ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE STUDIJNÍ OBOR GEODÉZIE, KARTOGRAFIE A GEOINFORMATIKA

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE STUDIJNÍ OBOR GEODÉZIE, KARTOGRAFIE A GEOINFORMATIKA BAKALÁŘSKÁ PRÁCE VYTYČOVÁNÍ ATLETICKÝCH DRAH Vedoucí práce: Dr. Ing. Zdeněk Skořepa Katedra speciální geodézie Červen 2014 Matouš VONDRÁČEK

Abstrakt : Vytyčování atletických drah Tato práce popisuje postup při ověřování rozměrů atletických oválů, tvorbu digitálního výkresu značení standardního oválu a zpracování měření konkrétního oválu. Velká část je věnována výpočtům zakřivených linií evolvent. Klíčová slova ideální stopa, standardní ovál, evolventa, tečna, steeplechase Abstract Bachelor thesis: Setting-out of Running Tracks This work describes a procedure for dimensional verification athletic ovals, creating digital drawing of marking of standard track and processing measurement specific oval. A large part is devoted to the calculation of curved lines - involute. Keywords ideal track, standard track, involute, tangent, steeplechase

Čestné prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatně, pouze za odborného vedení vedoucího bakalářské práce Dr. Ing. Zdeňka Skořepy. Dále prohlašuji, že veškeré podklady, ze kterých jsem čerpal, jsou uvedeny v seznamu použité literatury. V Praze dne...... Matouš Vondráček

Poděkování Mé velké díky patří vedoucímu bakalářské práce Dr. Ing. Zdeňkovi Skořepovi za odborné vedení a pomoc při zpracování této práce. Dále bych chtěl poděkovat panu Ing. Lubomíru Smržovi za poskytnutá data a za vysvětlení problematiky atletických stadionů. Děkuji také mé rodině a přítelkyni za podporu při tvorbě bakalářské práce i během celého studia.

Obsah Úvod... 1 1. Sportoviště... 2 1.1 Rozměry... 3 2. Standardní ovál... 4 2.1 Ověření rozměrů standardního oválu... 6 2.2 Vyhodnocení kontrolních měření... 8 3. Značení standardního oválu... 10 4. Běžecké disciplíny... 11 5. Evolventa kružnice... 19 6. Projekt značení standardního oválu... 21 6.1 Tvorba výkresu... 21 6.2 Tvorba evolvent... 22 6.2.1 Breakline... 22 6.2.1.1 Breakline konstrukce z manuálu... 22 6.2.1.2 Breakline konstrukce pomocí Matlabu... 24 6.2.1.3 Breakpoint... 28 6.2.2 Starty závodů... 28 7. Stadion ve městě Haugesund... 34 7.1 Zaměření... 34 7.2 Zpracování zaměření... 34 7.2.1 Výpočet středů kružnicových oblouků... 34 7.2.2 Ověření rozměrů atletického oválu... 37 8. Steeplechase... 39 8.1 Vodní příkop uvnitř druhé zatáčky... 41 8.2 Ověření polohy a rozměrů vodního příkopu... 43 8.3 Projektování značení dráhy vedoucí přes vodní příkop... 44 8.4. Určení linií startů... 46 9. Příprava před vytyčováním... 49 Závěr... 50 Použitá literatura... 51 Seznam obrázků... 52

Seznam tabulek... 53 Seznam příloh... 54 Příloha č. 2... 55 Příloha č. 4... 56

Úvod Tato bakalářská práce (BP) se zabývá problematikou atletických oválů, konkrétně ověřením rozměrů oválu a vyznačením čar na jeho povrchu. S atletickými ovály v souvislosti s geodézií jsem se poprvé setkal při vytyčování polohy obrubníků oválu, jenž je součástí sportovního zařízení Vodranty, které se nachází v Čáslavi. Vytyčování jsem prováděl s bývalým kolegou z geodetické kanceláře AZIMUT CZ s.r.o. ing. Lubomírem Smržem. Pan Smrž, který se problematice atletických oválů věnuje již několik let, v současné době pracuje v německé firmě Polytan Sportstättenbau GmbH. Ta je jedním z největších výrobců a dodavatelů umělých povrchů pro sportovní zařízení po celém světě. Vzhledem k jeho zkušenostem z tohoto nevšedního odvětví geodézie jsem jej požádal, zda by mi objasnil zmíněnou problematiku a poskytl data, která jsou v této práci zpracována. je rozdělena do tří částí. V první části práce jsou popsána kritéria rozměrů oválu, vysvětlen pojem standardní ovál a popsán postup při ověřování jeho rozměrů. Druhá část je věnována značení standardního oválu. Jsou zde popsány polohy a vlastnosti jednotlivých čar pro konkrétní závody. Největší pozornost je věnována zakřiveným liniím, které jsou svými vlastnostmi specifické. V závěrečné části práce je popsáno ověřování rozměrů konkrétního atletického oválu a postup přípravy před samotným vytyčováním linií. 1

1. Sportoviště Mezinárodní asociace atletických federací (IAAF) vydala v roce 2008 příručku pro sportovní zařízení IAAF Track and Field Facilities Manual (manuál) [1]. V této příručce, která je oficiálně pouze v anglickém jazyce, jsou popsána kritéria a předpisy, které musí sportoviště splňovat. Všechny disciplíny lehké atletiky, kromě maratonského běhu a závodů v chůzi na dlouhé vzdálenosti, se odehrávají uvnitř sportovních arén. Základním prvkem každé arény je atletický ovál. Ovál je sportoviště navržené pro běžecké disciplíny, které se skládá ze dvou přímých úseků (rovinek) a dvou obloukových úseků (zatáček). Rozměry každého oválu jsou dány vnitřním obrubníkem, resp. jeho vnější hranou. Od obrubníku se odvíjí délka podél teoretické dráhy běhu (ideální stopy) v první dráze. Ideální stopa (IS) v první (nejbližší) dráze k obrubníku je teoretická dráha běžce ve vzdálenosti 0,30 m od obrubníku. Ovály se mezi sebou mohou lišit např. v délce rovinek nebo v poloměrech zatáček. Zatáčky některých oválů jsou dokonce složeny z částí oblouků o různých poloměrech. Všechny ovály by ovšem měly splňovat kritérium, že délka podél ideální stopy v první dráze je 400,00 m + 0,04 m. Sportoviště pro pořádání oficiálních závodů, jako jsou Letní olympijské hry (LOH), Mistrovství světa v lehké atletice (MS) a národní soutěže, jsou rozděleny do pěti konstrukčních kategorií (I V). Tyto kategorie nejsou vztaženy pouze k vybavení sportovišť pro běžecké disciplíny, ale i k vybavení pro další disciplíny (skokanské a vrhačské) a zázemí stadionu. Manuál také uvádí, jakou konstrukční kategorii musí sportoviště splňovat pro pořádání konkrétních závodů. 2

1.1 Rozměry Přestože existuje řada různých uspořádání 400 m oválu, cílem IAAF je vytvoření jednotných kritérií, a to nejen kvůli sportovcům, ale také kvůli zjednodušení konstrukce, zkoumání a certifikace zařízení. Zkušenosti ukázaly, že nejvhodnější 400 m oválné dráhy jsou konstruovány s poloměry zatáček mezi 35 m a 38 m, optimálně 36,50 m. IAAF doporučuje, aby všechny budoucí dráhy byly konstruovány tak, jak bylo uvedeno. Tento ovál se označuje jako "400 m Standard Track" (standardní ovál). 3

2. Standardní ovál Standardní ovál má výhodu jednoduché konstrukce, přímé úseky a zatáčky mají přibližně stejnou délku, a je tak nejvhodnější pro běžecký rytmus sportovců. Kromě toho, oblast uvnitř oválu je dostatečně velká, aby pojala všechny skokanské a vrhačské disciplíny nebo standardní fotbalové hřiště o rozměrech 68 m x 105 m. Plán standardního oválu je dán obdélníkem A, B, C, D a středy oblouků CP1, CP2 resp. M1, M2 (obr. 1). Obr. 1: Rozměry standardního oválu 4

Pro zjednodušení byly v dalším textu zatáčky a rovinky očíslovány ve směru běhu (proti směru hodinových ručiček). Zatáčka č. 1 má střed v bodě CP2 resp. M2 a je mezi body A a D. Zatáčka č. 2 má střed v bodě CP1 resp. M1 a je mezi body C a B. Rovinka č. 1 je mezi body D a C. Rovinka č. 2 je mezi body B a A. Standardní ovál se tedy skládá ze dvou půlkruhů, každý s poloměrem 36,5 m, které spojují dvě rovinky, každá o délce 84,39 m. Tyto rozměry určují vnější hranu obrubníku, resp. vnitřní okraj první dráhy. Obrubník by měl být bílý, vysoký 0,05 m 0,065 m a široký 0,05 m 0,25 m. Vnitřní okraj první dráhy je tedy dlouhý 398,116 m (= 2π 36,50 m + 2 84,39 m), kde číslo π je podle manuálu zaokrouhleno na hodnotu π = 3,1416. Ideální stopa běžce v první dráze, je linie měřená 0,30 m od obrubníku, má tedy délku 400,001 m (= 2π 36,80 m + 2 84,39 m). V každé další dráze je IS běžce měřena 0,20 m od vnitřní hrany dané dráhy (obr. 2). 1. lajna mezi 1. a 2. dráhou 2. obrubník 3. vzdálenost středu (7) a vnější hrany obrubníku (36,50 m) 4. vzdálenost středu a IS v první dráze (36,80m) 5. vzdálenost středu a vnější hrany lajny mezi 1. a 2. dráhou (37,72 m) 6. vzdálenost středu a IS v druhé dráze (37,92 m) 7. střed půlkruhu Obr. 2: Ideální stopy 5

Standardní ovál obsahuje 8 oválných a 8 rovných drah. Dráhy jsou číslovány vzestupně směrem od vnitřního obrubníku. Rovné dráhy pro závody na 100 m a 110 m překážek jsou prodloužením druhé rovinky směrem od cíle. Cílová čára se nachází na konci druhé rovinky, začíná v bodě A (obr. 1) a je vyznačena kolmo přes všechny dráhy. Každá běžecká dráha je široká 1,22 m ± 0,01 m, měřeno od vnější hrany sousední levé dráhy (v první dráze od obrubníku). V šířce dráhy je zahrnuta i vnější bílá čára (lajna 1 ), široká 0,05 m. Standardní ovál musí mít také bezpečnostní zóny široké 1,00 m na vnitřní i vnější straně oválu. Dále je požadovaný 3,00 m dlouhý prostor před startovní čarou závodu na 110 m překážek (obr. 1 vlevo od bodu B) a minimálně 17,00 m dlouhý doběhový prostor za cílem (obr. 1 vpravo od bodu A). Standardní ovál musí obsahovat zabudovaný vodní příkop o rozměrech 3,66 m x 3,66 m a hloubce 0,50 m 0,70 m. Příkop musí být umístěný uvnitř nebo vně druhé zatáčky (kap. 9). 2.1 Ověření rozměrů standardního oválu Rozměry standardního oválu se ověřují dle manuálu provedením 28 měření (obr. 3). Pro tato měření je nutné znát středy oblouků. Obr. 3: Kontrolní měření na standardním oválu 1 Lajna je ve sportovním slangu pojmenování pro čáru na hřišti (sportovišti). 6

Středy oblouků (CP1, CP2 resp. M1, M2) by měly být podle manuálu stabilizovány (obr. 4) kovovými trubkami o průměru cca 12 mm, odolnými proti korozi. Trubky by měly být stabilizovány v základech začínajících v hloubce minimálně 1,0 m, aby se zabránilo pohybu vlivem teplotních změn. Horní hrana základů by se měla nacházet 0,20 m pod konečným povrchem. Vrchol trubky by měl být 0,15 m nad konečným povrchem a zakryt ochranným prvkem. 1. vrchol z nerezavějící oceli 2. prstenec ocelového lůžka 3. ocelové lůžko v maltě ve vertikální poloze 4. ocelový tubus v betonových základech 5. štěrkopísek Obr. 4: Stabilizace středů Na starších stadionech často nejsou středy stabilizovány. Středy oblouků se tedy určují početně z měření a případně se dočasně signalizují (kap. 7.2.1). 7

2.2 Vyhodnocení kontrolních měření Rozměrová přesnost standardního oválu vyžadována pro všechny konstrukční kategorie IAAF se považuje za splněnou, pokud je dosaženo následujících hodnot v rámci kontrolního měření (obr. 3): 1. Vzdálenost středů oblouků (CP1, CP2 resp. M1, M2) je 84,390 m ± 0,005 m. 2. Vzdálenosti mezi body na začátku a konci obou rovinek (13 resp. 26) je 84,390 m ± 0,005 m. 3. Vzdálenost od středu k bodu na vnější hraně obrubníku příslušného oblouku je 36,500 m ± 0,005 m. Kontrolní body na jednotlivých půlkruzích (1-12 resp. 14-25) by měly být mezi sebou vzdáleny přibližně 10,42 m (měřeno po obrubníku). 4. Vyrovnání obrubníku v prostoru obou rovinek (27 resp. 28) by nemělo překročit hodnotu 0,01 m dvou naměřených hodnot. Naměřené hodnoty musí být zaznamenány a vyhodnoceny dle manuálu způsobem patrným z obr. 5. 8

Obr. 5: Vyhodnocení kontrolního měření Pokud jsou jednotlivé odchylky v intervalu < -0,005 m, +0,005 m > a celková odchylka délky oválu je v intervalu < 0, 0,04 m >, lze označit ovál za standardní. 9

3. Značení standardního oválu Součástí manuálu je IAAF 400 Metre standard track, Marking Plan (plán značení standardního oválu), který je k nahlédnutí v příloze č. 1. V plánu značení jsou vyznačeny a popsány barevná provedení všech čar, které musí na standardním oválu být. Běžecké dráhy jsou vyznačeny bílými vodícími čarami. Lajna na pravé straně (ve směru běhu) každé dráhy je zahrnuta v měření šířky dané dráhy. Všechny startovní čáry, s výjimkou zakřivených startů, a cílová čára musí být vyznačeny v pravém úhlu k vodícím čárám. Všechny čáry jsou 0,05 m široké. Vzdálenosti závodů jsou měřeny vždy ve směru hodinových ručiček od hrany cílové čáry blíže ke startu až po hranu startovní čáry vzdálenější od cíle. Povolená odchylka délky každého závodu je v intervalu < 0,00, 0,0001L >, kde L je délka závodu v metrech. (Z této podmínky vyplývá i maximální povolená odchylka oválu 400 m + 0,04 m.) 10

4. Běžecké disciplíny Pro pochopení značení je třeba znát průběh všech běžeckých disciplín, které se na oválu konají. Současné běžecké disciplíny lehké atletiky se rozdělují do pěti kategorií sprinty, středně dlouhé tratě, dlouhé tratě, překážkové závody a závody štafet. 1. Sprinty Jako sprinty se označují závody na 100 m, 200 m a 400 m. Všechny tyto závody se startují ze startovních bloků. Každý závodník běží celý závod ve své dráze. Jelikož se vzrůstajícím číslem dráhy se zvětšuje i poloměr oblouků v dané dráze, jsou starty v 2. - 8. dráze posunuty. Posun startů se provádí vždy tak, aby délka do cíle podél IS dané dráhy byla stejná jako podél IS v dráze první. 1a) Závod na 100 m Závod na 100 m se běhá celý na přímém úseku k tomu určeném. Tím je prodloužení 2. rovinky. 1b) Závod na 200 m Závod na 200 m se běhá již v drahách oválu, konkrétně druhé zatáčky a druhé rovinky. Start v první dráze je umístěn na konci 1. rovinky (obr. 1 - bod C). Vzdálenost 200 m od cíle ke startu podél IS je tedy 84,39 m + 36,80 m π = 200,001 m. Starty v 2. 8. dráze jsou posunuty ve směru běhu podél IS dané dráhy (tab. 1). 1c) Závod na 400 m Start závodu na 400 m je v první dráze totožný s cílovou čarou. Vzdálenost 400 m od cíle ke startu podél IS v první dráze je tedy 2 (84,39 m + 36,80 m π) = 400,001 m. Starty v 2. 8. dráze jsou posunuty ve směru běhu podél IS dané dráhy (tab. 1). 11

Tab. 1: Posunuté starty závodů (hodnoty v m) 2. Středně dlouhé tratě Jako středně dlouhé tratě jsou označeny závody na 800 m, 1000 m, 1 500 m, 1 míly, 2 000 m a 3 000 m. Závody na 800 m a 1 500 m se konají například na MS a LOH. Zbylé disciplíny nejsou tolik obvyklé. 2a) Závod na 800 m Při závodě na 800 m běžci obkrouží ovál celkem dvakrát. Závod na 800 m je specifický v tom, že závodníci startují každý ve své dráze (bez startovních bloků) a na začátku první rovinky se sbíhají do první dráhy. Místo, kde se mohou začít sbíhat, je vyznačeno zelenou čarou souběhu (angl. Breakline). Breakline je navržena tak, aby od ní do cíle byla vzdálenost pro všechny běžce stejná. Toto kritérium zaručuje křivka evolventa. Délka podél IS v první dráze je tedy 2 x 400 m. Starty v 2. 8. dráze jsou posunuty ve směru běhu podél IS (tab. 1). 2b) Závody na 1 500 m a 1 míly Startovní čáry závodů na 1 500 m a 1 míly jsou křivky. Z těchto křivek se závodníci ihned po startu sbíhají do první dráhy. Startovní čáry mají vlastnosti evolventy. Poloha startů těchto závodů bude vysvětlena v kapitole 6.2.2. 12

2c) Závody na 1 000 m a 3 000 m Starty závodů na 1 000 m resp. 3 000 m jsou totožné se startem závodu na 5 000 m (viz. kap. 4, odst. 3a). 2d) Závod na 2 000 m Start závodu na 2 000 m je totožný se startem závodu 10 000 m (viz. kap. 4, odst. 3b). 3. Dlouhé tratě Jako dlouhé tratě se označují závody na 5 000 m a 10 000 m. Tyto závody jsou olympijskými disciplínami. 3a) Závod na 5 000 m Start závodu na 5 000 m (1 000 m, resp. 3 000 m) je vyznačen křivkou u bodu C (obr. 6). Z této křivky se závodníci ihned po startu sbíhají do první dráhy. Křivka má vlastnosti evolventy. Ze startovní čáry může startovat maximálně 12 závodníků. Pro případ vyššího počtu závodníků je vytvořena další, posunutá, startovní čára. Ta je vyznačena přes čtyři vnější dráhy (obr. 6). Z této startovní čáry se sbíhá druhá skupina závodníků do páté dráhy, ve které běží až na začátek druhé rovinky. Zde je signalizován bod souběhu (angl. Breakpoint). Breakpoint splňuje stejné vlastnosti jako Breakline. Je to vlastně bod evolventy, stejně vzdálený od začátku druhé rovinky, jako Breakline v témže bodě od začátku rovinky první. Od tohoto bodu se závodníci běžící v páté dráze (druhá skupina) mohou sbíhat do dráhy první. Zbytek závodu již všichni závodníci běží v první dráze. Rozdíl v závodech na 5 000 m (1 000 m, resp. 3 000 m) je pouze v počtu uběhnutých kol. 13

Obr. 6: Starty závodu na 5 000 m (1 000 m, 3 000 m) 3b) Závod na 10 000 m Start závodu na 10 000 m resp. 2 000 m je vyznačen křivkou u bodu A (obr. 7). Z této křivky se závodníci ihned po startu sbíhají do první dráhy. Křivka má vlastnosti evolventy. Ze startovní čáry může startovat maximálně 12 závodníků. Pro případ vyššího počtu závodníků je vytvořena další, posunutá, startovní čára. Ta je vyznačena přes 4 vnější dráhy. Začátek této křivky navazuje na začátek startovní čáry 14

závodu na 800 m v páté dráze. Ze startovní čáry se sbíhá druhá skupina závodníků do páté dráhy, ve které běží až na začátek první rovinky. Zde se od Breakline závodníci běžící v páté dráze mohou začít sbíhat do dráhy první. Zbytek závodu již všichni závodníci běží v první dráze. Rozdíl v závodech na 10 000 m (2 000 m) je pouze v počtu uběhnutých kol. Obr. 7: Starty závodu na 10 000 m (2 000 m) 15

4. Překážkové závody Jako překážkové závody jsou označeny závody, ve kterých závodníci musejí při běhu skákat přes překážky. Konkrétně to jsou závody na 100 m překážek, na 110 m překážek, na 400 m překážek a Steeplechase. 4a) Závod na 100 m překážek Tento závod je určen pouze pro ženy. Odehrává se na prodloužené 2. rovince, kdy každá závodnice startuje z bloků a běží ve své dráze, ve které je rozmístěno 10 překážek. Vzdálenosti mezi překážkami a jejich rozměry jsou uvedeny v manuálu (tab. 2). 4b) Závod na 110 m překážek Tento závod je určen pouze pro muže. Odehrává se na prodloužené 2. rovince, kdy každý závodník startuje z bloků a běží ve své dráze, ve které je rozmístěno 10 překážek. Vzdálenosti mezi překážkami a jejich rozměry jsou uvedeny v manuálu (tab. 2). 4c) Závod na 400 m překážek Při závodě každý závodník startuje z bloků a běží ve své dráze. Starty jsou totožné se starty při závodu na 400 m. V každé dráze je rozmístěno 10 překážek. Vzdálenosti mezi překážkami a jejich rozměry jsou uvedeny v manuálu (tab. 2). Tab. 2: Překážkové závody (hodnoty v m) 16

4d) Závod Steeplechase (běh na 3 000 m resp. 2 000 m překážek) Závod Steeplechase existuje ve dvou variantách, 3000 m (LOH, MS) a 2000 m. Při tomto závodě závodníci překonávají v rámci jednoho okruhu 4 překážky a zabudovaný vodní příkop. Starty závodů Steeplechase jsou vyznačeny křivkou. Její poloha ovšem není pevně daná. Upravuje se podle zkrácení resp. prodloužení standardní dráhy o dráhu uběhnutou přes vodní příkop. Tento závod je popsán v samostatné kapitole 8. Pozice (obr. 20, resp. obr. 22) a rozměr (obr. 21) překážek jsou dány manuálem. 5. Závody štafet Jako závody štafet se označují závody na 4x 100 m a 4x 400 m. Těchto závodů se účastní čtyřčlenná družstva, jejichž členové si v průběhu závodu předávají mezi sebou štafetový kolík. Kolík musí být předán v tzv. předávkovém území. U štafety na 4x 100 m je před předávkovým územím vyznačeno ještě území pro akceleraci. 5a) Štafeta 4x 100 m Při tomto závodu si všichni běžci mezi sebou předají štafetový kolík v rámci jednoho okruhu. Celý závod běží každé družstvo v jedné dráze. Starty závodu jsou totožné se starty závodu na 400 m. První běžci startují ze startovních bloků. Vzdálenost mezi startem a cílem podél IS každé dráhy je rozdělena na 4 stejně dlouhé úseky (100 m), které jsou na dráze vyznačeny. Ve vzdálenosti 10,00 m před i za čarami rozdělujícími dráhu na 100 m úseky je vyznačeno předávkové území. 10,00 m před začátkem každého předávkového území je vyznačeno území pro akceleraci druhých (třetích, resp. čtvrtých) běžců. 17

5b) Štafeta 4x 400 m Při tomto závodě si všichni běžci předají kolík po uběhnutí celého kola. Start závodu v první dráze je totožný se startem závodu na 400 m. Starty v 2. 8. dráze jsou posunuty ve směru běhu podél IS konkrétní dráhy (tab. 1). První běžci startují ze startovních bloků a běží celé kolo ve své dráze. Pro předání štafetového kolíku mezi prvním a druhým běžcem je vyznačeno 20 m dlouhé předávkové území, které je vyznačeno liniemi 10 m před a 10 m za starty závodu na 800 m. Druhý běžec běží od předávky ve své dráze až k Breakline, odkud se může začít sbíhat do dráhy první. V té závod pokračuje až do konce. Pro další předávky je vyznačen začátek předávkového území 10 m před cílem přes všechny dráhy. Konec předávkého území je vyznačen rovnoběžně s cílem ve vzdálenosti 10 m od něj, ovšem pouze přes 2. 5. dráhu. V první dráze zůstává značení předávkového území stejné, tedy kolmo k vodícím čarám. 18

5. Evolventa kružnice Evolventa kružnice: Při valení tečny (o délce r φ) po dané kružnici (obr. 8) opisuje každý koncový bod tečny evolventu kružnice. Rovnice evolventy kružnice je x = r(cos φ + φ sin φ) y = r(sin φ φ cos φ), (1) kde r je poloměr dané kružnice, φ je úhel odvalení Rovnice evolventy kružnice v polárních souřadnicích podle obr. 8 je φ = α + δ r φ = r (α + δ) = r tan α δ = tan α α tan α = ρ2 r 2 r = ρ2 r 2 1 δ = tan α α = ρ2 r 2 1 arctg ρ2 r 2 1 19

Obr. 8: Evolventa kružnice Z obr. 8 je patrné, že délka tečny evoluty, resp. normály evolventy se rovná t = r φ a délky oblouku kružnice (evoluty) se rovná také d = r φ. 20

6. Projekt značení standardního oválu Pro potřeby realizace značení standardního oválu byl vytvořen výkres (projekt). K tvorbě projektu byl zvolen CAD software Microstation V8 XM Edition (MS). V něm byl projekt konstruován ve skutečné velikosti podle hodnot z plánu značení. Výhodou digitálního projektu je, že z něj lze kdykoliv získat souřadnice požadovaného bodu nebo linie a následně je exportovat například do výpočetního systému Groma, se kterým MS komunikuje. Další výhodou je přehlednost projektu. Všechny linie a body digitálního výkresu byly umístěny do příslušných vrstev. Ty lze dle potřeby snadno zobrazovat nebo skrývat. 6.1 Tvorba výkresu Při vytváření projektu byly nejprve konstruovány prvky, které lze v MS snadno nakreslit. Nejdříve byly vytvořeny středy oblouků a linie obrubníku standardního oválu. Poté následovala konstrukce linií všech vodících čar oválných drah a drah prodloužené druhé rovinky. Na ní byly zkonstruovány linie startů závodů na 100 m a 110 m překážek a linie cíle. Poté byly vytvořeny teoretické dráhy běhu ve všech oválných drahách. Ty byly vytvořeny pro potřebu konstrukce posunutých startů a pozic překážek v 2. 8. dráze. Dále byly vytvořeny posunuté starty závodů na 200 m, 400 m, 800 m a závodu štafet na 4x 400 m (tab. 1). Následovalo vytvoření potřebných linií pro štafetové závody vyznačení 100 m úseků (závod na 4x 100 m), všech předávkových území a území pro akceleraci. Nakonec byly vytvořeny linie pozic překážek pro všechny zmíněné překážkové závody, kromě vodního příkopu. Jeho poloha je dána skutečným stavem na konkrétním oválu. 21

6.2 Tvorba evolvent Při tvorbě evolvent bylo nutné provést výpočty souřadnic bodů určujících tyto křivky. K výpočtům byl použit software pro vědeckotechnické výpočty MATLAB. V něm byly naprogramovány veškeré výpočty a pro kontrolu zobrazeny i graficky. Pro správné umístění křivek do projektu bylo nutné určit souřadnice středů oblouků jak v MS, tak v Matlabu stejné. Jako souřadnice středů oblouků byly zvoleny hodnoty: X Y S1 200 200 S2 200 284,39 Celý dosud vytvořený projekt v MS byl tedy otočen o 90 (ve směru hodinových ručiček) a posunut do středů oblouků o zvolených souřadnicích. 6.2.1 Breakline 6.2.1.1 Breakline konstrukce z manuálu První křivkou evolventou, která byla v textu této BP zmíněna je Breakline (křivka souběhu). Pro konstrukci této křivky je návod uveden v manuálu (obr. 9, tab. 3). Breakline byla v MS zkonstruována podle tohoto návodu ještě před výše zmíněným otočením. Nevýhodou konstrukce Breakline tímto způsobem je, že je známo pouze 8 jejích bodů, není tedy možné určit průsečík této křivky s lajnou ohraničující osmou dráhu, a proto by nebylo možné ji na povrchu oválu vyznačit celou. 22

Obr. 9: Evolventa Tab. 3: Evolventa (jednotky m/gon) X Y H T Rd C a D vzdálenost od středu R2 k bodu D1-D8 (průsečík IS se začátkem 2. Rovinky) vzdálenost od středu R1 k bodu D1-D8 vzdálenost od bodu T2-T8 k bodu D2-D8 tečný bod vzdálenost Breakline od začátku 2. Rovinky body na obrubníku oválu 23

6.2.1.2 Breakline konstrukce pomocí Matlabu Z rovnice evolventy (1) je patrné, že do výpočtu souřadnic vstupují dvě neznámé. Těmi jsou poloměr evoluty r a úhel odvalení φ. Hodnota poloměru evoluty vyplývá z faktu, že se všichni běžci sbíhají do první dráhy, platí tedy r = 36,80 m. Pro výpočet souřadnic libovolného bodu Breakline byl vytvořen výpočetní skript v programu Matlab. Pomocí něj byly zkonstruovány a graficky zobrazeny body breakline vytvořené podle manuálu. Pro druhý způsob vytvoření breakline byl v témže skriptu vytvořen výpočet souřadnic bodů evolventy podle uvedených vzorců (1). Do nich vstupovaly hodnoty r = 36,80 m a úhel odvalení φ byl zvolen v intervalu < 0, 50 g > s krokem 1 mgon. K vypočteným souřadnicím byly připočteny hodnoty souřadnic středu evoluty S1. Hodnota horní meze intervalu úhlu odvalení byla experimentálně určena tak, aby se body na konci evolventy nacházely mimo ovál. Tím byla zaručena možnost vytvoření průsečíku evolventy a vodící čáry osmé dráhy. Oba tyto výpočty byly pro ověření správnosti zobrazeny graficky v podobě barevných linií (obr. 10). Obr. 10: Evolventa - chybný výpočet (detail) 24

Z obrázku č. 10 je patrné, že se obě křivky značně liší. Jelikož konstrukce pomocí manuálu byla považována za správnou, byl druhý způsob konstrukce evidentně chybný. Bylo tedy nutné zamyslet se, k jaké evolutě je Breakline vlastně evolventou. Odpověď na tuto otázku vyplývá z obrázku č. 9. Breakline je evolventou k IS běžce v první dráze druhé zatáčky se středem S2. V předchozím výpočtu bylo milně uvažováno, že jde o evolventu k první zatáčce se středem S1. Zavedení tohoto faktu do výpočtu ovšem nemá vliv na změnu tvaru vytvořené křivky, pouze na její polohu (obr. 11). Obr. 11: Evolventa - chybný výpočet (posun) Při dalších úvahách bylo zjištěno, že je potřeba najít takovou část evolventy, kdy délka její normály má hodnotu délky rovinky, tedy 84,39 m. Pokud je známa hodnota t (délka normály evolventy, resp. tečny evoluty), lze ze vzorce t = r φ vypočítat potřebný úhel odvalení φ = t/r. Breakline je tedy část evolventy, jejíž začátek je při hodnotě úhlu odvalení φ = 84,39 = 2,293207 rad = 145,9901 gon. 36,80 25

Byly vypočteny souřadnice části evolventy pro hodnotu φ < 145,9901 gon, 175 gon > s krokem 1 mgon. Část evolventy pro uvedený interval úhlu odvalení φ se nachází v obecné poloze. Pro správné umístění vypočtené části evolventy musely být souřadnice jejích bodů transformovány otočením o úhel α, který má stejnou hodnotu jako úhel odvalení φ a následně posunuty o hodnoty souřadnic středu její evoluty. Vše je patrné následujících obrázků (obr. 12, obr. 13, obr. 14). Hodnota horní meze intervalu úhlu odvalení byla opět určena experimentálně pro možnost vytvoření průsečíku evolventy s vodící čarou osmé dráhy. Obr. 12: Evolventa - část křivky v obecné poloze 26

Obr. 13: Evolventa - Breakline Obr. 14: Evolventa - Breakline (detail) 27

Po ověření správnosti výpočtu, byl program upraven tak, aby jeho výstupem byly body Breakline ve vzdálenosti 0,4 m od sebe. Tím byl získán dostačující počet bodů pro její realizaci v MS. Souřadnice bodů byly očíslovány, uloženy do textového souboru a následně pomocí systému Groma importovány do MS. V MS byly body spojeny aproximační křivkou B-spline. Pro zjištění rozdílu mezi body Breakline vytvořenými pomocí manuálu a linií Breakline tvořenou body z Matlabu byla zvolena funkce Změřit vzdálenost: Podél prvku. Tímto prvkem byla vždy linie souběhu z 2. 8. dráhy do první. Rozdíly byly tedy měřeny 7krát. Hodnoty rozdílů se pohybovaly v řádech 10-4 m, které jsou s největší pravděpodobností způsobeny zaokrouhlením veličin pro konstrukci Breakline způsobem daným manuálem. Posledním krokem bylo vytvoření průsečíků Breakline s liniemi vodicích čar 1. a 8. dráhy. Souřadnice těchto průsečíků byly exportovány do Gromy a uloženy v seznamu souřadnic. B-spline křivka byla následně zkrácena k těmto průsečíkům, tak aby odpovídala plánu značení. 6.2.1.3 Breakpoint Vytvoření bodu souběhu (Breakpoint) bylo provedeno pouze v prostředí MS. Pro určení jeho polohy byla použita vytvořená Breakline. Nejprve byla změřena vzdálenost od začátku první rovinky k Breakline podél vodicí čáry mezi 4. a 5. dráhou. Linie o zjištěné vzdálenosti byla nanesena podél té samé vodicí čáry od počátku druhé rovinky. V průsečíku linie a vodící čáry byl vytvořen Breakpoint. 6.2.2 Starty závodů Pro další výpočty zbylých evolvent je nutné zamyslet se, zda běžec v první dráze běží již po tečně nějaké evoluty, nebo přímo po evolutě. 28

Pokud běží po tečně, je nutné určit její délku a z ní úhel odvalení v počátečním bodě evolventy. Zatímco pokud běží přímo po evolutě, je počátek evolventy přímo na ní. Úhel odvalení je tedy roven nule. Není-li uvedeno jinak, byly vždy následující výpočty upraveny tak, aby jejich výstupem byly souřadnice bodů, které jsou mezi sebou vzdáleny 0,4 m. Horní meze intervalů úhlů odvalení byly voleny experimentálně pro potřebu určení průsečíků evolvent s vodící linií osmé dráhy. Starty závodů na 5 000 m a 10 000 m Z popisu průběhu závodů na 5 000 m a 10 000 m vyplývá, že tvary křivek určující starty těchto závodů jsou stejné. Jediným rozdílem mezi evolventami je, že se každá vztahuje k jiné evolutě, ovšem o stejném poloměru. Pro start závodu na 5 000 m je evolutou IS první dráhy v druhé zatáčce, zatímco pro start závodu na 10 000 m je evolutou IS první dráhy v první zatáčce (obr. 15). Jak bylo zmíněno v předchozím odstavci, je nutné určit, zda běžec v první dráze běží po tečně nebo přímo po evolutě. Ze startovní čáry obou těchto závodu běží závodník v první dráze přímo po evolutě. Proto je počátek obou startovních linií při hodnotě odvalení φ = 0. Do výpočtu souřadnic výše uvedených startů vstupuje hodnota poloměru evolut r = 36,80 m a úhel odvalení φ je v intervalu < 0, 50 gon >. Posunuté starty závodů na 5 000 m a 10 000 m Linie startů těchto závodů mají opět stejný tvar a jsou tedy evolventami k evolutám o stejných poloměrech. Konkrétně jsou to IS v pátých drahách oválu. Jak bylo zmíněno v kap. 4 (odst. 3a, odst. 3b) jsou tyto křivky posunuty podél IS běhu páté dráhy v první, resp. v druhé zatáčce (obr. 15). Tento posun je v obou případech od začátku příslušné zatáčky ve směru běhu a má hodnotu 15,151 m. 29

Běžci se sbíhají do páté dráhy, z tohoto faktu vyplývá hodnota poloměrů evolut r = 41,58 m. Závodník v páté dráze běží přímo po evolutě, počáteční hodnota intervalu úhlu odvalení φ je tedy 0. Hodnota horní meze byla určena na 33 gon. Pro správnou polohu začátku křivky ji bylo nutné ještě transformovat, resp. otočit podél evoluty o úhel α = 15,151 = 0,364382 rad = 23,1973 gon. 41,58 Obr. 15: Starty závodů (5 000 m, 10 000 m) Start závodu na 1 500 m Při výpočtu souřadnic startu závodu na 1 500 m se postupovalo, jako kdyby běžci běželi od cíle ke startu. Běžci uběhnou 3 celá kola, dohromady tedy 1 200 m. Do naplnění délky závodu tedy chybí 300 m. Od této hodnoty byly postupně odečteny délky celých úseků oválu, které běžci musejí ještě uběhnout. Konkrétně tedy druhá rovinka (84,39 m), délka druhé zatáčky ( π 36,80 m = 115,611 m) a délka první rovinky (84,39 m). Rozdíl vzdálenosti 30

ke startu (300 m) a součtu délek celých úseků je tedy 300 284,391 = 15,609 m. Z výše uvedeného výpočtu je patrné, že start závodu se nachází ve vzdálenosti 15,609 m před koncem první zatáčky měřeno podél IS v první dráze. Jelikož se běžci sbíhají do první dráhy, poloměr evoluty je r = 36,80 m. Běžec v první dráze navíc běží přímo po evolutě, interval úhlu odvalení začíná na hodnotě 0 gon. Horní hodnota intervalu byla určena na 50 gon. Po importu bodů do MS a spojení bodů B-spline křivkou bylo provedeno kontrolní měření délek. Při něm bylo zjištěno, že délka podél IS v první dráze vyhovuje požadované vzdálenost 300 m. Ovšem vzdálenost od bodu v 8. dráze, běžena nejprve po tečně a poté podél IS první dráhy, požadované vzdálenosti nevyhovovala. Vzdálenost byla dlouhá 299,083 m, tedy o 0,917 m kratší, než bylo požadovaných 300 m. Při vyhodnocování výpočtů, bylo zjištěno, že se startovní čára závodu na 1 500 m skládá ze dvou evolvent. První (kratší) je část evolventy k IS v první dráze první zatáčky, posunutá proti směru běhu podél zmíněné IS o 15,609 m, resp. o úhel α = 15,609 = 0,424158 rad = 27,0027 gon. Druhá (delší) je část evolventy k IS v první dráze druhé zatáčky. Tato evolventa začíná v bodě na startu, ze kterého závodník může běžet rovně až nakonec první rovinky. Běží tedy rovnou po tečně o délce t = 84,39 m + 15,609 m = 99,999 m. Postup výpočtu souřadnic bodů této evolventy je totožný s postupem u Breakline. V tomto případě je také evolutou IS v první dráze druhé zatáčky. Rozdílná je pouze délka tečny t, z níž je vypočítán potřebný úhel φ = 99,999 = 2,717364 rad = 36,80 36,80 172,9928 gon. Do výpočtu souřadnic vstupoval poloměr evoluty r = 36,80 m a úhel odvalení φ v intervalu < 172,9928 g, 200 g >. Křivka byla následně otočena o úhel α, rovnající se úhlu φ. Tato problematiky je patrná z obrázků č. 16 a 17. 31

Obr. 16: Evolventa - Start závodu na 1 500 m Obr. 17: Evolventa - Start závodu na 1 500 m (detail) 32

Souřadnice částí obou evolvent byly importovány do MS. Body první křivky (modře) byly spojovány pomocí B-spline až k počátečnímu bodu druhé křivky (červeně). Odtud pokračovala B-spline po bodech druhé křivky. Následná kontrola vzdáleností provedených v MS potvrdila správnost výpočtů. Start závodu na 1 míly Délka jedné míle odpovídá 1 609,344 m. Z uvedeného údaje je patrné, že při závodu uběhne běžec 4 celá kola, tj. 1 600 m. Do splnění vzdálenosti tedy zbývá 9,344 m, což je také délka tečny t. Startovní čára tohoto závodu je na první pohled část evolventy k IS první dráhy v první zatáčce (obr. 18). Požadovaná část křivky má počátek při úhlu odvalení φ = 9,344 = 36,80 0,253913 rad = 16,1646 gon. Do výpočtu souřadnic startovní čáry tohoto závodu vstupuje poloměr evoluty r = 36,80 m a úhel odvalení φ v intervalu < 16,1646 gon, 60 gon >. Pro správné umístění křivky do výkresu následovalo otočení o úhel α, rovnající se úhlu odvalení φ. Obr. 18: Start závodu na 1 míly 33

7. Stadion ve městě Haugesund 7.1 Zaměření Zaměření skutečného stavu atletického oválu, nacházejícího se v norském městě Haugesund, bylo provedeno ing. Lubošem Smržem. Na oválu proběhla renovace jeho povrchu (retoping) a bylo tedy nutné znovu vyznačit potřebné linie čar. Pro zaměření skutečného stavu oválu a následné vytyčování bylo nutné vybudovat vytyčovací síť. Ta byla realizována šesti body (4001 4006), které byly signalizovány odraznými fóliemi nalepenými na zábradlí kolem atletické dráhy. Body byly rovnoměrně rozmístěny, vždy přibližně na začátku, uprostřed a na konci obou oblouků. Měření totální stanicí (TS) bylo provedeno z bodu 9001 (přechodné stanovisko), který byl přibližně uprostřed plochy uvnitř oválu. V první fázi byly pomocí prostorové polární metody vypočteny souřadnice bodů (4001 4006) vztahující se k poloze TS (místní síť). Následně byly metodou Volné stanovisko určeny souřadnice polohy TS v místní síti. Jako orientace byly použity zmíněné body (4001 4006). Poté bylo provedeno zaměření skutečného stavu oválu. Pro ověření rozměrů oválu byl zaměřen vnitřní obrubník. Pro ověření rozměrů bezpečnostní zóny vně oválu, byly zaměřeny maximální možné rozměry umělého povrchu. Nakonec byly zaměřeny tři lomové body vodního příkopu a oba podstavce pro překážku před ním. 7.2 Zpracování zaměření Body ze zaměření byly poskytnuty v textovém souboru (příloha č. 2), který byl importován prostřednictvím systému Groma do MS (obr. 19). 7.2.1 Výpočet středů kružnicových oblouků Z neuvedených důvodů nebyly zaměřeny středy oblouků oválu. S největší pravděpodobnostní nebyly při původní konstrukci stadionu stabilizovány. 34

Vzhledem k těmto skutečnostem, bylo nutné středy oblouků určit početně. Určení proběhlo metodou nejmenších čtverců pomocí zaměřených bodů vnitřního obrubníku. Výpočet touto metodou byl realizován v programu Matlab za použití následujících vzorů: Středová rovnice kružnice: (x x s ) 2 + (y y s ) 2 = r 2, kde x s, y s jsou souřadnice středu kružnice r je poloměr kružnice tvar po úpravě: x 2 2xx s + x s 2 + y 2 2yy s + y s 2 = r 2 dále se označí: D = 2x s E = 2y s F = x s 2 + y s 2 r 2 = 1 4 (D2 + E 2 ) r 2 souřadnice středu: S [x s ; y s ] S 1 1 D; E 2 2 hodnota poloměru: r = 1 2 D2 4F + E 2 středová rovnice po substituci: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 vyrovnání zprostředkujících měření metodou MNČ: x 1 y 1 1 x 2 2 D 1 + y 1 x 2 y 2 1 E = x 2 2 2 + y 2 A x = b.... x n y n 1 F x 2 2 n + y n x = (A T A) T A T b 35

Výpočtem byly zjištěny vyrovnané souřadnice středů a poloměry obou kružnicových oblouků oblouk (zatáčka) střed X [m] Y [m] poloměr r [m] 1. S1 195,338 49,931 36.5026 2. S2 210,528 132,938 36.5007 Vypočtené souřadnice středů oblouků byly přidány do seznamu souřadnic a zobrazeny (obr. 19.). Obr. 19: Stadion Haugesund - skutečný stav černě body na obrubníku a body maximálního rozměru umělého povrchu modře body vodního příkopu a překážky před ním červeně body orientací a stanoviska zeleně vypočtené body středů oblouků 36

7.2.2 Ověření rozměrů atletického oválu Vyhodnocení rozměrů oválu bylo provedeno ve výpočetním systému Groma postupem patrným z obrázku č. 5 a zaznamenáno v tabulce č. 4. Měření Naměřená vzdálenost [m] Odchylka od požadované vzdálenosti [mm] 1: S1 114 36,503 + 3 2: S1 115 36,503 + 3 3: S1 116 36,504 + 4 4: S1 117 36,502 + 2 5: S1 118 36,501 + 1 6: S1 119 36,505 + 5 7: S1 120 36,503 + 3 8: S1 121 36,501 + 1 9: S1 122 36,504 + 4 10: S1 123 36,502 + 2 11: S1 124 36,504 + 4 12: S1 125 36,501 + 1 Průměr měření 1 12 + 33 / 12 = + 2,75 14: S2 101 36,501 + 1 15: S2 102 36,501 + 1 16: S2 103 36,497-3 17: S2 104 36,502 + 2 18: S2 105 36,503 + 3 19: S2 106 36,498-2 20: S2 107 36,500 ± 0 21: S2 108 36,501 + 1 22: S2 109 36,503 + 3 23: S2 110 36,497-3 24: S2 111 36,501 + 1 25: S2 112 36,501 + 1 Průměr měření 14 25 + 5 / 12 = + 0,42 Výpočet délky IS z průměrné odchylky [m] 1. oblouk 0,00275 x 3,1416 = + 0,0086 2. oblouk 0,00042 x 3,1416 = + 0,0013 13: 125 101 84,392 + 2 26: 112 114 84,389-1 2 rovinky Součet měření 13 a 26 + 1 + 0,0010 37

Odchylka od délky IS [m] 1. oblouk + 0,0086 2. oblouk + 0,0013 2 rovinky + 0,0010 celkem + 0,0109 maximální povolená odchylka + 0,040 Tab. 4: Ověření rozměrů oválu Dále byla ověřena vzdálenost mezi vypočtenými středy oblouků. Ty jsou od sebe vzdáleny 84,385 m a splňují tedy požadovanou přesnost 84,390 m ± 0,005 m. 38

8. Steeplechase Jak již bylo uvedeno, pro potřeby vyznačení linie startu běhu na 3 000 m (resp. 2 000 m) překážek, je nutné znát skutečnou polohu vodního příkopu na oválu. Existují dvě možnosti pro umístění vodního příkopu, které jsou dány manuálem: 1. Vodní příkop je umístěn uvnitř druhé zatáčky (obr. 20). Toto umístění je častější. Obr. 20: Vodní příkop uvnitř druhé zatáčky Uvnitř druhé zatáčky je vytvořena dráha skládající se z rovinky a přechodových oblouků, široká 3,66 m. Dráha je vyznačena po obou stranách bílými lajnami, širokými 0,05 m. Na rovince je umístěn vodní příkop s rozměry 3,66 m (± 0,02 m) x 3,66 m (± 0,02 m) x 0,50 m 0,70 m (obr. 21). Z obrázku je patrné, že se délka vodního příkopu měří od hrany překážky umístěné před ním. 39

A půdorys vodního příkopu B překážka před vodním příkopem C bokorys vodního příkopu Obr. 21: Vodní příkop - rozměry Pokud je dráha ohraničena zleva pouze bílou lajnou (namísto obrubníku), je IS v této části oválu měřena 0,20 m od vnitřní bílé čáry. 40

2. Vodní příkop je umístěn vně druhé zatáčky (obr. 22). Obr. 22: Vodní příkop vně druhé zatáčky V případě, kdy je vodní příkop umístěn uvnitř zatáčky, je uběhnutá vzdálenost přes vodní příkop kratší než délka podél IS první dráhy. V druhém případě, kdy je vodní příkop umístěn vně druhé zatáčky, je uběhnutá vzdálenost naopak delší. 8.1 Vodní příkop uvnitř druhé zatáčky Pro určení zkrácení, resp. prodloužení, uběhnuté vzdálenosti přes vodní příkop je nutné ověřit jeho polohu a rozměry. Na stadionu, jehož ovál je v rámci této BP zpracováván, je vodní příkop umístěn uvnitř druhé zatáčky. Je tedy nutné ověřit, zda se vodní příkop nachází v poloze dané manuálem (obr. 23). 41

Obr. 23: Vodní příkop - detail 1 odnímatelný obrubník 2 vodní příkop 3 rovinka uvnitř druhé zatáčky 4 vzdálenost IS od obrubníku, resp. od lajny dráhy uvnitř druhé zatáčky 5 střed oblouku Z obrázku č. 23 je patrné, že vzdálenost rovinky od středu oblouku, podél kolmice k rovince, by měla být 13,863 m + 16,000 m = 29,863 m. Dále by měla být rovinka dlouhá 2 15,101 m = 30,202 m. Přechodové oblouky mezi rovinkou a obrubníkem zatáčky mají poloměry r = 16,000 m. Pro konstrukci rovinky s těmito vlastnostmi jsou důležité úhly β a α. Úhel β je středový úhel určující začátek přechodového oblouku od začátku druhé zatáčky. Úhel α je středový úhel určující délku přechodového oblouku. 42

8.2 Ověření polohy a rozměrů vodního příkopu Ověření polohy a rozměrů vodního příkopu na zpracovávaném oválu proběhlo v MS pomocí zaměřených bodů a vypočteného středu druhého oblouku S2. Postup kontroly polohy příkopu je patrný z obrázku č. 24. Nejprve byla zkonstruována spojnice středů oblouků. Ta byla následně prodloužena ze středu S2 až k obrubníku druhé zatáčky. Poté byla bodem č. 1, zaměřeným v rohu vodního příkopu, vedena kolmice prodloužené spojnici středů. Následně byla změřena vzdálenost d = 29,769 m mezi vytvořeným průsečíkem P a středem S2. Obr. 24: Poloha vodního příkopu Postup kontroly rozměrů příkopu je patrný z obrázku č. 25. Obr. 25: Rozměry vodního příkopu 43

8.3 Projektování značení dráhy vedoucí přes vodní příkop Z naměřených hodnot (tab. 5) lze prohlásit, že vodní příkop splňuje předepsané rozměry, ale nenachází se v předepsané poloze. Je blíže ke středu, proto není možné pro značení zachovat délku rovinky (30,202 m) a hodnoty úhlů β a α. Poloha a rozměry vodního příkopu Skutečný stav IAAF poloha (vzdálenost rovinky od středu podél kolmice) 29,769 m 29,863 m délka vodního příkopu 3,674 m 3,66 m ± 0,02 m šířka vodního příkopu 3,665 m 3,66 m ± 0,02 m Tab. 5: Poloha a rozměry vodního příkopu Je tedy nutné navrhnout značení rovinky a přechodových oblouků pro dráhu vedoucí přes vodní příkop. Před projektováním byl určen požadavek, aby přechodové oblouky měly poloměr r p = 16,000 m, jak předepisuje manuál. Celý návrh značení byl proveden v prostředí MS. Nejprve byla vytvořena linie (l1) kolmá na prodlouženou spojnici středů oblouků a procházející bodem č. 1. Následně byla tato linie rovnoběžně zkopírována ve vzdálenosti 16,000 m směrem ke středu (l2). Poté byla ze středu S2 sestrojena část kružnice (k1) o poloměru 20,501 m (= 36,501 m 16,000 m). Zde byla uvažována vypočtená průměrná hodnota poloměru druhého oblouku (tab. 4). Na průsečících linie (l2) s kružnicí (k1) leží středy přechodových oblouků (s1, s2). Následně byla linie (l1) určující rovinku prodloužena, resp. zkrácena tak, aby její délka byla stejná, jako vzdálenost vytvořených středů. Poté byly vytvořeny přechodové oblouky o poloměru r p = 16,000 m, které začínají na prodloužené spojnici středů S2 - s1 (resp. S2 s2) a končí na koncích linie (l1) určující rovinku. Nakonec byla vytvořena vnější linie rovinky (l3), která je rovnoběžná s linií (l1) a prochází hranou vodního příkopu. 44

Celý postup zmíněné konstrukce je patrný z obrázku č. 26. Obr. 26: Projekt dráhy pro vodní příkop Z výkresu byly zjištěny hodnoty potřebně pro realizaci značení (tab. 6). Středový úhel pro určení začátku přechodového oblouku Středový úhel pro určení délky přechodového oblouku Poloměr přechodového oblouku Polovina délky rovinky Tab. 6: Hodnoty prvků dráhy vedoucí přes vodní příkop β = 46,8807 gon α = 53,1193 gon r p = 16,000 m c = 15,189 m 45

8.4. Určení linií startů Pro přesné určení linií startů závodů je nutné znát, o kolik se zkrátí délka dráhy uběhnutá závodníkem přes vodní příkop oproti standardní délce oválu (400 m). Výpočet zkrácení dráhy byl určen pomocí oficiálních tabulek IAAF pro certifikaci stadionů (tab. 7, tab. 8). Measured Standard IAAF Radius of inner lane: R = 36.5013 m 36.50m Theoretical running line of the track: L = 0.30 m 0.30m The steeplechase track has an inside kerb. Theoretical running line of the steeple: l = 0.20 m 0.20m Axis: S = 84.385 m 84.39m Radius of steeplechase kerb/inside line r = 16.000 m 16.00m Angle 1 Track: β = 46.8807 gon 47.2806 gon 42.5525 deg Angle 2 Steeplechase: α = 53.1193 gon 52.7194 gon 47.4475 deg Tab. 7: IAAF délka Steeplechase - 1. část Y N 2 r c 1 R β α Obr. 27: IAAF: Výpočet - Steeplechase 46

Measured Standard IAAF Formula Length curve 1 (Running track): a 27.100 m (+) 27.331 m (+) π x β x (R+L) 200 Length curve 2 (Steeplechase): b 13.517 m (+) 13.415 m (+) π x α x (r+l) 200 Length c: c 15.189 m (+) 15.101 m (+) z 55.806 m (=) 55.847 m (=) = a + b + c Steeplechase curve: 111.612 m (=) 111.694 m (=) = z x 2 Normal curve: d 115.615 m (+) 115.610 m (+) Steeplechase curve: e 111.612 m (-) 111.694 m (-) Shortening measure: VM 4.003 m (=) 3.916 m (=) = d-e Steeplechase lap: 395.997 m (=) 396.084 m = 400 -VM Tab. 8: IAAF délka Steeplechase - 2. část V tabulce č. 8 byla vypočtena délka jednoho oválu podél IS běžena přes vodní příkop (Steeplechase lap = 395,997 m). Pro určení polohy startů byla také použita tabulka pro certifikaci stadionů (tab. 9), ve které se počítají násobky hodnoty VM v závislosti na délce závodu (tab. 8). Measured Standard IAAF Location 2000 m Steeplechase 5 VM 20.015 m 19.580 m in front of A 3000 m Steeplechase 7 VM 28.021 m 27.412 m in front of C Tab. 9: IAAF poloha startů Steeplechase 2 000 m Steeplechase Z tabulky č. 9 vyplývá, že start závodu 2 000 m Steeplechase se nachází 20,015 m před bodem A (obr. 1) podél IS první dráhy. Jelikož je startovní linie křivka, ze které se závodníci ihned po startu sbíhají do první dráhy, jedná se také o evolventu. V tomto případě bylo nutné najít část evolventy pro délku tečny t = 20,015 m evoluty o poloměru r = 36,80 m. Start závodu 2 000 m Steeplechase je tedy část evolventy, která začíná při úhlu odvalení φ = 20,015 = 0,543886 rad = 34,6249 gon. Souřadnice bodů této křivky byly 36,80 vypočteny opět v Matlabu a importovány do výkresu. Zde byly body spojeny B-spline křivkou a vytvořen průsečík křivky s vodící čarou osmé dráhy. 47

3 000 m Steeplechase Startovní linie závodu 3 000 m Steeplechase byla vytvořena stejným postupem jako start závodu 2 000 m Steeplechase. Jediným rozdílem při výpočtu byly vstupní hodnoty. Část evolventy byla vypočtena pro tečnu evoluty t = 28,021 m a úhel odvalení φ = 28,021 36,80 = 0,761440 rad = 48,4748 gon. Obr. 28: Starty závodů Steeplechase 48

9. Příprava před vytyčováním Aby bylo možné použít vytvořený výkres pro vytyčování, je nutné jej transformovat na skutečný stav stadionu, tedy do vytvořené místní sítě. Tato operace byla provedena v prostředí MS. Nejprve byla vytvořena spojnice vypočtených středů oblouků. Poté byl určen její střed. Stejným způsobem byl určen i střed spojnice středů výkresu. Určené středy spojnic jsou zároveň jejich těžišti. Následovalo ztotožnění obou těžišť, při kterém byl posunut vytvořený výkres. Poté byl výkres otočen kolem těžiště tak, aby se spojnice jeho středů ztotožnila se spojnicí vypočtených středů (příloha č. 3). Tím byl projekt transformován na skutečný stav stadionu a mohlo být také provedeno ověření rozměrů bezpečnostní zóny vně oválu. Bylo změřeno, že v každém místě oválu by měl zůstat po vytyčení minimálně 1 m široký prostor. Tím je tedy splněna podmínka pro rozměr bezpečnostní zóny. 49

Závěr Tato bakalářská práce popisuje podrobnou metodiku postupu při ověřování rozměrů atletického oválu a přípravu pro následné vytyčování značení na jeho povrchu. Z počátku bylo nejkomplikovanější a časově nejnáročnější částí práce pochopení principů při určování zakřivených linií evolvent. Jednotlivé výpočty těchto specifických křivek byly provedeny v softwaru Matlab a prakticky se jedná pouze o modifikaci jednoho výpočetního postupu, který je ovšem nutné stoprocentně chápat. Naprogramované výpočty, výsledné souřadnice bodů evolvent a souřadnice vytvořených průsečíků (v soustavě výkresu) jsou k nahlédnutí v příloze č. 4. Výsledkem této práce je vytvořený digitální výkres, který byl transformován do místního souřadnicového systému stadionu (Haugesund), jehož rozměry byly po ověření prohlášeny za standardní. Z výkresu je tedy možné získat souřadnice konkrétních bodů, které je nutné pro realizaci značení vytyčit. Vytyčení bodů by bylo provedeno polární metodou z přechodného stanoviska, jehož souřadnice by byly vypočteny metodou volné stanovisko s orientacemi na určené body místní sítě. Pro potřeby certifikace stadionu by bylo nutné zaměřit polohu všech vyznačených linií a naměřené hodnoty zaznamenat do oficiálního formuláře 2 IAAF. Dále by bylo nutné znát veškeré vybavení stadionu pro další disciplíny lehké atletiky. Vytyčení značení a vyhotovení certifikačního formuláře by mohlo být předmětem další (diplomové) práce. Problematika atletických oválů mne velice zaujala a rád bych se jí nadále věnoval. Bohužel vzhledem k poloze zpracovávaného atletického oválu a ojedinělosti takovýchto projektů v rámci ČR, jsem neměl zatím tu možnost sledovat postup při vytyčování, ani samotnou realizaci značení. Zajímavou problematikou by mohly být výpočty spojené se značením oválů nestandardních rozměrů. 2 Certifikační formulář REPORT FORMS - Measurement Report Forms Outdoor je k dispozici na http://www.iaaf.org/about-iaaf/documents/technical 50

Použitá literatura [1] IAAF Track and Field Facilities Manual 2008 Edition Chapters 1 3 Dostupné z http://www.iaaf.org/about-iaaf/documents/technical [2] BUDINSKÝ, Bruno. Základy diferenciální geometrie s technickými aplikacemi. Vyd. 1. Praha: SNTL, 1970, 342 s. 51

Seznam obrázků Obr. 1: Rozměry standardního oválu... 4 Obr. 2: Ideální stopy... 5 Obr. 3: Kontrolní měření na standardním oválu... 6 Obr. 4: Stabilizace středů... 7 Obr. 5: Vyhodnocení kontrolního měření... 9 Obr. 6: Starty závodu na 5 000 m (1 000 m, 3 000 m)... 14 Obr. 7: Starty závodu na 10 000 m (2 000 m)... 15 Obr. 8: Evolventa kružnice... 20 Obr. 9: Evolventa... 23 Obr. 10: Evolventa - chybný výpočet (detail)... 24 Obr. 11: Evolventa - chybný výpočet (posun)... 25 Obr. 12: Evolventa - část křivky v obecné poloze... 26 Obr. 13: Evolventa - Breakline... 27 Obr. 14: Evolventa - Breakline (detail)... 27 Obr. 15: Starty závodů (5 000 m, 10 000 m)... 30 Obr. 16: Evolventa - Start závodu na 1 500 m... 32 Obr. 17: Evolventa - Start závodu na 1 500 m (detail)... 32 Obr. 18: Start závodu na 1 míly... 33 Obr. 19: Stadion Haugesund - skutečný stav... 36 Obr. 20: Vodní příkop uvnitř druhé zatáčky... 39 Obr. 21: Vodní příkop - rozměry... 40 Obr. 22: Vodní příkop vně druhé zatáčky... 41 Obr. 23: Vodní příkop - detail... 42 Obr. 24: Poloha vodního příkopu... 43 Obr. 25: Rozměry vodního příkopu... 43 Obr. 26: Projekt dráhy pro vodní příkop... 45 Obr. 27: IAAF: Výpočet - Steeplechase... 46 Obr. 28: Starty závodů Steeplechase... 48 52