MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ. Akce grupy

MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fakulta Bakalářská práce z matematiky Akce grupy Brno 2009 Lenka Macálková

Prohlášení: Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala zcela samostatně pod vedením prof. RNDr. Radana Kučery, DSc. a veškerou použitou literaturu jsem uvedla v seznamu. Současně souhlasím s tím, aby byla práce uložena v knihovně Přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně a zpřístupněna na internetových stránkách Přírodovědecké fakulty ke studijním účelům. V Brně dne 30. května 2009... Lenka Macálková

Poděkování: Ráda bych poděkovala prof. RNDr. Radanu Kučerovi, DSc. za ochotu a trpělivost, se kterými vedl moji bakalářskou práci, a za cenné rady a připomínky k ní.

Obsah Úvod 5 1 Akce grupy na množině 6 1.1 Základní pojmy................................. 6 1.1.1 Základní pojmy............................. 6 1.1.2 Rozklad na nezávislé cykly....................... 13 1.2 Akce grupy na sobě násobením zleva, Cayleyova věta............ 15 1.2.1 Akce grupy na sobě násobením zleva................. 15 1.2.2 Cayleyova věta............................. 17 1.3 Akce grupy na sobě konjugovaností...................... 18 1.3.1 Akce grupy na sobě konjugovaností.................. 18 1.3.2 Konjugovanost v S n........................... 23 2 Automorfismy 26 2.1 Vlastnosti grupy automorfismů........................ 26 2.2 Charakteristické podgrupy........................... 29 3 Sylowovy věty 33 3.1 Sylowovy věty.................................. 33 3.2 Využití Sylowových vět............................. 37 4 Grupy symetrií a alternující grupy 41 4.1 Alternující grupy................................ 41 4.2 Grupy symetrií................................. 44 4.2.1 Automorfismy grupy symetrií..................... 44 4.2.2 Struktura centralizéru permutace................... 45 Literatura 50

Úvod V této bakalářské práci se budeme zabývat působením neboli akcí grupy na množině. K tomu, aby čtenář dobře porozuměl textu práce, by měl mít základní znalosti o grupách v rozsahu [6], přičemž pro větší srozumitelnost a čitelnost textu budou některé pojmy připomenuty a tvrzení zopakována. Celá práce je rozdělena do čtyř kapitol. V první kapitole se seznámíme s definicí akce grupy na množině, zavedeme další základní pojmy a rozebereme si dva důležité typy akce: akci grupy působením zleva a akci grupy pomocí konjugovanosti. Ve druhé kapitole se budeme věnovat automorfismům. V první části odvodíme některé vlastnosti grupy automorfismů. Ve druhé si uvedeme definici charakteristické a komutátorové podgrupy a blíže se podíváme, jak vypadají faktorgrupy, jestliže faktorizujeme podle podgrupy obsahující komutátorovou podgrupu. Náplní třetí kapitoly jsou Sylowovy věty. Kromě odvození vlastností p-sylowských podgrup si ukážeme některé aplikace na příkladech. V poslední kapitole se budeme podrobněji věnovat symetrickým a alternujícím grupám. V prvním paragrafu definujeme pojem jednoduché grupy a vzápětí ukážeme, že každá alternující grupa je pro n 5 jednoduchá. Ve druhém paragrafu se dozvíme více o automorfismech symetrických grup. Na závěr práce dokážeme, že centralizér permutace na n-prvkové množině je izomorfní s kruhovým součinem Z k S m pro vhodná k, m N. Tato bakalářská práce byla vysázena systémem L A TEX. 5

Kapitola 1 Akce grupy na množině 1.1 Základní pojmy V první části této kapitoly se seznámíme s pojmem akce grupy na množině a odvodíme její základní vlastnosti. Dále ukážeme platnost některých tvrzení, která budeme v pozdějším textu potřebovat. V další části se budeme věnovat akci grupy násobením zleva a s její pomocí dokážeme některá tvrzení včetně Cayleyovy věty. Obsahem posledního paragrafu této kapitoly bude akce grupy pomocí konjugovanosti a na závěr se podrobněji podíváme na konjugovanost v grupách S n. 1.1.1 Základní pojmy Poznámka 1.1.1. Ve většině případů budeme grupu (G, ) označovat pouze písmenem G. Často budeme také vynechávat symbol operace. Tedy pro prvky x, y G bude xy značit součin prvků x a y. Dále poznamejme, že označením N budeme rozumět množinu přirozených čísel. Nulu za přirozené číslo považovat nebudeme. Symbolem H G, resp. H G, budeme označovat podgrupu H grupy G, resp. normální podgrupu H grupy G. Definice 1.1.2. Necht G je grupa a A je neprázdná množina. Akcí grupy G na množině A (nebo také působením G na A) nazveme zobrazení : G A A, které splňuje následující dvě podmínky: 1. g 1 (g 2 a) = (g 1 g 2 ) a, pro všechna g 1, g 2 G, a A, 2. 1 a = a, pro všechna a A, kde 1 G je neutrální prvek vůči operaci v grupě G. 6

Poznámka 1.1.3. Všimněme si, že g a neznačí výsledek operace, ale prvek množiny A. První podmínka tedy říká, že prvek g 1 G působí na prvek g 2 a A se stejným výsledkem, jako součin prvků g 1 g 2 G působí na prvek a A. Věta 1.1.4. Necht grupa G působí na množině A. Dále pro libovolné g G označme σ g zobrazení σ g : A A dané předpisem σ g (a) = g a pro každé a A. Pak platí: 1. pro libovolné g G je σ g permutace na množině A, 2. zobrazení ϕ : G S A definované vztahem ϕ(g) = σ g, je homomorfismus grup. Důkaz. 1. K tomu, abychom ukázali, že zobrazení σ g je permutace na A, musíme dokázat, že je to bijekce. Ověříme, že σ g 1 je invezní k σ g. Víme, že toto zobrazení existuje, protože g je prvek grupy G. Pro každé a A platí: (σ g 1 σ g )(a) = σ g 1(σ g (a)) = g 1 (g a). Protože předpokládáme, že grupa G působí na množině A, dostáváme: g 1 (g a) = (g 1 g) a = 1 a = a. Ukázali jsme, že (σ g 1 σ g )(a) = a. Pokud vezmeme místo prvku g prvek g 1 (což můžeme, protože g G je libovolné) a budeme postupovat stejným způsobem, dostaneme, že i (σ g σ g 1)(a) = a. Tedy zobrazení σ g je opravdu bijekce a (σ g ) 1 = σ g 1. 2. Nyní dokážeme, že zobrazení ϕ : G S A, určené předpisem ϕ(g) = σ g pro každé g G, je homomorfismem grup. Necht g 1, g 2 G, a A libovolné. Pak platí, že ϕ(g 1 g 2 )(a) = σ g1 g 2 (a) = (g 1 g 2 ) a Nyní využijeme předpokladu, že grupa G působí na A: (g 1 g 2 ) a = g 1 (g 2 a) = σ g1 (σ g2 (a)) = (ϕ(g 1 ) ϕ(g 2 ))(a). Tedy ϕ je homomorfismus grup. Definice 1.1.5. Necht G je grupa, A je množina a necht G působí na A. Homomorfismus ϕ : G S A, ϕ(g) = σ g, který je popsaný v předchozí větě, se nazývá reprezentace permutacemi odpovídající dané akci grupy G na množině A. 7

Uvědomme si, že reprezentace permutacemi je jiným vyjádřením akce grupy G na množině A. Naopak pro libovolný homomorfismus ϕ : G S A platí, že předpis g a = ϕ(g)(a), pro všechna g G a všechna a A, jistě splňuje podmínky akce grupy na množině. Před tím, než uvedeme příklady akce grupy G na množině A, definujme ještě dva její speciální typy: Definice 1.1.6. Necht G je grupa a necht A je množina. 1. Jestliže g a = a pro všechna a A a všechna g G, pak řekneme, že akce grupy G na A je triviální nebo grupa G působí triviálně na množině A. 2. Akci grupy G na množině A nazveme věrnou, jestliže reprezentace permutacemi odpovídající této akci je injektivní zobrazení. Příklad 1.1.7. Označme D n dihedrální grupu, tedy grupu všech symetrií pravidelného n-úhelníku, jehož vrcholy si popíšeme 1, 2,..., n. Uvědomme si, že prvky D n nám zadávají permutace na n-prvkové množině všech vrcholů n-úhelníku. Necht f : D n {1, 2,..., n} {1, 2,..., n} je zobrazení definované předpisem f((α, i)) = α(i), kde α je některá ze symetrií n-úhelníku, i {1, 2,..., n} a α(i) označuje obraz vrcholu i v symetrii α. Zobrazení f je akcí grupy D n na množině {1, 2,..., n}, protože podmínky definice akce jsou splněny díky skládání symetrií pravidelného n-úhelníka. Tato akce je věrná, protože jediná symetrie, která nechá všechny vrcholy na místě, je identita. Příklad 1.1.8. Necht G je nekomutativní grupa, množina A = G. Dále necht g 1, g 2, a jsou prvky grupy G. Nejdříve ukážeme, že předpisem g a = ag 1 je určená akce. Ověřme první podmínku z definice 1.1.2: g 1 (g 2 a) = g 1 (ag2 1 ) = = (ag2 1 )g1 1 = = a(g2 1 g1 1 ) = = a(g 1 g 2 ) 1 = = (g 1 g 2 ) a. Druhá podmínka je jistě splněna, protože pro každé a G platí, že 1 a = a. Podívejme se, jak by to vypadalo v případě, že bychom uvážili předpis g a = ag. Protože A = G, platí, že g 1 (g 2 a) = g 1 (ag 2 ) = ag 2 g 1 (g 2 g 1 ) a = ag 1 g 2, a protože G není komutativní, jistě existují prvky g 1, g 2 G takové, že g 1 g 2 g 2 g 1. Pak například pro a = 1 není splněna první podmínka z definice akce. 8

Definice 1.1.9. Necht grupa G působí na množině A. Množina J = {g G g a = a, a A} se nazývá jádro akce grupy G na množině A. Příklad 1.1.10. Necht G působí na A triviálně a současně věrně. Pro triviání akci G na A je jádrem příslušné reprezentace celá grupa G. Aby odpovídající reprezentace permutacemi byla injektivní, musí mít toto zobrazení jednoprvkové jádro. To platí právě tehdy, když G = 1. Definice 1.1.11. Necht grupa G působí na množině A a necht a A je libovolný. Množina se nazývá stabilizátor prvku a. G a = {g G g a = a} Lemma 1.1.12. Necht grupa G působí na množině A. Potom platí, že jádro je průnikem stabilizátorů všech prvků a A, tj. J = a A G a. Důkaz. Budeme dokazovat dvě inkluze. Jádro je množina všech prvků grupy G, které nechávají na místě všechny prvky množiny A, tedy i libovolný prvek a, tzn. jádro je podmnožinou stabilizátoru libovolného prvku. Naopak, pokud prvek g G patří do průniku stabilizátorů všech prvků z A, nechává tyto prvky na místě, tedy patří i do jádra. Příklad 1.1.13. Necht grupa G působí na množině A. Ukažme, že jádro akce grupy G na A je stejné jako jádro odpovídající reprezentace permutacemi ϕ. Označme si jádro reprezentace Ker ϕ a jádro akce J. Tyto množiny mají následující tvar: Ker ϕ = {g G ϕ(g)(a) = a, a A}, J = {g G g a = a, a A}. Protože g a = ϕ(g)(a) jsou tyto množiny stejné, tj. Ker ϕ = J. 9

Věta 1.1.14. Necht grupa G působí na množině A a necht a A je libovolný. Stabilizátor prvku a A tvoří podgrupu grupy G a jádro akce je dokonce normální podgrupou této grupy. Důkaz. Nejdříve dokážeme, že stabilizátor prvku a je podgrupa grupy G. Neutrální prvek grupy G nechává na místě všechny prvky z A, tedy leží ve stabilizátoru libovolného prvku. Necht g, h G a, a A je pevný. Potom (gh) a = g (h a), protože G působí na A, g (h a) = g a, protože h G a a g a = a, protože g G a. Tedy i gh G a. Ještě je třeba ukázat, že v G a leží i inverze k jeho libovolnému prvku. Necht g G a, a A je pevný, pak platí, že g a = a. Nyní budeme na tuto rovnost působit zleva prvkem g 1. Ten jistě existuje, protože g je prvkem grupy G. Dostáváme tedy, že g 1 (g a) = g 1 a. Na levé straně můžeme změnit uzávorkování, protože G působí na A: (g 1 g) a = g 1 a, 1 a = g 1 a, a = g 1 a, tedy i prvek g 1 G a. Dokázali jsme, že G a je podgrupou grupy G. Jádro akce grupy G na A je i jádrem odpovídající reprezentace ϕ (potřebné úvahy jsme provedli v příkladu 1.1.13). Protože ϕ je homomorfismus, je jeho jádrem normální podgrupa. Věta 1.1.15. Necht grupa G působí na množině A. Relace daná předpisem a b g G : a = g b, je relací ekvivalence. Pro libovolné a A existuje bijekce mezi třídou rozkladu A/ obsahující prvek a a levým rozkladem G/G a grupy G podle podrupy G a, tj. obě množiny mají stejná kardinální čísla. Důkaz. Důkaz povedeme ve dvou krocích. Nejprve ukážeme, že relace je ekvivalence. V druhé části budeme hledat vhodné bijektivní zobrazení mezi levým rozkladem G/G a grupy G podle G a a třídou rozkladu A/ obsahující prvek a. O relaci budeme dokazovat, že je reflexivní, symetrická a tranzitivní: reflexivní: Protože G působí na A, platí, že a = 1 a pro každé a A, tzn. a a. 10

symetrická: Necht a b, tzn. a = g b pro nějaké vhodné g G. Působením zleva prvkem g 1 dostáváme, že g 1 a = g 1 (g b). Protože G působí na A, platí, že g 1 a = (g 1 g) b, g 1 a = 1 b, b = g 1 a b a. tranzitivní: Necht a b a současně b c, tzn. existují g, h G taková, že Dostáváme, že a = g b, b = h c. a = g b = = g (h c) = = (gh) c a c. Tedy relace je relací ekvivalence na množině A. Abychom dokázali druhou část tvrzení, je potřeba najít bijektivní zobrazení mezi levými třídami rozkladu G podle G a a třídou A/ obsahující prvek a. Označme C a = {g a g G}, třídu rozkladu podle ekvivalence, ve které se nachází prvek a, a gg a levou třídu rozkladu G podle G a. Z vlastností tříd rozkladu víme, že g a = h a (h 1 g) a = a h 1 g G a gg a = hg a. (1.1) Nyní definujeme zobrazení ψ z C a do množiny levých rozkladových tříd G podle G a předpisem ψ(g a) = gg a. Tato definice je korektní, nebot z rovnosti g a = h a plyne podle 1.1 rovnost gg a = hg a. Toto zobrazení je surjektivní, protože pro libovolné g G prvek g a jistě leží v C a. To, že obrazení ψ je též injektivní, plyne z ekvivalence 1.1. Tedy zobrazení ψ je bijektivní. Definice 1.1.16. Necht grupa G působí na množině A. 1. Množina {g a g G} definovaná v předchozím důkazu se nazývá orbita prvku a v G a označuje se O a. 2. Akci grupy G na A nazveme tranzitivní, jestliže má právě jednu orbitu, tj. a, b A g G : a = g b. 11

Důsledek 1.1.17. Necht grupa G působí na konečné množině A, a A. Pak platí, že O a = G/G a. Důkaz. Trvzení vyplývá z druhé části věty 1.1.15 pro konečné množiny. Příklad 1.1.18. Necht grupa G působí triviálně na množině A. Pak celá grupa je stabilizátorem všech prvků, tj. G a = G, a A, a každá orbita je tedy jednoprvková. Tato akce bude tranzitivní pouze v případě, kdy A je jednoprvková. Příklad 1.1.19. Necht G = (1 2), (3 4 5) S 5 působí na {1, 2, 3, 4, 5} předpisem σ a = σ(a) pro každé σ G a každé a {1, 2, 3, 4, 5}. Pak orbity v G jsou O 1 = O 2 = {1, 2} a O 3 = O 4 = O 5 = {3, 4, 5}. Na závěr této části ještě odvodíme několik tvrzení, které budeme v pozdějším textu využívat. Lemma 1.1.20. Necht p je prvočíslo, G je grupa řádu p α, kde α N, a necht G působí na konečné množině A. Označme A množinu všech prvků a A takových, že při působení každým g G zůstávají na místě, tedy g a = a pro každé g G. Pak platí, že A A (mod p). Důkaz. Uvědomme si, pokud si počet prvků A napíšeme jako součet počtu prvků v jednotlivých orbitách, musí pro každou orbitu každého prvku platit, že počet jejích prvků je mocninou prvočísla p, nebot platí, že počet prvků v orbitě tohoto prvku je roven indexu jeho stabilizátoru, a tedy podle Lagrangeovy věty dělí G. Protože právě prvky, které při této akci zůstávají na místě, mají jednoprvkové orbity, dostáváme tím požadované tvrzení. Věta 1.1.21. Necht (G, ), (H, ) jsou grupy. Potom kartézský součin G H s operací danou předpisem tvoří grupu. (g 1, h 1 ) (g 2, h 2 ) = (g 1 g 2, h 1 h 2 ), g 1, g 2 G, h 1, h 2 H, 12

Důkaz. Nejdříve ukážeme, že je operace asociativní. Necht g 1, g 2, g 3 G, h 1, h 2, h 3 H, potom dostáváme [(g 1, h 1 ) (g 2, h 2 )] (g 3, h 3 ) = (g 1 g 2, h 1 h 2 ) (g 3, h 3 ) = = ((g 1 g 2 ) g 3, (h 1 h 2 ) h 3 ) = = (g 1 (g 2 g 3 ), h 1 (h 2 h 3 )) = = (g 1, h 1 ) [(g 2, h 2 ) (g 3, h 3 )]. Neutrální prvkem vůči operaci je zřejmě (1 G, 1 H ) a inverzí prvku (g, h) je prvek (g 1, h 1 ). Definice 1.1.22. Grupu (G H, ) definovanou ve větě 1.1.21 nazýváme přímým součinem grup G a H. Věta 1.1.23. Necht G je konečná komutativní grupa a p je libovolné prvočíslo dělící řád grupy G. Pak v grupě G existuje prvek řádu p. Důkaz. K tomu, abychom ukázali platnost tvrzení využijeme matematické indukce vzhledem k řádu grupy G. Pro G = 1 není třeba tvrzení dokazovat. Předpokládejme tedy, že n 2 a že tvrzení platí pro všechny grupy řádu menšího než n a všechna prvočísla dělící jejich řád. Označením x budeme rozumět řád prvku x. Necht G je libovolná grupa řádu n. Jestliže n je prvočíslo, pak z Lagrangeovy věty plyne, že libovolný netriviální prvek má řád n. Předpokládejme, že n není prvočíslo a zvolme a G takové, že a 1. Pokud je řád prvku a je roven číslu mp pro m N, pak prvek a m má jistě řád p. Nyní naopak předpokládejme, že p nedělí řád prvku a. Uvažme podgrupu H generovanou tímto prvkem. Protože G je komutativní, je H normální. Protože H > 1, platí, že G/H < G. Jelikož p H musí p G/H a podle indukčního předpokladu tato grupa již obsahuje prvek kh řádu p. Protože k H a k p H, musí platit, že k > k p. Označme c řád prvku k. Pro prvek k p pak nutně platí, že k p = c (c,p) dělitelný prvočíslem p a jsme hotovi, nebot k c p má řád p.. Z toho plyne, že řád prvku k je 1.1.2 Rozklad na nezávislé cykly V této části se budeme zabývat grupami symetrií S n. Uvedeme tvrzení o rozkladu permutace na nezávislé cykly a na příkladu ukážeme, jakým způsobem může grupa S n působit na množině uspořádaných dvojic. 13

Věta 1.1.24. Každou neidentickou permutaci na n-prvkové množině můžeme zapsat jako součin nezávislých cyklů, a to jednoznačně až na jejich pořadí. Důkaz. Necht A = {1, 2,..., n}, σ S n, necht G = σ a necht G působí na A předpisem σ a = σ(a) pro každé a A. Pak podle věty 1.1.15 je A rozdělena do orbit. Označme jednu z nich O x a jednoho jejího reprezentanta x. Mezi prvky z O x a třídami G podle G x existuje podle věty 1.1.15 bijektivní zobrazení σ i x σ i G x. Grupa G je cyklická (tzn. je i komutativní), takže G x je normální podgrupou grupy G a G/G x je také cyklická. Označme n nejmenší přirozené číslo splňující σ n G x. Tedy n = G/G x = O x. Třídy rozkladu grupy G podle G x jsou tvaru Z toho vidíme, že prvky orbity O x jsou σ 0 G x, σg x, σ 2 G x,..., σ n 1 G x. x, σ(x), σ 2 (x),..., σ n 1 (x). Všimněme si, že σ obíhá všechny prvky z O x, tzn. σ působí na orbitě velikosti n jako cyklus délky n. Protože orbity jsou navzájem disjunktní (vždyt jsou to třídy rozkladu podle ekvivalence), nemůže se stát, že by prvek σ k (x) ležel ve dvou cyklech. Tudíž pro každé σ S n existuje rozklad na součin nezávislých cyklů. Pokud bychom z orbity O x vybrali za reprezentanta jiný prvek, dostaneme tentýž cyklus délky n, jen posunutý. Tudíž pro každé σ S n existuje rozklad na součin nezávislých cyklů, který je jednoznačný až na pořadí jednotlivých cyklů. Příklad 1.1.25. Necht S 3 působí na množině uspořádaných dvojic Ω = {(i, j) 1 i, j 3} tak, že σ (i, j) = (σ(i), σ(j)). Ukážeme, jak vypadá působení prvkem σ = (1 2 3) S 3 pro tuto akci. Pro názornost si vypišme všechny prvky množiny Ω: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3). Nyní spočítáme, jak prvek σ = (1 2 3) působí na množinu Ω. σ (1, 1) = (2, 2), σ (1, 2) = (2, 3), σ (1, 3) = (2, 1), σ (2, 1) = (3, 2), σ (2, 2) = (3, 3), σ (2, 3) = (3, 1), σ (3, 1) = (1, 2), σ (3, 2) = (1, 3), σ (3, 3) = (1, 1). Tento zápis není příliš přehledný, proto si situaci znázorněme jestě schématem: 14

(1, 1) (2, 2) (3, 3) (1, 2) (2, 3) (3, 1) (1, 3) (2, 1) (3, 2) Tímto způsobem bychom na množinu Ω mohli působit všemi prvky z S 3. Stabilizátor prvku (i, j) Ω by pak obsahoval ty permutace, pro které platí, že σ (i, j) = (i, j). Například stabilizátorem prvku (1, 1) je tedy G (1,1) = {id, (2 3)}. Uvědomme si, že (2 3) neznačí prvek z Ω ale z S 3. 1.2 Akce grupy na sobě násobením zleva, Cayleyova věta 1.2.1 Akce grupy na sobě násobením zleva Poznámka 1.2.1. To, že grupa G působí na sobě, znamená, že jsme za množinu, na které grupa působí, zvolili nosnou množinu grupy G. Působení násobením zleva chápeme jako součin prvků v grupě. Tedy pro a, g G g a = ga. Pokud je G konečná grupa řádu n, je výhodné označit si prvky grupy přirozenými čísly jako g 1,..., g n. Působení některým z prvků pak můžeme chápat jako permutaci na indexech. Příklad 1.2.2. Necht grupa G působí na sobě násobením zleva a necht G = {1, a, b, c} je Kleinova grupa, tj. necyklická čtyřprvková grupa. Prvky a, b, c jsou prvky řádu 2. Označme si po řadě prvky grupy čísly 1, 2, 3, 4. Spočítejme permutaci σ a danou působením zleva prvkem a = 2: a 1 = 2 1 = 2, tedy σ a (1) = 2, a a = 2 2 = 1, tedy σ a (2) = 1, a b = 2 3 = 4, tedy σ a (3) = 4, a c = 2 4 = 3, tedy σ a (4) = 3. Tedy působení prvkem a odpovídá v reprezentaci permutacemi (1 2)(3 4). Stejným způsobem spočítáme, že (1 3)(2 4) odpovídá prvku b a (1 4)(2 3) prvku c. 15

Akce grupy na sobě násobením zleva je tranzitivní a věrná. Stabilizátorem libovolného prvku je podgrupa obsahující právě neutrální prvek grupy. Působení grupy G na sobě samé násobením zleva můžeme zobecnit. A to tím způsobem, že za množinu A, na které G působí, budeme uvažovat množinu levých tříd rozkladu grupy G podle libovolné podgrupy H, tzn. g ah = gah pro všechny g G, ah A. Třídou gah pak rozumíme třídu rozkladu s reprezentantem ga. Ukážeme, že tímto předpisem je opravdu zadaná akce grupy. Ověříme podmínky z definice 1.1.2: g 1 (g 2 ah) = g 1 g 2 ah = g 1 g 2 ah = (g 1 g 2 ) ah, 1 ah = ah. Je zřejmé, že pokud za podgrupu H zvolíme podgrupu obsahující pouze neutrální prvek grupy G, budou třídy rozkladu právě jednoprvkové množiny. Provedeme-li ztotožnění prvku s takovou jednoprvkovou množinou, dostaneme akci grupy G na sobě násobením zleva (tedy přesně tu, kterou jsme uvažovali v úvodu této části). Věta 1.2.3. Necht G je grupa, H její podgrupa a necht G působí na množině levých rozkladových tříd G podle H násobením zleva. Pak platí: 1. akce G na množině levých rozkladových tříd G podle H je tranzitivní, 2. stabilizátorem prvku 1H v grupě G je podgrupa H, tj. G 1H = H, 3. jádro této akce je J = x G xhx 1 a navíc je největší normální podgrupou grupy G, která je obsažená v H. Důkaz. Označme A množinu všech rozkladových tříd G podle H. 1. Necht ah, bh A jsou libovolné a necht g = ba 1. Pak při působení prvkem g na ah dostáváme: g ah = (ba 1 )ah = b(aa 1 )H = b1h = bh. Tedy každé dva prvky leží ve stejné orbitě, tzn. akce má pouze jednu orbitu, tzn. je tranzitivní. 2. Podle definice stabilizátoru (definice 1.1.11) je G 1H = {g G g 1H = 1H} = {g G gh = H} = H. 16

3. Označme xh třídu s reprezentantem x. Potom platí: G xh = {g G gxh = xh} = = {g G x 1 (gx)h = x 1 xh} = = {g G (x 1 gx)h = H} = = {g G (x 1 gx) H} = = {g G g xhx 1 }. Tedy stabilizátorem prvku xh je xhx 1 a podle lemmatu 1.1.12 platí, že J = xhx 1. x G Předpokládejme, že N je normální podgrupa grupy G, která je obsažená v H, pak N = xnx 1 xhx 1 pro všechna x G, tedy N x G xhx 1 = J. Tudíž J je největší normální podgrupa G ležící v H. 1.2.2 Cayleyova věta Věta 1.2.4. (Cayley) Libovolná grupa G je izomorfní s vhodnou podgrupou grupy symetrií S G. Pokud je G konečná grupa řádu n, pak je G izomorfní s vhodnou podgrupou grupy S n. Důkaz. Necht H = {1} je triviální podgrupa grupy G. Uvažme akci G na sobě působením zleva. Tato akce je věrná, tudíž jádrem je pouze H. Tedy G lze vnořit do S G. Poznámka 1.2.5. Tuto větu poprvé dokázal britský matematik Arthur Cayley (1821-1895). Kromě algebry byla objektem jeho zájmu také projektivní geometrií. Byl jedním z prvních, kdo se zabývali problémem čtyř barev. Příklad 1.2.6. Necht G je grupa a H je její podgrupa s indexem n N. Ukážeme, že existuje podgrupa K H, která je normální v G, a platí, že G/K dělí n!. Necht grupa G působí na množině G/H násobením zleva. Označme si π H odpovídající reprezentaci permutacemi. Jádro této reprezentace je normální podgrupa. Platí, že G/ Ker π H = πh (G), a tedy π H (G) podgrupou S G/H. Protože G/H = n je S G/H = Sn. Z Lagrangeovy věty pak dostáváme, že G/ Ker π H dělí n!. Podle věty 1.2.3 je Ker π H H. Tedy Ker π H je hledanou podgrupou. 17

Věta 1.2.7. Necht G je konečná grupa řádu n a necht p je nejmenší prvočíslo dělící řád grupy G. Pak libovolná podgrupa H grupy G taková, že G/H = p, je normální. Důkaz. Necht H je podgrupa grupy G s indexem p. Označme A množinu všech levých rozkladových tříd G/H. Necht π H je reprezentace, která odpovídá akci grupy G na množině A násobením zleva, a necht G/ Ker π H = k. Podle věty 1.2.3 je Ker π H největší normální podgrupa grupy G, která leží v H. Podle hlavní věty o faktorgrupách platí, že G/ Ker π H = π H (G) S G/H = Sp a podle Lagrangeovy věty G/ Ker π H dělí p!. Tedy platí, že p! = G/H H/ Ker π H r, kde r N. Z toho dostáváme, že (p 1)! = H/ Ker π H r. Číslo H/ Ker π H musí dělit řád grupy G, tedy je to bud 1, nebo je dělitelné nějakým prvočíslem větším nebo rovným p. Zároveň musí H/ Ker π H (p 1)!. Ale všechna prvočísla dělící (p 1)! jsou menší než p. Tedy dostáváme, že H/ Ker π H = 1, tj. H = Ker π H. 1.3 Akce grupy na sobě konjugovaností 1.3.1 Akce grupy na sobě konjugovaností Věta 1.3.1. Necht G je grupa. Pak zobrazení : G G G dané předpisem g a = gag 1 pro a G a libovolné g G je akcí G na sobě samé. Odpovídající reprezentace tedy libovolnému g G přiřadí permutaci σ g : G G danou předpisem σ g (a) = gag 1 pro každé a G. Důkaz. Postupně ověříme obě podmínky z definice 1.1.2: 1. Necht a G je pevné, g, h G. Pak platí, že (σ g σ h )(a) = σ g (σ h (a)) = σ g (hah 1 ) = g(hah 1 )g 1 = (gh)a(gh) 1 = σ gh (a). 2. Necht 1 značí neutrální prvek G, a G. Pak dostáváme, že σ 1 (a) = 1 a 1 1 = 1 a 1 = a. Tedy tímto předpisem je zadaná akce grupy G na sobě samé. Definice 1.3.2. Necht G je grupa. Pak se akce grupy G na sobě samé definovaná v předchozí větě nazývá akce grupy G na sobě konjugovaností. 18

Definice 1.3.3. Necht G je grupa a a, b G libovolné. Tyto prvky nazveme konjugované, jestliže prvky a, b leží ve stejné orbitě akce grupy G na sobě konjugovaností. Orbity této akce se nazývají třídy konjugovanosti. Věta 1.3.4. Necht G je grupa a H je její podgrupa. Pak platí, že H je normální podgrupa grupy G právě tehdy, když H je sjednocením některých tříd konjugovanosti. Důkaz. Postupně dokážeme oba směry ekvivalence. Předpokládejme, že H je normální podgrupa grupy G, tj. ghg 1 = H pro všechna g G. Tedy v H musí s každým prvek ležet i všechny prvky s ním konjugované, tzn. H je sjednocením některých tříd konjugovanosti. Necht podgrupa H je sjednocením některých tříd konjugovanosti. Chceme ukázat, že ghg 1 H pro každé h H, g G. Protože h i ghg 1 leží v téže třídě konjugovanosti a h H, musí i ghg 1 H. Tedy H je normální podgrupa grupy G. Věta 1.3.5. Necht g G je libovolné. Pak zobrazení σ g : G G určené předpisem σ g (a) = gag 1 pro každé a G (tedy konjugovanost pomocí prvku g) automorfismem grupy G. Důkaz. V důkazu věty 1.3.1 jsme ukázali, že konjugovanost je homomorfismem. Z věty 1.1.4 víme, že je to bijekce. Dostáváme tedy, že je to automorfismus. Důsledek 1.3.6. Libovolné dva konjugované prvky grupy G mají stejný řád. Důkaz. Z předchozí věty vím, že konjugovanost je automorfismus, a ten zachovává řády prvků, tedy konjugované prvky mají stejný řád. Definice 1.3.7. Necht G je grupa a a G. Centralizérem prvku a v grupě G nazýváme množinu C G (a) = {g G ga = ag}. Věta 1.3.8. Necht G je grupa. Pak centralizér libovolného prvku a G je podgrupa grupy G. 19

Důkaz. Neutrální prvek grupy G jistě leží v C G (a), protože komutuje s každým prvkem grupy. Necht g, h C G (a), tedy g i h komutují s prvkem a. Platí, že (gh)a = g(ha) = g(ah) = (ga)h = (ag)h = a(gh), tzn. i prvek gh komutuje s prvkem a, tudíž (gh) C G (a). Ještě je třeba dokázat, že v centralizéru leží g 1. Vynásobíme zprava i zleva rovnost ag = ga prvkem g 1 a dostáváme, že Tedy C G (a) je podgrupa grupy G. g 1 agg 1 = g 1 gag 1, g 1 a = ag 1. Definice 1.3.9. Necht G je grupa. Centrem grupy G nazýváme množinu prvků Z(G) = {g G ga = ag, a G}. Věta 1.3.10. (Rovnice tříd rozkladu) Necht G je konečná grupa a necht prvky g 1,..., g k G jsou reprezentanti všech navzájem různých tříd konjugovanosti, které neleží v centru Z(G). Pak platí k G = Z(G) + G/C G (g i ). i=1 Důkaz. Pokud je prvek z centra grupy, je jeho třídou konjugovanosti jednoprvková množina. Necht tedy Z(G) = {1, z 1,..., z m }. Dále označme K i třídu konjugovanosti s reprezentantem g i. Pak působení grupy G na sobě pomocí konjugovanosti má tyto orbity: {1}, {z 1 },..., {z m }, K 1,..., K k. Protože centralizér prvku g i je jeho stabilizátorem při akci grupy konjugovaností, je počet prvků v K i podle věty 1.1.15 roven G/C G (g i ). Tedy platí, že G = m 1 + i=0 = Z(G) + k K i = i=1 k G/C G (g i ). i=1 20

Příklad 1.3.11. Za grupu G z předchozí věty zvolme grupu kvaternionů Q 8. Grupa Q 8 = {±1, ±i, ±j, ±k} je nekomutativní a operace je v ní definována následující tabulkou: 1 1 i i j j k k 1 1 1 i i j j k k 1 1 1 i i j j k k i i i 1 1 k k j j i i i 1 1 k k j j j j j k k 1 1 i i j j j k k 1 1 i i k k k j j i i 1 1 k k k j j i i 1 1 Vidíme, že v centru grupy se nácházejí pouze prvky 1, 1, a centralizér prvku a / Z(Q 8 ) je podgrupa generovaná tímto prvkem, tj. Q 8 / a = 2. Třídy konjugovanosti jsou {1}, { 1}, {i, i}, {j, j}, {k, k} } {{ } } {{ } prvky z centra prvky mimo centrum a rovnice tříd rozkladu pro tuto grupu je tvaru Q 8 = Z(Q 8 ) + Q 8 / a = 2 + (2 + 2 + 2). a {i,j,k} Poznámka 1.3.12. Roku 1843 představil William R. Hamilton světu kvaterniony. Kvaternionem q rozumíme lineální kombinaci jednotek 1, i, j, k, tedy q = q 1 + q 2 i + q 3 j + q 4 k, kde koeficienty q 1,..., q 4 jsou reálná čísla. Kvaterniony sčítáme po složkách. Operaci násobení odpovídá tabulka z předchozího příkladu. Jak už jsme viděli, kvaterniony jsou vůči násobení nekomutativní. Okruhu kvaternionů se někdy říká Hamiltonův okruh. Ten je dokonce nekomutativním okruhem s dělením. V roce 1843 John T. Graves publikoval práci o oktionech. Oktiony jsou rozšířením kvaternionů. Libovolný oktion a můžeme vždy zapsat pomocí lineální kombinace osmi základních jednotek 1, i, j, k, l, li, lj, lk, tj. a = a 1 + a 2 i + a 3 j + a 4 k + a 5 l + a 6 li + a 7 lj + a 8 lk, kde a 1,..., a n R. Sčítání probíhá po složkách. To, jak probíhá operace násobení, můžeme popsat tabulkou: 21

1 i j k l li lj lk 1 1 i j k l li lj lk i i 1 k j li l lk lj j j k 1 i lj lk l li k k j i 1 lk lj li l l l li lj lk 1 i j k li li l lk lj i 1 k j lj lj lk l li j k 1 i lk li lj li l k j i 1 Všimněme si, že oktiony jsou stejně jako kvaterniony nekomutativní a nejsou navíc ani asociativní. V roce 1845 popsal oktiony též A. Cayley (nezávisle na J. T. Gravesovi), proto se také oktiony někdy nazývají Cayleyova čísla. Věta 1.3.13. Necht G je grupa, p je prvočíslo a necht G = p α, α N. Pak má grupa G netriviální centrum. Důkaz. Podle věty 1.3.10 platí, že G = Z(G) + k G/C G (g i ), kde g i jsou reprezentanti různých tříd konjugovanosti, které neleží v centru grupy. Protože centralizér je podgrupa grupy G, je jeho index mocnina prvočísla p. Protože G/C G (g i ) je větší než 1, a tedy dělitelný p, dělí p levou stranu a také součet indexů centralizérů, musí tedy dělit i Z(G). i=1 Poznámka 1.3.14. Všimněme si, že věta 1.3.13 je v podstatě jen speciální případem lemmatu 1.1.20, kde uvažovanou akcí je akce grupy na sobě samé pomocí konjugovanosti. Působení grupy G na sobě samé pomocí konjugovanosti můžeme zobecnit. Dvě podmnožiny T, S G nazveme konjugované, pokud existuje g G pro které platí, že T = gsg 1. To je ekvivalentní s tím, že T, S leží ve stejné orbitě akce grupy G na množině všech podmnožin grupy G, kterou dále budeme označovat P(G), pomocí konjugovanosti. To nám umožňuje zformulovat následující definice. Definice 1.3.15. Necht grupa G působí na P(G) konjugovaností. Potom stabilizátor množiny A při této akci nazýváme normalizérem A a označujeme N G (A), tj. N G (A) = {g G gag 1 = A}. 22

Definice 1.3.16. Necht grupa G působí na P(G) konjugovaností a H je podgrupa grupy G. Potom centralizérem podgrupy H v grupě G nazýváme průnik centralizérů všech prvků z H, tj. C G (H) = h H C G (h). Poznámka 1.3.17. Centralizérem podgrupy H je tedy množina všech prvků z G takových, že komutují se všemi prvky z H. Například centralizérem celé grupy je její centrum. Uvědomme si také, že přímo z definice plyne, že C G (H) N G (H). 1.3.2 Konjugovanost v S n V této části se budeme zabývat konjugovaností v grupě symetrií S n. Ukážeme, jak vypadají prvky konjugované s danou permutací a jak najít prvek, s jehož pomocí jsou permutace konjugované. Věta 1.3.18. Necht σ, τ S n a necht rozklad σ na součin nezávislých cyklů je tvaru (a 1 a 2... a k1 )(b 1 b 2... b k2 )... Pak prvek s ním konjugovaný pomocí prvku τ má rozklad na součin nezávislých cyklů následujícího tvaru: τστ 1 = (τ(a 1 ) τ(a 2 )... τ(a k1 ))(τ(b 1 ) τ(b 2 )... τ(b k2 ))..., tj. libovolný prvek i v rozkladu σ na nezávislé cykly nahradíme prvkem τ(i). Důkaz. Necht σ(i) = j, pak jistě platí, že τστ 1 (τ(i)) = τσ(i) = τ(j). Příklad 1.3.19. Necht σ = (1 2)(3 4 5)(6 7 8 9), τ = (1 3 5 7)(2 4 6 8). Pak podle návodu z věty 1.3.18 dostáváme, že τστ 1 = (3 4)(5 6 7)(1 2 9 8). Tohoto návodu můžeme také využít, pokud známe dva konjugované prvky σ 1, σ 2 a máme najít prvek τ, pomocí kterého jsou spolu konjugované. Necht σ 1 = (1 3)(2 4 6), σ 2 = (2 4)(3 5 6). Hledané τ není určené jednoznačně, můžeme ho tedy zvolit více způsoby, například τ 1 (1) = 2, τ 1 (2) = 3, τ 1 (3) = 4, τ 1 (4) = 5, τ 1 (6) = 6, tj. τ 1 = (1 2 3 4 5)(6). Další možnost, jak může vypadat τ, je tedy τ 2 = (1 4 6 3 2 5). τ 2 (1) = 4, τ 2 (2) = 5, τ 2 (3) = 2, τ 2 (4) = 6, τ 2 (6) = 3, 23

Definice 1.3.20. Necht σ S n je součinem nezávislých cyklů délek n 1, n 2,..., n k tak, že n 1 n 2... n k, kde 1 n i n, pak se k-tice čísel n 1, n 2,..., n k nazývá tvarem cyklů permutace σ. Definice 1.3.21. Necht n N. Rozdělením čísla n nazveme neklesající posloupnost přirozených čísel takových, že jejich součet je rovný číslu n. Příklad 1.3.22. Tvar cyklů pro permutaci vyjádřenou jedním cyklem délky m v S n je 1, 1,..., 1, m. } {{ } n m Věta 1.3.23. Dva prvky grupy S n jsou konjugované právě tehdy, když mají stejný tvar cyklů. Počet tříd konjugovanosti S n se rovná počtu rozdělení čísla n. Důkaz. Nejprve dokážeme první část tvrzení. Protože jde o ekvivalenci, budeme postupovat dvěma směry. Předpokládejme, že prvky σ 1, σ 2 jsou konjugované. Pak jsou podle věty 1.3.18 permutacemi se stejným tvarem cyklů. Necht σ 1, σ 2 mají stejný tvar cyklů. Cykly v zápise permutací σ 1, σ 2 seřadíme tak, aby jejich délky tvořily neklesající posloupnost. Pokud si zápis σ 1, σ 2 (včetně cyklů délky jedna) představíme bez uzávorkování, dostaneme n-tice, kde se každé z čísel 1,..., n objevuje právě jednou. Nyní definujme zobrazení τ tak, že číslo, které se v σ 1 nachází na i-tém místě, zobrazí na číslo, které se v σ 2 nachází na tom samém místě. Protože mají obě permutace stejný tvar cyklů, zůstaly závorky na svých pozicích. Zobrazení τ splňuje požadavky z věty 1.3.18, tudíž σ 1, σ 2 jsou konjugované. Nyní dokážeme druhou část tvrzení. Uvědomme si, že každý prvek je konjugován pouze s prvky se stejným tvarem cyklů a každý tvar cyklů odpovídá jednomu rozdělení čísla n, tedy počet tříd konjugovanosti je roven počtu rozdělení čísla n. Příklad 1.3.24. Necht n = 6. V tabulce uvedeme rozdělení n a reprezentanta třídy konjugovanosti, která odpovídá tomuto rozdělení. 24

rozdělení 6 reprezentant třídy konjugovanosti 1, 1, 1, 1, 1, 1 identita 1, 1, 1, 1, 2 (1 2) 1, 1, 2, 2 (1 2)(3 4) 2, 2, 2 (1 2)(3 4)(5 6) 1, 1, 1, 3 (1 2 3) 3, 3 (1 2 3)(3 4 5) 1, 1, 4 (1 2 3 4) 1, 5 (1 2 3 4 5) 6 (1 2 3 4 5 6) 1, 2, 3 (1 2)(3 4 5) 2, 4 (1 2)(3 4 5 6) Necht σ S 6 je cyklus délky 3, pak počet všech cyklů této délky (tedy počet prvků v třídě konjugovanosti příslušné prvku σ) je 2 (6 3) = 40, což je S6 /C S6 (σ). Samotný centralizér prvku σ je podgrupa generovaná σ a prvky, v jejichž rozkladu na nezávislé cykly se neobjevuje žádné číslo, které bylo v rozkladu σ na nezávislé cykly, tj. C S6 (σ) = {σ i τ i = 1, 2, 3; τ S 3 }, kde S 3 označuje podgrupu, která nechává na místě všechna čísla obsažená v σ. 25

Kapitola 2 Automorfismy V této kapitole se budeme zabývat izomorfními zobrazeními grupy G na sebe samu automorfismy. Množinu všech automorfismů na grupě G budeme označovat Aut(G). Uvědomme si, že složením dvou automorfismů je opět automorfismem a inverzním zobrazením k automorfismu je opět automorfismus. Tedy (Aut(G), ) je grupa. V další části definujeme pojmy charakteristická a komutátorová podgrupa a odvodíme některé vlastnosti těchto podgrup. 2.1 Vlastnosti grupy automorfismů Věta 2.1.1. Necht G je grupa, H je její normální podgrupa a necht G působí na H konjugovaností. Pak odpovídající reprezentace permutacemi je homomorfismus ψ : G Aut(H) a Ker ψ = C G (H). Důkaz. Protože H je normální podgrupa grupy G, můžeme definovat zobrazení ϕ g : H H předpisem ϕ g (a) = gag 1 pro libovolné a H. Protože H je normální, platí, že ϕ g (H) = H a zřejmě ϕ g Aut(H). Označme ψ : G S H reprezentaci permutaci odpovídající akci konjugovaností G na H, ta je dána předpisem ψ(g) = ϕ g. Platí, že Ker ψ = {g G ϕ g = id} = = {g G ghg 1 = h, h H} = = C G (H). Důsledek 2.1.2. Necht G je grupa, H její normální podgrupa a necht ψ je reprezentace permutacemi odpovídající akci G na H pomocí konjugovanosti. Potom G/C G (H) = ψ(g). 26

Důkaz. Plyne z předchozího tvrzení, protože C G (H) = Ker ψ. Věta 2.1.3. Necht G je grupa a necht H je její libovolná podgrupa. Pak platí, že faktorgrupa N G (H)/C G (H) je izomorfní s vhodnou podgrupou grupy Aut(H). Důkaz. Všimněme si, že N G (H) je podgrupa grupy G, ve které je H normální, potom volbou N G (H) místo G z věty 2.1.1 dostáváme, že N G (H)/C NG (H)(H) je izomorfní s podgrupou grupy Aut(H). Ovšem přímo z definic dostáváme, že C NG (H)(H) = C G (H), protože N G (H) jistě obsahuje všechny prvky grupy G se kterými komutují prvky grupy H. Definice 2.1.4. Necht G je grupa a necht g G. Pak automorfismus ϕ g grupy G určený předpisem ϕ g (x) = gxg 1 (tedy konjugovanost prvkem g) nazýváme vnitřním automorfismem na grupě G. Množinu všech vnitřních automorfismů grupy G označujeme Inn(G). Věta 2.1.5. Necht G je grupa. Množina vnitřních automorfismů na grupě G tvoří normální podgrupu grupy Aut(G). Důkaz. 1. Nejprve dokážeme, že Inn(G) tvoří podgrupu Aut(G), tedy je neprázdná, uzavřená vzhledem ke skládání zobrazení a ke každému vnitřnímu automorfismu v ní leží jeho inverze. (a) Inn(G), protože identita je jistě vnitřním automorfismem. (b) Necht g, h G, necht ϕ g, ϕ h Inn(G) a x G je libovolný pevný prvek. Potom dostáváme, že Tedy i ϕ g ϕ h Inn(G). (ϕ g ϕ h )(x) = ϕ g (ϕ h (x)) = = ϕ g (hxh 1 ) = = g(gxh 1 g 1 ) = = (gh)x(gh) 1 = = ϕ gh (x) (c) Necht ϕ g Inn(G). K ϕ g jistě existuje inverzní zobrazení, protože je to automorfismus. Intuitivně tušíme, že (ϕ g ) 1 = ϕ g 1. Ukážeme, že tomu tak opravdu je: (ϕ g ϕ g 1)(x) = ϕ g (ϕ g 1(x)) = 27 = ϕ g (g 1 xg) = = g(g 1 xg)g 1 = = (gg 1 )x(gg 1 ) = x.

Analogicky bychom ukázali, že i ϕ g 1 ϕ g je identita. Tedy (ϕ g ) 1 = ϕ g 1 je také vnitřním automorfismem. Množina vnitřních automorfismů je podgrupou grupy Aut(G). 2. Nyní ukážeme, že Inn(G) je normální v Aut(G). Necht x, g G, ψ Aut(G) a ϕ g Inn(G). Potom platí, že (ψ ϕ g ψ 1 )(x) = ψ(ϕ g (ψ 1 (x))) = Inn(G) je normální podgrupou grupy Aut(G). = ψ(g(ψ 1 (x))g 1 ) = = ψ(g) (ψ(ψ 1 (x))) ψ(g) 1 = = ψ(g) x ψ(g 1 ) = ϕ ψ(g) (x). Poznámka 2.1.6. Eulerovou funkcí rozumíme funkci, která pro dané n N udává počet přirozených čísel nesoudělných s n nepřevyšujících n. Budeme ji označovat ϕ(n). Symbolem Z n multiplikativní grupu zbytkových tříd modulo n. Ta je řádu ϕ(n). Věta 2.1.7. Necht G je cyklická grupa řádu n. Pak její grupa automorfismů je izomorfní s grupou Z n. Důkaz. Pro libovolný prvek α = [a] n Z n definujme ψ α : G G předpisem ψ α = x a. Je třeba ukázat, že tato definice je korektní. Jestliže α = [c] n, pak platí, že n a c a tedy x a = x c pro každé x G. Protože je G komutativní, pro každé x, y G je ψ α (x y) = (xy) a = x a y a = ψ α (x) ψ α (y), a proto je ψ α : G G homomorfismus. Pro libovolné α = [a] n, β = [b] n Z n a pro každé x G platí, že ψ αβ (x) = ψ [ab]n (x) = x ab = (x b ) a = ψ α (ψ β (x)) = (ψ α ψ β )(x), a tedy ψ αβ = ψ α ψ β. Protože ψ [1]n je identita, dostáváme, že ψα 1 = ψ α 1, a tedy ψ α je automorfismus grupy G. Nyní definujme zobrazení Ψ : Z n Aut(G) předpisem Ψ(α) = ψ α. Výše jsme již ukázali, že Ψ je homomorfismus grup. Protože zřejmě Ker Ψ = {[1] n }, je Ψ injektivní. Zvolme pevně generátor g grupy G. Necht ψ : G G je libovolný automorfismus. Pak ψ(g) = g b pro nějaké b {1,..., n} Libovolné x G je tvaru x = g c pro vhodné c {1,..., n}. Pak ψ(x) = ψ(g c ) = g bc = (g c ) b = x b. 28

Protože ψ je automorfismus, existuje d {1,..., n} takové, že ψ(g d ) = g, tj. g bd = g. Z toho dostáváme, že bd 1(mod n). Tedy (b, n) = 1, a získáváme, že ψ = Ψ([b] n ) pro [b] n Z n. 2.2 Charakteristické podgrupy Definice 2.2.1. Necht G je grupa a H je její podgrupa. Podgrupa H se nazývá charakteristická v G jestliže je invariantní vůči všem automorfismům grupy G, tj. pro každé ψ Aut(G) platí, že ψ(h) = H. Věta 2.2.2. Necht G je grupa a H je charakteristická podgrupa grupy G. Pak H je normální. Důkaz. Všimněme si, že podgrupa H grupy G je normální právě tehdy, když pro ni platí, že ghg 1 = H pro všechna g G. Tedy všechny vnitřní automorfismy ji zobrazí samu na sebe a protože charateristická podgrupa je invariantní vůči všem automorfismům (tedy i vůči vnitřním), je také normální podgrupou grupy G. Příklad 2.2.3. Uvědomme si, že ne každá normální podgrupa je charakteristická. Podívejme se například na Kleninovu čtyřprvkovou grupu. S tou jsme se již setkali v příkladu 1.2.2. Označme si její prvky 1, a, b, c. Každý z prvků a, b, c generuje normální dvouprvkovou podgrupu. Pokud uvážíme automorfismus takový, že a b, b c a c a, tak tento automorfismus nenechá podgrupy generované prvky a, b, c na místě a to znamená, že tyto dvojprvkové podgrupy nejsou charakteristické v Kleinově čtyřprvkové grupě. Věta 2.2.4. Necht G je grupa a H je její podgrupa. Pokud kromě H není v G jiná podgrupa stejného řádu jako H, pak H je charakteristická v G. Důkaz. Libovolný automorfismus zachovává řády podgrup, tudíž H se musí zobrazit na podgrupu stejného řádu. Protože H je jediná podgrupa tohoto řádu, musí ji libovolný automorfismus zobrazit samu na sebe. Tedy H je charakteristická. Věta 2.2.5. Necht G je grupa, H, K její podgrupy takové, že K H. Jestliže K je charakteristická v H a H je normální podgrupa grupy G, pak K je normální podgrupa G. 29

Důkaz. Využijeme toho, že normální podgrupy jsou invariantní vůči vnitřním automorfismům. Tedy libovolný vnitřní automorfismus nechá na místě podgrupu H. Pro libovolný prvek g G je zúžení vnitřního automorfismu ϕ g : G G na podgrupu H automorfismem (ale ne nutně vnitřním) podgrupy H. Protože K je charakteristická podgrupa H, platí, že ϕ g (K) = K, tedy K je normální podgrupa grupy G. Věta 2.2.6. Necht G je grupa. Pak její centrum je charakteristická podgrupa a navíc platí, že každá podgrupa centra je normální podgrupou grupy G. Důkaz. Neprve ukážeme, že centrum je charakteristická podgrupa. Necht g Z(G) a necht ψ je libovolný automorfismus grupy G, pak pro každé a G můžeme najít prvek b G tak, že platí a = ψ(b). Pokud tuto rovnici vynásobíme zleva prvkem ψ(g) úpravami postupně získáváme ψ(g)a = ψ(g)ψ(b), ψ(g)a = ψ(g)ψ(b) = = ψ(gb) = = ψ(bg) = = aψ(g). Tedy ukázali jsme, že prvek z centra bude při zobrazení libovolným automorfismem opět prvekem z centra, tedy centrum je invariantní vůči všem automorfismům, tj. je to charakteristická podgrupa. Nyní dokážeme zbývající část tvrzení. Je vidět, že pokud H je podgrupou Z(G), pak všechny prvky h H komutují se všemi prvky grupy G, tj. pro každé g G a každé h H platí, že gh = hg. Z toho plyne, že g 1 hg = h, tudíž H je normální podgrupou grupy G. Věta 2.2.7. Necht G je grupa. Pak platí, že G/Z(G) je izomorfní s Inn(G). Důkaz. V důsledku 2.1.2 zvolíme H = G. Protože ψ(g) = Inn(G), kde ψ je reprezentace permutacemi odpovídající akci pomocí konjugovanosti, a C G (G) = Z(G), dostáváme požadované tvrzení. 30

Příklad 2.2.8. Podívejme se nyní, jak vypadají grupy vnitřních automorfismů některých grup. Nejprve si rozebereme, jak vypadá Inn(Q 8 ), kde Q 8 je grupa kvaternionů, kterou jsme popsali v příkladu 1.3.11. Centrem této grupy je podgrupa obsahující pouze prvky 1, 1. Podle věty 2.2.7 platí, že Inn(G) = G/Z(G). Tedy Inn(Q 8 ) je čtyřprvková a je izomofní s Kleinovou grupou. Dalším zajímavým příkladem jsou beze sporu grupy permutací na n-prvkové množině. Pro každé n 3 je centrem triviální podgrupa obsahující pouze identitu, dostáváme tedy, že Inn(S n ) = S n /Z(S n ) = S n. Definice 2.2.9. Necht G je grupa a H je její podgrupa. Pak H se nazývá úplně charakteristická, pokud pro každý homomorfismus ψ : G G platí, že ψ(h) H. Poznámka 2.2.10. Uvědomme si, že každá úplně charakteristická podgrupa H je zároveň i charakteristická, protože je invariantní vůči všem homomorfismům G G, tedy i vůči automorfismům. Je-li ψ Aut(G) libovolný, je ψ(h) H i ψ 1 (H) H. Odtud aplikací ψ dostaneme H = ψ(ψ 1 (H)) ψ(h). Dohromady tedy dostáváme, že ψ(h) = H. Definice 2.2.11. Necht G je grupa a necht g, h G. Prvek ghg 1 h 1 se nazývá komutátorem prvků g, h (v tomto pořadí). Podgrupu generovanou množinou všech komutátorů obvykle označujeme G a nazýváme bud komutátorovou podgrupou grupy G nebo komutantem grupy G. Věta 2.2.12. Necht G je grupa a G její komutátorová podgrupa. Pak G je úplně charakteristická podgrupa grupy G. Důkaz. Necht ψ je homomorfismus G G a necht g je komutátor. Pak g jistě můžeme zapsat ve tvaru xyx 1 y 1 pro vhodná x, y G. Ukažme, že inverzním prvkem k prvku g bude opět komutátor: g 1 = (xyx 1 y 1 ) 1 = (xy(yx) 1 ) 1 = (yx)(xy) 1 = yxy 1 x 1 Necht a G. Prvek a je tedy možné zapsat jako součin konečně mnoha komutátorů a protože pro každý komutátor g platí, že ψ(g) = ψ(xyx 1 y 1 ) = ψ(x)ψ(y)ψ(x 1 )ψ(y 1 ), lze i ψ(a) zapsat jako součin komutátorů. Tedy ψ(a) G. Tím jsem ukázali, že G je úplně charakteristická podgrupa grupy G. 31

Věta 2.2.13. Necht G je grupa a G její komutátorová podgrupa. Potom G je nejmenší normální podgrupa grupy G taková, že G/G je komutativní. Důkaz. To, že G je normální, je vidět z předchozí věty. Nejprve ukážeme, že G/G je komutativní. Necht ag, bg G/G, pak platí, že ag bg = (ab)g = = 1(ab)G = = (ba)(ba) 1 (ab)g = = (ba) (a 1 b 1 ab) G = } {{ } G = (ba)g = = bg ag. Zbývá nám ukázat, že G je nejmenší normální podgrupa grupy G taková, že faktorgrupa G/G je komutativní. Předpokládejme tedy, že H je normální podgrupa grupy G taková, že G/H je komutativní. Potom pro každé a, b G platí, že (aba 1 b 1 )H = ah bh a 1 H b 1 H = = ah a 1 H bh b 1 H = = 1H = H Z toho dostáváme, že v H leží komutátory všech prvků, tj. G H. 32

Kapitola 3 Sylowovy věty Peter Ludwig Mejdell Sylow (1832-1918) byl norský matematik. Zabýval se studiem Galoisovy teorie. Svoje poznatky od tzv. Sylowových podgrupách publikoval roku 1872. Mimoto se dále zabýval eliptickými funkcemi (f : C C) a kuželosečkami. V roce 1894 se stal šéfredaktorem Acta Mathematica. Jak již napovídá název, v této kapitole se budeme zabývat Sylowovými větami. Pro lepší čitelnost připomene některé pojmy uvedené v [6] a odvodíme tvrzení potřebná k tomu, abychom mohli Sylowovy věty dokázat. Ve druhém odstavci této kapitoly si na příkladech ukážeme některé jejich aplikace. 3.1 Sylowovy věty Definice 3.1.1. Necht G je konečná grupa řádu p e m, kde p je prvočíslo, e, m N a platí, že p m. Pak každou podgrupu řádu p e nazýváme p-sylowskou podgrupou grupy G. Množinu všech p-sylowských podgrup dané grupy označujeme Syl p (G) a počet těchto podgrup n p (G), popř. n p. Lemma 3.1.2. Necht G je konečná grupa, K, L její podgrupy a necht KL = {kl k K, l L}. Pak platí, že KL = K L K L. Důkaz. Platí, že KL je sjednocení levých tříd rozkladu grupy G podle L takových, že jejich reprezentanti jsou prvky z K, tj. KL = kl. k K 33

Všechny levé rozkladové třídy dle L mají právě L prvků. Zbývá nám tedy zjistit, kolik různých tříd rozkladu se v KL skrývá. Víme, že třídy rozkladu prvků k, k se rovnají, jestliže pro tyto dva prvky platí, že k 1 k L. To ale znamená, že prvek k 1 k leží v K i v L, tedy v jejich průniku. Jinými slovy kl = k L právě tehdy, když k a k leží ve stejné třídě rozkladu grupy K podle podgrupy K L. Těchto tříd je právě K K L. Lemma 3.1.3. Necht G je grupa, K, L její podgrupy a L je normální podgrupou grupy G. Potom KL = {kl k K, l L} je podgrupa grupy G. Důkaz. Množina KL je jistě neprázdná, protože v ní leží neutrální prvek grupy G. Necht k 1, k 2 K, l 1, l 2 L. Potom pro součin prvků k 1 l 1 a k 2 l 2 platí, že k 1 l 1 k 2 l 2 = k 1 l 1 l 2 l2 1 k 2 l } {{ } 2 KL } L, nebot L G {{ } L Nyní zbývá ukázat, že inverzní prvek prvku k 1 l 1 je také prvkem KL: (k 1 l 1 ) 1 = l1 1 k1 1 = k1 1 k 1 l 1 k1 1 } {{ } Dostáváme tedy, že KL je podgrupa grupy G. L, nebot L G KL. Věta 3.1.4. Necht P je p-sylowská podgrupa grupy G. Jestliže Q je p-podgrupa grupy G, pak platí, že Q N G (P ) = Q P. Důkaz. Označme si K = Q N G (P ) a p m řád P. Postupně ukážeme obě inkluze. Protože platí, že P N G(P ), dostáváme, že Q P K. Jistě je K Q, takže je ještě třeba ukázat, že K P. Protože K N G(P ) a P je normální podgrupou grupy N G (P ), P K je podle lemmatu 3.1.3 podgrupa grupy N G (P ), a tedy i G. Z lemmatu 3.1.2 víme, že platí P K = P K P K. Protože všechna čísla v tomto zlomku jsou mocniny prvočísla p, je i P K p-podgrupa. Protože P je podgrupou P K, musí platit, že p m P K. Ale to je nejvyšší mocnina p, která dělí řád grupy G, tedy P K = P. Z toho dostáváme, že K P. 34

Věta 3.1.5. (Sylow) Necht G je grupa a necht G = p e m, kde p je prvočíslo, e N {0}, m N a platí p m. Pak existuje podgrupa grupy G řádu p e. Důkaz. K důkazu této věty využijeme matematickou indukci vzhledem k řádu grupy G. 1. Je vidět, že pro G = 1 věta platí. 2. Nyní předpokládejme, že n > 1 a že pro každou grupu H takovou, že H n 1, byla věta dokázána, a dokažme ji pro libovolnou grupu řádu n. Pokud p n, věta zřejmě platí. Předpokládejme tedy, že p n. Jestliže p Z(G), pak z věty 1.1.23 plyne, že v centru se nachází podgrupa o p prvcích. Označme ji K a faktorgrupu G/K symbolem G. Jistě platí, že G = p e 1 m. Podle indukčního předpokladu má G podgrupu P o p e 1 prvcích. Označme P = {a G ak P }, aby K P a P = P/K. Pak P má P/K K = p e prvků. Je to tedy hledaná p-sylowská podgrupa grupy G. Rozeberme ještě případ, kdy p Z(G). Necht prvky g 1,..., g s jsou reprezentanti tříd konjugovanosti, které nejsou obsaženy v centru. Rovnice tříd rozkladu vypadá následovně: s G = Z(G) + G/C G (g i ). Pokud by indexy všech centralizérů byly dělitelné prvočíslem p, muselo by p dělit i počet prvků centra, což by byl spor s naším předpokladem. Z toho tedy vyplývá, že existuje i takové, že G/C G (g i ) není dělitelný p. Tento centralizér si označme K = C G (g i ). Protože g i Z(G), platí, že K G, a tedy K = p e k < G. Podle indukčního předpokladu víme, že K má p-sylowskou podgrupu, která je zároveň i p-sylowskou podgrupou grupy G. i=1 Věta 3.1.6. (Sylow) Necht G je grupa a necht G = p e m, kde p je prvočíslo, e, m N a platí p m. Dále necht P je p-sylowská podgrupa grupy G a K je p-podgrupa. Pak K je obsažena v některé podgrupě konjugované s P, tj. g G takové, že K gp g 1. Důkaz. Označme si A množinu všech levých rozkladových tříd G podle P. Nyní uvažme působení K na A násobením zleva. Z Lagrangeovy věty plyne, že prvočíslo p nedělí A (nebot P je p-sylowská), a z lemmatu 1.1.20 dostáváme, že existuje prvek g G takový, že gp zůstává při působení libovolným k K na místě. To znamená, že pro libovolné k K platí rovnost kgp = gp, což je ekvivalentní s tím, že g 1 kg P. Tudíž g 1 Kg P, což je to samé jako K gp g 1. 35