ε y L a arctg a arctg + b + b ε z L a b b a arctg + arctg + a + a + b + b Po dosazení vychází 3 3 ε x arctg 3 arctg 33 lx + 6 + 6 3 6 ε y arctg 6 arctg 6 lx + 3 + 3 3 6 3 3 6 ε z arctg + arctg 49 lx + 6 + 6 + 3 + 3 4
B. Výpočet osvětlenosti v poli obdélníkového zdroje Lkonst. metodou náhrady plošného zdroje jedním zdrojem bodovým Pro tok Φ sv svíticího obdélníku L konst. platí Φ sv M A π L A π neboť z výrazu L γ γ ( A cosγ ) plyne L A odkud L A L A. Pro svítivost γ bodového zdroje s ohledem na podmínku L konst. platí γ cosγ kde vztažná svítivost L A 3 6 6 cd Předpokládáme-li že bodový zdroj je umístěn v geometrickém středu obdélníku pak bude úhel γ (mezi osou z a paprskem l spojujícím střed obdélníku a bod P) možno spočítat ze vztahu 3 + 6 γ arctg 336 rad 8 5 cosγ 948. Vzdálenost l se spočte z rovnice l 3 + 6 + l m. Svítivost γ bodového zdroje ve směru paprsku l bude γ cosγ 6 948 477 cd. Hledaná osvětlenost E P(xy) souřadnicové roviny xy v bodě P potom bude ( ) ( γ l ) cos β ( 47 7 ) 948 E P xy 436 lx Výsledek přesného výpočtu 49 lx takže chyba činí [( 436 49) 49] 4 %. 4
C. Výpočet osvětlenosti v poli obdélníkového zdroje Lkonst. metodou náhrady plošného zdroje čtyřmi zdroji bodovými Svítící obdélník se rozdělí na 4 stejné části ( V). Svítivost každého dílčího zdroje ve směru normály ) V 6 4 54 cd 5 + 3 γ arctg 66 9 5 ; cosγ ( l ) 5 + 3 + l 8 m γ cosγ 54 98 533 cd ( xy ) ( γ l ) cosγ ( 53 3 8 ) 948 948 E P 77 lx ) 5 + 9 γ arctg 48 9 5 ; cosγ ( l ) 5 + 9 + l m γ cosγ 54 998 493 cd ( xy ) ( γ l ) cosγ ( 493 ) 948 998 E P 97 lx ) 9 + 45 γ arctg 4668 6 7 ; cosγ ( l ) 9 + 45 + l 5 5 m γ 54 893 484 cd γ cos ( xy) ( γ l ) cosγ ( 48 4 5 5 ) 948 893 EP 86 lx V) γ 3 + 45 arctg 64 5 3 ; cosγ 3 + 45 + l V V ( l ) m V V 7 γ V V cosγ V 54 965 5 cd V ( xy) ( γ V lv ) cosγ V ( 5 7 ) 965 965 EP 73 lx Součet osvětleností od čtyř dílčích zdrojů je roven 434 lx Přesným výpočtem zjištěno 49 lx Chyba přibližného výpočtu při rozdělení svíticí plochy obdélníku na 4 dílčí je % což je v daném případě plně vyhovující přesnost. 4
5. Výpočet osvětlenosti v poli přímkového typu adání: Svítidlo přímkového typu o délce m se zářivkou x36 W (335 lm) je zavěšeno ve výšce h m nad srovnávací rovinou ρ. a předpokladu že v příčné rovině π v podélné rovině δ i v nakloněných rovinách τ je rozložení svítivosti svítidla kosinusové a svítivost ve vztažném směru je rovna Řešení: cd klm tj. ( 335 ) 67 cd pro 335 lm vypočtěte v bodě P umístěném podle obrázku osvětlenost E Pρ roviny ρ δ. A. Výpočet osvětlenosti v poli svítidla přímkového typu přesným výpočtem Obr. 34 Průmět bodu P na osu zdroje se ztotožňuje s koncem C zdroje (viz obr. 34). Kolmá vzdálenost bodu P v rovině ρ od podélné svislé roviny δ je p m. Určení vzdálenosti l l + 36 m Stanovení úhlu γ ( p ) ( ) 5 tg γ h γ arctg 5 6 6 cosγ 8944 Svítivost γ celého svítidla pod úhlem γ v příčné rovině π pro lm je γ cosγ 8944 γ 79 cd lm 43