Relace a kongruence modulo

Podobné dokumenty
Relace a kongruence modulo

Matematická analýza 1

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Hlubší věty o počítání modulo

Rezoluce ve výrokové logice

Základy elementární teorie čísel

Teorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.

Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.

PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů

Kongruence na množině celých čísel

Princip rozšíření a operace s fuzzy čísly

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010

Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy

Pojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky.

Výroková logika syntaxe a sémantika

Rekurentní rovnice, strukturální indukce

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.

Hlubší věty o počítání modulo

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Algebra Struktury s jednou operací

Aritmetika s didaktikou I.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

Základy elementární teorie čísel

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

RELACE, OPERACE. Relace

Cyklické grupy a grupy permutací

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Naivní teorie množin. Naivní pojem množiny Funkce jako nálepkovací schéma Konečnost, nekonečnost Spočetnost, nespočetnost

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Střípky z LA Letem světem algebry

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.1 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

Matice. a m1 a m2... a mn

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce

Relace. R, S vyjmenovaním prvků. Sestrojte grafy relací R, S. Určete relace

Polynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015

Okruh Lineární rovnice v Z m Těleso Gaussova eliminace (GEM) Okruh Z m. Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2007: Okruh Z m 1/20

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

M M. Je-li ρ M 2 relace, pak vztah (x, y) ρ zapisujeme x ρ y.

Rekurentní rovnice, strukturální indukce

Rezoluce v predikátové logice

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

Matematická analýza pro informatiky I.

Ekvivalence. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 5

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Rezoluce v predikátové logice

Základy algebraických specifikací

Kritéria dělitelnosti Divisibility Criterions

Vlastní čísla a vlastní vektory

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

Lineární algebra : Lineární prostor

Další (neklasické) logiky. Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Predikátová logika 1/20

Predikátová logika dokončení

I) Příklady (převeďte následující věty do formulí PL1 a ověřte jejich ekvivalenci pomocí de Morganových zákonů):

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017

2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

Syntetická geometrie I

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

4 Počítání modulo polynom

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}.

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Množiny, relace, zobrazení

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.

Operace s maticemi

Principy indukce a rekursivní algoritmy

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

Syntetická geometrie I

Základy teorie množin

= je prostý orientovaný graf., formálně c ( u, v) 0. dva speciální uzly: zdrojový uzel s a cílový uzel t. Dále budeme bez

1 Vektorové prostory.

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA I

Unární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek

Matematická logika. Miroslav Kolařík

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

Množina je nejdůležitější matematický pojem, na kterém stojí veškeré další matematické pojmy.

3. Algebraické systémy

Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.

1. přednáška 1. října Kapitola 1. Metrické prostory.

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diskrétní matematika. študenti MFF 15. augusta 2008

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

Syntetická geometrie I

Jednoduché specifikace

MIDTERM D. Příjmení a jméno:

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

Základy matematiky pro FEK

Transkript:

Relace a kongruence modulo Jiří Velebil: A7B01MCS 10. října 2011: Relace a kongruence modulo 1/19

Definice Binární relace R na množině A je podmnožina R A A. Píšeme x R y (čteme: x je v relaci R s y) místo (x, y) R. Příklad Ať A = {a, b, c}. Příklady binárních relací na A: 1 R = {(a, b), (c, a)}. Platí a R b a také c R a. 2 A = {(a, a), (b, b), (c, c)}. Platí x A y iff x = y. Název: diagonála na A nebo identita na A. 3 A A je binární relace na A. Je to největší možná binární relace na množině A. Platí x (A A) y iff x, y A. 4 je binární relace na A. Je to nejmenší možná binární relace na množině A. Pro žádnou dvojici (x, y) neplatí x y. Jiří Velebil: A7B01MCS 10. října 2011: Relace a kongruence modulo 2/19

Relaci R budeme chtít chápat dvěma různými způsoby: 1 Jako seznam dvojic (x, y), kdy se x má slepit s y. Takovým relacím R se říká relace ekvivalence. Relace ekvivalence musí mít speciální vlastnosti. 2 Jako seznam dvojic (x, y), kdy x je menší nebo rovno y. Takovým relacím R se říká relace uspořádání. Relace částečného uspořádání musí mít speciální vlastnosti. Jiří Velebil: A7B01MCS 10. října 2011: Relace a kongruence modulo 3/19

Definice Řekneme, že binární relace R na množině A je: 1 Reflexivní, když pro všechna x A platí: x R x. 2 Symetrická, když pro všechna x, y A platí: jestliže x R y, pak y R x. 3 Transitivní, když pro všechna x, y, z A platí: jestliže x R y a současně y R z, pak x R z. 4 Antisymetrická, když pro všechna x, y A platí: jestliže x R y a současně y R x, pak x = y. 5 Relace ekvivalence, pokud je reflexivní, symetrická a transitivní současně. 6 Relace uspořádání, pokud je reflexivní, antisymetrická a transitivní současně. Jiří Velebil: A7B01MCS 10. října 2011: Relace a kongruence modulo 4/19

Definice Ať R a S jsou binární relace na množině A. 1 Opačná relace k relaci R je binární relace značená R op s vlastností x R op y právě tehdy, když y R x. 2 Složení relací R a S je binární relace značená R; S s vlastností x R; S y právě tehdy, když existuje z A takové, že x R z a současně z S y. Prvku z říkáme prostředník vztahu x R; S y. Pozor! Značení je jiné než ve skriptu M. Demlová a B. Pondělíček, Matematická logika, skriptum FEL, 1997. Jiří Velebil: A7B01MCS 10. října 2011: Relace a kongruence modulo 5/19

Tvrzení Ať R je binární relace na množině A. Pak platí: 1 Relace R je reflexivní iff A R. 2 Relace R je symetrická iff R = R op. 3 Relace R je transitivní iff R; R R. 4 Relace R je antisymetrická iff R R op A. Pozor! Relace R na A je symetrická a antisymetrická současně iff R A. Z toho, že je relace symetrická tedy neplyne, že je antisymetrická (a naopak). Jiří Velebil: A7B01MCS 10. října 2011: Relace a kongruence modulo 6/19

Příklad Čtverec S v rovině: A D B C 1 Binární relace R na S: dva body P 1, P 2 čtverce S jsou v relaci R právě tehdy, když platí buď P 1 = P 2 nebo P 1 i P 2 leží na hranici. R je relace ekvivalence a dává návod, jak slepit body čtverce: slepte všechny body hranice do jednoho a uvnitř čtverce neslepujte nic. Výsledná faktorová množina S/R (množina S slepená podle návodu R) je povrch koule, neboli sféra. Jiří Velebil: A7B01MCS 10. října 2011: Relace a kongruence modulo 7/19

Příklad (pokrač.) 2 Binární relace R na S taková, že chceme slepit pouze body na úsečce AB s odpovídajícími body na úsečce CD podle symetrie dané osou o A o D B C Faktorová množina je válcová plocha. Jiří Velebil: A7B01MCS 10. října 2011: Relace a kongruence modulo 8/19

Příklad (pokrač.) 3 Binární relace R na S taková, že chceme slepit pouze body na úsečce AB s odpovídajícími body na úsečce CD podle symetrie dané bodem S A D S Faktorová množina je Möbiův list. B C Jiří Velebil: A7B01MCS 10. října 2011: Relace a kongruence modulo 9/19

Příklad (pokrač.) 4 Binární relace R taková, že chceme slepit pouze body na úsečce AB s odpovídajícími body na úsečce CD podle symetrie dané osou o a body úsečky BC s odpovídajícími body úsečky DA podle symetrie dané bodem S (Möbiův list na válcové ploše): A o D S B C Faktorová množina je Kleinova láhev. a a Kleinova láhev není třídimensionální objekt! Jiří Velebil: A7B01MCS 10. října 2011: Relace a kongruence modulo 10/19

Shrnuto: 1 Relace ekvivalence R na X je návod, jak se mají slepovat prvky množiny X. 2 Po dvojici X, R se můžeme procházet, přičemž relace R nám pokazila zrak. 3 Faktorová množina X /R je množina, kde jsme předepsané dvojice bodů skutečně slepili. Jiří Velebil: A7B01MCS 10. října 2011: Relace a kongruence modulo 11/19

Shrnuto: 4 Body (prvky) množiny X /R? Slepíme každý bod x X se všemi body x, se kterými nám přikazuje relace R bod x slepit: [x] R = {x X x R x } Množině [x] R se říká třída ekvivalence R representovaná prvkem x. Tedy: X /R = {[x] R x X } Tvrzení Zadat ekvivalenci na množině X je totéž jako zadat rozklad množiny X. Jiří Velebil: A7B01MCS 10. října 2011: Relace a kongruence modulo 12/19

B(n)=počet relací ekvivalence na n-prvkové množině 1 Jednoduché: B(0) = 1, B(1) = 1, B(2) = 2. n ( ) n 1 2 B(n) = B(n k), n 1. k 1 k=1 Číslu B(n) říkáme n-té Bellovo číslo. Rekurence je totéž jako rekursivní algoritmus pro vygenerování všech relací ekvivalence (tj. rozkladů) na množině X : 1 Je-li X =, pak je jediný rozklad. 2 Je-li X, pak 1 Vyberte pevné x X. 2 Vygenerujte všechny podmnožiny Y množiny X \ {x}. 3 Pro každou takovou Y : vygenerujte všechny rozklady X \ ({x} Y ) a přidejte {x} Y. Jiří Velebil: A7B01MCS 10. října 2011: Relace a kongruence modulo 13/19

Pozor! Krátký vzorec pro Bellova čísla (zatím?) neexistuje. Více o kombinatorických problémech a jejich aplikacích v programování např. nebo P. J. Cameron, Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms, Cambridge University Press, 1994 F. Bergeron, G. Labelle a P. Leroux, Combinatorial Species and Tree-like Structures, Cambridge University Press, 2004 Jiří Velebil: A7B01MCS 10. října 2011: Relace a kongruence modulo 14/19

Definice Ať m 1 je pevné přirozené číslo. Řekneme, že celá čísla a a b jsou kongruentní modulo m, (značíme a b (mod m)), pokud existuje celé číslo k takové, že a b = k m. Přeformulování kongruence modulo m 1 Pro m > 1: vztah a b (mod m) platí iff a i b mají stejný zbytek po dělení číslem m. 2 Pro m = 1: vztah a b (mod 1) platí iff a i b jsou celá čísla. Jiří Velebil: A7B01MCS 10. října 2011: Relace a kongruence modulo 15/19

Tvrzení Ať m > 1 je pevné přirozené číslo. Potom platí: 1 m je relace ekvivalence na množině celých čísel, tj. je reflexivní, symetrická a transitivní. 2 m respektuje operaci sčítání, tj. pro všechna celá čísla a, b, a, b platí: jestliže platí a b (mod m) a současně a b (mod m), pak platí a + a b + b (mod m). 3 m respektuje operaci násobení, tj. pro všechna celá čísla a, b, a, b platí: jestliže platí a b (mod m) a současně a b (mod m), pak platí a a b b (mod m). Jiří Velebil: A7B01MCS 10. října 2011: Relace a kongruence modulo 16/19

Důsledek Množinu celých čísel lze slepit pomocí kongruence modulo m. Příslušnou faktorovou množinu označíme Z m. Lemma Ať m > 1 je pevné přirozené číslo. Potom množina Z m má přesně m různých prvků: Z m = {[0] m, [1] m,..., [m 1] m }. Říkáme jim standardní tvary prvků Z m. Příklad Z 6 = {[0] 6, [1] 6, [2] 6, [3] 6, [4] 5, [5] 6 }. Platí například [2] 6 = [8] 6 = [ 4] 6. Zjednodušené značení: 2 = 8 = 4 v Z 6. Jiří Velebil: A7B01MCS 10. října 2011: Relace a kongruence modulo 17/19

Příklad (pokrač.) 6 respektuje sčítání. Tabulka pro sčítání v Z 6 : 6 [0] 6 [1] 6 [2] 6 [3] 6 [4] 6 [5] 6 [0] 6 [0] 6 [1] 6 [2] 6 [3] 6 [4] 6 [5] 6 [1] 6 [1] 6 [2] 6 [3] 6 [4] 6 [5] 6 [0] 6 [2] 6 [2] 6 [3] 6 [4] 6 [5] 6 [0] 6 [1] 6 [3] 6 [3] 6 [4] 6 [5] 6 [0] 6 [1] 6 [2] 6 [4] 6 [4] 6 [5] 6 [0] 6 [1] 6 [2] 6 [3] 6 [5] 6 [5] 6 [0] 6 [1] 6 [2] 6 [3] 6 [4] 6 Zjednodušené značení: místo [3] 6 [4] 6 = [1] 6 budeme psát 3 + 4 = 1 v Z 6 Jiří Velebil: A7B01MCS 10. října 2011: Relace a kongruence modulo 18/19

Příklad (pokrač.) 6 respektuje násobení. Tabulka násobení v Z 6 : 6 [0] 6 [1] 6 [2] 6 [3] 6 [4] 6 [5] 6 [0] 6 [0] 6 [0] 6 [0] 6 [0] 6 [0] 6 [0] 6 [1] 6 [0] 6 [1] 6 [2] 6 [3] 6 [4] 6 [5] 6 [2] 6 [0] 6 [2] 6 [4] 6 [0] 6 [2] 6 [4] 6 [3] 6 [0] 6 [3] 6 [0] 6 [3] 6 [0] 6 [3] 6 [4] 6 [0] 6 [4] 6 [2] 6 [0] 6 [4] 6 [2] 6 [5] 6 [0] 6 [5] 6 [4] 6 [3] 6 [2] 6 [1] 6 Zjednodušené značení: místo [3] 6 [4] 6 = [0] 6 budeme psát 3 4 = 0 v Z 6 Jiří Velebil: A7B01MCS 10. října 2011: Relace a kongruence modulo 19/19