3.7. Magnetické pole elektrického proudu

Transkript

1 3.7. Magnetické pole elektického poudu 1. Znát Biotův-Savatův zákon a umět jej použít k výpočtu magnetické indukce v jednoduchých případech (okolí přímého vodiče, ve středu oblouku apod.).. Pochopit význam veličiny elativní pemeabilita postředí. 3. Umět fomulovat Ampéův zákon a naučit se jej aplikovat v úlohách s jednoduchou symetií. 4. Poznat vlastnosti ideálního solenoidu a tooidu. 5. Naučit se a pochopit odvození vztahu po sílu vzájemného působení dvou ovnoběžných poudovodičů s konstantním poudem Biotův-Savatův zákon Při výpočtu magnetické indukce pole v daném bodě A okolí vodiče potékaného stacionáním poudem, vektoově sečteme infinitezimální příspěvky db všech poudových elementů vodiče k celkové magnetické indukci. Platí Biotův-Savatův (-Laplaceův) zákon, kteý fomuloval P. S. Laplace na základě expeimentálních poznatků Biota a Savata: Idl db = π Vodič je myšleně ozdělen na infinitezimální délkové elementy dl, kteé mají smě tečny vodiče a oientaci ve směu poudu. je jednotkový vekto s počátkem, kteý splývá s počátkem vektou dl a míří k bodu A (Ob ), odpovídá vzdálenosti bodu A od poudového elementu Idl. Předpokládáme, že vodič obklopuje vakuum. Konstanta je tzv. pemeabilita vakua, jejíž hodnotu definujeme přesně: = 4π 1-7 T m A -1. Velikost vektou db je: Idl sinα db = π Úhel α svíají vektoy dl a. Ob

2 a) b) Ob a) Řez ovinou, kteá obsahuje bod A a vodič. b) Řez ovinou, kteá pochází bodem A a je kolmá k vodiči pohled "shoa". Uvažujme nekonečně dlouhý přímý vodič, jímž potéká poud I a hledejme magnetickou indukci v bodě A ve vzdálenosti od vodiče (Ob ). Po infinitezimální úhel dα přibližně platí: tg(dα) = dα. Z tojúhelníku, jehož vnitřní úhel je dα, dostaneme: x dα = x = dα. Podle Ob je též dα sin α = =. dl Na základě platnosti (3.7.-1) můžeme tvdit, že příspěvky db od všech elementů vodiče jsou shodně oientované ve směu tečny ke kužnici, kteá leží v ovině kolmé k vodiči a pochází bodem A. Potože platí pincip supepozice, stačí, abychom učili vekto B, sečíst velikosti všech vektoů db integací. Pokusme se poto nalézt vhodné vyjádření db jako funkce jedné poměnné. Ve vzoci (3.7.-) jsou dvě poměnné ( a α), kteé jsou však na sobě závislé a tak jednu z nich můžeme vyjádřit pomocí duhé: dl dα dα = =. sinα d dl Dosaďme za v (3.7.-): α Idα db = sinα 4π a integujme podle α: B π I I I = sinαdα [ cosα ] 4π = π = π π 46

3 Ob Oientace magnetických indukčních ča pole vytvořeného poudem v dlouhém přímém vodiči. Indukční čáy mají tva soustředných kužnic se středy ve vodiči a leží v ovinách kolmých k vodiči. Znázoněna je poloha magnetky, kteá je v blízkosti vodiče umístěna. Vyslovili jsme dostatek důvodů poto, abychom vycházeje z Biotova-Savatova zákona mohli tvdit, že magnetické indukční čáy mají tva soustředných kužnic kolem vodiče (Ob ) a jsou oientovány podle pavidla pavé uky: Přiložíme-li palec k vodiči ve směu poudu, zahnuté psty ukazují oientaci magnetických indukčních ča. Jestliže ve vakuu vytváří poud I magnetické pole o magnetické indukci B, pak stejný poud v homogenním, izotopním látkovém postředí o elativní pemeabilitě vytváří magnetické pole o indukci B = B Relativní pemeabilita chaakteizuje magnetické vlastnosti postředí a udává, kolikát je pemeabilita učitého látkového postředí větší než pemeabilita vakua. Poto: = a je bezozměnou veličinou. Z ovnice (3.6.-7) vidíme, že magnetická síla, kteou působí magnetické pole na částici s nábojem Q, je -kát větší esp. menší podle toho, jestli je v daném postředí >1 esp. <1. KO Fomulujte Biotův-Savatův zákon. Popište veličiny v něm vystupující. KO Jaký tva mají magnetické indukční čáy pole přímého nekonečně dlouhého vodiče, kteým teče konstantní poud? Jak jsou tyto čáy oientovány? Liší se hodnota magnetické indukce v bodech jedné indukční čáy? Pokud se neliší, na čem závisí? KO Co vyjadřuje elativní pemeabilita postředí? Učete magnetickou indukci v bodě S, kteý je společným středem půlkuhových oblouků AB a CD (Ob ). Oba oblouky jsou spojeny tak, že vytvářejí obvod ABCD, kteým teče poud I. 461

4 Ob Řešme užitím Biotova-Savatova zákona: Idl db = π Nejpve odvodíme magnetickou indukci ve středu kuhového oblouku (Ob ). Je zřejmé, že jsou navzájem kolmé vektoy dl a. Navíc příspěvky k celkové indukci v bodě S od všech poudových elementů oblouku jsou shodně oientovány. Poto ϕmax I I B = dl ϕ MAX 4π =. 4π Vaťme se k našemu zadání. Příspěvek k celkové indukci v bodě S od úseku AB poudovodiče je oientován za nákesnu ( ) a má velikost I I BAB = π =, 4πR1 4R1 příspěvek úseku CD je oientován opačně ( ) a má velikost I BCD =. 4R Úseky DA a BC k celkové indukci nepřispívají, neboť po všechny oientované délkové elementy z nich vybané platí, že odchylka vektoů dl a je nebo 18, což znamená, že je po ně d l = o. Potože R 1 < R a tedy B AB >B CD, bude indukce v bodě S oientovaná shodně s vektoem B AB a mít velikost: I 1 1 B = B = AB BCD. 4 R1 R Ob

5 3.7.. Ampéův zákon Z Coulombova zákona jsme byli schopni vypočítat vektoovou chaakteistiku elektického pole E tak, že jsme v souladu s pincipem supepozice vektoově sečetli příspěvky od všech nábojů dq. K témuž cíli slouží Gaussův zákon elektostatiky, kteý je jedním z nejobecnějších příodních zákonu a ve speciálním případě statických bodových nábojů z něj plyne zákon Coulombův. Ampéův zákon (zákon celkového poudu) má podobný význam po pole magnetické jako Gaussův zákon po pole elektické. Pomáhá při řešení úloh, kdy hledáme vztah mezi elektickým poudem a magnetickou indukcí a ozložení poudů v postou má jednoduchou symetii. Uvažme nekonečně dlouhý, přímý vodič s poudem I a spočtěme cikulaci vektou magnetické indukce podél kužnice (křivka C) se středem ve vodiči a v ovině kolmé na vodič: π I I B ds = ds ds I C = = C π π Všimněte si, že odchylka vektoů B a ds je podél celé kužnice vždy, poto platí Bds = Bds (Ob ). Ob Zobecnění výsledku (3.7.-6) na libovolnou uzavřenou křivku a libovolné ozložení poudů pocházejících skz plochu ohaničenou křivkou C, je podstatou Ampéova zákona, kteý má matematickou fomulaci B ds = I c C a slovní: Cikulace magnetické indukce podél libovolné uzavřené, tzv. Ampéovy, křivky je vždy ovna -násobku poudu, jež potéká plochou ohaničenou touto křivkou. Vekto ds je infinitezimální element Ampéovy křivky a je oientován shodně s libovolně zvolenou oientací křivky, poud Ic je algebaickým součtem poudů ohaničených křivkou.poté, kdy se zvolí oientace křivky, použije se na učení znaménka poudů pavidlo pavé uky: Ob Přiložte psty pavé uky k Ampéové křivce tak, aby ukazovaly její oientaci, pak poudům tekoucím ve směu vztyčeného palce přísluší kladné znaménko, poudům opačným záponé (Ob ). Solenoid je dlouhá, válcová cívka, jejíž všechny závity jsou stejně velké, přesně kuhové a po celé délce l ozloženy se stejnou hustotou. Cívka obecně je velmi častým zdojem magnetického pole v technické paxi. Magnetické indukční čáy řídce vinutého solenoidu jsou na Ob Všimněte si, že magnetické indukční čáy jsou v blízkosti osy solenoidu (osa spojuje středy kuhových závitů) přibližně ovnoběžné, v bodech vně solenoidu jsou příspěvky k celkové magnetické indukci

6 Ob potichůdné, poto je hustota siloča malá a pole slabé. Aplikujme Ampéův zákon na výpočet magnetického pole ideálního solenoidu. Závity takového solenoidu jsou vinuty těsně vedle sebe, pole uvnitř je homogenní a vně nulové, půmě solenoidu je zanedbatelný vzhledem k jeho délce. Vybeme na cívce Ampéovu křivku ve tvau obdélníka s vcholy ABCD a přisuďme ji takovou oientaci, aby uvnitř solenoidu souhlasila s oientací indukčních ča (Ob ). Cikulace magnetické indukce podél zvolené Ob Volba Ampéovy křivky po výpočet indukce magnetického pole uvnitř ideálního solenoidu. Ampéovy křivky ozdělme do čtyř částí: B C B s = Bds + Bds + Bds + B D C A d Bds A D Skalání součiny Bds jsou nenulové jen na úseku CD a pole uvnitř ideálního solenoidu homogenní a vektoy B a ds ovnoběžné, tudíž: ds = B ds = l B Bl Jestliže je na délce l cívky N závitů, je celkový poud I c = NI Pak podle (3.7..) s přihlédnutím k (3.7..4) a (3.7.-1) platí po indukci magnetického pole uvnitř ideálního solenoidu: NI B = l Tooid lze považovat za solenoid stočený do pstence, jehož ozměy chaakteizují vnitřní a vnější polomě R 1 a R. Pole uvnitř není homogenní, na duhé staně nepojevují se u něj okajové efekty. Tva tooidu naznačuje, že indukční čáy magnetického pole jsou uvnitř soustředné kužnice (Ob ). Zvolme Ampéovu křivku tak, aby espektovala symetii úlohy (Ob ). Bude jí kužnice s poloměem R 1, R. Podle Ampéova zákona snadno zjistíme, že platí π B = I N. Odtud 464

7 I N B = π Vidíme, že velikost magnetické indukce je uvnitř tooidu nepřímo úměná vzdálenosti od středu tooidu. Opět podle Ampéova zákona lze dokázat, že vně ideálního tooidu je indukce nulová. Je-li ozdíl mezi vnitřním a vnějším poloměem tooidu malý, bude v něm pole přibližně homogenní. Odvozené výsledky po solenoid a tooid nezávisejí na tvau jejich půřezu. Ob Ob Volba Ampéovy křivky po výpočet indukce magnetického pole uvnitř tooidu. R 1 a R jsou vnitřní a vnější poloměy tooidu, polomě vybané Ampéovy křivky. KO Matematicky a slovně fomulujte Ampéův zákon. KO Učete celkový poud I C, kteý je uzavřen Ampéovou křivkou (Ob ). KO Na čem závisí velikost magnetické indukce uvnitř a) ideálního solenoidu, b) tooidu? Dlouhý koaxiální kabel je tvořen dvěma koncentickými vodiči, jejichž ozměy jsou na obázku (Ob ). Předpokládejme, že poudová hustota je v půřezu každého vodiče homogenní. a) Učete magnetickou indukci B v bodech < a uvnitř vnitřního vodiče. b) Učete B po a < < b v postou mezi vodiči. c) Učete B v bodech b < < c uvnitř vnějšího vodiče. 465

8 Ob a) Zvolme Ampéovu křivku uvnitř vodiče poloměu a. Jelikož je poud ovnoměně ozložen v celém půřezu vodiče, bude vodičem vytvořené magnetické pole mít válcovou symetii. Poud ve vnějším vodiči nemá na magnetické pole ve vnitřním vodiči vliv. Budiž Ampéovou křivkou kužnice o poloměu (Ob ). V bodech Ampéovy křivky s přihlédnutím k symetii má indukce stejnou velikost. Můžeme zjednodušit levou stanu matematické fomulace Ampéova zákona takto: B d s = B ds = Bπ C. C Hustota poudu je ve vodiči konstantní, takže po celkový poud dostaneme: di I I C I j 1 = konst. = = = I C =. ds πa π a Ob Dosazením do (3.7.-6) získáme řešení: I B =. πa b) Tentokát se bude nacházet Ampéova křivka mezi vodiči (Ob ). Poud, kteý Ampéova křivka obepíná, je I. Řešení je v tomto případě velmi jednoduché: π = I Ob B I B =. π c) Polomě Ampéovy křivky samozřejmě splňuje neovnosti b < < c. Z toho důvodu, že poudy ve vnitřním a vnějším vodiči jsou opačně oientované, dostaneme celkový poud tak, že od poudu I ve vnitřním vodiči odečteme poud, kteý pochází ve vodiči vnějším skz plochu ohaničenou kužnicemi o poloměech b a (viz. pavidlo pavé 466

9 uky a Ob ). Všimněte si, že vnějšímu poudovodiči přísluší jiná poudová hustota než vnitřnímu. Na půřezu vnějšího vodiče má však j také stejnou hodnotu: di I VNC I j = = konst. = =. ds π ( b ) π ( c b ) Odtud ( b ) I I VNC =. c b Levá stana matematické fomulace Ampéova zákona je opět upavena do tvau Bπ. Ampéův zákon lze přepsat do tvau Bπ = ( I I VNC ). a vyjádřit magnetickou indukci I b I c B = 1 = c b. π π c b Ob Vzájemné silové působení dvou poudovodičů Ob Jak již bylo zmíněno v úvodu, silové působení mezi vodiči, jimiž teče poud, expeimentálně pokázal A. M. Ampèe. Každý vodič s poudem vytváří ve svém okolí magnetické pole, kteé silově působí na ostatní poudovodiče. Uvažme nejpve dva ovnoběžné vodiče X a Y se souhlasnými poudy I 1 a I vzdálené od sebe o R (Ob ). Magnetická indukční čáa magnetického pole vodiče Y, kteá potíná vodič X, je oientovaná podle pavidla pavé uky (viz. odstavec 3.7.1). Na vodič X bude působit magnetická síla, kteá bude podle Flemingova pavidla levé uky směřovat k vodiči Y (Ob ). Jsou splněny podmínky platnosti vztahu ( ), takže na část vodiče X délky L působí magnetická síla o velikosti B I L FY X = 1 Když přihlédneme k platnosti vztahu (3.7.-3), obdžíme I1I L FY X = πr Sami si můžete ověřit, že magnetické pole geneované vodičem X působí na část vodiče Y délky L silou téže velikosti jako v ( ), směřující tentokát k vodiči X. Dva ovnoběžné vodiče potékané souhlasně oientovanými poudy se přitahují, zatímco vodiče potékané nesouhlasně oientovanými poudy se odpuzují. 467

10 Ve všech případech počítáme velikost magnetické síly na délku L vodiče působící podle vzoce ( ). Ob KO Dva ovnoběžné vodiče potékané souhlasně oientovanými poudy se přitahují nebo odpuzují? Jak velkou silou na sebe působí? viz text podkapitoly Dlouhým přímým vodičem teče poud I 1 a obvodem v podobě pavoúhelníku o stanách a a b teče poud I. Přímý vodič a obvod leží v jedné ovině, stana délky b je ovnoběžná s vodičem a nejmenší vzdálenost stany pavoúhelníku od vodiče je (Ob ). Jaká síla působí na obvod a jaká na vodič? Ob Poud tekoucí vodiči, jež tvoří stany obdélníka o velikostech a, nevyvolává magnetické pole, kteé by působilo na přímý vodič magnetickou silou. Siločáy magnetického pole od spodního a honího vodiče obvodu jsou podle Biotova-Savatova zákona v místech výskytu přímého vodiče opačně oientované. Když použijeme Flemingovo pavidlo levé uky, snadno zjistíme, že síla od vodiče spodního je odpudivá, od vodiče honího přitažlivá. Jistě bližší vodič působí silou větší velikosti, takže přímý vodič je obvodem odpuzován s přihlédnutím k ( ) silou o velikosti: I1I b 1 1 I1I ab FV = =. π + a π( + a) 468

11 Biotův-Savatův zákon Biotův-Savatův (-Laplaceův) zákon, kteý fomuloval P. S. Laplace na základě expeimentálních poznatků Biota a Savata: Idl db = π Vodič je myšleně ozdělen na infinitezimální délkové elementy dl, kteé mají smě tečny vodiče a oientaci ve směu poudu. je jednotkový vekto s počátkem, kteý splývá s počátkem vektou dl a míří k bodu A (Ob ), odpovídá vzdálenosti bodu A od poudového elementu Idl. Předpokládáme, že vodič obklopuje vakuum. Konstanta je tzv. pemeabilita vakua, jejíž hodnotu definujeme přesně: = 4π 1-7 T m A -1. Velikost vektou db je: Idl sinα db = π Úhel α svíají vektoy dl a. Magnetické pole nekonečně dlouhého přímého vodiče Velikost magnetické indukce pole nekonečně dlouhého přímého vodiče ve vzdálenosti od něj je: I B = π Magnetické indukční čáy mají tva soustředných kužnic kolem vodiče (Ob ) a jsou oientovány podle pavidla pavé uky: Přiložíme-li palec k vodiči ve směu poudu, zahnuté psty ukazují oientaci magnetických indukčních ča. Ampéův zákon Ampéův zákon (zákon celkového poudu) má podobný význam po pole magnetické jako Gaussův zákon po pole elektické. Po libovolnou uzavřenou křivku a libovolné ozložení poudů pocházejících skz plochu ohaničenou křivkou C platí Ampéův zákon v matematické fomulaci B ds = I c C a slovní: Cikulace magnetické indukce podél libovolné uzavřené, tzv. Ampéovy, křivky je vždy ovna -násobku poudu, kteý potéká plochou ohaničenou touto křivkou. I c je algebaickým součtem poudů ohaničených křivkou C. Magnetické pole solenoidu Solenoid je dlouhá, válcová cívka, jejíž všechny závity jsou stejně velké, přesně kuhové a po celé délce l ozloženy se stejnou hustotou. Závity ideálního solenoidu jsou vinuty těsně vedle sebe, pole uvnitř je homogenní a vně nulové, půmě solenoidu je zanedbatelný vzhledem k jeho délce. Po indukci magnetického pole uvnitř ideálního solenoidu s N závity platí NI B = l 469

12 Magnetické pole tooidu Tooid lze považovat za solenoid stočený do pstence, jehož ozměy chaakteizují vnitřní a vnější polomě R 1 a R. Podle Ampéova zákona snadno zjistíme, že ve vzdálenosti R 1, R od středu tooidu nabývá magnetické indukce hodnotu: I N B = π Vně tooidu je B = T. Vzájemné silové působení dvou ovnoběžných poudovodičů Dva ovnoběžné vodiče potékané souhlasně oientovanými poudy se přitahují, zatímco vodiče potékané nesouhlasně oientovanými poudy se odpuzují. Ve všech případech počítáme velikost magnetické síly na délku L vodiče působící podle vzoce: I1I L FY X = πr Klíč KO kužnice; podle pavidla pavé uky (viz text podkapitoly ); neliší; na vzdálenosti od vodiče a pemeabilitě postředí v okolí vodiče KO I C = I 4 + I 5 I 6 I 47