3.6.3 Prvy trojúhelníů Předpolady: 030602 Př. 1: Narýsuj trojúhelní, je-li dáno: = 5m, β = 110, a = 6m. Změř veliosti vnitřníh úhlů a strany b. Zontroluj, zda platí vzore pro součet úhlů v trojúhelníu. Spočítej, o oli proent se naměřená déla strany b liší od správné hodnoty 9,03 m. Narýsuj všehny výšy trojúhelníu a najdi jejih průsečí (orthoentrum). Změř dély všeh výše. Vrhol trojúhelníu bude ležet na: polopříme, terá se stranou svírá úhel β = 110, ružnii ( ; a = 6 m). Veliosti úhlů: α = 39, β = 110, γ = 31. Součet úhlů: α + β + γ = 39 + 110 + 31 = 180 (vzore platí). Strana b = 9m. Výšy jsou úsečy, teré spouštíme z vrholů olmo na protější strany. 1
v v b v a O Dély výše: v a = 4, 7 m, v b = 3,1m, v = 5,6m. Orthoentrum trojúhelníu leží mimo trojúhelní, protože trojúhelní je tupý. Př. 2: Narýsuj trojúhelní K, je-li dáno: KL = m = 8m, = = 7 m, t = 6m. Narýsuj všehny těžnie trojúhelníu a změř jejih dély. Změř vzdálenost těžiště od vrholu K. Zontroluj, zda platí pravidlo pro rozdělení těžnie těžištěm. Nejdříve narýsujeme trojúhelní KLS, ve terém známe všehny tři strany (těžnie spojuje vrhol se středem protější strany). Vrhol S trojúhelníu KLS bude ležet na: ružnii ( ; 6 m) K t = (vůli těžnii t ), ružnii l L; 3,5 m = 2 (bod S je středem strany ). 2
M l S K L M t m T t t l K L Dély těžni: t = 6 m (zadání), t = 7 m, t = 5m Vzdálenost TK = 4m. l m Poměr úseů těžnie je TK > TS = 2 :1 t : TK = 3: 2. Dosadíme naměřené hodnoty: t : TK = 6 : 4 = 3: 2. Př. 3: Narýsuj trojúhelní, je-li dáno a = 10 m β = 55, γ = 35. Jaou speiální vlastnost má tento trojúhelní? Kde bude ležet střed jeho ružnie opsané? Narýsuj ružnii opsanou. Jaou speiální vlastnost tato opsaná ružnie má? Vrhol trojúhelníu bude ležet na: polopříme, terá se stranou svírá úhel β = 55, polopříme, terá se stranou svírá úhel γ = 35. 3
Trojúhelní je pravoúhlý, střed jeho ružnie opsané bude ležet na jeho přeponě - tedy straně. Střed ružnie opsané je průsečí os stran (střed ružnie opsané musí být stejně daleo od všeh vrholů, osa strany je množina všeh bodů, teré jsou stejně daleo od rajníh bodů). S Narýsovaná ružnie je Thaletovou ružnií nad průměrem. Poud by vrhol trojúhelníu ležel na libovolném jiném bodu ružnie (romě bodů a ) byl by trojúhelní stále pravoúhlý. 4
Př. 4: Narýsuj trojúhelní, je-li dáno: = 9m, β = 64, γ = 68. Narýsuj ružnii trojúhelníu vepsanou. Pro sestrojení trojúhelníu potřebujeme znát veliost obou úhlů u zadané strany veliost úhlu α dopočítáme ze součtu úhlů v trojúhelníu. α + β + γ = 180 / β γ α = 180 β γ = 180 64 68 = 48 Vrhol trojúhelníu bude ležet na: polopříme, terá se stranou svírá úhel α = 48, polopříme, terá se stranou svírá úhel β = 64. Středem ružnie vepsané je průsečí os úhlů (střed ružnie vepsané musí být stejně daleo od všeh stran, osa úhlu je množina všeh bodů, teré jsou stejně daleo od příme, na terýh leží ramena úhlu). S 5
Př. 5: Narýsuj trojúhelní, je-li dáno: = 7 m, v = 4,5 m, b = 5 m. Koli má úloha řešení? Vrhol trojúhelníu bude ležet na: příme p, terá je rovnoběžná se stranou a je od ní vzdálena v = 4,5 m (na této příme musí vrhol ležet, aby pro trojúhelní platilo v = 4,5 m ), ružnii ( ; b = 5 m). 2 1 P p Přílad má dvě řešení (můžeme narýsovat dva neshodné trojúhelníy, teré splňují zadání), protože příma p se s ružnií protne ve dvou bodeh. Shrnutí: 6