Aplikace Gaussova zákona ) Po sestavení základní ovnice elektostatiky Základní vlastnosti elektostatického pole, pobané v minulých hodinách, popisují dvě difeenciální ovnice : () ot E konzevativnost el. pole () dive ρ Gaussův zákon elektostatiky Víme také že po intenzitu elektostatického pole také platí : E gad Jestliže dosadíme tento vztah do obou ovnic : ( gad ) ot () div ( gad ) ρ () Potom ovnice () je vždy splněna - viz domácí cvičení v otázce El. pole ve vakuu - kde jste měli zjistit, že z důvodu záměny duhých smíšených deivací platí po jakoukoliv spojitou funkci φ : δ δ δ δ δ δ δ ot gad ot,,,... δx δy δz δy δz δz δy A ovnici () dále upavíme : ρ div gad Znaménko minus převedeme na pavou stanu a ozepíšeme dvojitý opeáto na levé staně : div,, x z + + x x z z + + x z
Vzniklý matematický předpis je samozřejmě opět opeáto, působící na funkci φ. Vzhledem k jeho častému výskytu v důležitých matematických ovnicích má své označení i pojmenování : + x + z Laplaceův opeáto Je jistě sympatické, že k jeho fomálnímu popisu lze opět využít známý opeáto nabla : x,,,, z x z Rovnici () lze tedy jednoduše zapsat ve tvau : ρ Poissonova ovnice o Tato ovnice je pak v liteatuře označována jako základní ovnice elektostatiky. Jejím vyřešením po zadané ozložení nábojů (tj. po hustotu náboje ρ ) získáme potenciál elektického pole (kteý, jak víme, toto pole jednoznačně popisuje). Poissonova ovnice je paciální difeenciální ovnicí. stupně, její vyřešení poto není ozhodně jednoduché. ale my už řešení známe víme totiž, že platí (viz. zobecnění Coulombova zákona ) : 4π ρ dv o ' V A tento integál musí být řešením Poissonovy ovnice!! Poznámka : Po ρ dostáváme nejjednodušší možný tva základní ovnice elektostatiky : Laplaceova ovnice Tato ovnice vypadá dosti jednoduše, ale pokud bychom ji chtěli přímo řešit (a nevyužít zobecněný Coulombův zákon), páci bychom si příliš neulehčili, potože stanovení integačních konstant z okajových podmínek úlohy je vždy velmi pacné.
) Po výpočet elektických polí jednoduchých konfiguací nábojů Vedle přímého výpočtu intenzity elektického pole (podle kapitoly Zobecnění Coulombova zákona ), nebo pomocí elektostatického potenciálu (stejná kapitola) je často možné, zejména u symeticky ozložených nábojů, použití Gaussova zákona viz cvičení. 3) peciálně po výpočet elektického pole vodivého tělesa Zde pozkoumáme pomocí Gaussova zákona vlastnosti elektostatického pole vodivého tělesa, přitom se dostaneme k velmi důležitému pojmu kapacity tělesa : Vodivé (pevné) těleso je chaakteizované existencí tzv. volných nábojů, kteé nejsou na těleso vázány žádnými vazbovými silami a mohou se tedy v jeho objemu volně pohybovat a při působení vnějšího pole (na vodič připojíme póly elektického zdoje) pak vytvoří (makoskopický) elektický poud. U kovových těles jsou takové náboje tvořeny volnými, samostatnými elektony ty vznikly odtžením z valenční sféy elektonového obalu atomů kovu silovým působením při tuhnutí a kystalizaci tělesa z kapalné taveniny. Kovové ionty přitom vytvoří pevnou kystalickou mřížku tělesa a odtžené valenční elektony pak zůstanou uvnitř tělesa. Ačkoliv na každý z těchto elektonů v objemu kovu působí obovské množství elektostatických přitažlivých a odpudivých sil (od okolních iontů mřížky a ostatních elektonů) je výslednice všech těchto sil kupodivu nulová (je tomu pávě z důvodu velkého počtu těchto sil a jejich symetického ozložení ke každé síle se vždy najde nějaká potisíla,. to ovšem neplatí v blízkosti povchu, viz ob.) povch tělesa 3
Jestliže tedy na elekton uvnitř vodivého tělesa nepůsobí žádná síla (přesněji řečeno výslednice všech působících sil je nulová - ale výsledek je stejný), můžeme elekton považovat za volnou částicí, kteá podle zákona setvačnosti setvává v klidu a tepve při působení vnější síly (vnější el. pole) se začne pohybovat a vytváří elektický poud tak se tedy vysvětluje dobá elektická vodivost kovů. Pozn. : Poblíž povchu tělesa je vějíř působících sil zjevně nesymetický (viz ob.) poto vzniklá výsledná síla míří do vnitřku tělesa a zabaňuje elektonům opustit objem kovu. Aby elektony dokázaly vystoupit z kovu do okolního postředí, musíme jim dodat dostatečně velikou kinetickou enegii (její minimální hodnota je ovna výstupní páci kovu) to je možné například pomocí tepelné enegie (zahřátí kovu vyvolá tepelnou emisi elektonů, temoemisi), uychlením elektonů ve velmi silném vnějším elektickém poli (polní emise), nebo sážkou s jinou ychlou částicí, například s fotonem (fotoemise) či s elektonem (sekundání emise elektonů). Pozn. : Elektony v objemu vodiče existují vlastně za stejných podmínek jako částice plynu poto se často označují jako elektonový plyn a stejně jako molekuly plynu nejsou nikdy v klidu, ale neustále se pohybují všemi možnými směy i velikostmi ychlosti tedy známým neuspořádaným (tepelným) pohybem. Je možné také ukázat, že v ovnováze po ně platí Maxvellův ozdělovací zákon, včetně např. vztahů po střední ychlosti. Pohyb, kteý elektony získají od vnějšího pole je pak ve skutečnosti malou přídavnou ychlostí k velké neuspořádané ychlosti je to jakási jejich diftová ychlost (viz také příklad na cvičení ychlost elektonů ve vodiči při telefonování nám vyšla asi 5,7 mikonů/s, což je skutečně zanedbatelně malé opoti obovské střední ychlosti jejich neuspořádaného pohybu, kteá při pokojové teplotě činí asi,. 5 m/s). Pozn. 3 : Vodivými tělesy (látkami) mohou být ovšem také kapaliny a plyny (plazma). Tyto látky nemají žádnou pevnou stuktuu, všechny částice plynu jsou zcela volné, u kapalin pak skoo volné - a jejich vodivost poto může být způsobena jak záponými elektony, tak kladnými ionty. Vodivé kovové těleso tedy obsahuje nesmíné množství volných nábojů (řádu Avogadova čísla) a pokud bychom neznali fakta o jejich chování (elektonový plyn), mohlo by nás překvapit expeimentální zjištění, že v temodynamické ovnováze tedy například v nulovém vnějším poli neteče v objemu vodiče žádný poud (důkaz je jednoduchý vodič by se musel sám od sebe zahřívat Jouleovým teplem). To ale znamená, že ani uvnitř vodiče neexistuje elektické pole - tedy všude v objemu vodiče platí : E E V ρ 4
Na tento poznatek můžeme aplikovat Gaussův zákon následovně : Jestliže si v objemu vodiče představíme nějakou spojitou uzavřenou plochu (viz ob.), pak tok elektické intenzity touto plochou je zaučeně nulový: E d Z toho ovšem podle Gaussova zákona plyne, že musí být nulový také celkový náboj uvnitř této plochy : E d Z dřívějších kapitol víme, že celkový náboj v nějakém objemu V můžeme stanovit pomocí hustoty náboje sečtením (integací) nábojů ve všech místech tohoto objemu : ρ dv V Potože tento náboj je nulový po libovolnou uzavřenou plochu, nemůže to být jen náhodný výsledek součtu kladných a záponých nábojů v ůzných oblastech tělesa, ale musí být nulová hodnota náboje v každém jeho místě. Potože ale všude v objemu vodiče existují (nepohyblivé) kladné ionty a (volně pohyblivé) záponé elektony, znamená to, že elektony jsou tak dokonale ovnoměně ozloženy v objemu, že přesně vykompenzují kladné ionty kystalické mříže a poto nejen celkový náboj tělesa, ale i hustota výsledného náboje v každém místě je nulová : ρ Dále bude velmi zajímavé sledovat inteakci vodiče s okolními náboji. Představme si, že do blízkosti našeho tělesa umístíme elektický náboj, tj. nabité jiné těleso, například kladného znaménka (viz ob.). E ex E int E ρ Pak můžeme pozoovat tzv. jev elektostatické indukce : Elektické pole vnějšího náboje ( E ) působí na volné náboje uvnitř tělesa - elektony a ty se tedy budou v objemu vodiče pohybovat směem k tomuto náboji až do maximální možné blízkosti, tj. na přivácený povch tělesa. (viz ob.). ex 5
Na tomto povchu tělesa poto vznikne indukuje se záponý náboj, tvořený elektony - a na povchu nejvzdálenějším, odváceném se pojeví nedostatek elektonů, tj. objeví se náboj kladný, tvořený kladnými nevykompenzovanými ionty mřížky. Popsaný pohyb nábojů a zvyšování jejich velikosti na povších tělesa bude tvat učitou (kátkou) dobu, až do okamžiku, kdy vnitřní elektické pole ( E ), vytvářené indukovanými náboji, přesně vyovná původní vnější pole, tak, že výsledné elektické pole ve vodiči bude opět nulové : E Eex + Eint int Potom opět nastane ovnovážný stav, chaakteizovaný již neměnnou velikostí indukovaných nábojů na povchu tělesa. Z nulového toku elektické intenzity libovolnou uzavřenou plochou uvnitř tělesa pak opět konstatujeme nulovost objemové hustoty náboje, i celkového náboje tělesa : E d ρ V dv Jakékoliv vnější náboje tedy nemají vliv na elektické pole ve vodiči a poto můžeme konstatovat, že : Vnitřek vodivého tělesa je cháněn před účinky vnějších nábojů. Jestliže uvnitř vodivého tělesa nejsou náboje, kteé by mohly způsobit elektické pole pak můžeme tento vnitřek vyříznout a ponechat jen (tenkou) uzavřenou povchovou vstvu (kde ovšem náboje být mohou) a situace se nijak nezmění uvnitř nyní dutého vodivého tělesa bude stále nulové pole. To je pincip elektostatického odstínění vnitřního objemu. Citlivé elektické přístoje lze tedy ochánit před účinkem vnějších nábojů tak, že je vložíme do plechového kytu, nebo aspoň obalíme staniolem často postačí i síťovaný či děovaný kyt (Faadayova klec). dutina E Pozn. : Kdybychom nyní dokázali těleso upostřed napůl ozdělit, získali bychom dvě tělesa, nabitá opačnými náboji. Mohli bychom také uzemnit jeden povch tělesa, například záponý pak by se přebytečné elektony odvedly do země a po odstanění uzemnění by těleso zůstalo celkově nabité kladným nábojem. 6
Dále pozkoumejme situaci, že by z nějakého okolního nabitého tělesa mohly na naše vodivé, zatím neutální těleso přejít elektické náboje tzn. budeme sledovat poces nabíjení vodiče. Tento poces si můžeme teoeticky jednoduše představit jako myšlený přesun skupiny nábojů celkové velikosti (musí to být volné náboje, aby se daly přesunovat, nejlépe pak elektony) z nekonečna do učeného místa uvnitř vodiče (viz ob.), aniž uvažujeme vliv způsobu přesunu nábojů, případně jejich zdoje. (íla, i páce potřebná k takovému přesunu je nulová, potože na přesouvaný náboj nepůsobí žádná síla, ani od nabíjeného, zatím neutálního tělesa, ani od neexistujícího zdoje.) σ ρ E Potože jsou tyto přenesené náboje stejného znaménka (elektony), navzájem se odpuzují elektostatickými silami a potože jsou volné, pohybují se v objemu tělesa od sebe do maximální možné vzájemné vzdálenosti, tj. až na povch tělesa. Po uplynutí nějaké kátké přechodné doby, ve kteé v tělese z objemu na povch vlastně tečou učité poudy, pak opět nastane ustálený, ovnovážný stav, kdy bez ohledu na polohu místa, kam byly dopaveny náboje - uvnitř v objemu tělesa nebude již žádný z těchto nábojů, tedy objemová hustota náboje ρ v každém místě objemu bude opět nulová, stejně jako v nenabitém stavu. Všechny, na těleso přenesené náboje, tedy budou ozloženy na povchu tělesa s nenulovou plošnou hustotou σ (viz předchozí ob.), z níž také můžeme vypočítat celkový náboj nyní již nabitého vodiče : σ d Potože ani nabitý vodič se sám od sebe nikdy nezahřívá, je jeho vnitřní elektické pole opět nulové : E A z příslušného nulového toku této nulové elektické intenzity (přes libovolnou uzavřenou vnitřní plochu ) vyplývá podle Gaussova zákona opět nulová hustota náboje v každém místě objemu tělesa což samozřejmě souhlasí s předchozí úvahou o přechodu nábojů na povch tělesa. E d V ρ dv 7
Celkem tedy platí : V nabitém i nenabitém vodivém tělese, bez vnějších nábojů, i při jejich přítomnosti je (v ovnovážném stavu) vždy nulové elektické pole i nulová objemová hustota náboje : E ρ uvnitř vodiče je nulové pole a nulový náboj Dále uvážíme, že na ozdíl od vnitřku objemu, je ve vnějším okolí tělesa situace zcela odlišná. Náboje soustředěné na povchu tělesa samozřejmě vytvářejí vně tělesa nenulové elektické pole a jakékoliv místo v postou poto získává elektický potenciál - tedy i každý bod tělesa má svůj potenciál a při přenášení dalších nábojů na těleso již musíme konat páci. (Po osamělé těleso předpokládáme přenos nábojů z nekonečna, pak je páce učena přímo tímto potenciálem a velikostí náboje, při přenosu nábojů z jiného tělesa v konečné vzdálenosti je samozřejmě ozhodující ozdíl potenciálů viz dále kondenzáto.) σ ρ σ d l E l de l E Po potenciál například místa ( l ) E d na povchu tělesa (viz ob.) platí : využitím této ovnice pak mohu napsat potenciál libovolného jiného místa E d E d + E d ( l+ l ) ( l ) ( l ) 8 + (na povchu) tělesa : ( l ) E d
Potože v elektostatickém poli nezáleží na volbě integační cesty, zvolím mezi oběma místy takovou dáhu ( l ), aby celá ležela v objemu tělesa, kde je nulové pole, tedy bude i nulový poslední integál. Dostáváme tak další zásadní výsledek po vodivé těleso : + E d ( l ) To zřejmě platí i po body uvnitř tělesa, tedy celkem : konst. všechny místa vodivého tělesa mají stejný potenciál Pozn. : Ukažte si na cvičení ještě jednu zajímavou vlastnost nabitého vodiče intenzita pole u povchu (vně) je jednoznačně učena povchovou hustotou náboje a je vždy kolmá na povchovou plochu. Pozn. : Pokud si myslíte, že jste pochopili fyziku vodivého tělesa, pokuste se zodpovědět otázky letošní Fyzikální olympiády. 4) Zavedení kapacity tělesa Podívejme se nyní ještě jednou na vztah po potenciál vodivého tělesa : E d Za předpokladu, že vodivé těleso je osamělé, je elektická intenzita učena pouze náboji na tomto tělese : E 4π σ d ' 3 ( ' ) Potože uvnitř tělesa je nulová objemová hustota náboje, je celkový náboj tělesa učen pouze povchovou hustotou : σ d Uvedené veličiny jsou tedy zřejmě navzájem,,úměné : E σ Tedy každé přenesení elektického náboje na těleso zvýší jeho potenciál, čím více náboje přeneseme na těleso, tím vyšší potenciál těleso získá celkový náboj tělesa a jeho potenciál jsou navzájem přímo úměné : 9
A kapacitu tělesa definujeme jako koeficient této úměy : C (absolutní) kapacita osamělého vodiče Pozn. : Uvažte, že kapacita závisí na tvau tělesa, neboť při jiném tvau (a při stejném celkovém náboji tělesa ) vznikne jiné ozložení nábojů, tj. funkce σ(x,y,z) důsledkem je ovšem jiné elektické pole - těleso tedy bude mít jiný potenciál φ, a poto i kapacitu, Kondenzáto - U Vzhledem k přesně opačným nábojům na deskách mohu stav nabitého kondenzátou (viz ob.) dostat z neutálního stavu (opakovaným) postupným přenášením nábojů pouze mezi oběma deskami kondenzátou (bez použití jiného vnějšího zdoje). Při každém přenesení nějakého náboje se vykoná páce ovná ozdílu jejich potenciálů a zvýší se velikost nábojů na deskách - a tím se zvětší potenciálový ozdíl.. tento poces může pokačovat, až se dosáhne požadovaného výsledného napětí na kondenzátou : U Vzniká tak zřejmě opět přímá úměa - mezi velikostí celkového přeneseného náboje (tj. mezi nábojem kondenzátou) a vzniklým ozdílem potenciálů mezi deskami (tj. napětím) - a kapacitu kondenzátou potom definujeme jako koeficient této úměy : C kapacita kondenzátou U ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (konec kapitoly) (K.Rusňák, /6) ev. a doplň. /7