Určení počátku šikmého pole řetězovky

Transkript

1 2. Šikmé pole Určení počátku šikmého pole řetězovky d h A ϕ y A y x A x a Obr Souřadnie počátku šikmého pole Jestliže heme určit řetězovku, která je zavěšená v bodeh A a a je daná parametrem, je třeba určit polohu počátku vůči bodům, které mají horizontální vzdálenost a a jejih převýšení je h. Podle obr. 2.1 platí - 1 -

2 x xa h= osh osh z toho h x xa = osh osh z obr. 2.1 také vyplývá xa = a x h x a x = osh osh Člen osh a x rozepíšeme a dostaneme h x a x a x = osh osh osh + sinh sinh h x osh a a x = 1+ osh + sinh sinh Dalšími úpravami hyperbolikýh funkí vypočítáme hodnotu x osh x y = - 2 -

3 Nyní máme určenu polohu počátku a tím je daná řetězovka s průhybem f m fm = y Vrhol řetězovky nemusí být mezi závěsnými body A a. Jestliže je její vrhol mezi body A a, platí h< + osh a pokud h= + osh a je vrhol právě bod A (nižší závěs). Jestliže je h> + osh a vrhol řetězovky neleží mezi závěsnými body, ale za závěsným bodem A. Obvykle však neznáme hodnotu parametru. Na začátku při řešení nesouměrné řetězovky předpokládáme, že tečna v polovině rozpětí je rovnoběžná se spojnií bodů A a. To znamená, že k = ϕ - 3 -

4 xa x a x x ya + y = osh + osh = osh + osh = x a a x = osh 1+ osh sinh sinh úpravou dostaneme a x a x a ya + y = 2osh osh osh sinh sinh = 2 2 a x a a xk = 2osh osh = 2osh osh kde x k je souřadnie uprostřed rozpětí. Hodnota funke v bodě se souřadnií x k xk yk = os h Určení délky vodiče při šikmém poli Délka řetězovky mezi závěsnými body A a A A x 2 2 l = 1+ y dx+ 1+ y dx dosadíme za x y = osh x - 4 -

5 a dostaneme A x y = sinh x x x x xa la = osh dx+ osh dx sinh sinh (m) = + 2 x Použitím předházejííh rovni dostaneme A h A A l x x x x = sinh + sinh osh osh = x xa x xa x + xa = osh osh + sinh sinh = 2osh 2 = 2 x + xa 2 a = 4sinh = 4sinh 2 2 Délka nesouměrné řetězovky je tedy a la = h + 2 sinh 2 protože výraz v závore je délka souměrné řetězovky, pro nesouměrnou řetězovku platí la = h + lh z toho la lh = h Vzore je rozšířená Pythagorova věta, která platí pro řetězovky a říká (obr. 2.1): - 5 -

6 rozdíl čtverů délek souměrné a nesouměrné řetězovky ve stejném rozpětí a se stejným parametrem se rovná čtveri vzdálenosti vyšší podpory od nižší. d l A h A C l h a Obr Délka souměrné a nesouměrné řetězovky - 6 -

7 Průhyby šikmého pole Pro nesouměrnou řetězovku musíme ještě definovat a vypočítat následujíí průhyby: a/2 a/2 l A h A x ϕ f k f v ϕ C C K V x l h f Obr. 2.3a A σ H α σ V σ Obr. 2.3b Namáhání v závěsném bodě - 7 -

8 Charakteristiký průhyb je délka svislie spuštěné v polovině rozpětí mezi spojnií závěsnýh bodů a křivkou a můžeme ho určit podle rozšířené Pythagorovy věty la xk fk = fh = fh osh lh x + xa xk = 2 Viditelný průhyb je svislá vzdálenost mezi spojnií závěsů A a a tečnou k řetězove. Tangenta tg h sinh x v y = ϕ = = a když předpokládáme rovnii řetězovky v tomto bodě v yv = osh x kde x v je souřadnie bodu dotyku a k ní určíme příslušnou souřadnii na spojnii A na řetězove, rozdíl obou je viditelný průhyb f v

9 3. Namáhání vodiče Při výpočtu průhybu jsme zjistili, že vodorovná složka namáhání σ H je v každém bodě, tedy i v závěsném stejná. Výsledné namáhání σ v závěsném bodě leží ve směru tečny k řetězove v tomto bodě. Směr tečny svírá v závěsném bodě s osou x úhel α. Platí tedy σ H σ = (MPa) osα a pro tečnu v libovolném bodě řetězovky platí y = tgα = sinh x a a v závěsném bodě x = 2 úpravou dostaneme 1 tgα = můžeme psát sinh 2 a a osh osα = 2-9 -

10 Po dosazení dostaneme a y σ = σ H osh σh (MPa) 2 = α z rovnie průhybu dostaneme a fm osh = po dosazení fm σ = σh + 1 = σh + fmγz Tím jsme dostali vztah pro namáhání v závěsném bodě řetězovky, který závisí pro daný vodič jen na průhybu f m. Když vezmeme v úvahu parabolu 2 a γ z fm = 8σ H a namáhání 2 a ( γ z) 2 σ = σh + 8σ H bude tah v závěsném bodě a y = = osh = + = 2 F = y q + q F σs σh S σh S fm S yz σh S ( )

11 Z této rovnie je zřejmé, že tah v závěsném bodě se rovná tíze vodiče délky y nebo tahu ve vrholu F H a tíze vodiče délky rovnajíí se průhybu f m. Svislou složku namáhání σ v určíme z obr Platí σ = σ tgα v H tgα = sinh x a v závěsném bodě a tgα = sinh 2 tedy sinh a σv = σh 2 kde je podle (2.45) délka řetězovky a ls = 2 sinh 2 Dosazením ls lsγ z lsγ z σv = σh = σh = 2 2σ H 2 (2.61) svislou složku tahu určíme z namáhání sinh a F = Sσv = SσH

12 ( ) ( ) Sls γ z ls q1+ q2 a q1+ q2 Fv = = = Svislý tah v závěsném bodě se rovná tíze poloviční délky vodiče, zvětšené o přídavné zatížení. Všehny tyto vztahy platí pro řetězovku i parabolu. Jen tehdy, je-li v závěsném bodě vodiče mehaniké napětí alespoň o 4 % větší než v bodě průhybové křivky, je nutné uvažovat mehaniké napětí v závěsném bodě. Tento případ nastává u velkýh rozpětí nebo při velkém převýšení závěsů

13 4. Odvození stavové rovnie Předhozí výpočty vznikly za předpokladu, že namáhání napnutého vodiče je konstantní. Ve skutečnosti se však namáhání mění vlivem teploty, námrazku a větru. Jsme v oblasti konstantního průřezu, tzn. platí Hookův zákon. Nyní uvažujeme dva stavy vedení. Počáteční stav označíme indexem a nový stav označíme indexem 1. Změna délky vodiče Δ l ϑ (m) vlivem změny teploty se určí ze vztahu Δ l = α l ϑ + ϑ Δ l > proϑ > ϑ ϑ ( ) 1 ϑ 1 α - činitel délkové tepelné roztažnosti lana -1 ( C ), l - původní délka zavěšeného vodiče (m), -1 ϑ - původní teplota vodiče ( C ), -1 ϑ 1 - nová teplota vodiče ( C ). Změna délky vodiče Δ l σ (m) vlivem změny namáhání l Δ lσ = ( σ + σ ) Δ lσ < pro σ < σ E H1 H H1 H E - modul pružnosti vodiče (MPa),

14 σ H - horizontální složka namáhání vodiče v původním stavu (MPa), σ H1 - horizontální složka namáhání vodiče v novém stavu (MPa). Celková změna z l na l 1 se určí podle vzore 1 Δ l = l l =Δ lϑ +Δ lσ = l α ϑ ϑ + σ σ E ( ) ( ) 1 1 H1 H Délka lana zavěšeného mezi dvěma stožáry při stavu k se vypočte podle vzore 3 2 a γ k lk = a+ 2 24σ Hk a rozpětí (m). 1 γ - měrná tíha 1 m vodiče ( MPa m ). Změna délky vlivem změny namáhání se vypočte podle vzore a γ 1 γ Δ l = l1 l = σh1 σh

15 Porovnáním výše uvedenýh rovni dostaneme stavovou rovnii a γ1 γ l α ϑ ϑ + σ σ = 1 H1 H 2 2 E 24 σ H1 σ ( ) ( ) H Protože lze přibližně uvažovat l =a potom lze psát stavovou rovnii ve tvaru a γ γ ( ) ( ) 1 α ϑ ϑ + σ σ = 1 H1 H 2 2 E 24 σh1 σh a po úpravě do tvaru kubiké rovnie pro výpočet namáhání nového stavu Ea γ a γ 1 E σh1 + σh1 + αe 2 ( ϑ1 ϑ ) σh = 24σ H 24 Pro praxi se γ a γ 1 nahradí pomoí měrné tíhy vodiče γ v a přetížení vodiče s pomoí následujííh rovni γ = γ z γ = γ 1 v 1 2 v 2 potom stavová rovnie přejde na tvar z

16 Eγ v az Eγ v 2 σh1 + σh1 + αe( ϑ1 ϑ ) σh ( az1 ) = 24 σ H