IV. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ Téma: Posudek - poruchy - havárie 25 23.až 24.4.2003 Dům techniky Ostrava ISBN 80-02-055-7 VLIV STATISTICKÉ ZÁVISLOSTI NÁHODNÝCH VELIČIN NA SPOLEHLIVOST KONSTRUKCE Jiří Šejnoha, Daniela Jarušková, Marie Kalousková a Aleš Menšík Abstract This paper is devoted to the assessment of structural reliability under the assumption of statistical dependence of random variables. To start with, three methods of the generation of random variables are presented. Then a case study quantifies the sensitivity of the failure probability to this statistical dependence.. Úvod Metoda Monte Carlo je široce používaným nástrojem při hodnocení spolehlivosti konstrukcí. Osvědčeným představitelem jednoho ze systémů výpočtu spolehlivosti pomocí simulací je metoda SiBRA. Většina simulačních výpočtů předpokládá statistickou nezávislost vstupních veličin. To je v některých případech zjednodušení problému.. Lze si na příklad snadno představit statistickou závislost mezi vlastní tíhou konstrukce a dynamickou odezvou na účinky větru nebo zemětřesení, a to prostřednictvím hmotnosti. Ta ovlivňuje jak vlastní tíhu, tak vlastní frekvence, na nichž je odezva závislá. Jiným názorným příkladem je prostorová korelace šířky nosníku, která je dána tuhostí bednění, a ovlivňuje jak účinek zatížení (ohybový moment), tak odolnost konstrukce (moment únosnosti). Tento příklad byl použit ke studijnímu výpočtu, jehož cílem bylo ukázat citlivost pravděpodobnosti poruchy na míru korelace (odst. 3). Nezbytným předpokladem je efektivní metoda umožňující generovat realizace závislých náhodných veličin. Tomuto problému je věnován odst. 2. 2. Generování realizací závislých náhodných veličin Nezávislost versus závislost Uvažujeme-li dvě spojitě rozdělené náhodné veličiny X a Y, pak jsou tyto veličiny nezávislé tehdy a jen tehdy, platí-li pro všechna x a y f X ( x Y = y) = f X (x), kde f X ( x Y = y) je podmíněná hustota veličiny X za podmínky, že Y = y, a f X (x) je marginální hustota veličiny X. Chceme-li modelovat (například počítačově) závislost mezi dvěma veličinami, musíme buď znát sdruženou hustotu f XY ( x, y) obou veličin X a Y nebo podmíněnou hustotu veličiny X za podmínky Y = y, tj. f X ( x Y = y ), a marginální hustotu Y, tj. (y). f Y Jiří Šejnoha, Prof., Ing., DrSc., Marie Kalousková, Ing., CSc., ČVUT Praha, Fakulta stavební, katedra stavební mechaniky, Thákurova 7, 66 29 Praha 6, Daniela Jarušková, Doc. RNDr., CSc., Aleš Menšík, ČVUT Praha, Fakulta stavební, katedra matematiky, Thákurova 7, 66 29 Praha 6.
26 Platí f XY ( x, y) = f X ( x Y = y ) (y). Nekorelovanost versus korelovanost f Y Určitou mírou závislosti mezi dvěma veličinami X a Y je korelační koeficient. Veličiny X a Y nazýváme nekorelované, pokud je jejich korelační koeficient roven nule. Dvě nezávislé veličiny jsou vždy nekorelované, avšak veličiny, které jsou nekorelované, nemusí být ještě nezávislé. Pokud mají veličiny X a Y dvojrozměrné normální rozdělení, pak jsou nezávislé právě tehdy, když jsou nekorelované. Poznamenejme však, že dokonce i tehdy, když X i Y mají marginální rozdělení normální a jsou nekorelované, pak jejich sdružené rozdělení nemusí být normální a veličiny nemusí být nezávislé. Generování realizací vektoru s vícerozměrným normálním rozdělením Matlabovské makro mvnrnd(mu,sigma,cases) generuje vektory z vícerozměrného normálního rozdělení s vektorem středních hodnot mu = µ a kovarianční maticí sigma = Σ. Parametr cases udává počet žádaných realizací. Generování veličin s obecnou korelační strukturou je umožněno rychlým rozkladem pozitivní symetrické matice Σ = A T A. Generování realizací veličin se známou stejnou marginální hustotou a daným korelačním koeficientem Navzdory tomu, že korelační koeficient není rozumnou mírou závislosti mezi dvěma veličinami, může v aplikacích vzniknout požadavek vygenerovat výběr ( X,Y ),...,( X n, Y n ), kde veličiny X a Y mají známé marginální rozdělení s hustotou f(x) a jejich korelační koeficient je roven známé hodnotě ρ. Z předchozího textu je zřejmé, že sdružená hustota vektoru (X,Y) není jednoznačně určena marginálními hustotami a korelačním koeficientem. Obecně může existovat mnoho sdružených rozdělení, která mají stejné marginální hustoty a daný korelační koeficient. Triviálně můžeme například definovat (X,Y) = (Z,Z) s pravděpodobností ρ a (X,Y) = ( Z, Z 2 ) s pravděpodobností - ρ, kde Z, Z, Z 2 jsou nezávislé s hustotou f(x). Velmi jednoduše je možno nalézt sdružené rozdělení vektoru (X,Y) v případě, že hustota f(x) je hustotou veličiny U, která vznikla jednoduchou transformací g (o) normálně rozdělené veličiny Z, tj. U=g(Z). Pak je možno spočítat korelační koeficient * ρ dvojrozměrného normálního rozdělení tak, aby korelační koeficient U = g( Z ) a U 2 = g( Z ) 2 byl roven dané hodnotě ρ. Takto můžeme například postupovat, předpokládáme-li, že U a U 2 mají logaritmicko-normální rozdělení. Jednu z metod, jak vygenerovat výběr ( X,Y ),...,( X n, Yn ) z rozdělení s požadovanými marginálními hustotami a daným (Pearsonovým) korelačním koeficientem, navrhli Iman a Conover (982). Metoda je založena na poznatku, že pro "rozumná" rozdělení se příliš neliší Pearsonův a Spearmanův korelační koeficient, přičemž jejich vzájemný vztah je buď znám (např. pro normální rozdělení) nebo lze zjistit empiricky. Pro získání dvojrozměrného výběru s daným výběrovým Spearmanovým korelačním koeficientem se využije toho, že jsme schopni vhodným uspořádáním dvou nezávislých výběrů docílit, aby Spearmanův korelační koeficient nabýval námi požadovanou hodnotu.
27 Ačkoliv je obecně známo, že rozdělení náhodné veličiny X není jednoznačně určeno svými momenty, ve většině praktických příkladů se dvě hustoty, které mají několik prvních momentů shodných (např. střední hodnotu, rozptyl, šikmost a špičatost), příliš neliší. Spokojíme-li se s tím, že vygenerujeme výběr ( X,Y ),...,( X n, Yn ) z rozdělení s daným korelačním koeficientem a danou střední hodnotou, rozptylem, šikmostí a špičatostí, pak lze použít metodu navrženou Fleishmanem (978) a popsanou v Kotz a ost. (2000). Velmi jednoduchou metodu, pro případ vysokého korelačního koeficientu při dané střední hodnotě a rozptylu navrhla Jarušková. Pro všechny shora popsané metody vytvořila Jarušková makra v softwaru Matlab. Doc. Antoch pak vytvořil makra, kterými se graficky v trojrozměrném pohledu znázorňuje odhad sdružené hustoty na základě vygenerovaného výběru. Student Menšík vytvořil makro pro srovnávání odhadů podmíněných hustot. 3. Aplikace metody Monte Carlo ke sledování statistické závislosti odolnosti a účinků zatížení na geometrických proměnných Srozumitelným a dobře představitelným příkladem převzatým z inženýrské praxe je statistická závislost odolnosti a účinku zatížení na obecně proměnné šířce nosníku po jeho délce. Korelace šířek je dána tuhostí podélného ztužení bočnic bednění. Nosník byl navržen podle EC (obr. ). kde Korelační funkce je vyjádřena ve tvaru x x L ( x x ) = e ρ, x x je vzdálenost průřezů l ef = 5,78 x, xm L = l λ je tzv. délka korelace l je délka nosníku. Obr. : Geometrický tvar a výztuž nosníku 0,4 l n = 5,5 m 0,4 6φ E20 b=0,3 Součinitel λ je uvažován v rozmezí (silná korelace) až 0 (velmi slabá korelace). d= h= 0, 0, 55 54 Střední hodnota šířky průřezu b = 0,3 m je konstantní po délce nosníku. Pro parametrickou studii je uvažována proměna směrodatné odchylky v rozsahu 0,006 m až 0,0 m za předpokladu normálního rozdělení. Uvažuje se korelace mezi šířkami b horní hrany nosníku v průřezech vzdálených vždy o l/4, l/2, 3/4l, l. Korelační matice R pro různé součinitele λ jsou uvedeny v tab.. d = 0, 036 Tab. : Korelační matice pro různé součinitele λ R
28 λ= 0,607 0,472 0,607 0,472 0,607 sym. λ=2 0,223 0,35 0,223 sym. λ=0 0,0005 0,00004 0,00005 sym. Vypočtené pravděpodobnosti poruchy jsou uvedeny v tab. 2 a graficky znázorněny 6 v obr. 2. Při výpočtu jsme pro každý jednotlivý případ aplikovali 0 simulací. Tab.2: Pravděpodobnosti poruchy v závislosti na směr. odchylce a korelaci λ =0 λ = 2 λ = σ 0,006 0,008 0,009 0,0 b p 0,000023 0,000242 0,0047 0,00349 357 f p 0,000002 0,00004 0,000299 0,0066 0,002973 f p 0,000002 0,00007 0,00065 0,000667 0,00997 f
29 p f pf pf pf pf pf p pf pfp 0,008 0,006 0,005 0,004 0,003 λ = 0 λ = 2 λ = 0,002 0,00 0 0,005 0,006 0,008 0,009 0,0 σ b (m) Obr. 2: Pravděpodobnost poruchy v závislosti na směrodatné odchylce σ a parametru korelace λ b Pro porovnání je podán výpočet pravděpodobnosti poruchy v případě náhodné polohy výztuže d. Graf na obr. 3 ukazuje závislost pravděpodobnosti poruchy na směrodatné odchylce σd. Je vidět, že pravděpodobnost poruchy se v tomto druhém případě mění mnohem výrazněji než v případě prvním. p f 0,2 0,8 0,6 0,4 0,2 0, 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0,00 0,002 0,003 0,004 0,005 (m) σ d Obr. 3: Pravděpodobnost poruchy v závislosti na směrodatné odchylce σ d
30 4. Závěr Uvážení statistické závislosti náhodných veličin při hodnocení spolehlivosti konstrukcí je dosud spíše výjimkou. Snahou autorů bylo jednak ukázat efektivní způsoby generování realizací závislých náhodných veličin, a na názorném a dobře srozumitelném příkladu ukázat, jak se tato závislost číselně projeví. Oznámení Příspěvek byl vypracován zčásti za podpory výzkumného záměru MŠM 2000000 a zčásti za podpory projektu GAČR 20/03/0945. Literatura [] FLEISHMAN A.I.: A method for simulating nonnormal distributions, Psychometrik 43, 52 532, 978. [2] IMAN R.L., CONOVER W.J.: A distribution-free approach to inducing rank correlation among input variables, Commun. Statist. - Simula. Computa., 3-334, 982. [3] KOTZ S., BALAKRISHNAN N., JOHNSON N.L.: Continuous Multivariate Distributions, Volume I: Models and Applications, John Wiley, 2.ed., 36 37, 2000. [4] ANTOCH J., VORLÍČKOVÁ D.: Vybrané metody statistické analýzy dat, Academia Praha, kap. 4, 992.