Elektromagnetické vlny, antény a vedení

Transkript

1 FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Eletomagneticé vlny, antény a vedení Přednášy Gaant předmětu: Doc. Ing. Zdeně Nováče, CSc. Auto textu: Doc. Ing. Zdeně Nováče, CSc.

2

3 Eletomagneticé vlny, antény a vedení Obsah Úvod...6 Zařazení předmětu ve studijním pogamu...6. ÚVOD DO PŘEDMĚTU...6. VSTUPNÍ TEST Maxwellovy ovnice a jejich řešení MAXWELLOVY ROVNICE ŘEŠENÍ SOUSTAVY MAXWELLOVÝCH ROVNIC KONTROLNÍ OTÁZKY A PŘÍKLADY (KAPITOLA 3)... 4 Eletomagneticé vlny ve volném postředí ŠÍŘENÍ ROVINNÉ VLNY ŠÍŘENÍ VÁLCOVÉ VLNY ŠÍŘENÍ KULOVÉ VLNY INTERFERENCE ROVINNÝCH VLN KONTROLNÍ OTÁZKY A PŘÍKLADY (KAPITOLA 4) Šíření TEM vlny podél vedení KLASICKÁ TEORIE VEDENÍ STOJATÁ VLNA NA VEDENÍ PŘENOS ENERGIE PO VEDENÍ TRANSFORMACE IMPEDANCE VEDENÍM TRANSFORMACE ČINITELE ODRAZU, SMITHŮV DIAGRAM PŘIZPŮSOBOVÁNÍ IMPEDANCÍ KONTROLNÍ OTÁZKY A PŘÍKLADY (KAPITOLA 5) Vedení a jejich apliace HLAVNÍ DRUHY VEDENÍ S VLNOU TEM PARAMETRY VEDENÍ VEDENÍ JAKO OBVODOVÝ PRVEK SYMETRICKÉ A ASYMETRICKÉ PROUDY NA VEDENÍ KONTROLNÍ OTÁZKY A PŘÍKLADY (KAPITOLA 6) Eletomagneticé vlny v nehomogenních postředích KLASIFIKACE JEVŮ ODRAZ VLN ŠÍŘENÍ VLN VE VRSTEVNATÉM PROSTŘEDÍ DIFRAKCE NA ROVINNÉ PŘEKÁŽCE OBECNÁ TEORIE DIFRAKCE KONTROLNÍ OTÁZKY A PŘÍKLADY (KAPITOLA 7) Vlnovody ŠÍŘENÍ VLN VE VLNOVODU ROZLOŽENÍ ELEKTROMAGNETICKÉHO POLE VE VLNOVODU ŘEŠENÍ VLNOVÉ ROVNICE PRO PODÉLNÝ SMĚR POLE V PŘÍČNÉM ŘEZU OBDÉLNÍKOVÝM VLNOVODEM VLASTNOSTI NEJNIŽŠÍCH VIDŮ TE...84

4 Faulta eletotechniy a omuniačních technologií VUT v Bně 8.6 KONTROLNÍ OTÁZKY A PŘÍKLADY (KAPITOLA 8) Vyzařování eletomagneticých vln ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ VLNOVÉ ROVNICE ZÁŘENÍ ELEMENTÁRNÍCH ZDROJŮ ZÁŘENÍ ANTÉN TECHNICKÝ VÝPOČET ZÁŘENÍ ANTÉN ZÁŘENÍ ANTÉNNÍCH SOUSTAV IMPEDANCE LINEÁRNÍCH ANTÉN PARAMETRY ANTÉN KONTROLNÍ OTÁZKY A PŘÍKLADY (KAPITOLA 9)... 6 Šíření eletomagneticých vln MECHANISMY ŠÍŘENÍ VLN V BLÍZKOSTI ZEMĚ SPOJENÍ PŘÍMOU VLNOU SPOJENÍ PROSTOROVOU VLNOU....4 SPOJENÍ POVRCHOVOU VLNOU....5 SPOJENÍ IONOSFÉRICKOU VLNOU KONTROLNÍ OTÁZKY A PŘÍKLADY (KAPITOLA )... 7 Antény ANTÉNY PRO DLOUHÉ A STŘEDNÍ VLNY KRÁTKOVLNNÉ ANTÉNY ANTÉNY PRO METROVÉ A DECIMETROVÉ VLNY....4 MIKROVLNNÉ ANTÉNY KONTROLNÍ OTÁZKY A PŘÍKLADY (KAPITOLA )... 9 Zálady adiooptiy PROSTOROVÝ SIGNÁL, PROSTOROVÉ KMITOČTY PRŮCHOD PROSTOROVÉHO SIGNÁLU PROSTOROVOU VRSTVOU PRŮCHOD PROSTOROVÉHO SIGNÁLU ČOČKOU GAUSSOVY VLNOVÉ SVAZKY KONTROLNÍ OTÁZKY A PŘÍKLADY (KAPITOLA ) Dodaty VÝSLEDKY TESTŮ Vstupní test Kapitola Kapitola Kapitola Kapitola Kapitola Kapitola Kapitola Kapitola Kapitola Kapitola MATEMATICKÝ DODATEK Vyjádření difeenciálních opeátoů v ůzných souřadných soustavách Besselovy, Neumannovy a Hanelovy funce... 4

5 Eletomagneticé vlny, antény a vedení 3 Seznam obázů OBR. 4.: INTENZITA POLE ROVINNÉ VLNY VE VOLNÉM PROSTORU...6 OBR. 4.: ŠÍŘENÍ ROVINNÉ VLNY V OBECNÉM SMĚRU...6 OBR. 4.3: VYZAŘUJÍCÍ VODIČ VE VÁLCOVÉ SOUSTAVĚ...7 OBR. 4.4: ŠÍŘENÍ ROVINNÝCH VLN RŮZNÝMI SMĚRY... OBR. 4.5: OBR. 5.: INTERFERENCE DVOJICE ROVINNÝCH VLN S RŮZNÝMI AMPLITUDAMI...3 NÁHRADNÍ OBVOD DVOUVODIČOVÉHO VEDENÍ...5 OBR. 5.: VEDENÍ ZAKONČENÉ IMPEDANCÍ Z K...7 OBR. 5.3: ROZLOŽENÍ NAPĚTÍ A PROUDU PODÉL VEDENÍ...9 OBR. 5.4: ROZLOŽENÍ NAPĚTÍ A PROUDU NA BEZEZTRÁTOVÉM VEDENÍ...3 OBR. 5.5: ROZLOŽENÍ NAPĚTÍ A PROUDU NA VEDENÍ...3 OBR. 5.6: ZÁVISLOST VSTUPNÍ IMPEDANCE ÚSEKU VEDENÍ NAKRÁTKO...35 OBR. 5.7: ZÁVISLOST VSTUPNÍ REAKTANCE ÚSEKU VEDENÍ NAPRÁZDNO...35 OBR. 5.8: ZOBRAZENÍ ČINITELE ODRAZU ρ...37 OBR. 5.9: KRUŽNICE SLOŽEK NORMOVANÉ IMPEDANCE Z...38 OBR. 5.: TRANSFORMACE IMPEDANCE NA VEDENÍ...39 OBR. 5.: OPERACE NA SMITHOVĚ DIAGRAMU...4 OBR. 5.: OPERACE NA SMITHOVĚ DIAGRAMU...4 OBR. 5.3: PŘEVOD IMPEDANCE NA ADMITANCI...4 OBR. 5.4: K PŘÍKLADU 5.A...4 OBR. 5.5: TRANSFORMACE ČTVRTVLNNÝM ÚSEKEM VEDENÍ OBR. 5.6: PŘIZPŮSOBENÍ VLOŽENÝM VEDENÍM A TRANSFORMÁTOREM λ/ OBR. 5.7: PŘIZPŮSOBENÍ SÉRIOVÝM PAHÝLEM...45 OBR. 5.8: PŘIZPŮSOBENÍ PARALELNÍM PAHÝLEM...46 OBR. 6.: KOAXIÁLNÍ VEDENÍ OBR. 6.: DVOUVODIČOVÉ SYMETRICKÉ VEDENÍ...49 OBR. 6.3: MIKROPÁSKOVÉ VEDENÍ...49 OBR. 6.4: K URČENÍ POTENCIÁLU NA POVRCHU VÁLCOVÉHO VODIČE...5 OBR. 6.5: ROZLOŽENÍ NÁBOJE A POTENCIÁLU NA VODIČI...5 OBR. 6.6: NESYMETRICKÉ DVOUVODIČOVÉ VEDENÍ...53 OBR. 6.7: KOAXIÁLNÍ REZONÁTOR...55 OBR. 6.8: VEDENÍ JAKO KONSTRUKČNÍ PRVEK...56 OBR. 6.9: SYMETRICKÉ A NESYMETRICKÉ PROUDY A NAPĚTÍ NA VEDENÍ...57 OBR. 6.: SYMETRICKÉ VEDENÍ BUZENÉ ASYMETRICKY...57 OBR. 6.: PROUDY NA ASYMETRICKÉM (KOAXIÁLNÍM) VEDENÍ...58 OBR. 7.: FRESNELOVY ZÓNY...59 OBR. 7.: DRÁHY PAPRSKŮ ODRAŽENÝCH OD NEROVNÉHO POVRCHU...6 OBR. 7.3: ODRAZ A VNIK VLNY NA ROVINNÉM ROZHRANÍ...6 OBR. 7.4: ŠÍŘENÍ VLN VE VRSTEVNATÉM PROSTŘEDÍ...65 OBR. 7.5: NÁHRADNÍ OBVOD VRSTEVNATÉHO PROSTŘEDÍ Z OBRÁZKU OBR. 7.6: BEZODRAZOVÝ PRŮCHOD VLNY...68 OBR. 7.7: DIFRAKCE NA POLOROVINĚ...69 OBR. 7.8: FRESNELOVY INTEGRÁLY...7 OBR. 7.9: INTENZITA POLE ZA PŘEKÁŽKOU...7 OBR. 7.: DIFRAKCE NA VÁLCI...7 OBR. 7.: SMĚROVÉ CHARAKTERISTIKY POLE V OKOLÍ VODIVÉHO VÁLCE...74 OBR. 8.: ŠÍŘENÍ VLNY V DIELEKTRICKÉM VLNOVODU...75 OBR. 8.: KOVOVÉ VLNOVODY...75

6 4 Faulta eletotechniy a omuniačních technologií VUT v Bně OBR. 8.3: ŠÍŘENÍ VLN MEZI ROVNOBĚŽNÝMI VODIVÝMI PLOCHAMI OBR. 8.4: HOMOGENNÍ VLNOVOD OBR. 8.5: FÁZOVÁ A SKUPINOVÁ RYCHLOST OBR. 8.6: ZÁVISLOST FÁZOVÉ A SKUPINOVÉ RYCHLOST NA KMITOČTU... 8 OBR. 8.7: ŠÍŘENÍ ŠIROKOPÁSMOVÉHO SIGNÁLU VE VLNOVODU... 8 OBR. 8.8: OBDÉLNÍKOVÝ VLNOVOD... 8 OBR. 8.9: KRITICKÉ KMITOČTY VIDŮ TE OBR. 8.: ROZLOŽENÍ ELEKTRICKÉHO POLE VIDŮ TE OBR. 8.: SILOČÁRY DOMINANTNÍHO VIDU TE OBR. 9.: OBLAST INTEGRACE VLNOVÉ ROVNICE OBR. 9.: ELEMENTÁRNÍ ELEKTRICKÝ DIPÓL OBR. 9.3: SMĚROVÁ CHARAKTERISTIKA ELEMENTÁRNÍHO DIPÓLU... 9 OBR. 9.4: ZÁŘENÍ ROVINNÉ APERTURY... 9 OBR. 9.5: ZÁŘENÍ LINEÁRNÍ ANTÉNY OBR. 9.6: ZÁŘENÍ LINEÁRNÍCH ANTÉN OBR. 9.7: SMĚROVÉ CHARAKTERISTIKY SYMETRICKÉHO DIPÓLU OBR. 9.8: OBDÉLNÍKOVÉ ÚSTÍ PLOŠNÉ ANTÉNY OBR. 9.9: ANTÉNNÍ SOUSTAVA OBR. 9.: DVOUPRVKOVÁ SOUSTAVA ANTÉN OBR. 9.: NÁHRADNÍ OBVOD ANTÉNY... OBR. 9.: ODPOR ZÁŘENÍ A REAKTANCE ZÁŘENÍ SYMETRICKÉHO DIPÓLU... OBR. 9.3: SMĚROVÁ CHARAKTERISTIKA A URČENÍ PARAMETRŮ ANTÉNY... 4 OBR. 9.4: NÁHRADNÍ OBVOD PŘIJÍMACÍ ANTÉNY... 5 OBR..: MECHANISMY ŠÍŘENÍ VLN... 7 OBR..: ATMOSFÉRICKÁ REFRAKCE... 8 OBR..3: PŘÍMÁ RÁDIOVÁ VIDITELNOST... 9 OBR..4: ŠÍŘENÍ PROSTOROVÉ VLNY... OBR..5: VÝŠKY ANTÉN NAD TERÉNEM... OBR..6: KŘIVKY ŠÍŘENÍ POVRCHOVÉ VLNY NAD SOUŠÍ... OBR..7: VÝŠKOVÁ ZÁVISLOST KONCENTRACE VOLNÝCH ELEKTRONŮ... 4 OBR..8: DRÁHY VLN V IONIZOVANÉ VRSTVĚ... 5 OBR..9: MĚSÍČNÍ IONOSFÉRICKÁ PŘEDPOVĚĎ PRO PROSINEC... 7 OBR..: ANTÉNY PRO DLOUHÉ A STŘEDNÍ VLNY... 8 OBR..: FERITOVÁ ANTÉNA... 9 OBR..3: KRÁTKOVLNNÉ ANTÉNY... OBR..4: LOGARITMICKO PERIODICKÁ ANTÉNA... OBR..5: DIPÓL A JEHO VARIANTY... OBR..6: SYNFÁZNÍ SOUSTAVY... OBR..7: ANTÉNY S PODÉLNÝM VYZAŘOVÁNÍM... 3 OBR..8: ŠROUBOVICOVÁ ANTÉNA... 3 OBR..9: VŠESMĚROVÉ ANTÉNY... 4 OBR..: SYMETRIZAČNÍ OBVODY... 5 OBR..: ŠTĚRBINOVÁ A MIKROPÁSKOVÁ ANTÉNA... 6 OBR..: OBDÉLNÍKOVÁ APERTURA... 6 OBR..3: TRYCHTÝŘOVÉ ANTÉNY... 7 OBR..4: ANTÉNY ČOČKY... 8 OBR..5: PARABOLICKÉ ANTÉNY... 9 OBR..: ELEMENTÁRNÍ PROSTOROVÝ SIGNÁL... 3 OBR..: NEUNIFORMNÍ VLNA JAKO SUPERPOZICE TŘÍ UNIFORMNÍCH VLN OBR..3: VLNOPLOCHA KULOVÉ VLNY V ROVINĚ XY... 3

7 Eletomagneticé vlny, antény a vedení 5 OBR..4: ZMĚNA PROSTOROVÉHO SIGNÁLU PRŮCHODEM PO DRÁZE Z...33 OBR..5: PRŮCHOD PROSTOROVÉHO SIGNÁLU ČOČKOU...34 OBR..6: GAUSSŮV SVAZEK...36 Seznam tabule TAB. 5.: HLAVNÍ TYPY VEDENÍ A JEJICH VLASTNOSTI...4 TAB. 8.: KRITICKÉ VLNOVÉ DÉLKY VIDŮ TE...84 TAB..: TYPICKÉ PARAMETRY ZEMSKÉHO POVRCHU... TAB..: TYPICKÉ HODNOTY ZDÁNLIVÉ VÝŠKY A KRITICKÝCH KMITOČTŮ...6

8 6 Faulta eletotechniy a omuniačních technologií VUT v Bně Úvod Vyzařování a šíření eletomagneticých vln je oblastí, se teou se denně setáváme aniž bychom si to přímo uvědomovali. Eletomagneticé vlny se šíří postoem, ůzné duhy vedení je nutí šířit se podle přání uživatele a taé při tom i sloužit. Je poto velmi užitečné znát podmíny po jejich využívání, především v technicé paxi. Vždyť přechod na stále vyšší mitočty nás nutí espetovat vlnovou povahu jevů i v situací, teé byly doménou obvodů. Dnes již nioho nepřevapí, že úse vedení mezi dvěma součástami v počítači je spíše vedením než jen vodivým spojem. Jednou z přeáže při studiu eletomagneticých vln je nedostate zušeností a představ studentů o vlastnostech eletomagneticých vln. Většina studujících se totiž po elativně dlouhou dobu setává s eleticými a eletonicými obvody. Při tom si aždý zvyne na učité představy a úvahy, teé postupně považuje za samozřejmé a jejich jádu se už nevací. Po eletomagneticé jevy sice tento vžitý zálad nestačí, ale není o nic těžší si vypěstovat podobné souboy představ a myšlenových oů i po eletomagneticé jevy. Ty pa ztatí mnoho ze své zdánlivé abstatnosti a složitosti. Zařazení předmětu ve studijním pogamu Předmět Eletomagneticé vlny, antény a vedení je v pogamu baalářsého studia zařazen do letního semestu. očníu studia. Navazuje na záladní poznaty o stacionáním eleticém a magneticém poli, účincích eleticého poudu a jevech v nestacionáním magneticém poli. Záladem po další studium je pa znalost a pochopení jevů popsaných Maxwellovými ovnicemi. Na tyto poznaty, pobané v předmětu Fyzia v pvním očníu studia pa navazovala láta předmětu Fyzia, zaměřená na vlastnosti vlnění a metody jejich sledování. Matematicý zálad po tyto předměty je obsažen v předmětech Matematia a Matematia. Vedle ozšíření poznatů z oblasti difeenciálního a integálního počtu je důležitá znalost záladů vetoového počtu, schopnost pacovat se záladními vetoovými opeátoy.. Úvod do předmětu Učební text ozvíjí poznaty zísané v půběhu předchozího studia v oblasti eletomagneticých jevů, především vša v oblasti vyzařování eletomagneticých vln, jejich šíření postoem a vedení pomocí záladních stutu. Na poznaty o šíření záladních typů vln ve volném postou navazuje ozsáhlejší pasáž o dvouvodičových vedeních a jejich využití. Stučně jsou popsány ovněž vlnovody a zvláštnosti šíření vln v nich. Po záladním popisu řešení vyzařování antén a anténních soustav jsou pobány hlavní typy antén po jednotlivá mitočtová pásma a jevy při šíření eletomagneticých vln v blízosti povchu Země.

9 Eletomagneticé vlny, antény a vedení 7 Zísané znalosti jsou záladem po studium navazujících předmětů i po apliaci poznatů při řešení úloh tohoto zaměření.. Vstupní test Vstupní test je učen vyhodnocením samotným studentem a jeho účelem je ověření předchozích znalostí studenta, potřebných úspěšnému zvládnutí studia předládaného výuového textu. Výsledy vstupního testu jsou uvedeny v dodatcích v závěu tohoto textu. Obsah testu je zaměřen na připomenutí hlavních poznatů z eletostatiy i eletomagnetismu, teé jsou v dalším výladu využívány bez ozsáhlejšího připomínání.. Ja se změní veliost síly působící mezi dvěma opačnými náboji při zmenšení jejich vzdálenosti na polovinu?. Jaý tva mají evipotenciální plochy dlouhého nabitého válcového vodiče? 3. Poč se náboje soustřeďují na oncích potáhlého nabitého vodiče? 4. Ja je definována apacita (jednoho) nabitého vodiče? 5. Ja velou intenzitu magneticého pole vytvoří poud o veliosti A teoucí dlouhým vodičem, ve vzdálenosti m od jeho osy? 3 Maxwellovy ovnice a jejich řešení 3. Maxwellovy ovnice Maxwellovy ovnice vyjadřují souhnně záony eletomagneticého pole, tedy vzájemné obecné souvislosti mezi veličinami popisují toto pole v aždém místě postou. Maxwellovy ovnice v integálním tvau je možno vyjádřit následující soustavou ovnic. H. dl I zdoj + Iind + dψ dt l l E. dl dφ dt D. ds Q S B. ds S (3.) (3.) (3.3) (3.4) Pvní Maxwellova ovnice (3.) vyjadřuje Ampéův záon celového poudu, de složy vodivého poudu, vyvolané zdojem vlnění I zdoj a induované eleticým polem I ind jsou doplněny o posuvný poud dψ/dt.

10 8 Faulta eletotechniy a omuniačních technologií VUT v Bně Duhá Maxwellova ovnice (3.) představuje Faadayův induční záon. Časová změna magneticého tou Φ, pocházejícího plochou omezenou uzavřenou řivou l je ta vázána s ciulací vetou eleticého pole E po této řivce. Třetí Maxwellova ovnice (3.3) je vyjádřením Gaussovy věty eletostatiy po to eleticé induce D, teý je vyvolán nábojem Q uvnitř objemu uzavřeného plochou S. Čtvtá Maxwellova ovnice (3.4) je pa záonem spojitosti siloča magneticého pole. Výto vetou magneticé induce B z uzavřené plochy je nulový a magneticé siločáy jsou pa do sebe uzavřenými řivami. Vetoy intenzit polí E, H a inducí D, B jsou vzájemně svázány mateiálovými vztahy. V lineáním izotopním postředí, de paamety postředí nezávisí na veliosti veličin eletomagneticého pole a jsou stejné ve všech směech, platí D ε E ε. ε. E (3.5). o B μ H μ. μ. H (3.6). o Konstantami úměnosti jsou zde pemitivita postředí ε a jeho pemeabilita μ. Ve vauu mají tyto veličiny hodnoty ε o -9 /(36) [F/m] a μ o 4π. -7 [H/m]. Relativní pemitivita ε a elativní pemeabilita μ jsou bezozměné veličiny, udávající oliát je pemitivita či pemeabilita daného postředí větší než ve vauu. Eleticé pole působící ve vodivém postředí vyvolává v tomto postředí vodivý poud. Veto plošné hustoty vodivého poudu J [A/m ] je přímo úměný vetou intenzity eleticého pole E J γ.e Konstantou úměnosti je zde měná vodivost postředí γ [S/m]. (3.7) Uvedené mateiálové paamety jsou v lineáním postředí onstantami, v nelineáním postředí jsou obě veličiny funcemi intenzity pole ε ε(e) a μ μ(h). V izotopním postředí jsou pemitivita a pemeabilita saláními veličinami (nezávisí na směu), v neizotopním postředí se jejich vyjádření užívá tenzoů. Popis eletomagneticého pole integálními ovnicemi (3.) - (3.4) má obecnou platnost. Jejich řešení, nutné po učení postoového nebo časového ozložení intenzit polí nebo inducí, je vša velmi obtížné a v řadě situací zvládnutelné jen numeicými metodami. Maxwellovy ovnice (3.) až (3.4) je možno převést na soustavu difeenciálních ovnic oth J + J + D t (3.8) zdoj ote B t div D ρ div B ind (3.9) (3.) (3.) Složy vodivého poudu I zdoj a I ind jsou nahazeny odpovídajícími poudovými hustotami J zdoj a J ind, náboj Q pa objemovou hustotou náboje ρ [C/m 3 ]. Soustava difeenciálních ovnic (3.8) - (3.) je snadněji řešitelná, ale popisuje jevy jen v oblastech, de jsou vetoy E, H, D a B spojité a difeencovatelné. Uvedené vetoy

11 Eletomagneticé vlny, antény a vedení 9 nejsou spojité na ozhaní postředí, teé se liší hodnotami mateiálových onstant ε, μ a γ. Při řešení taových situací pa musíme hledat řešení po aždou oblast se stejnými paamety postředí zvlášť a na ozhaní splnit oajové podmíny složy vetoů intenzit E a H tečných ozhaní postředí musí být v obou postředích shodné stejně jao nomálové (olmé) složy vetoů inducí D a B. Při zoumání poměnných polích mají zásadní význam pvní a duhá Maxwellova ovnice, podle teých je eleticé víové pole svázáno s časovou změnou magneticého pole a naopa víové magneticé pole s eleticým poudem a časovou změnou eleticého pole. Tato vzájemná vazba umožňuje odpoutání poměnného pole od původních zdojů a možnost jeho šíření ve fomě eletomagneticých vln. Třetí a čtvtá Maxwellova ovnice učují zdoje zřídlových polí a při analýze poměnných polí představují pouze počáteční podmíny pvních dvou Maxwellových ovnic. Předpoládejme, že zdojem eletomagneticého pole je hamonicý poud () t I ( ω t +ϕ ) i m cos (3.) de t [s] značí čas, I m [A] amplitudu poudu, ω [ad.s - ] je úhlový mitočet (udává změnu fáze vlny za jednotu času) a ϕ [ad] je počáteční fáze poudu, tedy fáze v oamžiu, teému přiřadíme t. Vztah (3.) lze považovat za eálnou část omplexní funce j ω t+ ϕ jϕ jω t ~ jω I t I. e I. e. e I. e (3.3) () ( ) t m m m Zde e je Euleovo číslo, j je imaginání jednota a ~ I m značí omplexní amplitudu, fázo poudu. V lineáním postředí vybudí hamonicý poud opět pole s hamonicým časovým půběhem. Veličiny tohoto pole tedy můžeme ovněž vyjádřit pomocí fázoů. Pa jednotlivými složami vetoů budou omplexní amplitudy. Vyjádříme-li všechny časové poměnné veličiny v ovnicích pomocí fázoů, můžeme činitele e jωt vyátit a v ovnicích dostaneme součty a součiny omplexních amplitud. Velou výhodou vyjádření pomocí fázoů je sutečnost, že jeho deivace přechází v násobení fázou členem jω a výsledem integování je dělení fázou členem jω. Po hamonicá pole je možno difeenciální Maxwellovy ovnice převést do tvau ~ ~ ~ ~ oth J + J jωεe (3.4) zdoj ind + ~ ~ ote jω μh (3.5) ~ div D ~ ρ (3.6) ~ div B (3.7) Ve všech následujících částech této učebnice se budeme zabývat pouze hamonicými eletomagneticými poli. Všechny veličiny pole tedy budou omplexní čísla fázoy. Pa nehozí nebezpečí záměny fázou a eálného vetou a není nutné upozoňovat na omplexní chaate veličin vlnovou. Tu budeme používat jen v případech, dy bude třeba zdůaznit omplexní chaate učité veličiny. Při opeacích s veličinami vša musíme stále espetovat jejich vetoový chaate (oientace v postou) i sutečnost, že jde o fázoy (vzájemný

12 Faulta eletotechniy a omuniačních technologií VUT v Bně časový posuv). I jednoduché sečtení dvou vetoů pa vyžaduje ozlad vetoů na postoové složy, jejich sečtení s ohledem na fázové posuvy a vyjádření výsledného vetou pomocí tato zísaných slože. Omezení dalších úvah na hamonicá pole sníží obecnost zísaných výsledů jen velmi málo, neboť v aždém lineáním postředí je možno nehamonicý časový půběh veličiny nahadit řadou hamonicých půběhů. 3. Řešení soustavy Maxwellových ovnic V této části si uážeme hlavní postupy při analyticém řešení soustavy Maxwellových ovnic v difeenciálním tvau. Budeme hledat řešení této soustavy difeenciálních ovnic v lineáním homogenním a izotopním postředí s nulovou hustotou náboje ρ a zdojové složy poudové hustoty J zdoj. Tato situace odpovídá úlohám o šíření vln v daném postředí, dy se nezajímáme o vzni vlny, ale pouze o změny amplitudy, fáze nebo polaizace, e teým dochází při šíření vlny postředím. Nejpve upavíme výaz na pavé staně ovnice (3.4) J ind γ γ + jω ε E jω E + jωε E jω ε j E jωε E, (3.8) jω ω de ε je omplexní pemitivita postředí, zahnující i vliv jeho vodivosti γ. Dosazením do ovnice (3.4) dostaneme homogenní soustavu Maxwellových ovnic ve tvau ot H jωε E (3.9) ote jω μh (3.) div D (3.) div B (3.) Tuto soustavu je možné ozepsat na soustavu osmi paciálních difeenciálních ovnic (otace má tři složy, divegence jednu). V atézsé soustavě jsou neznámými složy vetou eleticé intenzity E x, E y a E z, složy vetou magneticé intenzity H x, H y a H z, teé jsou omplexními amplitudami (učené modulem a fází). Postup analyticého řešení soustavy ovnic (3.9) (3.) zahnuje pět záladních etap. volba souřadné soustavy podle očeávaného (nebo požadovaného) tvau řešení zvolíme atézsý, polání, válcový nebo ulový souřadný systém. fomulace předpoladů podle možností zavedeme předpolady o vlastnostech pole můžeme předem předpoládat, že něteé složy intenzity pole budou nulové nebo se v učitém směu nemění (mají nulovou deivaci v tomto směu) a další 3. vyjádření ovnic (3.9) (3.) ve zvoleném souřadném systému. Dosazením výše uvedených předpoladů se může jejich počet výazně snížit a ta usnadnit (nebo doonce umožnit) jejich řešení.

13 Eletomagneticé vlny, antény a vedení 4. sestavení ovnic po jednotlivé neznámé a jejich řešení matematicými úpavami se převede soustava ovnic na ovnice obsahující jen jednu neznámou a ty se vhodným postupem řeší 5. učení integačních a sepaačních onstant učí se z oajových podmíne (např. že v neonečné vzdálenosti od zdoje bude intenzita pole nulová). Jedna z onstant obvyle v řešení zůstane jao zdojová závisí na veliosti budicí veličiny (poudu apod.) Soustavu ovnic (3.9) (3.) je možno řešit analyticy čtyřmi lasicými postupy a) eliminace neznámých ze soustavy saláních ovnic - opeátoy otace a divegence se ozepíší ve zvolené souřadné soustavě do složového tvau a vznilá soustava ovnic se řeší. Podmínou použití tohoto postupu je výazná educe počtu saláních ovnic po dosazení předpoladů b). Poud i pa zůstává soustava více než dvou ovnic, je vhodnější použít jiný postup řešeni. b) eliminace neznámých ve vetoovém tvau vhodnou úpavou ovnic (3.9) a (3.) je možno zísat vetoové ovnice jen s jednou z intenzit polí. Postup je následující: Vytvořením otace obou stan ovnice (3.) a dosazením za intenzitu H z ovnice (3.9) dostaneme vztah ot ote jω μ oth ω ε μ E (3.3) Levou stanu poslední ovnice je možno zapsat jao ot ot E gad dive E (3.4) de symbol značí Laplaceův opeáto. V postředí bez volných nábojů (ρ ) je podle (3.) divd dive a po dosazení (3.4) do (3.4) dostaneme tzv. vlnovou ovnici po veto eleticé intenzity E E + E (3.5) Zde onstanta, definovaná vztahem ( ωε ) ω ε μ jω μ j (3.6) označuje vlnové číslo postředí, ve teém se vlna šíří. Eliminace neznámých ve vetoovém tvau umožní řešit vlnovou ovnici po jednu z intenzit pole a duhou intenzitu zísat dosazením výsledu do substituční ovnice, v popsaném případu (3.9). Tento postup je zvláště vhodný po výpočty v atézsé soustavě, de na obou stanách ovnice (3.5), ozepsané po jednotlivé složy, dostáváme jen jednu poměnnou. c) využití vetoového potenciálu Při tomto přístupu řešení Maxwellových ovnic nejpve nahadíme pole vetoů E a H polem pomocného vetou, vetoového potenciálu A. Vetoový potenciál je vázán s magneticou inducí B vztahem

14 Faulta eletotechniy a omuniačních technologií VUT v Bně A otb (3.7) Intenzitu eleticého pole E a magneticého pole H můžeme pomocí vetoového potenciálu A vyjádřit pomocí vztahů E jω A + gad diva (3.8) H ota (3.9) μ Po dosazení definičního vztahu (3.7) do Maxwellových ovnic a úpavách dostaneme vlnovou ovnici po vetoový potenciál A + A (3.3) Popsaným postupem jsme zdánlivě našli jen složitější postup řešení opět musíme řešit vlnovou ovnici a obě hledané intenzity pole vypočítat dosazením do substitučních vztahů (3.8) a (3.9). Záladní výhodou řešení polí pomocí vetoového potenciálu je snadnější educe počtu ovnic. Vetoový potenciál A má totiž vždy smě poudu, teý vybudil sledované pole a známe tedy předem jeho smě v postou. Při vhodném umístění do souřadné soustavy pa vetoový potenciál může mít jen jednu nenulovou složu a řešení vlnové ovnice (3.3) je pa jednodušší než řešení vlnové ovnice (3.5) po intenzitu pole. d) využití Hetzových vetoů Při tomto postupu řešení Maxwellových ovnic se ovněž pacuje s pomocnými vetoy (tzv. Hetzovy potenciály), teé umožňují nahadit vetoový potenciál A i salání potenciál ϕ jediným vetoem. Opět je třeba řešit vlnovou ovnici po pomocný veto a hledané intenzity pole zísat dosazením do substitučních ovnic. Využití Hetzových potenciálů (vetoů) je výhodné při analýze eletomagneticého pole uvnitř vlnovodů. Podobněji se poto seznámíme s vlastnostmi Hetzových vetoů a jejich využitím při řešení polí v 6. apitole věnované vlastnostem vln ve vlnovodech. 3.3 Kontolní otázy a přílady (Kapitola 3). Ja se sčítají vetoy s fázoovým chaateem?. Vysvětlete ozdíl poudových hustot ve vztahu (3.4) 4 Eletomagneticé vlny ve volném postředí V této apitole se budeme zabývat eletomagneticými vlnami, teé se šíří neomezeně ozlehlým postředím, teé je izotopní a homogenní a jeho vlastnosti jsou učeny pemitivitou ε ε o.ε, pemeabilitou μ μ o.μ a měnou vodivostí γ. Navíc budeme předpoládat, že ve zoumaném postou nejsou náboje (objemová hustota ρ ) ani v něm

15 Eletomagneticé vlny, antény a vedení 3 netečou poudy I zdoj, teé vybudily zoumanou vlnu. V tomto postou tedy existuje jen eletomagneticá vlna o mitočtu ω, teá vznila vlivem zdojových veličin působících mimo zoumaný posto. Pa pavou stanu ovnice (3.4) můžeme upavit na tva J ind γ γ + jω ε E jω E + jωε E jω ε j E jωε E jω ω (4.) Touto úpavou se podařilo nahadit poudovou hustotu J ind zavedením omplexní pemitivity postředí ε. Hlavní pozonost bude v této apitole věnována unifomním vlnám, u teých je amplituda eleticé i magneticé intenzity na vlnoploše onstantní. Vlnoplocha je plochou, na teé má intenzita eleticého pole E i intenzita magneticého pole H onstantní fázi. Eletomagneticé pole, teé vznine v učitém místě postou, nezaplní tento posto oamžitě, ale šíří se v něm onečnou ychlostí, teá závisí na vlastnostech postředí. Veto intenzity eleticého pole E je popsán vlnovou ovnicí (3.5) ( E + E ) (4.) Podobným postupem je možno odvodit i vlnovou ovnici po veto intenzity magneticého pole H H + H (4.3) Vyřešením těchto ovnic zísáme výazy po intenzity eleticého a magneticého pole vlny šířící se popsaným postoem. Předpoládejme nyní, že bodový zdoj vlny vyzařuje ve všech směech stejně. V učitém oamžiu t o pa místa se stejnou fází eleticé nebo magneticé intenzity vlnoplochy - jsou soustředné ulové plochy se středem v bodovém zářiči. Říáme pa, že postoem se šíří ulová vlna a společný střed ulových vlnoploch označujeme jao fázový střed vln. Je-li zdojem vlny hamonicý poud, potéající neonečně dlouhým vodičem, budou mít vlnoplochy válcový tva. Postoem se pa šíří válcová vlna, vycházející zdánlivě z osy vodiče. Každý zdoj vlnění onečných ozměů vytváří ve velé vzdálenosti od zdoje vlnu ulovou. Budeme-li vša ulovou nebo válcovou vlnu pozoovat ve velé vzdálenosti od zdoje, bude zařivení vlnoplochy velmi malé a můžeme ji považovat za vlnoplochu ovinné vlny. Zoumání šíření ovinné vlny je tedy zjednodušením sutečné situace, teé nám pomůže snadněji sledovat jevy a souvislosti při šíření vlny a závěy pa přiměřeně využít i při sledování šíření ulové a válcové vlny. 4. Šíření ovinné vlny Vlnoplochami ovinné vlny jsou ovnoběžné oviny, na teé je smě šíření vlny olmý. Po řešení zvolíme atézsou souřadnou soustavu oientovanou ta, že předpoládaný smě šíření bude shodný se směem osy z a veto intenzity eleticého pole E bude ovnoběžný s osou x. Rovina xy a oviny s ní ovnoběžné pa budou vlnoplochami.

16 4 Faulta eletotechniy a omuniačních technologií VUT v Bně Jedinou nenulovou složou vetou eleticé intenzity bude složa E x, jejíž amplituda se bude měnit pouze ve směu šíření z. Vzhledem předpoladu unifomity vlny se amplituda vlny bude na vlnoploše stálá a ve směech x a y se nebude měnit (její deivace v těchto směech bude nulová). Vetoová ovnice (4.) poto přejde v jedinou salání ovnici difeenciální ovnici. řádu s onstantními oeficienty. d Ex + E x dz (4.4) Obecné řešení ovnice (4.4) můžeme zapsat dvojím způsobem pomocí exponenciálních funcí jz E x A. e + B. e jz (4.5) nebo pomocí goniometicých funcí E x ( z) + B. cos( z) A. sin (4.6) de veličiny A, B, A a B jsou integačními onstantami. Rovnice (4.5) vyjadřuje dvojici vln, šířících se opačnými směy. Pvní člen vyjadřuje pimání (přímou) vlnu šířící se od zdoje ve směu ladné osy z, duhý člen pa popisuje seundání vlnu šířící se opačným směem, teá může vzninout napřílad odazem od nehomogenity v postou. V postou pa mohou existovat současně obě vlny, teé se spolu sládají (intefeují). Po popis stojatého vlnění, teé vzniá intefeencí vln šířících se ůznými směy, se používá vyjádření ovnicí (4.6). V této apitole budeme sledovat šíření vlny postoem a poto využijeme zápis (4.5). Všimněme si blíže vlnového čísla. Nenulovou vodivost postředí γ je možno espetovat dosazením omplexní pemitivity ε, definované ovnicí (3.8), do vztahu (3.6). Pa i vlnové číslo bude omplexní veličinou, teé ve složovém tvau můžeme vyjádřit vztahem j (4.7) Fyziální význam obou slože vlnového čísla bude zřejmý po dosazení (4.7) do pvního členu ovnice (4.5), teý popisuje šíření přímé vlny. Pa E j( j ) z z j z ( z) A e A e.. e. (4.8) Člen e - z učuje změnu (poles) amplitudy vlny při šíření ve směu z, dy šířící se vlna ve vodivém postředí induuje poudy, teé toto postředí ohřívají. O enegii, přeměněnou v teplo, je pa šířící se vlna ochuzena. Složa vlnového čísla je tzv. měný útlum [m - ]. Všimněme si, že poles amplitudy vlny na dáze m učuje člen e -, ne vša přímo měný útlum. Člen e -j z učuje změnu (zpoždění) fáze vlny na dáze z ve směu šíření vlny. Složa vlnového čísla je tzv. měná fáze [ad.m - ] a udává přímo zpoždění fáze vlny na dáze m ve směu šíření vlny. Intenzita pole E(z) se ovněž mění v čase (je fázoem) a ta, po doplnění časové závislosti podle vztahů (3.) a (3.3) dostaneme E z j( t z ) ( z t) A e ω.. e, (4.9)

17 Eletomagneticé vlny, antény a vedení 5 Fáze vlny pa závisí na poloze bodu pozoování (souřadnice z ) i na čase t, ve teém je fáze zjišťována. Eletomagneticá vlna, šířící se postoem, má tedy časopostoový chaate. Po pozoovatele stojícího v učitém místě z z o se vlna jeví jao hamonicá časová funce, při sledování postoové závislosti fáze vlny v oamžiu t t o lze pozoovat hamonicou závislost fáze vlny na postoové souřadnici z. Znaména časového členu ω t a postoového členu z v ovnici (4.9) jsou opačná. Kteý z členů je ladný je věcí dohody. V tomto textu budeme používat postoový člen se záponým znaménem, ja je uvedeno v ovnici (4.9). Vlastnosti vlny chaateizuje ještě dva další paamety vlnová déla λ [m] a fázová ychlost v f [m.s - ]. Představme si vlnu, teá má v čase t o na své vlnoploše (x, y, z o ) fázi Φ t o ω z (4.) Fázová ychlost vlny v f je ychlostí pohybu bodu s fází Φ o ve směu šíření vlny. Rychlost je ovna časové deivaci dáhy a fázová ychlost je pa dána vztahem dz d ω Φ ω v f t (4.) dt dt Vlnová déla λ udává vzdálenost dvou sousedních vlnoploch se stejnou fází (přesněji s fází lišící se o π adiánů). Je taé ovna vzdáleností, teou bod s fází Φ o uazí za dobu peiody vlny T [s] λ v. T v f (4.) f f / de f /T [Hz] je mitočet vlny. Podle (4.) a (4.) je měná fáze π λ (4.3) Veto intenzity magneticého pole H bychom mohli zísat řešením vlnové ovnice (4.3výše popsaným způsobem. Snadněji vša dojdeme výsledu dosazením do duhé Maxwellovy ovnice ote H (4.4) jωμ Pa složy vetou magneticé intenzity H x H z a H γ + jωε (4.5) jω μ y E x Pomě nenulových slože intenzit pole E x a H y je oven chaateisticé impedanci postředí Z o Z o μ ε (4.6)

18 6 Faulta eletotechniy a omuniačních technologií VUT v Bně Chaateisticá impedance postředí může být omplexní veličinou (ve vodivém postředí), ve volném postou (ε o, μ o ) má hodnotu Z o.π 377 Ω. Vetoy eleticé a magneticé intenzity jsou vzájemně olmé a oba jsou olmé i e směu šíření vlny. Rovinná vlna, šířící se volným postoem, pa nemá žádnou složu intenzity pole ovnoběžnou se směem šíření a je vlnou příčně (tansvesálně) eletomagneticou vlna TEM. Na Ob. 4. je znázoněna oamžitá veliost vetoů E a H na ose z v časovém oamžiu t o. Po unifomní vlnu (teou jsme při odvození předpoládali) dostaneme stejný výslede i po aždou ovnoběžu s osou z. Situace odpovídá šíření vlny ve ztátovém postředí (γ > ), dy amplituda obou vln ve směu šíření lesá a obě intenzity jsou vzájemně fázově posunuty (Z o je omplexní). x E z y H Ob. 4.: Intenzita pole ovinné vlny ve volném postou Výon, nesený eletomagneticou vlnou, chaateizuje Poyntingův veto * E H (4.7) Π Smě Poyntingova vetou je shodný se směem šíření vlny a jeho veliost má význam plošné hustoty omplexního výonu neseného eletomagneticou vlnou. Ve vztahu (4.7) je H * veto omplexně sdužený (s opačným znaménem fáze) vetou H. Reálná složa Poyntingova vetou pa udává střední hodnotu činného výonu, teý pochází jednotovou plochou, olmou na smě šíření vlny. Předchozí poznaty ozšíříme na situace, dy sledujeme vlastnosti vlny ve směu odchýleném od směu šíření vlny. Situaci ilustuje Ob. 4.. ϕ Δ ϕ Δ α.cos α, Δ, Δ /cosα Ob. 4.: Šíření ovinné vlny v obecném směu

19 Eletomagneticé vlny, antény a vedení 7 Rovinná vlna se šíří ve směu. Na vyznačených vlnoplochách, teé se liší fází o.δ (adiánů), je vzdálenost bodů ovna Δ. Ve směu, odchýleném od směu šíření vlny o úhel α, je vzdálenost bodů na stejných vlnoplochách větší a je ovna Δ Δ/cosα. Potože ozdíl fází ϕ Δ je v obou situacích stejný, dostaneme po dosazení za Δ ϕ. Δ.cosα. Δ. Δ (4.8) Součin.cosα vyjadřuje půmět vetou do odchýleného směu a je možno jej chápat ovněž jao výslede saláního součinu vetoů a. Pa vlnový veto má veliost (i fázi) vlnového čísla a smě shodný se směem šíření vlny. Při výpočtech pa místo součinu. dosazujeme salání součin.. V atézsé soustavě je salání součin vetoů oven součtu součinů odpovídajících slože vetoů. Pa změnu vlny mezi body A a B (Ob. 4.) můžeme vyjádřit vztahem E j.ba ( B) E( A). e (4.9) Zde BA x ( x x ) + ( y y ) + ( z z ). (4.) B A y B A z B A de x, y a z jsou složy vlnového vetou a x A, y A a z A jsou souřadnice bodu A, de je zadána intenzita pole E(A). 4. Šíření válcové vlny Zdojem hamonicé válcové vlny může být dlouhý přímý vodič, potéaný hamonicým poudem. Po řešení zvolíme válcovou souřadnou soustavu (, ϕ, z) a vyzařující vodič umístíme do osy z ja uazuje Ob Vlnoplochami jsou pa válcové plochy onst. souměné podle osy z. z I(z) P(, ϕ,z) ϕ y x Ob. 4.3: Vyzařující vodič ve válcové soustavě Veto poudové hustoty J má stejný smě jao vodič, teým potéá poud I(z). Pa i vetoový potenciál bude mít jedinou nenulovou složu A z a vetoová vlnová ovnice (3.3) přejde ve salání ovnici po tuto složu

20 8 Faulta eletotechniy a omuniačních technologií VUT v Bně A + A (4.) z z Opeáto v ovnici (4.) ozepíšeme po válcové souřadnice a dostaneme difeenciální ovnici duhého řádu s třemi poměnnými A z z A + z A + z + Az Az + ϕ (4.) Abychom mohli snadněji řešit ovnici (4.), využijeme metody sepaace poměnných. Řešení vlnové ovnice budeme hledat ve tvau součinu tří funcí, z nichž aždá závisí jen na jedné poměnné (). Φ( ϕ ) Z( z) A z R. (4.3) Po dosazení (4.3) do vlnové ovnice (4.) a úpavě můžeme ozdělit členy závislé vždy jen na jedné poměnné a dílčí ovnice řešit samostatně. Postup odvození je uveden v [3]. Ve směu z připustíme možnost existence postupné vlny, teé odpovídá řešení ve tvau jhz Z ( z) C. e + C. e jhz (4.4) Sepaační onstanta h má význam vlnového čísla ve směu z. Ve směu ϕ se vlna šířit nemůže, potože při zvětšování úhlu ϕ se musí hodnoty funce Φ(ϕ ) opaovat po celočíselných násobcích π. Pa je nutno zvolit řešení ve tvau ( ϕ ) C cos( nϕ ) + C. sin( nϕ ) Φ (4.5). de sepaační onstanta n musí být celým číslem. Dosazením předchozích výsledů a substitucí přejde ovnice (4.) v Besselovu difeenciální ovnici. Jejíž řešení je možno vyjádřit lineání ombinací Besselových funcí J n (ρ) a Neumannových funcí N n (ρ) řádu n agumentu ρ. Potože v adiálním směu se může vlna šířit nebo v tomto směu může existovat stojaté vlnění, je i zde možný dvojí zápis výsledu. Po situace, dy se v adiálním směu vlna nešíří je vhodné vyjádření lineání ombinací Besselových a Neumannových funcí ve tvau R () C3 J n ( h ) + C 3 N n ( h ) (4.6) de je vlnové číslo v uvažovaném postředí. V případě, že chceme popsat vlnu šířící se ve směu, použijeme lineání ombinaci Hanelových funcí pvního a duhého duhu agumentu ρ, n ( ρ) J ( x) N ( ρ) H ± Funce R() pa má tva R n n () () () C4 H n ( h ) + C 4 H n ( h ) (4.7) (4.8) Konečné řešení vlnové ovnice (4.) po je součinem dílčích řešení (4.4), (4.5) a (4.6) nebo (4.8). Integační onstanty C se stanoví podle známého směu šíření a

21 Eletomagneticé vlny, antény a vedení 9 z podmíny, že vetoový potenciál A z musí být všude onečný a v neonečnu nulový. Jedna z onstant opět zůstane ve výsledu jao zdojová onstanta. Po učení sepaačních onstant h a n je třeba najít ještě další podmíny. Poud je předem neznáme, pa fomulovanému poblému vyhovují všechny možné hodnoty sepaačních onstant i lineání ombinace těchto řešení. Po jednoduchost uvažujme vlnu, teá se nešíří ve směu z. Pa sepaační onstanta h a sepaační onstanta n může být libovolným celým číslem. Řešením je pa neonečná řada A z + n C n () ( n ). H ( ). cos ϕ (4.9) n Pozonost si zaslouží ještě volba duhu Hanelovy funce. Po vyjádření vlny, teá se šíří od osy z je nutné, aby se její fáze s naůstající vzdáleností od osy z zpožďovala. Sovnáním asymptoticých vyjádření po Hanelovy funce, platné po velé vzdálenosti ( ) nπ π + j 4 ) H n e (4.3) π ( ( ) nπ π j 4 ) H n e (4.3) π ( zjistíme, že Hanelova funce duhého duhu (4.3) má fázový člen e -j a popisuje vlnu šířící se od osy z adiálně do neonečna, zatímco Hanelova funce pvního duhu (4.3) vyjadřuje vlnu, teá se ose z od neonečna sbíhá. Po doončení řešení je třeba vypočíst z vetoového potenciálu A eleticou a magneticou intenzitu pole podle vztahů (3.8) a (3.9). Po unifomní vlnu pa musí být n a h. Po velé vzdálenosti pa dostaneme (s použitím (4.3)) po sloučení onstant vztah E z C e j (4.3) Vidíme, že fáze válcové vlny se mění se vzdáleností stejně jao fáze vlny ovinné. Amplituda válcové vlny se vša i v postředí beze ztát (vlnové číslo je eálné) zmenšuje ve směu šíření, a to nepřímo úměně s odmocninou vzdálenosti. Taový výslede je možno očeávat. Člen e -j totiž popisuje, ja již bylo řečeno, postupnou vlnu. Veliost amplitudy eleticé intenzity E musí být taová, aby výon, pocházející libovolnou válcovou plochou S s osou totožnou se zdojovým vodičem, byl vždy oven výonu vyzařovanému zdojem vlnění P Σ (v bezeztátovém postředí se enegie vlny nemůže měnit v teplo). Ve velé vzdálenosti od zdoje se vlastnosti unifomní válcové vlny blíží vlastnostem ovinné vlny - vetoy E a H jsou na sebe olmé a jejich pomě je oven chaateisticé impedanci postředí Z o. Pa výon, nesený válcovou vlnou, je ve velé vzdálenosti od zdoje, je dán vztahem

22 Faulta eletotechniy a omuniačních technologií VUT v Bně E P Σ Π. S.π. z onst (4.33) Z Veliost plochy S se zvětšuje úměně vzdálenosti a intenzita pole E se musí zmenšovat s odmocninou vzdálenosti. Potože uvažujeme amplitudy intenzit polí, je nutno jejich součin při výpočtu výonu dělit dvěma. 4.3 Šíření ulové vlny Obecný ozbo šíření ulové vlny je matematicy náočný. Vlnovou ovnici po vetoový potenciál (3.3) je třeba vyjádřit v ulové souřadné soustavě (, ϕ, ϑ ) ja uazuje Ob z P ϕ ϑ y x Ob. 4.4: Kulová souřadná soustava (,ϕ,ϑ ) I v tomto případě budeme hledat řešení ve tvau součinu funcí (). Φ( ϕ ) Θ( ϑ) A R. (4.34) a metodou sepaace poměnných zísáme ovnice po aždou z poměnných. Výsledem řešení je vyjádření dílčích výsledů pomocí tabelovaných funcí Besselových funcí a Legendových polynomů. I zde je pa vetoový potenciál vyjádřen součinem hledaných funcí (4.34) a intenzity pole je nutno najít dosazením do substitučních vztahů (3.8) a (3.9). Složitý výslede se výazně zjednoduší v případě unifomní ulové vlny, dy sepaační onstanty jsou nulové. Ve velých vzdálenostech od zdoje pa intenzitu eleticého pole můžeme vyjádřit vztahem C E. e j de C je zdojová onstanta, jejíž veliost učíme podobně jao u válcové vlny. (4.35) Uvažme nejpve všesměový zářič, teý v bezeztátovém postředí (eálné vlnové číslo ) vyzáří výon P Σ. Kulová vlna se šíří od zářiče a na vlnoploše bude mít všude stejně velé amplitudy intenzity eleticého pole E vlna je unifomní. Ve velé vzdálenosti od zářiče budou opět vetoy eleticé a magneticé intenzity navzájem olmé a ve fázi a

23 Eletomagneticé vlny, antény a vedení hustota výonu, neseného ulovou vlnou, bude ovna Π E /Z o. Pa výon pocházející ulovou plochou ve vzdálenosti opět musí být oven výonu vyzářenému zářičem P Σ E PΣ Π. S.4π (4.36) Z o a po intenzitu eleticého pole E ta dostaneme vztah 6. P. Z o E Σ (4.37) V bezeztátovém postředí je γ a chaateisticá impedance postředí Z o je učena vztahem (4.6). Pa po efetivní hodnotu intenzity eleticého pole E ef E/ dostaneme vztah E ef 3. P Σ. 4 (4.38) μ ε Sutečné zdoje téměř nidy nezáří stejně do všech směů a intenzita pole v ůzných směech má ůznou amplitudu vlna není unifomní. Tuto sutečnost je možno espetovat přidáním směově závislého činitele D(ϕ,ϑ ), teým se násobí vyzářený výon P Σ ve vzoci (4.38) E 3. P. D ( ϕ, ϑ) μ Σ ef.4 (4.39) ε Veličina D(ϕ,ϑ ) je činitel směovosti zdoje vlnění. Vyjadřuje ozdělování dodané enegie zdojem do jednotlivých směů. Činitel směovosti je větší než jedna ve směech, am zdoj záření soustřeďuje a jeho veliost je menší než jedna ve směech, am je záření potlačováno. Činitel směovosti všesměového (izotopního) zdoje by byl po všechny směy oven jedné. 4.4 Intefeence ovinných vln V předchozích úvahách se postředím šířila vždy jen jedna vlna. V situacích, dy se postoem současně šíří více vln, dochází e sládání vln intefeenci. Po jednoduchost budeme předpoládat, že se postoem šíří jen dvě oheentní lineáně polaizované vlny. Předpolad oheence vln zajišťuje jejich stejný mitočet i stálý fázový zdvih a taové vlny mohou vzninout napřílad odazem od ozhaní nebo při buzení něolia zářičů jedním geneátoem. Lineáně polaizovaná vlna pa má v postou stále stejný smě vetoů intenzity pole. Vlny, šířící se postoem, se mohou lišit směem šíření i směy vetoů intenzity pole. Všimněme si nyní dílčích situací.. obě vlny se šíří stejným směem. Obě vlny můžeme nahadit jedinou vlnou, teá se šíří stejným směem. Výsledný veto intenzity pole zísáme vetoovým součtem obou dílčích intenzit pole. Potože

24 Faulta eletotechniy a omuniačních technologií VUT v Bně intenzity obou dílčích polí jsou současně i fázoy (mohou být vzájemně fázově posunuty), je třeba nejpve oba vetoy ozložit na vhodné složy v postou (v atézsé soustavě do směů x a y ), sečíst tyto složy s ohledem na jejich fázové posuvy a z výsledných slože pa opět vyjádřit veto intenzity výsledného pole. Jsou-li směy vetoů intenzity pole obou dílčích polí stejné, má i veto intenzity pole výsledné vlny týž smě a výsledná vlna je ovněž lineáně polaizovaná. Při sčítání je vša třeba espetovat fázový posuv intenzit dílčích polí. Při ůzné oientaci vetoů intenzity pole dílčích polí v postou vznine obecně elipticy polaizovaná výsledná vlna oncový bod výsledného vetou intenzity pole se v postou pohybuje po elipse ležící v ovině olmé na smě šíření vlny. Smysl otáčení vetou (levotočivý nebo pavotočivý) se posuzuje ve směu šíření vlny a závisí na fázovém posuvu dílčích vln. Když jsou vetoy dílčích polí navzájem olmé a jejich fázový posuv je oven ±π/, vznine uhově polaizovaná vlna. Podmínou vzniu lineáně polaizovaného výsledného vlnění je nulový fázový posuv mezi fázoy dílčích vln. Výsledný smě intenzity pole v postou závisí na poměu pavoúhlých slože výsledného vlnění.. obě vlny mají ůzný smě šíření Uvažujme dvě oheentní ovinné vlny, teé se šíří postoem ůznými směy. Vlastnosti výsledného vlnění chceme pozoovat ve směu učeném vetoem (Ob. 4.4). α α Ob. 4.4: Šíření ovinných vln ůznými směy Potože obě vlny mají stejný mitočet a šíří se stejným postředím, jsou i moduly vlnových vetoů a stejně velé a půměty obou vlnových vetoů do směu jsou dány vztahem. α α (4.4) α cos, α. cos V následujícím ozbou budeme nejpve předpoládat, že amplitudy obou vlny jsou stejně velé a fázový posuv mezi intenzitami je nulový E o Eo Eo (4.4) Pa součet obou vln je učen vztahem E j j Eo e + Eo. e (4.4). Součiny v exponentech ještě upavíme na tva α α α α α + + (4.43)

25 Eletomagneticé vlny, antény a vedení 3 a α α α α α + + (4.44) Po dosazení do (4.4) dostaneme E / [ e + e ] ( + ) j( ) / j( ) j / E. e (4.45) o a jeho další úpavou pa výsledný vztah j( + ) / [( ) / ]. e E E..cos (4.46) o Výsledná vlna má tedy ve směu následující vlastnosti: fáze vlny se ve směu zpožďuje a její změna je popsána exponenciálním členem v (4.46. Změna fáze je úměná střední hodnotě vlnových čísel a vzdálenosti. amplituda výsledné vlny se peiodicy mění se vzdáleností a v učitém místě má hodnotu učenou osinovým členem v (4.46), nezávislou na čase. Ve směu tedy můžeme pozoovat stojaté vlnění, teé vznilo intefeencí uvažované dvojice ovinných vln. Vzdálenost minim nebo maxim, déla vlny stojatého vlnění, je úměná ozdílu vlnových čísel vln ve směu. Další analýzou vztahu (4.46) bychom zjistili, že ve směu symetály e směům a je, amplituda výsledné vlny se v tomto směu nemění a výsledné vlnění má chaate postupné vlny, šířící se v tomto směu s fázovou ychlostí stejnou jao dílčí vlny ve směu olmém této symetále je -, fáze výsledné vlny je stálá (smě je ovnoběžný s vlnoplochami) a amplituda vlny se peiodicy mění (neunifomní vlna) ta, že vzdálenost sousedních minim nebo maxim je polovinou dély vlny λ. Opusťme nyní dříve přijatý předpolad stejných amplitud dílčích vln a jejich nulový fázový posuv. I v tomto obecném případě se budou sčítat fázoy dílčích vln a vzninou místa s maximální a minimální amplitudou výsledného vlnění. V maximu vša bude amplituda výsledné vlny ovna součtu amplitud dílčích vln (vlny jsou ve fázi), v minimu pa jejich ozdílu (dílčí vlny v potifázi). Názoně tuto situaci uazuje fázoový diagam (Ob. 4.5). α E E E α ( - ). Ob. 4.5: Intefeence dvojice ovinných vln s ůznými amplitudami

26 4 Faulta eletotechniy a omuniačních technologií VUT v Bně Na závě je třeba připomenout, že při výpočtech polí intefeujících vln platí vztahy po pomě intenzit polí E/H Z o a po hustotu výonu Π E x H jen po aždou z dílčích vln, ne vša po intenzity pole výsledného vlnění. 4.5 Kontolní otázy a přílady (Kapitola 4). Jaou vlastnost má intenzita pole na vlnoploše neunifomní vlny?. Ja se mění amplituda a fáze ovinné vlny ve směu šíření v postředí se ztátami? 3. Chaateizujte vlnový veto 4. Jaá by byla déla vlny pozoovaná ve směu vlnoplochy? 5. Poč se zmenšuje amplituda intenzity pole ulové vlny i při šíření v postředí beze ztát? 6. Ja je možné vyjádřit uhově polaizovanou vlnu? 7. V jaé hloubce lesne amplituda ovinné vlny o mitočtu MHz, šířící se svisle dolů postředím ε 4, μ o, γ -3 S/m (suchá půda), na hodnotu /e /,78 (hlouba vniu)? 5 Šíření TEM vlny podél vedení V předchozí apitole jsme sledovali šíření eletomagneticých vln volným postoem. Při přenosu eletomagneticé enegie je třeba zajistit, aby se podstatná část enegie od zdoje dostala předepsané zátěži. K tomu slouží ůzné vlnovodné stutuy vedení, teé ealizují vhodné oajové podmíny a přinutí vlnu šířit se požadovaným směem. I dyž se vlna v mezích vlnovodné stutuy může šířit ůznými směy, výsledný smě šíření vlny pa směřuje podél vedení. Užívané typy vedení se liší typem vlny na vedení, hodnotami paametů vlny i mitočtovou oblastí využití. V následující tabulce jsou sovnány typicé vlastnosti záladních typů vedení. Tab. 5.: Hlavní typy vedení a jejich vlastnosti Typ vedení Přílad vlna f it λ g v f vidy dvoudátové dvoulina, oaxiální v. TEM λ o c TEM + vyšší vlnovod vlnovod TE, TM GHz > λ o > c mnoho jednodátové GUBO, světlovod TE, TM, (TEM) λ o c, ε ůzné

27 Eletomagneticé vlny, antény a vedení 5 Na vedení se může šířit více typů vln. Vedle nám již známé vlny TEM (tansvezálně eletomagneticé), teá nemá žádnou složu intenzity pole ve směu šíření vlny, existují i vlny tansvesálně eleticé, teé mají eleticou intenzitu příčnou na smě šíření, magneticá intenzita vša má taé složu ovnoběžnou se směem šíření vlny a vlny tansvesálně magneticé s nenulovou složou eleticé intenzity ve směu šíření vlny. Kiticý mitočet vedení je nejnižší mitočet vlny daného typu, při teém se vlna může šířit vedením. Při nižším mitočtu se vlna vedením nešíří (odáží se zpět). Pojmem vid označujeme jednotlivé stutuy eletomagneticého pole daného typu. Vid, teý se na vedení může šířit při nejnižším mitočtu nebo vid s největším významem se označuje jao dominantní vid na vedení. Kmitočtová oblast, ve teé se na vedení může šířit jen jeden vid, se nazývá pásmo jednovidovosti daného vedení. Mimo toto pásmo, obvyle na vyšších mitočtech, se na vedení může současně šířit více dílčích vidů (stutu pole). Déla vlny na vedení λ g se může lišit od dély vlny λ o teá při stejném mitočtu odpovídá vlně šířící se volným postoem. Při analýze poměů na vedení se užívají dva záladní přístupy a) eletomagneticý přístup - hledáme ozložení vetoů E a H na stutuře ealizující požadované oajové podmíny (vedení). Z výsledů se učí ozložení napětí U a poudu I v jednotlivých místech vedení. Tímto postupem můžeme zísat obecné a úplné výsledy, zahnující I ůzné vidy, teé se mohou na vedení šířit. Příladem je analýza ozložení pole v oaxiálním vedení, uvedená v [3]. b) lasicá teoie vedení odvozuje ozložení napětí U a poudu I na vedení přímo z obvodového modelu vedení. Platnost výsledů je omezena na elementání situace, teé postihuje použitý obvodový model vedení. Při analýze dvouvodičového vedení platí výsledy pouze po záladní vid TEM, vlnovody a světlovody tímto postupem analyzovat není možné. I přes tato omezení dává lasicá teoie jednoduché a technicy velmi důležité výsledy. 5. Klasicá teoie vedení I v této apitole se omezíme na hamonicé změny veličin na vedení, dy časová deivace je vyjádřena násobením členem jω. Náhadní obvod homogenního dvouvodičového vedení je naeslen na Ob. 5.. L dz R dz I(z) du I(z+dz) U(z-dz) di U(z) Cdz Gdz z dz Ob. 5.: Náhadní obvod dvouvodičového vedení Vodiče vedení mají jistý ohmicý odpo a indučnost a mezi nimi existuje vzájemná apacita a v případě nedoonalého dieletia mezi vodiči i vodivost (svod). Abychom se zbavili délové závislosti těchto veličin, budeme pacovat s paamety vztaženými na met

28 6 Faulta eletotechniy a omuniačních technologií VUT v Bně dély vedení. Pa R [Ω.m - ] vyjadřuje ohmicý odpo (obou) vodičů na vedení dlouhém m a L [H.m - ] indučnost za stejných podmíne. Kapacita C [F.m - ] a vodivost G [S.m - ] mezi vodiči vedení (zahnující i dieleticé ztáty) ovněž odpovídají úseu dély m. Úse vedení dély dz má pa podélnou impedanci Z.dz a příčnou admitanci Y.dz učené vztahy Z R + jω L, Y G + jωc (5.) Půchodem poudu I(z) vzniá úbyte napětí du(z) a vlivem napětí U(z) teče příčnou větví poud di(z). Pa napětí a poudy můžeme vyjádřit ovnicemi ( z dz) U ( z) + du U ( z) + Z. dz I( z) ( z dz) I( z) di( z) I( z) Y dz U ( z) U. (5.) I +. (5.3). Dělením obou ovnic délou elementáního úseu dz dostaneme vztahy ( z) du dz Z. I (5.4) ( z) di dz Y. U (5.5) Deivováním obou stan (5.4) podle z a dosazením za di/dz z ovnice (5.5) dostaneme výsledný vztah po změnu napětí podél vedení. Podobně deivováním obou stan (5.5) podle z a dosazením za du/dz z ovnice (5.4) dostaneme výsledný vztah po změnu poudu d U Z. Y. U dz (5.6) d I Z. Y. I (5.7) dz Tyto tzv. telegafní ovnice popisují změny napětí a poudu podél homogenního dvouvodičového vedení. Obecné řešení ovnice (5.6) můžeme zapsat ve tvau U γz γz ( z) A. e + B. e (5.8) de ( R + jω L )( G jω ) γ β + jα + (5.9). C je onstanta šíření vlny na vedení a její složy měná fáze α [ad.m - ] a měný útlum β [m - ] jsou obdobou slože a vlnového čísla při šíření vlny postoem. Dosazením (5.8) do ovnice (5.5) a integací zísáme vztah po změnu poudu I(z) podél vedení I γz γz ( z) ( B. e A. e ) Z ov de Z ov je chaateisticá impedance vedení, po teou platí vztah (5.)