Heuristiky ve výuce matematiky

Heuristiky ve výuce matematiky Petr Eisenmann Univerzita J. E. Purkyně Ústí nad Labem, Přírodovědecká fakulta Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 1 / 60

Autoři Tato prezentace popisuje výsledky projektu, jehož hlavními řešiteli byli: Petr Eisenmann Jiří Přibyl Přírodovědecká fakulta UJEP v Ústí nad Labem a Jarmila Novotná Pedagogická fakulta UK Praha Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 2 / 60

Zdroje Základní vymezení Pólya, G. (2004). How to Solve It: A New Aspects of Mathematical Method. Princeton. (1. vydání 1945) Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 3 / 60

Zdroje Základní vymezení Pólya, G. (2004). How to Solve It: A New Aspects of Mathematical Method. Princeton. (1. vydání 1945) Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical Problem Solving. London. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 3 / 60

Zdroje Základní vymezení Pólya, G. (2004). How to Solve It: A New Aspects of Mathematical Method. Princeton. (1. vydání 1945) Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical Problem Solving. London. Kopka, J. (2013). Umění řešit matematické problémy. Praha Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 3 / 60

Zdroje Základní vymezení Pólya, G. (2004). How to Solve It: A New Aspects of Mathematical Method. Princeton. (1. vydání 1945) Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical Problem Solving. London. Kopka, J. (2013). Umění řešit matematické problémy. Praha Kuřina, F. (2011). Matematika a řešení úloh. České Budějovice. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 3 / 60

Základní vymezení Dlouhodobý experiment Gymnázium Jana Nerudy, Praha, 20 žáků ve věku 16-18 let Gymnázium Václava Hraběte, Hořovice, 24 žáků ve věku 12-14 let Základní škola Pod Vodojemem, Ústí nad Labem, 18 žáků ve věku 14-16 let Základní škola Na Slovance, Praze, 16 žáků ve věku 14-16 let Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 4 / 60

Základní vymezení Analogie Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 5 / 60

Základní vymezení Analogie Zavedení pomocného prvku Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 5 / 60

Základní vymezení Analogie Zavedení pomocného prvku Vypuštění podmínky Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 5 / 60

Základní vymezení Analogie Zavedení pomocného prvku Vypuštění podmínky Systematické experimentování Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 5 / 60

Základní vymezení Analogie Zavedení pomocného prvku Vypuštění podmínky Systematické experimentování Pokus ověření korekce Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 5 / 60

Základní vymezení Analogie Zavedení pomocného prvku Vypuštění podmínky Systematické experimentování Pokus ověření korekce Užití falešného předpokladu Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 5 / 60

Základní vymezení Analogie Zavedení pomocného prvku Vypuštění podmínky Systematické experimentování Pokus ověření korekce Užití falešného předpokladu Konkretizace a zobecnění Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 5 / 60

Základní vymezení Analogie Zavedení pomocného prvku Vypuštění podmínky Systematické experimentování Pokus ověření korekce Užití falešného předpokladu Konkretizace a zobecnění Přeformulování problému Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 5 / 60

Základní vymezení Analogie Zavedení pomocného prvku Vypuštění podmínky Systematické experimentování Pokus ověření korekce Užití falešného předpokladu Konkretizace a zobecnění Přeformulování problému Zobecnění a konkretizace Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 5 / 60

Základní vymezení Analogie Zavedení pomocného prvku Vypuštění podmínky Systematické experimentování Pokus ověření korekce Užití falešného předpokladu Konkretizace a zobecnění Přeformulování problému Zobecnění a konkretizace Řešitelský obrázek Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 5 / 60

Analogie Analogie Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 6 / 60

Úloha č. 1 Analogie Rozhodněte: Který zlomek je větší: 125 126 nebo 124 125? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 7 / 60

Úloha č. 1 Analogie Rozhodněte: Který zlomek je větší: 125 126 nebo 124 125? Rozhodněte: Který zlomek je větší: 3 4 nebo 2 3? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 7 / 60

Úloha č. 1 Analogie Rozhodněte: Který zlomek je větší: 125 126 nebo 124 125? Rozhodněte: Který zlomek je větší: 3 4 nebo 2 3? 3 4 > 2 3 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 7 / 60

Úloha č. 1 Analogie Rozhodněte: Který zlomek je větší: 125 126 nebo 124 125? Rozhodněte: Který zlomek je větší: 3 4 nebo 2 3? Větším zlomkem je zlomek 125 126. 3 4 > 2 3 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 7 / 60

Úloha č. 2 Analogie Auto ujelo 420 km a spotřebovalo při tom 29 l benzínu. Jaká byla jeho průměrná spotřeba na 100 km? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 8 / 60

Úloha č. 2 Analogie Auto ujelo 420 km a spotřebovalo při tom 29 l benzínu. Jaká byla jeho průměrná spotřeba na 100 km? Auto ujelo 200 km a spotřebovalo při tom 16 l benzínu. Jaká byla jeho průměrná spotřeba na 100 km? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 8 / 60

Úloha č. 2 Analogie Auto ujelo 420 km a spotřebovalo při tom 29 l benzínu. Jaká byla jeho průměrná spotřeba na 100 km? Auto ujelo 200 km a spotřebovalo při tom 16 l benzínu. Jaká byla jeho průměrná spotřeba na 100 km? 16 200 100 = 8 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 8 / 60

Úloha č. 2 Analogie Auto ujelo 420 km a spotřebovalo při tom 29 l benzínu. Jaká byla jeho průměrná spotřeba na 100 km? Auto ujelo 200 km a spotřebovalo při tom 16 l benzínu. Jaká byla jeho průměrná spotřeba na 100 km? 16 200 100 = 8 29 420 100. = 6,9 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 8 / 60

Úloha č. 2 Analogie Auto ujelo 420 km a spotřebovalo při tom 29 l benzínu. Jaká byla jeho průměrná spotřeba na 100 km? Auto ujelo 200 km a spotřebovalo při tom 16 l benzínu. Jaká byla jeho průměrná spotřeba na 100 km? 16 200 100 = 8 29 420 100. = 6,9 Průměrná spotřeba auta na 100 km činí 6,9 litrů. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 8 / 60

Úloha č. 3 Analogie Je dána pravidelný osmistěn a přímka p ležící vně osmistěnu. Určete rovinu, která prochází přímkou p a rozdělí daný osmistěn na dvě shodné části. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 9 / 60

Úloha č. 3 Analogie Je dána pravidelný osmistěn a přímka p ležící vně osmistěnu. Určete rovinu, která prochází přímkou p a rozdělí daný osmistěn na dvě shodné části. Je dán čtverec a bod P, který leží vně čtverce. Určete přímku, která prochází bodem P a rozdělí daný čtverec na dva shodné útvary. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 9 / 60

Úloha č. 3 Analogie Je dán čtverec a bod P, který leží vně čtverce. Určete přímku, která prochází bodem P a rozdělí daný čtverec na dva shodné útvary. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 10 / 60

Úloha č. 3 Analogie Je dán čtverec a bod P, který leží vně čtverce. Určete přímku, která prochází bodem P a rozdělí daný čtverec na dva shodné útvary. Rovina musí vést středem pravidelného osmistěnu. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 10 / 60

Zavedení pomocného prvku Zavedení pomocného prvku Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 11 / 60

Pomocný prvek přímka Zavedení pomocného prvku Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 12 / 60

Zavedení pomocného prvku Pomocný prvek zavedený substitucí x 4 5x + 6 = 0 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 13 / 60

Zavedení pomocného prvku Pomocný prvek zavedený substitucí x 4 5x + 6 = 0 x 2 = y Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 13 / 60

Zavedení pomocného prvku Pomocný prvek zavedený substitucí x 4 5x + 6 = 0 x 2 = y 1 x + 2 y = 1 3 x 1 y = 4 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 13 / 60

Zavedení pomocného prvku Pomocný prvek zavedený substitucí x 4 5x + 6 = 0 x 2 = y 1 x + 2 y = 1 3 x 1 y = 4 u = 1 x v = 1 y Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 13 / 60

Úloha č. 1 Zavedení pomocného prvku V množině reálných čísel vyřešte rovnici x + 3 9 + x + 5 7 = x + 10 2 + x + 8 4 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 14 / 60

Úloha č. 1 Zavedení pomocného prvku V množině reálných čísel vyřešte rovnici x + 3 9 + x + 5 7 = x + 10 2 Ke každé straně rovnice přičteme číslo 2. + x + 8 4 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 14 / 60

Úloha č. 1 Zavedení pomocného prvku V množině reálných čísel vyřešte rovnici x + 3 9 + x + 5 7 = x + 10 2 Ke každé straně rovnice přičteme číslo 2. x + 3 9 + 1 + x + 5 7 + 1 = x + 10 2 + x + 8 4 + 1 + x + 8 4 + 1 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 14 / 60

Úloha č. 1 Zavedení pomocného prvku V množině reálných čísel vyřešte rovnici x + 3 9 + x + 5 7 = x + 10 2 Ke každé straně rovnice přičteme číslo 2. x + 3 9 + 1 + x + 5 7 + 1 = x + 10 2 + x + 8 4 + 1 + x + 8 4 + 1 x + 12 9 + x + 12 7 = x + 12 2 + x + 12 4 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 14 / 60

Úloha č. 1 Zavedení pomocného prvku x + 12 9 + x + 12 7 x + 12 2 x + 12 4 = 0 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 15 / 60

Úloha č. 1 Zavedení pomocného prvku x + 12 9 + x + 12 7 (x + 12) x + 12 2 ( 1 9 + 1 7 1 2 1 4 x + 12 = 0 4 ) = 0 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 15 / 60

Úloha č. 1 Zavedení pomocného prvku x + 12 9 + x + 12 7 (x + 12) x + 12 2 ( 1 9 + 1 7 1 2 1 4 x = 12 x + 12 = 0 4 ) = 0 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 15 / 60

Úloha č. 2 Zavedení pomocného prvku Je dán libovolný konvexní čtyřúhelník ABCD. Spojte středy M, N stran AD a BC. Zjistěte, jaký je vztah mezi MN a 1 2( AB + CD ). Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 16 / 60

Úloha č. 2 Zavedení pomocného prvku Je dán libovolný konvexní čtyřúhelník ABCD. Spojte středy M, N stran AD a BC. Zjistěte, jaký je vztah mezi MN a 1 2( AB + CD ). Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 17 / 60

Úloha č. 2 Zavedení pomocného prvku Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 18 / 60

Úloha č. 2 Zavedení pomocného prvku MS = 1 2 AB Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 18 / 60

Úloha č. 2 Zavedení pomocného prvku MS = 1 2 AB SN = 1 2 CD Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 18 / 60

Úloha č. 2 Zavedení pomocného prvku MS = 1 2 AB SN = 1 2 CD MN < MS + SN Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 18 / 60

Úloha č. 2 Zavedení pomocného prvku MS = 1 2 AB SN = 1 2 CD MN < MS + SN = 1 2 AB + 1 2 CD Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 18 / 60

Úloha č. 2 Zavedení pomocného prvku MS = 1 2 AB SN = 1 2 CD MN MS + SN = 1 2 AB + 1 2 CD Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 18 / 60

Úloha č. 3 Zavedení pomocného prvku Vypočítejte obsah kapky, jestliže její obvod tvoří kružnicové oblouky. Údaje na obrázku jsou uvedeny v centimetrech. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 19 / 60

Úloha č. 3 Zavedení pomocného prvku Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 20 / 60

Úloha č. 3 Zavedení pomocného prvku S = 12 6 = 72 cm 2 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 20 / 60

Vypuštění podmínky Vypuštění podmínky Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 21 / 60

Úloha č. 1 Vypuštění podmínky Je dán trojúhelník ABC. Vepište do tohoto trojúhelníku čtverec KLMN tak, aby strana KL ležela na straně AB, vrchol M na straně BC a vrchol N na straně AC. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 22 / 60

Úloha č. 1 Vypuštění podmínky Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 23 / 60

Úloha č. 2 Vypuštění podmínky Část lístků do divadla stála 11 Kč a část byla po 8 Kč. Kolik bylo kterých, jestliže celková cena za 97 lístků byla 965 Kč? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 27 / 60

Úloha č. 2 Vypuštění podmínky Část lístků do divadla stála 11 Kč a část byla po 8 Kč. Kolik bylo kterých, jestliže celková cena za 97 lístků byla 965 Kč? 11x + 8y = 965 y = 965 11x 8 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 27 / 60

Úloha č. 2 Vypuštění podmínky Část lístků do divadla stála 11 Kč a část byla po 8 Kč. Kolik bylo kterých, jestliže celková cena za 97 lístků byla 965 Kč? 11x + 8y = 965 y = x y x + y 1 119,25 120,25 2 117,875 119,875 3 116,5 119,5 62 35,375 97,375 63 34 97 965 11x 8 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 27 / 60

Úloha č. 2 Vypuštění podmínky Část lístků do divadla stála 11 Kč a část byla po 8 Kč. Kolik bylo kterých, jestliže celková cena za 97 lístků byla 965 Kč? 11x + 8y = 965 y = x y x + y 1 119,25 120,25 2 117,875 119,875 3 116,5 119,5 62 35,375 97,375 63 34 97 965 11x 8 V divadle prodali 63 lístků po 11 Kč a 34 lístků po 8 Kč. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 27 / 60

Systematické experimentování Systematické experimentování Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 28 / 60

Úloha č. 1 Systematické experimentování Máme připravit 50 kg bonbónové směsi v ceně 120 Kč za jeden kilogram. K dispozici máme dva druhy bonbónů, první v ceně 90 Kč za jeden kilogram, druhý v ceně 140 Kč za jeden kilogram. Kolik každého druhu je třeba smíchat? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 29 / 60

Úloha č. 1 Systematické experimentování Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 30 / 60

Úloha č. 1 Systematické experimentování K přípravě směsi je třeba smíchat 20 kg prvního druhu a 30 kg druhého druhu. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 30 / 60

Úloha č. 2 Systematické experimentování Čísla, která se čtou stejně odpředu i odzadu, jako např. 452 254, se nazývají palindromy. Můj přítel tvrdí, že všechny čtyřciferné palindromy jsou dělitelné číslem 11. Je tomu tak? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 31 / 60

Úloha č. 2 Systematické experimentování Čísla, která se čtou stejně odpředu i odzadu, jako např. 452 254, se nazývají palindromy. Můj přítel tvrdí, že všechny čtyřciferné palindromy jsou dělitelné číslem 11. Je tomu tak? 127721, 94749, 8338, 565, 44, 8 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 31 / 60

Úloha č. 2 Systematické experimentování Čísla, která se čtou stejně odpředu i odzadu, jako např. 452 254, se nazývají palindromy. Můj přítel tvrdí, že všechny čtyřciferné palindromy jsou dělitelné číslem 11. Je tomu tak? 127721, 94749, 8338, 565, 44, 8 6776, 1001, 2992 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 31 / 60

Systematické experimentování Úloha č. 2 Čísla, která se čtou stejně odpředu i odzadu, jako např. 452 254, se nazývají palindromy. Můj přítel tvrdí, že všechny čtyřciferné palindromy jsou dělitelné číslem 11. Je tomu tak? 127721, 94749, 8338, 565, 44, 8 6776, 1001, 2992 6776 = 11 616 1001 = 11 91 2992 = 11 272 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 31 / 60

Úloha č. 3 Systematické experimentování Určete, zda je posloupnost x n = 20n n! monotónní. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 34 / 60

Systematické experimentování Úloha č. 3 Určete, zda je posloupnost x n = 20n n! monotónní. x 1 = 20 x 2 = 200 x 3 = 1333,3... x 4 = 6666,6... Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 34 / 60

Pokus ověření korekce Pokus ověření korekce Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 36 / 60

Úloha č. 1 Pokus ověření korekce Část lístků do divadla stála 11 Kč a část byla po 8 Kč. Kolik bylo kterých, jestliže celková cena za 97 lístků byla 965 Kč? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 37 / 60

Úloha č. 2 Pokus ověření korekce Určete dvě po sobě následující lichá přirozená čísla tak, aby jejich součin byl 323. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 38 / 60

Užití falešného předpokladu Užití falešného předpokladu Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 39 / 60

Úloha č. 1 Užití falešného předpokladu Třetina neznámého celého čísla zmenšená o 20 % je číslo 32. O jaké číslo se jedná? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 40 / 60

Úloha č. 1 Užití falešného předpokladu Třetina neznámého celého čísla zmenšená o 20 % je číslo 32. O jaké číslo se jedná? 60 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 40 / 60

Užití falešného předpokladu Úloha č. 1 Třetina neznámého celého čísla zmenšená o 20 % je číslo 32. O jaké číslo se jedná? 60 1 1 60 0,2 60 = 16 3 3 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 40 / 60

Užití falešného předpokladu Úloha č. 1 Třetina neznámého celého čísla zmenšená o 20 % je číslo 32. O jaké číslo se jedná? 60 1 1 60 0,2 60 = 16 3 3 60 2 = 120 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 40 / 60

Užití falešného předpokladu Úloha č. 1 Třetina neznámého celého čísla zmenšená o 20 % je číslo 32. O jaké číslo se jedná? Hledaným číslem je číslo 120. 60 1 1 60 0,2 60 = 16 3 3 60 2 = 120 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 40 / 60

Úloha č. 2 Užití falešného předpokladu Knižní novinka byla zlevněna nejprve o deset procent, o měsíc později o dalších padesát procent z nové ceny. Nyní kniha stojí 270 Kč. Kolik korun stála kniha původně? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 41 / 60

Úloha č. 2 Užití falešného předpokladu Knižní novinka byla zlevněna nejprve o deset procent, o měsíc později o dalších padesát procent z nové ceny. Nyní kniha stojí 270 Kč. Kolik korun stála kniha původně? 300 Kč Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 41 / 60

Užití falešného předpokladu Úloha č. 2 Knižní novinka byla zlevněna nejprve o deset procent, o měsíc později o dalších padesát procent z nové ceny. Nyní kniha stojí 270 Kč. Kolik korun stála kniha původně? 300 Kč 300 30 = 270 270 : 2 = 135 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 41 / 60

Užití falešného předpokladu Úloha č. 2 Knižní novinka byla zlevněna nejprve o deset procent, o měsíc později o dalších padesát procent z nové ceny. Nyní kniha stojí 270 Kč. Kolik korun stála kniha původně? 300 Kč 300 30 = 270 270 : 2 = 135 300 2 = 600 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 41 / 60

Užití falešného předpokladu Úloha č. 2 Knižní novinka byla zlevněna nejprve o deset procent, o měsíc později o dalších padesát procent z nové ceny. Nyní kniha stojí 270 Kč. Kolik korun stála kniha původně? 300 Kč 300 30 = 270 270 : 2 = 135 Původně kniha stála 600 Kč. 300 2 = 600 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 41 / 60

Úloha č. 3 Užití falešného předpokladu Adam říká: Nejprve jsem prohrál čtvrtinu svých skleněnek a pak ještě čtvrtinu toho, co mi zbylo, takže ted mám jen 18 skleněnek. Kolik skleněných kuliček měl Adam původně? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 42 / 60

Úloha č. 3 Užití falešného předpokladu Adam říká: Nejprve jsem prohrál čtvrtinu svých skleněnek a pak ještě čtvrtinu toho, co mi zbylo, takže ted mám jen 18 skleněnek. Kolik skleněných kuliček měl Adam původně? 80 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 42 / 60

Užití falešného předpokladu Úloha č. 3 Adam říká: Nejprve jsem prohrál čtvrtinu svých skleněnek a pak ještě čtvrtinu toho, co mi zbylo, takže ted mám jen 18 skleněnek. Kolik skleněných kuliček měl Adam původně? 80 80 20 = 60 60 15 = 45 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 42 / 60

Užití falešného předpokladu Úloha č. 3 Adam říká: Nejprve jsem prohrál čtvrtinu svých skleněnek a pak ještě čtvrtinu toho, co mi zbylo, takže ted mám jen 18 skleněnek. Kolik skleněných kuliček měl Adam původně? 80 80 20 = 60 60 15 = 45 80 18 45 = 32 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 42 / 60

Užití falešného předpokladu Úloha č. 3 Adam říká: Nejprve jsem prohrál čtvrtinu svých skleněnek a pak ještě čtvrtinu toho, co mi zbylo, takže ted mám jen 18 skleněnek. Kolik skleněných kuliček měl Adam původně? 80 80 20 = 60 60 15 = 45 80 18 45 = 32 Adam měl původně 32 kuliček. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 42 / 60

Konkretizace a zobecnění Konkretizace a zobecnění Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 43 / 60

Úloha č. 1 Konkretizace a zobecnění Obchodník koupil knihu za jednu sedminu její původní ceny a prodal ji za tři osminy její původní ceny. Jaký zisk v procentech má obchodník? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 44 / 60

Úloha č. 1 Konkretizace a zobecnění Obchodník koupil knihu za jednu sedminu její původní ceny a prodal ji za tři osminy její původní ceny. Jaký zisk v procentech má obchodník? 56 Kč Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 44 / 60

Úloha č. 1 Konkretizace a zobecnění Obchodník koupil knihu za jednu sedminu její původní ceny a prodal ji za tři osminy její původní ceny. Jaký zisk v procentech má obchodník? 56 Kč koupil za 8 Kč prodal za 21 Kč Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 44 / 60

Úloha č. 1 Konkretizace a zobecnění Obchodník koupil knihu za jednu sedminu její původní ceny a prodal ji za tři osminy její původní ceny. Jaký zisk v procentech má obchodník? 56 Kč koupil za 8 Kč prodal za 21 Kč 21 8 = 13 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 44 / 60

Úloha č. 1 Konkretizace a zobecnění Obchodník koupil knihu za jednu sedminu její původní ceny a prodal ji za tři osminy její původní ceny. Jaký zisk v procentech má obchodník? 56 Kč koupil za 8 Kč prodal za 21 Kč 13 8 21 8 = 13 100 = 162,5 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 44 / 60

Úloha č. 1 Konkretizace a zobecnění Obchodník koupil knihu za jednu sedminu její původní ceny a prodal ji za tři osminy její původní ceny. Jaký zisk v procentech má obchodník? 56 Kč koupil za 8 Kč prodal za 21 Kč 13 8 Obchodníkův zisk je 162,5 %. 21 8 = 13 100 = 162,5 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 44 / 60

Úloha č. 2 Konkretizace a zobecnění Mějme dán libovolný trojúhelník ABC. Body P, Q, R a S dělí strany AC a BC na tři shodné části. Jaký je poměr obsahů PQSR a ABC? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 45 / 60

Úloha č. 2 Konkretizace a zobecnění Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 46 / 60

Úloha č. 2 Konkretizace a zobecnění S ABC = a v 2 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 47 / 60

Úloha č. 2 Konkretizace a zobecnění S ABC = a v 2 1 3 S QSC = a 1 v 3 2 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 47 / 60

Úloha č. 2 Konkretizace a zobecnění S ABC = a v 2 1 3 S QSC = a 1 v 3 2 2 3 S PRC = a 2v 3 2 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 47 / 60

Úloha č. 2 Konkretizace a zobecnění S ABC = a v 2 1 3 S QSC = a 1 v 3 2 2 3 S PRC = a 2v 3 2 S PQSR = 4 9 av 2 1 9 av 2 = 1 3 av 2 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 47 / 60

Úloha č. 2 Konkretizace a zobecnění Plocha čtyřúhelníku je jedna třetina plochy trojúhelníku. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 48 / 60

Přeformulování problému Přeformulování problému Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 49 / 60

Úloha č. 1 Přeformulování problému Rozhodněte: Který zlomek je větší: 125 126 nebo 124 125? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 50 / 60

Úloha č. 1 Přeformulování problému Rozhodněte: Který zlomek je větší: 125 126 nebo 124 125? Mějme dvě stejné pizzy (shodné kruhy). První z nich rozdělíme na 125 shodných dílů, druhou rozdělíme na 126 shodných dílů. Z každé pizzy odeberme jeden díl. Ve které pizze toho zůstane více? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 50 / 60

Úloha č. 1 Přeformulování problému Rozhodněte: Který zlomek je větší: 125 126 nebo 124 125? Mějme dvě stejné pizzy (shodné kruhy). První z nich rozdělíme na 125 shodných dílů, druhou rozdělíme na 126 shodných dílů. Z každé pizzy odeberme jeden díl. Ve které pizze toho zůstane více? 125 126 > 124 125 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 50 / 60

Úloha č. 2 Přeformulování problému Na kružnici je vyznačených n bodů a každé dva jsou spojené tětivou. Předpokládejme, že žádné tři tětivy se uvnitř kruhu neprotínají v jednom bodě. Kolik průsečíků uvnitř kruhu existuje? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 51 / 60

Úloha č. 2 Přeformulování problému Na kružnici je vyznačených n bodů a každé dva jsou spojené tětivou. Předpokládejme, že žádné tři tětivy se uvnitř kruhu neprotínají v jednom bodě. Kolik průsečíků uvnitř kruhu existuje? Kolik čtyřprvkových podmnožin má n prvková množina? Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 51 / 60

Úloha č. 2 Přeformulování problému Na kružnici je vyznačených n bodů a každé dva jsou spojené tětivou. Předpokládejme, že žádné tři tětivy se uvnitř kruhu neprotínají v jednom bodě. Kolik průsečíků uvnitř kruhu existuje? Kolik čtyřprvkových podmnožin má n prvková množina? ( ) n 4 Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 51 / 60

Řešitelský obrázek Řešitelský obrázek Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 52 / 60

Úloha č. 1 Řešitelský obrázek Mějme čtverec vepsaný do kruhu, přičemž tento kruh je vepsán do čtverce. Určete, jakou část obsahu většího čtverce zaujímá menší čtverec. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 53 / 60

Úloha č. 1 Řešitelský obrázek Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 54 / 60

Úloha č. 1 Řešitelský obrázek Menší čtverec zaujímá polovinu obsahu většího čtverce. Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 54 / 60

Vyhodnocení experimentu Vyhodnocení experimentu Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 55 / 60

Vyhodnocení experimentu Úspěšnost řešení, použití heuristických strategií Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 56 / 60

Vyhodnocení experimentu Úspěšnost řešení, použití heuristických strategií Pokus ověření korekce Systematické experimentování Řešitelský obrázek Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 56 / 60

Vyhodnocení experimentu Úspěšnost řešení, použití heuristických strategií Pokus ověření korekce Systematické experimentování Řešitelský obrázek Zavedení pomocného prvku Analogie Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 56 / 60

Vyhodnocení experimentu Úspěšnost řešení, použití heuristických strategií Pokus ověření korekce Systematické experimentování Řešitelský obrázek Zavedení pomocného prvku Analogie Konkretizace a zobecnění Přeformulování problému Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 56 / 60

Vyhodnocení experimentu Kultura řešení problému žákem Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 57 / 60

Vyhodnocení experimentu Kultura řešení problému žákem 1 Inteligence Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 57 / 60

Vyhodnocení experimentu Kultura řešení problému žákem 1 Inteligence 2 Tvořivost Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 57 / 60

Vyhodnocení experimentu Kultura řešení problému žákem 1 Inteligence 2 Tvořivost 3 Schopnost číst s porozuměním text Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 57 / 60

Vyhodnocení experimentu Kultura řešení problému žákem 1 Inteligence 2 Tvořivost 3 Schopnost číst s porozuměním text 4 Schopnost využít stávajících znalostí v matematice Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 57 / 60

Změny u žáků Vyhodnocení experimentu Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 58 / 60

Změny u žáků Vyhodnocení experimentu zvyšuje se míra experimentování Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 58 / 60

Změny u žáků Vyhodnocení experimentu zvyšuje se míra experimentování zlepšuje se jejich vztah k matematice Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 58 / 60

Změny u žáků Vyhodnocení experimentu zvyšuje se míra experimentování zlepšuje se jejich vztah k matematice zvyšuje se míra úspěšnosti v řešení úloh Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 58 / 60

Změny u žáků Vyhodnocení experimentu zvyšuje se míra experimentování zlepšuje se jejich vztah k matematice zvyšuje se míra úspěšnosti v řešení úloh více se zabývají zpětnou vazbou (kontrola výsledku) Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 58 / 60

Změny u žáků Vyhodnocení experimentu zvyšuje se míra experimentování zlepšuje se jejich vztah k matematice zvyšuje se míra úspěšnosti v řešení úloh více se zabývají zpětnou vazbou (kontrola výsledku) více jsou schopni komunikovat s ostatními, obhájit a vysvětlit svoje řešení, reagovat na argumenty oponenta Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 58 / 60

Změny u žáků Vyhodnocení experimentu zvyšuje se míra experimentování zlepšuje se jejich vztah k matematice zvyšuje se míra úspěšnosti v řešení úloh více se zabývají zpětnou vazbou (kontrola výsledku) více jsou schopni komunikovat s ostatními, obhájit a vysvětlit svoje řešení, reagovat na argumenty oponenta častěji jsou schopni svá řešení zapsat Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 58 / 60

Změny u učitelů Vyhodnocení experimentu Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 59 / 60

Změny u učitelů Vyhodnocení experimentu prokazují větší toleranci vůči různorodosti žákovských řešení Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 59 / 60

Změny u učitelů Vyhodnocení experimentu prokazují větší toleranci vůči různorodosti žákovských řešení více zajímají o myšlenkové pochody žáků při řešení úloh Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 59 / 60

Změny u učitelů Vyhodnocení experimentu prokazují větší toleranci vůči různorodosti žákovských řešení více zajímají o myšlenkové pochody žáků při řešení úloh více přemýšlejí o tom, jak odstranit pocit neúspěchu u žáků Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 59 / 60

Změny u učitelů Vyhodnocení experimentu prokazují větší toleranci vůči různorodosti žákovských řešení více zajímají o myšlenkové pochody žáků při řešení úloh více přemýšlejí o tom, jak odstranit pocit neúspěchu u žáků došlo k ústupu nároků na přesnost a korektnost ve vyjadřování a zápisech žáků ve prospěch porozumění postupů řešení úloh Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 59 / 60

Vyhodnocení experimentu Kde najdete strategie? trilian.ujep.cz/~pribylk/ddsdm Petr Eisenmann (UJEP) Heuristiky ve výuce matematiky 60 / 60